Conseguenze generali delle leggi di Newton. Principi di conservazione Note le forze, la 2a L. di Newton consente di calcolarne il moto di un corpo. E’ solo questione di calcolo Tuttavia si possono dimostrare alcune proprietà o leggi generali molto importanti, perché • • forniscono un punto di vista globale di applicabilità generale la loro validità trascende addirittura la meccanica newtoniana Queste sono formulate come “leggi di conservazione”, conservazione nel senso che, a certe condizioni, alcune quantità rimangono costanti durante l’evoluzione del sistema. sistema sono considerate le leggi più generali della Fisica e derivano in ultima analisi da simmetrie fondamentali dello spazio-tempo. Conservazione dell’Energia (invarianza per traslazione temporale: omogeneità del tempo) Conservazione della quantità di moto (invarianza per traslazione: omogeneità dello spazio) Conservazione del momento angolare (invarianza per rotazione: isotropia dello spazio) Il lavoro di sistemazione della meccanica classica copre un lungo periodo storico: dalla pubblicazione dei “Principia” di I.Newton (1687) ai lavori di P-S de Laplace e W.R.Hamilton (1796 - 1835) Altezza massima raggiunta da un corpo con velocità iniziale v0 Esempio 1. h v0 v02 h= 2g in entrambi i casi v0 pi an lin c n oi l o t a is cio h Esempio 2: Velocità al suolo di un oggetto lanciato con velocità iniziale v0 v0 h indipendentemente dalla direzione di lancio, il modulo della velocità all’impatto con il suolo vale : v f = v 02 + 2 gh C’è sotto una legge generale ? Lavoro di una forza. Definizione Caso particolare: Forza costante e spostamento rettilineo. Il punto di applicazione di F si sposta da A a B. r r r W = F ⋅ AB = F ⋅ s = Fs cosθ = FT s r F θ A r r s = ∆r B prodotto scalare grandezza scalare Unità di misura è il Joule. Joule lavoro motore W > 0 lavoro resistente W < 0 lavoro nullo W = 0 ⇔ 0° < θ < 90° ⇔ 90° < θ < 180° ⇔ θ = 90° m2 J = Nm = kg 2 s Lavoro di una forza r F A r ds B θ Nel caso generale, basta prendere ds abbastanza piccolo affinché F si possa considerare costante in ds r r dW = F ⋅ ds l B Definizione generale di lavoro: Quella da ricordare! r r W = ∫ F ⋅ ds = A ,l B ∫ F cos θ ds A ,l In generale, il lavoro dipende dal tragitto. tragitto In pratica (usando le componenti cartesiane): B W= ∫ (F X ⇒ B B A, l A, l A, l dx + FY dy + FZ dz) = ∫ FX dx + ∫ FY dy + ∫ FZ dz A, l r r r F = F1 + F2 B W = W1 + W2 per un punto materiale, il lavoro della risultante è pari alla somma dei lavori delle singole forze Un semplice esempio (moto 1D, forze costanti) r N A r P⊥ Massa su piano inclinato liscio. r P|| r P v 2f − vi2 B θ m m mg sin θ ⋅ ∆s = v 2f − vi2 2 2 mg ⋅ AB = WP WN = 0 2 Caso particolare del unità di misura: a = g sin θ = a ∆ s = g sin θ ∆s m WTOT = W P + W N = ∆ v 2 2 Definizione: Energia cinetica di un punto materiale grandezza scalare Sappiamo che m 2 p2 EK = v = 2 2m m2 kg 2 = J s Teorema dell’energia cinetica: W = ∆E K Teorema dell’Energia cinetica per un punto materiale F: forza totale o risultante B r r W = ∫ F ⋅ d s con A r r r r dv r d 1 dv r F ⋅ ds = m ⋅ ds = m ⋅ v dt = mv 2 dt dt dt 2 dt B r r m 2 m 2 W = ∫ F ⋅ ds = v B − v A = E Kf − E Ki 2 2 A ovvero W TOT = ∆ E K di validità generale, generale conseguenza delle sole leggi di Newton F 123 se W>0 l’energia cinetica aumenta v (|v| aumenta) F v se W<0 