Trasmissione del calore per irraggiamento

Trasmissione del calore per irraggiamento
1. Radiazioni termiche
Quando il calore si propaga mediante irraggiamento l’energia termica viena trasportata da
onde elettromagnetiche la cui velocita’ co (pari a circa 3 x 108 m s-1) e’ identica a quella propria
della luce.
Le onde sono classificate sulla base della loro lunghezza d’onda  (spazio che percorrono
mentre compiono un’oscillazione periodica completa) e della loro frequenza  (numero dei periodi
portati a compimento durante ciascuna unita’ di tempo). Il prodotto tra lunghezza d’onda e
frequenza deve rispecchiare la velocita’ della luce:
   co
(1)
Il trasporto dell’energia termica coinvolge prevalentemente onde la cui lunghezza e’
compresa tra 0.1  e 100  (1  = 1 micron = 10-6 m). Cadono in questo spettro di lunghezze
radiazioni ultraviolette ( < 0.4 ), radiazioni visibili (0.4     0.7 ), radiazioni infrarosse ( >
0.7 ).
2. Emissione del corpo nero
Ogni sostanza irradia calore ed il quantitativo emesso cresce al crescere della temperatura.
Come emettitore termico ideale di riferimento, con cui possono venir paragonati tutti gli altri
possibili emettitori, si utilizza il corpo nero. Un corpo nero emette per tutte le temperature alle quali
viene portato e su tutte le lunghezze d’onda la massima energia termica compatibile con i principi
fisici. Manifestano caratteristiche prossime a quelle di un corpo nero cavita’ praticate entro blocchi
metallici, quando la loro temperatura diventa molto elevata.
L’energia termica che un corpo nero emette durante ciascuna unita’ di tempo attraverso
ciascuna unita’ della sua area si chiama potere emissivo del corpo nero, dipende dalla temperatura
assoluta T cui il corpo nero si trova, elevata alla quarta potenza, ed e’ spesso indicata come En(T):

Q
En T     T 4
A
(2)
con:

Q  energia termica emessa per irraggiamento dal corpo nero nell’unita’ di tempo
A  estensione della superficie del corpo nero
  costante di Stefan – Boltzmann = 5.67 x 10-8 W m-2 K-4.
3. Emissione dei corpi non neri
Anche per i corpi reali, in genere non neri, si definisce un potere emissivo E(T) che valuta
l’energia termica emessa mediante irraggiamento durante ciascuna unita’ di tempo attraverso
un’unita’ d’area. Il potere emissivo E(T) dipende dalla temperatura assoluta T del corpo ed e’ di
solito ottenuto moltiplicando il potere emissivo manifestato da un corpo nero alla medesima
temperatura per un coefficiente (T) detto emissivita’:
E T    T  En T    T  T 4
(3)
1
L’emissivita’ di un corpo dipende dalla sua temperatura ed assume valori compresi tra 0 ed
1 (e’ pari all’unita’ ad ogni temperatura nel caso limite ideale dei corpi neri).
4. Assorbimento, riflessione, trasmissione di una radiazione termica incidente
Quando un corpo la cui temperatura sia T e’ esposto a radiazioni termiche in arrivo da un
altro corpo a temperatura T ' riceve energia che si fraziona, potendo essere assorbita internamente,
riflessa all’indietro o trasmessa oltre in seguito ad attraversamento completo:
Si indica con G(T ') l’energia radiante complessiva che durante un’unita’ di tempo giunge su
un’unita’ di area del corpo alla temperatura T provenendo da un secondo corpo a temperatura T '. E’
un energia con dipendenza quantitativa dalla temperatura T ' del corpo dal quale trae origine e
destinata a suddividersi in una parte assorbita G(T ')a, in una parte riflessa G(T ')r ed in una parte
trasmessa G(T ')t:
GT '  GT 'a  GT 'r  GT 't
(5)
Dei coefficienti adimensionali rapportano le frazioni assorbita, riflessa e trasmessa
all’energia globale incidente:
G T 'a   T 'G T '
G T 'r   T 'G T '
(6)
G T 't   T 'G T '
Il coefficiente di assorbimento  (T '), il coefficiente di riflessione  (T ') ed il coefficiente di
trasmissione  (T ') assumono valori positivi compresi tra 0 ed 1, fermo restando che deve essere
comunque unitaria la loro somma:
 T '   T '   T '  1
(7)
Molti liquidi e quasi tutti i gas sono in grado di trasmettere piu’ o meno completamente le
radiazioni termiche dalle quali vengono investiti. Nei solidi la trasparenza termica rimane invece
limitata ai vetri e ad alcuni cristalli inorganici. Per gli altri solidi il coefficiente di trasmissione e’
pressoché sempre nullo.
Tra coefficienti d’assorbimento ed emissivita’ sussiste un’interdipendenza espressa dal
principio di Kirchhoff: il coefficiente di assorbimento  (T ') che un corpo alla temperatura T
manifesta nei confronti di una radiazione proveniente da un altro corpo a temperatura T ' coincide
numericamente con l’emissivita’  (T ') dalla quale il medesimo corpo sarebbe caratterizzato se la
sua temperatura passasse dal valore T al valore T ' proprio del secondo corpo:
 T '   T '
(8)
2
I coefficienti d’assorbimento si possono dunque valutare calcolando delle emissivita’. In un
corpo nero l’emissivita’ e’ sempre unitaria, quale che sia la temperatura. Unitario deve dunque
costantemente essere anche il coefficiente d’assorbimento, per l’equivalenza stabilita dal principio
di Kirchhoff. Ne consegue che il corpo nero non e’ solo un emettitore perfetto di radiazioni
termiche ma anche un assorbitore altrettanto perfetto: ogni radiazione in arrivo viene del tutto
assorbita, senza il coesistere di energie riflesse o trasmesse.
5. Energia radiante scambiata da corpi neri
Se un corpo nero e’ esposto alle radiazioni termiche provenienti da un altro corpo nero
anche il secondo corpo nero viene inevitabilmente investito dall’energia radiante emessa dal primo.
Si puo’ quindi stabilire quale sia lo scambio netto energetico tra i due corpi, valutato dalla
differenza tra l’energia ceduta dal primo al secondo e l’energia trasferita dal secondo al primo.
Per dedurre un’appropriata relazione quantitativa e’ utile iniziare esprimendo il calore che
nell’unita’ di tempo viene emesso dal primo corpo nero, corpo nero 1 alla temperatura T1, attraverso
la sua superficie A1 rivolta verso il secondo corpo:

