Conseguenze generali delle leggi di Newton. Principi di

Conseguenze generali delle leggi di Newton. Principi di conservazione
Note le forze, la 2a L. di Newton consente di calcolarne il moto di un corpo. E’ solo questione di calcolo
Tuttavia si possono dimostrare alcune proprietà o leggi generali molto importanti, perché
•
•
forniscono un punto di vista globale di applicabilità generale
la loro validità trascende addirittura la meccanica newtoniana
Queste sono formulate come “leggi di conservazione”,
conservazione nel senso che, a certe condizioni,
alcune quantità rimangono costanti durante l’evoluzione del sistema.
sistema
sono considerate le leggi più generali della Fisica e derivano in ultima analisi da
simmetrie fondamentali dello spazio-tempo.
Conservazione dell’Energia (invarianza per traslazione temporale: omogeneità del tempo)
Conservazione della quantità di moto (invarianza per traslazione: omogeneità dello spazio)
Conservazione del momento angolare (invarianza per rotazione: isotropia dello spazio)
Il lavoro di sistemazione della meccanica classica copre un lungo periodo storico: dalla pubblicazione
dei “Principia” di I.Newton (1687) ai lavori di P-S de Laplace e W.R.Hamilton (1796 - 1835)
Altezza massima raggiunta da un corpo con velocità iniziale v0
Esempio 1.
h
v0
v02
h=
2g
in entrambi i casi
v0
pi
an
lin
c
n
oi
l
o
t
a
is
cio
h
Esempio 2: Velocità al suolo di un oggetto lanciato con velocità iniziale v0
v0
h
indipendentemente dalla direzione di lancio, il modulo della velocità
all’impatto con il suolo vale :
v f = v 02 + 2 gh
C’è sotto una legge generale ?
Lavoro di una forza. Definizione
Caso particolare: Forza costante e spostamento rettilineo.
Il punto di applicazione di F si sposta da A a B.
r
r r
W = F ⋅ AB = F ⋅ s = Fs cosθ = FT s
r
F
θ
A
r
r
s = ∆r
B
prodotto scalare
grandezza scalare
Unità di misura è il Joule.
Joule
lavoro motore W > 0
lavoro resistente W < 0
lavoro nullo W = 0
⇔ 0° < θ < 90°
⇔ 90° < θ < 180°
⇔ θ = 90°
m2
J = Nm = kg 2
s
Lavoro di una forza
r
F
A
r
ds
B
θ
Nel caso generale, basta prendere ds
abbastanza piccolo affinché F si possa
considerare costante in ds
r r
dW = F ⋅ ds
l
B
Definizione generale di lavoro:
Quella da ricordare!
r r
W = ∫ F ⋅ ds =
A ,l
B
∫ F cos θ
ds
A ,l
In generale, il lavoro dipende dal tragitto.
tragitto
In pratica (usando le
componenti cartesiane):
B
W=
∫ (F
X
⇒
B
B
A, l
A, l
A, l
dx + FY dy + FZ dz) = ∫ FX dx + ∫ FY dy + ∫ FZ dz
A, l
r r r
F = F1 + F2
B
W = W1 + W2
per un punto materiale, il lavoro della risultante
è pari alla somma dei lavori delle singole forze
Un semplice esempio (moto 1D, forze costanti)
r
N
A
r
P⊥
Massa su piano inclinato liscio.
r
P||
r
P
v 2f − vi2
B
θ
m 
m
mg sin θ ⋅ ∆s =  v 2f − vi2 
2 
2
mg ⋅ AB = WP
WN = 0
2
Caso particolare del
unità di misura:
a = g sin θ
= a ∆ s = g sin θ ∆s
m 
WTOT = W P + W N = ∆  v 2 
2 
Definizione: Energia cinetica di un punto materiale
grandezza scalare
Sappiamo che
m 2 p2
EK = v =
2
2m
m2
kg 2 = J
s
Teorema dell’energia cinetica:
W = ∆E K
Teorema dell’Energia cinetica
per un punto materiale
F: forza totale o risultante
B
r r
W = ∫ F ⋅ d s con
A
r
r
r r
dv r
d 1
 dv r 