l’energia cinetica diminuisce (|v| diminuisce) F se W=0 l’energia cinetica non varia Il segno del lavoro non è convenzionale! v 2. Esempi particolari B Lavoro della tensione? r T v m Lavoro della forza centripeta? FC A Meditazioni. WTOT = ∆EK il lavoro compiuto si ritrova come variazione di energia cinetica. Un modo per modificare l’energia cinetica di un oggetto è compiere lavoro su di esso. “Flusso di energia” Potenza Il lavoro per unità di tempo si dice potenza. potenza P = W ∆t r r r r dW ds P= = F ⋅ = F ⋅v dt dt si misura in Watt: Watt grandezza scalare potenza media potenza istantanea Un’auto (m=1200kg) accelera da 0 a 100km/h in 6.0s. Determinare la potenza media erogata e la potenza istantanea massima nell’ipotesi di accelerazione costante. P = a= W ∆K ≅ 77.2kW = ∆t ∆t ∆v = 4.63 m / s 2 ∆t F = ma = 5.56 kN r r P = F ⋅ v = Fv PMAX = FvMAX = 154 kW J m2 W = = kg 3 s s Lavoro della forza peso B yB r r r B r r W = ∫ P ⋅ ds = P ⋅ ∫ ds = P ⋅ AB B A, l h non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi A e B r r P = mg A yA O proprietà di ogni forza costante, costante non solo forza peso. x W = PX ABX + PY ABY = −mg ( y B − y A ) 0 r ds dy r mg dx A ,l xB − x A -mg In alternativa: r r dW = mg ⋅ ds = −mg ⋅ dy ⇒ yB − y A W = −mg( y f − yi ) L’espressione trovata dipende dal fatto che y è un asse verticale orientato verso l’alto. alto Se yf > yi (il punto sale) il lavoro è negativo: l’energia cinetica diminuisce Se yf < yi (il punto scende) lavoro positivo: l’energia cinetica aumenta Lavoro della forza elastica x x2 dW = − kx ⋅ dx ⇒ W = − ∫ kxdx = − x1 ( k 2 x2 − x12 2 ) FEL Dipende solo dai punti estremi. 123 se |x2|<|x1| W>0: l’energia cinetica aumenta (|v| aumenta) se |x2|>|x1| W<0: l’energia cinetica diminuisce (|v| diminuisce) se |x2|=|x1| W=0: l’energia cinetica non varia Esempio. Condiz. iniziale: vi=0 e molla a riposo Trovare l’allungamento massimo della molla fine inizio W = mgx − k xMax = 2 m x k 2 x = E Kf − EKi = 0 2 mg k doppio dell’allungamento all’equilibrio Lavoro della forza di attrito dinamico A B B r r dW = f D ⋅ ds = −f D ds ⇒ W = ∫ − f D ds A In questo caso il lavoro dipende dal tragitto. Infatti, se AD è costante, (ad es. moto su un piano) nel qual caso si trova: B W = −f D ∫ ds = −f D l AB A Il lavoro della forza di attrito dinamico è sempre negativo. negativo Il moto è possibile o perché ci sono altre forze che compiono un lavoro motore, o perché il corpo ha velocità iniziale non nulla. Esempio. Punto materiale su piano orizzontale scabro (µD) con velocità iniziale v0. Quanta strada percorre prima di fermarsi? W = ∆E K = E KF − E KI Alcune forze non compiono lavoro m 2 − f D s = −µD mgs = − v0 2 s= Perché sono normali agli spostamenti: Reazione normale, Forza di Lorentz (v. Fis.2) Perché non c’è spostamento del punto di applicazione: Attrito statico, altri vincoli fissi ... v02 2µ D g Forze conservative. Due definizioni equivalenti Definizione 1: una forza si dice conservativa se il suo lavoro non dipende dal tragitto ma solo dalla posizione iniziale e finale. finale WAB ,γ = WAB ,η = WAB Definizione 2: Una forza si dice conservativa se il suo lavoro lungo un percorso chiuso qualsiasi è nullo. nullo r r ∫ F ⋅ ds = 0 Definizioni equivalenti. Infatti: r r Br r Ar r Br r Br r ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds + ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds − ∫ F ⋅ ds = 0 A,γ B,η A,γ B γ A η A,η E’ più corretto parlare di campi di forza: una forza conservativa è funzione (solo) della posizione Nota: Nota non si può ottenere lavoro da una forza conservativa su un percorso chiuso. Esempi di forze conservative: Forza gravitazionale (anche nel caso generale, v. cap. gravitazione) Forza elettrostatica, Forza elastica, … Energia potenziale (definizione “del libro”) Se la forza è conservativa è possibile definire una funzione della posizione (EP) tale che ∆E P = E P (B ) − E P ( A ) = −W AB B è possibile perché il lavoro WAB non dipende dal tragitto E P (P ) è l’energia potenziale nel punto P A Il lavoro della forza conservativa, cambiato di segno, è pari alla variazione di energia potenziale [EP]=[W]=J Osservazione: grandezza scalare E P (P ) ⇔ E P (P ) + k l’energia potenziale è definita a meno di una costante additiva. additiva Energia potenziale O • Si sceglie un punto O arbitrario • Si definisce EP(O) = EP0 arbitrario • Nel punto P, EP vale: P γ Un modo forse più intuitivo di definire l’energia potenziale η P EP ( P) = EP 0 − ∫ F ⋅ d s O La definizione ha senso perché l’integrale non dipende dal tragitto L’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria EP0 Il lavoro WAB si può esprimere in funzione di EP calcolata in A e in B: B WAB r r O r r B r r = ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds + ∫ F ⋅ ds = (EP ( A) − EPO ) + (EPO − EP (B )) = −∆EP A A O L’arbitrarietà della costante non è un problema: contano solo le variazioni ∆EP di energia potenziale. Energia Potenziale della forza peso Dalla definizione di energia potenziale: ma sappiamo anche che: ogni funzione EP del tipo W = E Pi − E Pf W = mgyi − mgyf E P = mgy + cost soddisfa le condizioni costante arbitraria essendo y lun asse verticale orientato “verso l’alto” (cioè opposto a g) Che sia definita a meno di una costante arbitraria appare anche dal fatto che l’origine dell’asse y si può scegliere in modo arbitrario ∆EP>0 ∆EP<0 se ∆y>0 (W<0 e quindi ∆EK<0) se ∆y<0 (W>0 e quindi ∆EK>0) Energia Potenziale della forza peso Esempio. Una palla cade dal tetto, di altezza h. Calcolare il lavoro della forza peso. EPI EPF ∆EP origine dell’asse y al suolo: mgh 0 -mgh origine dell’asse y sul davanzale: mgh2 -mgh1 -mgh origine dell’asse y sulla grondaia: 0 -mgh -mgh il risultato non dipende dalla scelta dell’origine (cioè dalla costante arbitraria) y h2 h1 h1+h2=h m 2 v = WP = −∆EP = mgh 2 Energia potenziale elastica k 2 k 2 W = − x f + xi 2 2 ma anche: W = EPi − EPf Dal confronto delle due espressioni si ricava: k 2 EP = x 2 Forza elastica (x: deformazione della molla) + cost. di solito si pone cost=0 (EP nulla se la molla è a riposo) Caso di più forze conservative W = WP + WE = −∆EPP − ∆EPE = −∆EPTOT con r − kx r mg EPTOT = EPP + EPE In presenza di più forze conservative l’energia potenziale totale è la somma delle energie potenziali. Teorema di conservazione dell’energia meccanica Teorema dell’energia cinetica: Se le forze sono tutte conservative W = ∆EK ⇒ ∆EK = −∆EP W = −∆EP EKF + EPF = EKI + EPI 123 123 EKF − EKI = EPI − EPF E MF = E MI Definizione: Energia meccanica: EM = E K + E P Abbiamo dimostrato il seguente, fondamentale, Teorema: Se un corpo è soggetto a forze soltanto conservative, la sua energia meccanica è costante