Q1  A1  T14
(9)
ed il calore che nell’unita’ di tempo viene emesso dal secondo corpo nero, corpo nero 2 alla
temperatura T2, attraverso la sua superficie A2 rivolta verso il primo corpo:

Q 2  A2  T24
(10)
Dell’energia emessa dal corpo nero 1 attraverso la superficie A1 solo una parte investe il
corpo nero 2. La frazione che effettivamente perviene al corpo nero 2 si esprime moltiplicando
l’energia irradiata per un fattore adimensionale F12. E’ detto fattore di vista in quanto valuta
l’ammontare frazionario dell’energia emessa dal primo corpo che il secondo corpo riesce a “vedere”
e dipende da parametri geometrici (distanza tra i due corpi ed orientamento angolare reciproco):

Q12  F12 A1  T14
(11)
In maniera del tutto analoga va riprodotta la quantita’ d’energia che giunge al corpo nero 1
provenendo dal corpo nero 2. L’energia emessa dal secondo corpo si moltiplica cioe’ per un fattore
di vista F21, cui spetta la determinazione della sua percentuale incidente sul primo corpo:

Q 21  F21 A2  T24
(12)
Per i corpi neri, che sono assorbitori totali di energia, l’energia intercettata diventa anche
energia assorbita. Quindi le relazioni (11) e (12) esprimono a tutti gli effetti energie realmente
trasferite ed attraverso la loro differenza si ricava il trasferimento energetico netto nell’unita’ di
tempo:



Q1 2  Q12  Q 21  F12 A1  T14  F21 A2  T24
(13)
Quando le temperature T1 e T2 coincidono i due corpi sono in equilibrio termico, per cui
deve risultare nulla l’energia netta trasferita:
3

Q1 2  F12 A1  F21 A2  T14  F12 A1  F21 A2  T24  0
(14)
E’ agevole intuire come l’azzerarsi del calore scambiato presupponga la seguente identita’:
F12 A1  F21 A2
(15)
Poiche’ i due fattori di vista F12 ed F21 e le estensioni delle due superfici A1 ed A2 non
dipendono dalle temperature ma solo da caratteristiche geometriche l’uguaglianza appena dedotta
vale anche quando le temperature sono differenti tra loro. L’energia trasferita da un corpo all’altro
puo’ conseguentemente essere sempre scritta cosi’:




