Le improbabili avventure matematiche
del signor De Dadis
Massimo Borelli, Sergio Invernizzi
∗
Dipartimento di Matematica e Informatica
Dipartimento di Scienze della Vita
Università degli Studi di Trieste
Via A. Valerio 12/1, 34127 Trieste, Italia
E-mail: [email protected]
Novembre 2011
Sommario
In questo Quaderno Didattico vengono presentate una serie di attività a
carattere di laboratorio introduttive alle nozioni basilari di probabilità
e statistica adatte per le classi quarte e quinte della Scuola Elementare. L’analisi dei dati viene effettuata mediante un foglio di calcolo.
Simulazioni aleatorie vengono condotte con il pacchetto statistico open
source R.
∗
Ciclo di due incontri tenuti presso la classe Quinta del Collegio Dimesse di Trieste.
1
Indice
1 Le improbabili avventure matematiche del signor De Dadis
1.1 Per l’insegnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Materiali occorrenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
2 Ambientazione
2.1 I personaggi protagonisti . . . . . . .
2.2 Gli antenati della famiglia De Dadis
2.3 Oggi, la famiglia de Dadis .. . . . . .
2.4 Cosa faremo? Cosa impareremo? . .
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6
6
6
7
7
3 Il lancio di un dado
3.1 L’avventura di Dado De Dadis
3.2 L’invidioso signor Sacchetti .. .
3.3 La domandona finale . . . . . .
3.4 Riassumiamo: 1 dado . . . . . .
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7
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10
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11
11
11
12
13
13
4 Il lancio di due dadi
4.1 Dadina e Dado De Dadis .
4.2 Riassumiamo: 2 dadi . . .
4.3 La domandona difficilona
4.4 Una domandina premio .
4.5 A che gioco giochiamo? .
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5 Terzo esperimento
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6 Ringraziamenti
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2
1
Le improbabili avventure matematiche del signor
De Dadis
uscirai all’aperto così come ti trovi
senza nessun preavviso
come la faccia di un dado
che abbia una probabilità sola su sei
su come sei
o come le altre cinque
di cui una la più opposta
e quella più nascosta
è quella che tiene i piedi in terra
e sulla quale poggi.
(Dalle Prime Battute, L. Battisti, 1988)
1.1
Per l’insegnante
I programmi della Scuola Elementare (D.P.R. 12 febbraio 1985, n.104) assegnano - tra gli obiettivi del terzo, quarto e quinto anno relativi alla probabilita, alla statistica ed all’informatica - una importanza educativa notevole (..)
anche a concetti, principi e capacità connessi con la rappresentazione statistica di fatti, fenomeni e processi e con l’elaborazione di giudizi e di previsioni
in condizioni di incertezza. L’introduzione dei primi elementi di probabilità,
che può trovare posto alla fine del corso elementare, ha lo scopo di preparare
nel fanciullo un terreno intuitivo su cui si possa, in una fase successiva, fondare l’analisi razionale delle situazioni di incertezza. La classica definizione
di probabilità - come rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero
dei casi possibili in situazioni aleatorie simmetriche - non può essere assunta
come punto di partenza, ma è piuttosto il punto di arrivo di una ben graduata
attività. Nello sviluppo di questo itinerario può realizzarsi la costruzione e
l’analisi di procedimenti e di algoritmi - numerici e non numerici - anche
con l’uso iniziale, ma coerente e produttivo, di opportuni strumenti di calcolo
e di elaborazione delle informazioni.
Le improbabili avventure matematiche del signor De Dadis sono
una proposta per una attività di laboratorio di matematica orientata in tal
senso. Si tratta di un lavoro che abbiamo realizzato con una classe di studenti
frequentanti la classe quinta, allo scopo di consolidare alcuni concetti basilari
di probabilità e statistica già in parte trattati dall’insegnante seguendo il libro
di testo (ossia, ’con carta e matita’).
Il titolo fuorviante che abbiamo scelto di dare a questa attività è volutamente scherzoso: in questo laboratorio di matematica non c’è in effetti
nulla di improbabile. Si tratta solo di un gioco di parole che mette in luce
il fatto che effettueremo degli esperimenti di tipo probabilistico; esperimenti
3
che vogliono coniugare le tecnologie informatiche di base (editor di testo,
foglio elettronico) ed avanzate (il pacchetto statistico open source R) con la
matematica dell’incertezza.