Grafico dell’Energia (caso 1D) massa m vincolata all’estremo di una molla ideale di costante k su piano orizzontale liscio. v 8,0 k 2 U= x 2 7,0 6,0 5,0 EM = 4,0 K 3,0 2,0 U 1,0 0,0 -20 -15 -10 -5 0 equilibrio 5 10 15 r F 20 k 2 m 2 x + v = cost 2 2 Conservazione dell’energia meccanica Esempio con la forza peso. Corpo lanciato verso l’alto v0 v0 corpo lanciato lungo una guida liscia qualsiasi Corpo lanciato verso l’alto lungo un piano inclinato liscio. Calcolare l’altezza massima raggiunta E i = E Ki + E Pi = E f = E Kf + E Pf m 2 v0 + 0 m 2 2 ⇒ v 0 = mgh 2 = 0 + mgh v02 h= 2g il risultato dipende solo dalla conservazione dell’energia e non dai dettagli del moto. Conservazione dell’energia meccanica Pendolo lasciato andare da un’inclinazione θ0 rispetto alla verticale. Calcolare la velocità nel punto più basso Pendolo. r T r v θ0 r mg v=0 Ei = E Ki + E Pi = 0 − mgl cos θ 0 m 2 E f = E Kf + E Pf = vmax − mgl 2 m 2 ⇒ vmax = mgl(1 − cos θ 0 ) 2 Nota: Queste non sono piccole oscillazioni Quanto vale la tensione del filo nel punto più basso? nel punto più basso v2 aT = 0 ⇒ a = a N = l T − mg = ma T = mg (3 − 2 cos θ 0 ) generalizzare: velocità e tensione ad un angolo θ<θ0. Energia meccanica in presenza di forze non conservative Teorema dell’energia cinetica: Se le forze sono tutte conservative WC +WNC = ∆EK WC = −∆EP ⇒ WNC = ∆EK + ∆EP WNC = ∆EM Il lavoro delle forze non conservative produce una variazione di energia meccanica. L’energia meccanica di un sistema può essere modificata solo mediante il lavoro di forze non conservative. Quali sono le forze non conservative? Oltre alle forze di attrito (radente o viscoso), resistenza del mezzo si considerano forze non conservative anche le “forze applicate” (muscolare, motore ...) Energia potenziale con forze non conservative. Una sfera è inizialmente in quiete, appesa ad un filo di lunghezza l. Poi è posta in rotazione come in figura (pendolo conico). Che lavoro è stato fatto per portarla in questo stato? ovvero, che lavoro deve fare una forza esterna F per portare un sistema dallo stato A allo stato B? θ Se la forza F si considera non conservativa: WF = ∆EM = ∆EK + ∆EP Il lavoro è pari alla variazione di energia meccanica. Energia potenziale e forze esterne. Una diversa definizione. Una palla è sollevata e posta su uno scaffale ad altezza h rispetto alla posizione iniziale. Che lavoro è stato fatto per sollevarla? in questo caso h WTOT = ∆EK = 0 Se la forza F si considera non conservativa: WF = ∆EM = ∆EK + ∆EP ∆EP = WF la variazione di energia potenziale è pari la lavoro compiuto da una forza esterna contro le forze del campo conservativo (s’intende il lavoro minimo necessario per effettuare lo spostamento) Forze conservative ed Energia potenziale Si è visto come si ricava l’energia potenziale data una forza conservativa. Problema inverso: ricavare la forza (conservativa) data l’energia potenziale r r dE P = − dW = − F ⋅ d r = − FX dx − FY dy − FZ dz se si considera uno spostamento lungo x: dy = dz = 0 dEP = −FX dx ⇒ FX = − ∂E P FX = − ∂ x ∂E P F = − Y ∂y ∂E P F = − Z ∂z r r F = − grad (E P ) = −∇E P In un caso 1D FX = − Es. forza elastica …. La forza (conservativa) è sempre diretta nel verso di EP decrescente. ∂EP ∂x dEP dx Grafico dell’Energia Potenziale (caso 1D) U EM posizioni di equilibrio x min max min U punti di inversione EM x