Q1 2  F12 A1  T14  T24  F21 A2  T14  T24

(16)
Diventa in tal modo evidente che al trasferimento energetico spetta un valore positivo se T1
e’ superiore a T2 e l’energia viene pertanto ceduta dal corpo nero 1 al corpo nero 2, mentre un
valore negativo corrisponde al caso opposto.
Il calcolo dei fattori di vista risulta spesso piuttosto complicato. A titolo di esempio verranno
fornite valutazioni riferite ad alcuni assetti geometrici abbastanza semplici:
a) due piani paralleli che costituiscano entrambi corpi neri e che abbiano estensioni uguali molto
ampie, in modo da garantire il perfetto intercettamento reciproco dell’energia emessa dalle loro
superfici affacciate:
F12  F21  1
b) un corpo nero 1 la cui superficie esterna non presenti rientranze (affinche’ nessuna frazione del
calore emesso possa ricadervi) completamente racchiuso entro un corpo nero 2:
F12  1
c) due dischi paralleli ciascuno con il comportamento proprio di un corpo nero e posti ad una
distanza L l’uno dall’altro, i cui centri siano allineati sulla medesima perpendicolare comune ed
i cui raggi risultino fortemente diversi (r1 << r2):
F12 
r22
L2  r22
Quando si debbono considerare geometrie meno elementari delle precedenti appaiono
formule maggiormente dimensionate. Le elaborazioni sono comunque rese un po’ meno ardue dal
sussistere dell’identita’ (15) che fornisce con immediatezza uno dei due fattori di vista per una
coppia di corpi neri quando sia disponibile l’altro, purche’ siano note le ampiezze delle superfici
reciprocamente esposte.
6. Energia radiante scambiata da corpi non neri
Se i corpi che si scambiano energia attraverso irraggiamento reciproco non sono totalmente
assimilabili a corpi neri occorrono espressioni opportunamente adattate per valutare il trasferimento
energetico.
4
Intanto le quantita’ di calore emesse nell’unita’ di tempo dal corpo 1 e dal corpo 2 che
costituiscono la coppia presa in esame vanno riprodotte introducendo le rispettive emissivita’ nelle
relazioni (9) e (10):

Q1  1 T1  A1  T14

(17)
Q 2   2 T2  A2  T
4
2
Per le energie cedute dal primo corpo al secondo e dal secondo al primo ed anche per
l’ammontare netto trasferito, coincidente con la loro differenza, valgono identita’ simili a quelle
dedotte trattando corpi neri:

Q1 2  F12 A1  T14

Q 2 1  F21 A2  T24
(18)




Q1 2  F12 A1  T14  T24  F21 A2  T14  T24

ma si tratta di una analogia solo formale. Ai fattori di vista si richiede infatti di rispecchiare una
realta’ meno semplice. Nei corpi non neri l’emissivita’ parziale si accompagna ad un assorbimento
incompleto delle radiazioni incidenti: l’energia intercettata e’ di solito assorbita in parte ma anche
riflessa e talora pure trasmessa. Fattori di vista appropriati non possono dunque presentare
l’esclusiva dipendenza geometrica riscontrata per i corpi neri e debbono invece coinvolgere secondo
modalita’ congruenti e spesso piuttosto complicate anche i parametri che regolano emissione,
assorbimento, riflessione e trasmissione.
Formule abbastanza agili si ritrovano soltanto quando i due corpi inclusi nel sistema
considerato sono totalmente opachi dal punto di vista termico (ossia assorbono e riflettono le
radiazioni ma non le trasmettono) ed inoltre le loro emissivita’ si mantengono costanti pur al variare
della temperatura. Verranno pertanto riportati, a titolo esemplificativo, alcuni fattori di vista che
riguardano coppie nelle quali i corpi possiedono le caratteristiche appena esposte:
a) due piani paralleli 1 e 2 che abbiano estensioni uguali molto ampie, in modo da garantire il
perfetto intercettamento reciproco dell’energia emessa dalle loro superfici affacciate:
F12  F21 
1
1

1
1
2
1
b) un corpo 1 la cui superficie esterna non presenti rientranze (affinche’ nessuna frazione del
calore emesso possa ricadervi) completamente racchiuso entro un corpo 2:
F12 
1