R In questa attività di laboratorio la parte per così dire ’innovativa’ è rappresentata dall’uso
del pacchetto statistico open source R. Si tratta di un software dedicato all’analisi statistica dei
dati che è disponibile sia per Windows che per gli altri comuni sistemi operativi, e che ha assunto
un’enorme popolarità nel mondo della ricerca e nella comunità scientifica. Essendo R anche un
linguaggio di programmazione con un’interfaccia a riga di comando, esso è adatto anche all’insegnamento scolastico delle nozioni base di programmazione (in luogo, ad esempio, dell’obsoleto
Turbo Pascal).
Per un’introduzione adatta agli insegnanti al pacchetto R si possono utilizzare sia i video
disponibili in rete (in lingua inglese), oppure provare ad inserire direttamente alcuni comandi
copiandoli ed incollandoli dai tutorial reperibili in rete.
Il sito web di appoggio per questa attività è reperibile per mezzo del
motore di ricerca Google, digitando la parola chiave massimo borelli,
e da lì seguendo il percorso didattica > scuola elementare. Da lì è
possibile scaricare copie ulteriori di questa guida per l’insegnante, nonché:
• la presentazione (’PowerPoint’) da usare in aula
• la scheda 1: il lancio di un dado
• il foglio elettronico per analizzare l’esito del primo esperimento
• la scheda 2: l’estrazione dei bicchieri colorati
• la scheda 3: il lancio di due dadi
• il foglio elettronico per analizzare l’esito del secondo esperimento
• i comandi di R per simulare il lancio di due dadi
• i comandi di R per simulare l’estrazione da un’urna equivalente al lancio
di due dadi
• i comandi di R per simulare il lancio di un dado a dodici facce
• i comandi di R per simulare il lancio di cinquanta dadi per mille lanci
e per un milione di lanci
Non occorre sottolineare che il presente Quaderno Didattico non è un
testo introduttivo alla probabilità ed alla statistica nella scuola primaria;
esistono numerosi testi ed articoli di letteratura in cui questi temi sono trattati in maniera eccellente (e ad ogni livello scolastico). Le pagine che seguono
sono delle semplici note illustrative relative alla presentazione disponibile in
rete: niente di più che un filo del discorso che guidi l’insegnante durante
l’attività di laboratorio.
Nelle pagine che seguono abbiamo adottato una convenzione tipografica:
abbiamo evidenziato in grassetto i termini che a nostro avviso è opportuno
introdurre ed utilizzare con gli allievi durante il laboratorio.
4
1.2
Materiali occorrenti
Per realizzare l’attività abbiamo utilizzato alcuni oggetti comuni:
• dadi da gioco
• un set di dadi per giochi di ruolo
• sei oggetti uguali di diversa colorazione (ad esempio, bicchieri di plastica variopinti)
• una palla giocattolo a sei spicchi colorati
• un cubo di Rubik
• alcune biglie da biliardo
Inoltre sulla cattedra avevamo disposto di un computer gestito esclusivamente dall’insegnante e munito di videoproiettore, in cui siano già stati
installati un editor di testo, un foglio elettronico ed il pacchetto R.
In questo Quaderno Didattico volutamente non abbiamo fornito una bibliografia, perché a nostro avviso è opportuno che i docenti riescano ad adattare queste attività riferendosi ai testi in adozione presso la loro scuola. Tuttavia, di quando in quando abbiamo preferito indicare alcuni siti web dove
il docente può trovare vari approfondimenti.
Possibili riferimenti per il docente:
http://www.ikea.com/it/it/catalog/products/10096907/
http://www.ikea.com/it/it/catalog/products/00159542/
http://it.wikipedia.org/wiki/Editor_di_testo
http://it.wikipedia.org/wiki/Foglio_elettronico
http://it.wikipedia.org/wiki/R_(software)
http://www.r-project.org/index.html
http://www.youtube.com/watch?v=mL27TAJGlWc
http://www.dmi.units.it/b̃orelli/comesipuofaRe/
5
Figura 1: I personaggi di questa attività di laboratorio.
2
Ambientazione
2.1
I personaggi protagonisti
L’attività si svolge narrando le vicende di alcuni personaggi di fantasia: il
signor Dado De Dadis (esperimento: lancio di un dado), la moglie Dadina
De Dadis (esperimento: lancio di due dadi), la numerosa famiglia De Dadis
(esperimento: lancio di cinquanta dadi) e l’invidioso signor Sacchetti, vicino
di casa della famiglia De Dadis: quest’ultimo vuole provare ad imitare in
tutto e per tutto le cose che la famiglia De Dadis realizza (esperimento:
estrazione casuale di oggetti con reimbussolamento).
2.2
Gli antenati della famiglia De Dadis
Fantasticare sull’albero genealogico della famiglia De Dadis consente di tratteggiare l’evoluzione del gioco ai dadi, richiamando alcune nozioni storiche
legate alle popolazioni mesopotamiche ed al gioco reale di Ur; ad Achille ed
Aiace che giocano con gli astragali; a Giulio Cesare che pronuncia la frase
Alea iacta est. La slide successiva è dedicata invece ai problemi posti nel
1600 dal cavalier de Méré a Pascal e Fermat, che segnano l’inizio del calcolo della probabilità (e in definitiva, anche della statistica) come disciplina
matematica a se stante.
Possibili riferimenti per il docente:
http://en.wikipedia.org/wiki/Royal_Game_of_Ur
http://it.wikipedia.org/wiki/Exekias
http://la.wikipedia.org/wiki/Alea_iacta_est
http://en.wikipedia.org/wiki/Antoine_Gombaud
6
http://mathworld.wolfram.com/deMeresProblem.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Storia_della_statistica
2.3
Oggi, la famiglia de Dadis ..
Che lavoro fa, oggi, il signor De Dadis? Questa domanda fornisce il pretesto
per ribadire la rilevanza che la Statistica ha nella vita quotidiana dei cittadini
(e degli studiosi). Il censimento che molte famiglie stanno affrontando a fine
anno 2011, o la crisi finanziaria raffigurata dall’andamento altalenante (ed
aleatorio, nel senso di imprevedibile) degli indici di borsa possono essere
due immagini alla portata del vissuto degli allievi. Più sorprendente sarà
per loro sapere che la biologia e la medicina incontrandosi con il mondo
della probabilità, della statistica e dell’informatica, consentono per esempio
di studiare e sperimentare nuove terapie a livello nanotecnologico.
2.4
Cosa faremo? Cosa impareremo?
Questa attività di laboratorio è un occasione per richiamare alcuni vocaboli
pertinenti alla terminologia matematica; infatti, gli allievi eseguiranno degli
esperimenti (il lancio di un dado ed il lancio di due dadi) e dovranno tener
nota degli eventi che via via si manifesteranno, segnandoli su delle schede
che consegneremo loro. Con l’aiuto del foglio elettronico e del pacchetto
R l’insegnante analizzerà le frequenze osservate degli eventi proponendo
dei grafici a barre1 , e dal confronto dei grafici gli studenti coglieranno la
diversità tra la forma rettangolare del grafico relativo al lancio di un dado, e
la forma triangolare della distribuzione degli eventi relativa al lancio di due
dadi. Durante l’attività ci sarà anche occasione per fare qualche operazione
che coinvolge la somma di frazioni, la rappresentazione percentuale di un
numero decimale, e la divisione con quoziente decimale.
3
3.1
Il lancio di un dado
L’avventura di Dado De Dadis
Agli studenti viene ora consegnata ed illustrata la struttura della prima scheda di lavoro. Nella prima fase, dedicata alla raccolta dei dati, gli allievi
(riuniti possibilmente in gruppi di lavoro di due o tre persone) lanceranno il
dado e terranno nota dell’evento occorso, segnando una crocetta nella casella
1
E’ ben nota agli statistici la differenza che intercorre tra un grafico a barre ed un
istogramma (che in molti casi si riduce ad essere un grafico a barre). Giova solo qui
ricordare che in molti fogli di calcolo vi è una confusione tra i due termini e che gli allievi
potrebbero chiederne ragione!