1 A1  1
   1
1 A2   2 
con:
F12  1
5
quando:
A1
 1
A2
ossia quando la superficie esterna del corpo 1 racchiuso e’ molto meno estesa della superficie
interna del corpo 2 che lo racchiude.
E’ del tutto immediato verificare come le relazioni appena riportate confluiscano in quelle
analoghe riferite ai corpi neri qualora i valori delle emissivita’ indipendenti dalla temperatura 1 ed
2 assumano le consistenze che a tali corpi competono, diventando unitari.
Va ancora ricordato che anche per i corpi non neri sussiste l’uguaglianza (15), come d’altra
parte si puo’ intuire osservando la terza delle identita’ (18). Permane dunque la possibilita’ di non
dover calcolare o comunque reperire entrambi i fattori di vista relativi ad un sistema costituito da
due corpi che stiano scambiando calore attraverso irraggiamento vicendevole: quando si sia
acquisito uno dei fattori l’altro diventa ottenibile attraverso una moltiplicazione nella quale
interviene il rapporto tra le superfici affacciate.
E’ infine necessario aver ben presente che tutte le relazioni fin qui proposte per esprimere il
calore emesso o trasferito attraverso irraggiamento si riferiscono ad un tempo istantaneo. Se sussiste
stazionarieta’ la loro integrazione su qualsiasi intervallo temporale comporta semplicemente
moltiplicarle impiegando come fattore l’intervallo medesimo. Quando invece la stazionarieta’
manca occorre integrare tenendo nel debito conto l’evolversi progressivo delle temperature
coinvolte.
Esercizio
Dell’ossigeno liquido alla temperatura di ebollizione (-183 °C) e’ conservato in un
contenitore cilindrico a doppia parete d’alluminio (metallo con emissivita’ 0.03 indipendente dalla
temperatura). Il cilindro interno ha un diametro di 10 cm ed un’altezza di 30 cm. Nell’intercapedine
tra cilindro interno e cilindro esterno, separati da una distanza uniforme di 2 cm, viene mantenuto
un forte vuoto pneumatico per favorire l’isolamento termico. Una temperatura di 20°C, non
soggetta a variare nel tempo, caratterizza l’ambiente dove si trova il contenitore.
Vanno calcolate, riferendole ad un intervallo di tempo istantaneo:
a) la quantita’ di calore emessa dalla parete esterna del cilindro interno
b) la quantita’ di calore emessa dalla parete interna del cilindro esterno
c) la quantita’ di calore trasferita dalla parete esterna del cilindro interno alla parete interna del
cilindro esterno
d) la quantita’ di calore trasferita dalla parete interna del cilindro esterno alla parete esterna del
cilindro interno
e) la quantita’ di calore che giunge all’ossigeno liquido come risultanza dello scambio energetico
netto tra le due superfici affacciate.
***
Il contenitore ha una struttura schematizzabile in questo modo:
6
ed il flusso di calore che vi si realizza ha un carattere stazionario. Non varia infatti la temperatura
dell’ambiente e neppure cambia la temperatura dell’ossigeno liquido, la cui progressiva lenta
vaporizzazione costituisce un passaggio di stato isotermo.
Valgono le seguenti formule, nelle quali 1 identifica la parete esterna del cilindro interno e 2
simboleggia la parete interna del cilindro esterno:

Q1   1 A1  T14 = calore emesso dalla parete esterna del cilindro interno

Q 2   2 A2  T24 = calore emesso dalla parete interna del cilindro esterno

Q12  F12 A1  T14 
= calore trasferito dalla parete esterna del cilindro interno alla parete interna del cilindro
esterno

Q 21  F21 A2  T24  F12 A1  T24 
= calore trasferito dalla parete interna del cilindro esterno alla parete esterna del cilindro
interno





Q12  F12 A1  T14  T24  Q12  Q 21 
= calore netto trasferito da una superficie cilindrica all’altra =
= calore che giunge all’ossigeno
con:
 1   2  0.03
 D12

A1   
 D1 x H 1   0.1021 m 2
 4

 D  2 s 2

A2    1
 D1  2 s  x H1  s   0.1561 m2
4


7
  5.67 x10 8 W m 2 K 4
T1  273  183  90 K
T2  273  20  293 K
F12 
1
1

 0.0184
1
0.1021  1


1 A1  1

x
 1
  1

 1 A2   2  0.03 0.1561  0.03 
Il fattore di vista F12 rispecchia la struttura del contenitore, che vede il cilindro interno
completamente circondato dalla superficie cilindrica esterna.
Utilizzando i valori numerici elencati si ottengono le quantita’ richieste:

Q1   1 A1  T14  0.03 x 0.1021 x 5.67 x10 8 x 90 4  0.0114 W

Q 2   2 A2  T24  0.03 x 0.1561 x 5.67 x10 8 x 2934  1.9569 W

Q12  F12 A1  T14  0.0184 x 0.1021 x 5.67 x10 8 x 90 4  0.0070 W

Q 21  F21 A2  T24  F12 A1  T24  0.0184 x 0.1021 x 5.67 x10 8 x 2934  0.7850 W





Q12  F12 A1  T14  T24  Q12  Q 21  0.0070  0.7850  0.7780 W
Il calore netto trasferito ha un segno algebrico negativo, attraverso il quale si evidenzia come
il passaggio avvenga dalla superficie esterna 2 con temperatura piu’ elevata alla superficie interna 1
con temperatura meno elevata.
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