7
corrispondente alla faccia del dado che è sortita. L’esperimento verrà ripetuto più e più volte; come criterio di arresto dell’esperimento si conviene
che il gruppo si fermi non appena venga raggiunta la decima colonna (quella
con lo sfondo grigio). In tal modo, l’insegnante ha la garanzia che ciascun
gruppo avrà innanzi a sé una distribuzione aleatoria unimodale, e non vi
saranno possibili ambiguità nella prosecuzione dell’attività.
Quando tutti i gruppi avranno concluso la prima fase, potranno passare
alla seconda fase, dedicata al riassunto statistico dei dati. Con l’aiuto delle
slides esemplificative l’insegnante guiderà gli allievi a compilare la tavola
delle frequenze osservate, nelle cui caselle gli allievi devono semplicemente contare e riportare il numero totale (cioè le frequenze assolute) dei
singoli eventi elementari.
Gli allievi ora devono determinare il valore degli indici di centralità:
moda, mediana e il valore atteso, o media. Per trovare l’evento modale,
gli allievi devono semplicemente individuare l’evento con la ’colonna più
lunga’ (ossia la colonna in cui ’è stata raggiunta la casella grigia’).
Per determinare l’evento mediano invece si può procedere in due modi
equivalenti:
1. guardando la tabella della raccolta dei dati si contano quante crocette
sono state segnate, ossia quanti lanci sono stati effettuati dal gruppo
(per esempio, 44); si divide tale numero a metà (nell’esempio, 22) e
si va ad individuare dove è posizionata, continuando nell’esempio, la
22-esima crocetta, iniziando a contare naturalmente dall’evento 1;
2. guardando la tavola delle frequenze osservate, si vanno ad esaminare le
frequenze cumulate e si determina l’evento nel quale ricade la metà
del numero di lanci. Esemplificando, supponiamo che la distribuzione
delle frequenze assolute sia 8, 10, 7, 5, 8, 6; le frequenze cumulate sono
8, 8 + 10 = 18, 18 + 7 = 25, 25 + 5 = 30, 30 + 8 = 38, 38 + 6 =
44; la metà di 44 è 22; 22 è superiore a 8 e 18 , e quindi l’uno ed il due
non sono gli eventi mediani, ma è inferiore a 25, e perciò il 3 è l’evento
mediano.
Con la funzione somma del foglio elettronico l’insegnante potrà controllare l’esattezza del computo del numero di lanci effettuati da ciascun
gruppo.
Lasciamo per il momento in sospeso il calcolo della media, per ragioni
che appriranno chiare tra poco.
3.2
L’invidioso signor Sacchetti ..
Vogliamo mostrare agli allievi che, da un punto di vista probabilistico, il
lancio ripetuto di un dado a sei facce è un esperimento equivalente a quello
8
Figura 2: Schermata esemplificativa del foglio di calcolo analisischeda1 con la
prima cartella compilata.
dell’estrazione con reimbussolamento di sei palline numerate (o colorate diversamente). A tale proposito possiamo far estrarre ad un gruppo di allievi
degli oggetti (la nostra preferenza è andata verso dei bicchieri di plastica
colorata estratti da un sacco nero dell’immondizia) e far compilare la tabella
di raccolta dati e la tavola delle frequenze osservate della scheda2. Fatto
ciò, possiamo porre le seguenti domande a carattere di verifica formativa:
Leggendo solamente le frequenze osservate, si riuscirebbe con
certezza a distinguere il signor De Dadis dal signor Sacchetti?
Gli studenti, ragionando su questo quesito, possono cogliere il fatto che i
due esperimenti hanno in comune un ’oggetto matematico sottostante’ (i.e.
il concetto di variabile aleatoria finita) che viene rappresentato dalla tavola
delle frequenze. Ulteriori domande possono venir poste ora agli allievi; ad
esempio:
Se ’riuniamo’ tutti i vostri esperimenti, e facciamo un unico grafico a barre, c’è ancora tanta ’diversità’ tra le frequenze osservate
in ciascuno dei gruppi?
L’insegnante può mostrare che vi è parecchia eterogeneità tra le schede
raccolta dati di ciascun gruppo di lavoro. Per fare ciò, è sufficiente mostrare
alla classe un paio di schede di lavoro, ruotandole di 90 gradi, in modo
da ’trasformarle’ in una rappresentazione grafica simile ad un diagramma a
barre.
Tuttavia, utilizzando il foglio di calcolo analisischeda1, inserendo i
dati nella prima cartella e realizzando un istogramma, gli allievi osserveranno
immediatamente che la variabilità dei risultati è più contenuta.
L’insegnante, se vorrà, potrà ora anche convincere gli allievi del fatto che
l’evento modale è molto più ’variabile’ (nel senso di una maggiore eterogeneità, di una maggiore dispersione) dell’evento mediano, che invece si attesta
molto spesso sui valori di 3 o 4.
9
Inoltre, copiando i dati ed incollandoli nella cartella seguente, denominata
tutte_le_scuole, il grafico_totale si autoaggiornerà, e l’insegnante
avrà modo di far cogliere il fatto che ormai le barre hanno pressoché la stessa
altezza. Gli allievi quindi saranno in grado di capire in modo autonomo che
il rettangolo è la risposta alla successiva domanda:
Il diagramma a barre di tutti gli esperimenti di tutte le scuole ci
suggerisce una figura geometrica: quale?
3.3
La domandona finale
L’insegnante ora potrà mostrare la quarta cartella del foglio analisischeda1, denominata frequenze_relative, nella quale è riportato il calcolo
appunto di quest’ultime. Il docente stimolerà l’osservazione degli allievi,
chiedendo di notare la sostanziale uguaglianza delle frequenze, e successivamente mostrerà alla classe la slide, chiedendo di trarre in modo autonomo
le conclusioni di questa prima scheda; e cioè, che effettuando un gran numero di prove ripetute, come ipotizzato dall’approccio frequentista alla teoria
della probabilità, le frequenze osservate convergono alle frequenze teoriche
che si possono dedurre con semplici considerazioni di simmetria sull’esaedro. Questa può essere anche un’ottima occasione per consolidare il nesso
tra la divisione, le frazioni e la rappresentazione percentuale di un numero
decimale.
Con le frequenze teoriche ora possiamo completare la prima scheda di
laboratorio calcolando la media (da noi intesa in questa attività come valore
atteso della variabile aleatoria ’lancio di un dado’, e non come indice di
centralità del singolo esperimento effettuato da ciascun gruppo di allievi).
Possibili riferimenti per il docente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Probabilità
http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso
3.4
Riassumiamo: 1 dado
A conclusione di questa prima attività di laboratorio, è opportuno riassumere i punti salienti che gli allievi dovranno aver acquisito. Nell’esperimento
lancio di un dado gli eventi elementari sono sei, ciascuno con probabilità uguale ad 1/6. Calcolando il valore decimale di questa frazione, ossia
calcolando il quoziente del dividendo 1 e del divisore 6, si ottiene un numero approssimativamente uguale a 0,17; lo stesso numero si otterrebbe se
si considerassero i successi ottenuti in un gran numero di prove ripetute
divisi per il numero totale delle prove effettuate. Questo numero decimale
10
si può rappresentare anche nella forma percentuale, 17%. Infine, se si rappresentano le probabilità con un istogramma, le barre ci ricordano la figura
geometrica del rettangolo.
4
Il lancio di due dadi
4.1
Dadina e Dado De Dadis
Soffermandosi scherzosamente sul reciproco affetto che vive tra i coniugi De
Dadis e che li rende indistinguibili l’uno dall’altro, possiamo ora consegnare
una coppia di dadi ad ogni gruppo di allievi, ed iniziare a compilare la scheda
3 relativa alla somma dei punti ottenuti nel lancio di due dadi. Alla
classe verrà richiesto di individuare in maniera autonoma quali siano gli
eventi elementari da riportare nella scheda (il docente avrà cura di controllare
che tutti indichino come eventi possibili i numeri da 2 a 12, essendo l’1 un
evento impossibile nel lancio contemporaneo di due dadi). Giunti alla fase
del riassunto dei dati, sarà interessante far notare agli allievi che mentre
nel lancio di un dado l’evento modale era stato caratterizzato da notevole
variabilità, in questo nuovo esperimento la moda è per lo più concentrata
attorno al numero sette. Chiediamo anche di determinare la mediana, e
lasciamo in sospeso come in precedenza avvenuto la media. Raccogliamo
i dati nel foglio analisischeda3 e li illustriamo con un istogramma. Per
meglio mettere in evidenza la diversa distribuzione di probabilità dei due
esperimenti sin qui condotti, possiamo copiare le istruzioni contenute nel
documento Dadina e Dado De Dadis ed incollarle nel pacchetto R. Come
output si otterrà una figura simile a questa:
Potremo spiegare brevemente agli allievi la sintassi dei comandi: dopo aver definito la costante quantilanci uguale a un milione, simuleremo
il lancio del DadoDeDadis e del DadinaDeDadis per un milione di volte, e
sommeremo i loro valori nella variabile duedadi, chiedendo infine con il comando hist di visualizzare la situazione finale con un istogramma di colore
arancione.
Possibili riferimenti per il docente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_pseudo-casuali
4.2
Riassumiamo: 2 dadi
Come abbiamo fatto in precedenza, vogliamo porre l’attenzione sui concetti
salienti emersi durante questa attività: nell’esperimento lancio di due dadi
gli eventi elementari sono undici, ma in questo caso le probabilità degli
eventi elementari non sono tutte uguali tra loro; in termini più precisi, la
distribuzione delle probabilità non è uniforme. Il sette è l’evento più probabile, il due ed il dodici sono gli eventi meno probabili, e la simmetria delle
11
100000
0
Frequency
Histogram of risultato
2
4
6
8
10
12
risultato
Figura 3: Istogramma relativo alla somma dei punti totalizzati lanciando due dadi
a sei facce. Simulazione ottenuta con il comando sample di R.
barre dell’istogramma delle frequenze ci richiama la figura geometrica del
triangolo isoscele. Volutamente non diciamo agli allievi quale sia il valore di
tali probabilità (ma il signor Sacchetti è in agguato ..)
4.3
La domandona difficilona
Per invitare gli allievi a ragionare ed esplicitare quanto valgano esattamente
le probabilità degli eventi nel lancio di due dadi, si può scherzare chiedendo
loro come l’invidioso signor Sacchetti possa fare per ’copiare’ Dadina e Dado
de Dadis. In altri termini, se il signor Sacchetti avesse a disposizione numerosi oggetti diversamente colorati (per esempio, molte biglie da biliardo
numerate, oppure molte palline della tombola), quante palline contrassegnate
con il 2, quante con il 3, e via via sino al 12, egli dovrebbe mettere nel sacchetto? Il suggerimento può essere l’immagine che Lucio Lombardo Radice
e Lina Mancini Proia utilizzarono nella copertina dei loro testi di trent’anni
fa, intitolati Il metodo matematico. Seguendo i dadi con un cammino simile
a quello dalla funzione coppia di Cantor, e riflettendo anche sulla simmetria del triangolo esibito nell’istogramma delle frequenze, gli allievi potranno
giungere alla risposta esatta. Sarà questa anche l’occasione per ’far scoprire’
agli allievi che conoscano l’elevamento a potenza, che:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 62
Sarà questa anche un’occasione per procedere per analogia, chiedendo
12
quanti eventi elementari si debbano considerare se si lanciassero tre dadi,
quattro dadi, e così via ( 63 , 64 , ..).
Per fissare ulteriormente le idee, la pagina signor Sacchetti riporta il
codice per raffrontare l’istogramma del lancio di due dadi con l’estrazione da
un sacchetto con 36 palline.
Possibili riferimenti per il docente:
http://www.bergogliolibri.it/book/Lombardo_Radice_Lucio/
METODO_MATEMATICO_Corso_matematica_scuole_SM1307-IT.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_pairing_function
4.4
Una domandina premio
Al posto di giocare con due dadi a sei facce, è la stessa cosa
giocare con un dado a dodici facce?
La risposta negativa è dovuta innanzitutto al fatto che in un dado a dodici facce gli eventi elementari sono dodici, mentre nel lancio di due dadi si
ha a che fare solamente con undici eventi elementari. Ma a questo problema
possiamo facilmente ovviare: è sufficiente prendere il dado a dodici facce e
con un pennarello, o con il correttore bianco, trasformare la ’I’ dell’evento ’uno’ in una R, attribuendo a questo evento il significato di ’ritenta’, ’rilanciare
il dado’.
Ma, nonostante questa modifica, possiamo facilmente convincere gli allievi della profonda diversità che caratterizza i due esperimenti, eseguendo
una simulazione con R: nel testo un dado ad undici facce sono riportati
i comandi per confrontare visivamente le due distribuzioni di frequenza, e
convincersi immediatamente che giocare con un dado a dodici (anzi, undici,
a dire il vero, stante la nostra modifica) facce ’assomiglia di più’ al gioco con
un dado a sei facce che non a quello con due dadi.
4.5
A che gioco giochiamo?
Se un amico vi invitasse a giocare a dadi, quale di questi tre giochi
che abbiamo visto scegliereste, e su quale evento vi converrebbe
giocare?
Non è superfluo ricordare qui che le ’Indicazioni didattiche’ del D.P.R.
12 febbraio 1985, n. 104 affermano che Quanto alle prime nozioni di probabilità (..) si può raggiungere molto bene questo scopo mediante il gioco:
molti giochi hanno carattere aleatorio o ricorrono alla sorte per l’assegnazione di particolari ruoli. L’abilità del giocatore consiste nel saper scegliere, fra
le varie mosse possibili, quella che offre maggiore probabilità di vittoria; si
13
0
40000
Histogram of dodicifacce
Frequency
100000
0
Frequency
Histogram of duedadi
2 4 6 8
12
2 4 6 8
duedadi
12
dodicifacce
Figura 4: Istogrammi relativi alla somma dei punti totalizzati lanciando due dadi
a sei facce e lanciando un dado a dodici facce. Simulazione ottenuta con il comando
sample di R.
tratta dunque, in primo luogo di condurre l’alunno a compiere confronti di
probabilità.
Gli allievi giunti a questo punto opereranno molto facilmente il confronto
tra i tre giochi e senza esitazione risponderanno che conviene giocare sul ’7’.
Il docente peraltro potrebbe cogliere questa occasione per aprire una
discussione inerente ai rischi connessi al gioco d’azzardo ed alla diffusione
del gioco delle ’slot machines’ tra i minori in Italia.
Possibili riferimenti per il docente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_d’azzardo
http://www.camera.it/417?idSeduta=356&resoconto=btind&param=
http://consumatori.myblog.it/archive/2010/05/10/
in-italia-aumenta-il-gioco-d-azzardo-tra-i-minorenni.html
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Terzo esperimento
Gli allievi si mettono a ridere quando scoprono che la numerosa famiglia
De Dadis è composta dalla mamma, dal papà e da altri quarantotto vivaci
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bambini, e che dunque ora stiamo per chiedere ’ai più bravi della classe’ di
lanciare 50 dadi per mille volte e fare a mente la somma .. Per rendere più
veridica la narrazione abbiamo estratto dalla borsa un vero set di 50 dadi da
gioco!
In realtà, il terzo esperimento lo effettuiamo solamente con una simulazione; in questi frangenti R si rivela un software particolarmente adatto e
veloce nel gestire mille, centomila e persino un milione di lanci di 50 dadi.
Agli allievi si può chiedere ora di provare ad immaginare di che ’forma
geometrica’ sarà l’istogramma risultante. Di solito, nessun allievo si immagina che da un rettangolo e da un triangolo isoscele si possa passare alla figura
che un tempo era illustrata sulla banconota di dieci Marchi tedeschi accanto
al ritratto di Carl Friedrich Gauß: la famosa ’curva a campana’.
Non appare opportuno soffermarsi più approfonditamente sulle peculiarità di questo ’ingrediente essenziale’ della statistica. Sarà sufficiente dare
alcuni esempi tratti dalla realtà, come per esempio l’istogramma della statura
di 65 studenti universitari:
www <- "http://www.dmi.units.it/~borelli/dataset/studentiannoscorso.txt"
dataset <- read.table( www , header = TRUE )
attach(dataset)
hist(statura)
detach(dataset)
oppure si potrà ricordare che un andamento simile è evidenziato dalla distribuzione del peso dei neonati oppure, per citare un esempio più raffinato,
dalla pressione intraoculare.
Possibili riferimenti per il docente:
http://it.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
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Ringraziamenti
Un ringraziamento speciale alla signora Meri Zanolla per la grafica dei personaggi di questa attività.
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