F ⋅ ds = m
⋅ ds = m 
⋅ v  dt =  mv 2  dt
dt
dt  2
 dt 

B
r r m 2 m 2
W = ∫ F ⋅ ds =
v B − v A = E Kf − E Ki
2
2
A
ovvero
W TOT = ∆ E K
di validità generale,
generale conseguenza delle sole leggi di Newton
F
123
se W>0 l’energia cinetica aumenta
v
(|v| aumenta)
F
v
se W<0 l’energia cinetica diminuisce (|v| diminuisce)
F
se W=0 l’energia cinetica non varia
Il segno del lavoro non è convenzionale!
v
2. Esempi particolari
B
Lavoro della tensione?
r
T
v
m
Lavoro della forza centripeta?
FC
A
Meditazioni.
WTOT = ∆EK
il lavoro compiuto si ritrova come variazione di energia cinetica.
Un modo per modificare l’energia cinetica di un oggetto
è compiere lavoro su di esso. “Flusso di energia”
Potenza
Il lavoro per unità di tempo si dice potenza.
potenza
P =
W
∆t
r r
r
r
dW
ds
P=
= F ⋅ = F ⋅v
dt
dt
si misura in Watt:
Watt
grandezza scalare
potenza media
potenza istantanea
Un’auto (m=1200kg) accelera da 0 a 100km/h in 6.0s.
Determinare la potenza media erogata e la potenza
istantanea massima nell’ipotesi di accelerazione costante.
P =
a=
W ∆K
≅ 77.2kW
=
∆t ∆t
∆v
= 4.63 m / s 2
∆t
F = ma = 5.56 kN
r r
P = F ⋅ v = Fv
PMAX = FvMAX = 154 kW
J
m2
W = = kg 3
s
s
Lavoro della forza peso
B
yB
r r r B r r
W = ∫ P ⋅ ds = P ⋅ ∫ ds = P ⋅ AB
B
A, l
h
non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi A e B
r
r
P = mg
A
yA
O
proprietà di ogni forza costante,
costante non solo forza peso.
x
W = PX ABX + PY ABY = −mg ( y B − y A )
0
r
ds
dy
r
mg
dx
A ,l
xB − x A
-mg
In alternativa:
r r
dW = mg ⋅ ds = −mg ⋅ dy ⇒
yB − y A
W = −mg( y f − yi )
L’espressione trovata dipende dal fatto che
y è un asse verticale orientato verso l’alto.
alto
Se yf > yi (il punto sale) il lavoro è negativo: l’energia cinetica diminuisce
Se yf < yi (il punto scende) lavoro positivo: l’energia cinetica aumenta
Lavoro della forza elastica
x
x2
dW = − kx ⋅ dx ⇒ W = − ∫ kxdx = −
x1
(
k 2
x2 − x12
2
)
FEL
Dipende solo dai punti estremi.
123
se |x2|<|x1| W>0: l’energia cinetica aumenta (|v| aumenta)
se |x2|>|x1| W<0: l’energia cinetica diminuisce (|v| diminuisce)
se |x2|=|x1| W=0: l’energia cinetica non varia
Esempio. Condiz. iniziale: vi=0 e molla a riposo Trovare l’allungamento massimo della molla
fine
inizio
W = mgx −
k
xMax = 2
m
x
k 2
x = E Kf − EKi = 0
2
mg
k
doppio dell’allungamento all’equilibrio
Lavoro della forza di attrito dinamico
A
B
B
r
r
dW = f D ⋅ ds = −f D ds ⇒ W = ∫ − f D ds
A
In questo caso il lavoro dipende dal tragitto.
Infatti, se AD è costante, (ad es. moto su un
piano) nel qual caso si trova:
B
W = −f D ∫ ds = −f D l AB
A
Il lavoro della forza di attrito dinamico è sempre negativo.
negativo Il moto è possibile o perché ci sono altre
forze che compiono un lavoro motore, o perché il corpo ha velocità iniziale non nulla.
Esempio. Punto materiale su piano orizzontale scabro (µD) con velocità iniziale v0.
Quanta strada percorre prima di fermarsi?
W = ∆E K = E KF − E KI
Alcune forze non compiono lavoro
m 2
− f D s = −µD mgs = − v0
2
s=
Perché sono normali agli spostamenti: Reazione normale, Forza di Lorentz (v. Fis.2)
Perché non c’è spostamento del punto di applicazione: Attrito statico, altri vincoli fissi ...
v02
2µ D g
Forze conservative. Due definizioni equivalenti
Definizione 1:
una forza si dice conservativa se il suo lavoro non dipende dal tragitto ma solo dalla
posizione iniziale e finale.
finale
WAB ,γ = WAB ,η = WAB
Definizione 2:
Una forza si dice conservativa se il suo lavoro lungo un percorso chiuso qualsiasi è nullo.
nullo
r r
∫ F ⋅ ds = 0
Definizioni equivalenti. Infatti:
r r Br r Ar r Br r Br r
∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds + ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds − ∫ F ⋅ ds = 0
A,γ
B,η
A,γ
B
γ
A
η
A,η
E’ più corretto parlare di campi di forza: una forza conservativa è funzione (solo) della posizione
Nota:
Nota non si può ottenere lavoro da una forza conservativa su un percorso chiuso.
Esempi di forze conservative: Forza gravitazionale (anche nel caso generale, v. cap. gravitazione)
Forza elettrostatica, Forza elastica, …
Energia potenziale
(definizione “del libro”)
Se la forza è conservativa è possibile definire una funzione della posizione (EP) tale che
∆E P = E P (B ) − E P ( A ) = −W AB
B
è possibile perché il lavoro WAB non dipende dal tragitto
E P (P )
è l’energia potenziale nel punto P
A
Il lavoro della forza conservativa, cambiato di segno, è pari alla variazione di energia potenziale
[EP]=[W]=J
Osservazione:
grandezza scalare
E P (P ) ⇔ E P (P ) + k
l’energia potenziale è definita a meno di una costante additiva.
additiva
Energia potenziale
O
• Si sceglie un punto O arbitrario
• Si definisce EP(O) = EP0 arbitrario
• Nel punto P, EP vale:
P
γ
Un modo forse più intuitivo di definire l’energia potenziale
η
P
EP ( P) = EP 0 − ∫ F ⋅ d s
O
La definizione ha senso perché l’integrale non dipende dal tragitto
L’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria EP0
Il lavoro WAB si può esprimere in funzione di EP calcolata in A e in B:
B
WAB
r r O r r B r r
= ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds + ∫ F ⋅ ds = (EP ( A) − EPO ) + (EPO − EP (B )) = −∆EP
A
A
O
L’arbitrarietà della costante non è un problema: contano solo le variazioni ∆EP di energia potenziale.
Energia Potenziale della forza peso
Dalla definizione di energia potenziale:
ma sappiamo anche che:
ogni funzione EP del tipo
W = E Pi − E Pf
W = mgyi − mgyf
E P = mgy + cost
soddisfa le condizioni
costante arbitraria
essendo y lun asse verticale orientato “verso l’alto” (cioè opposto a g)
Che sia definita a meno di una costante arbitraria appare anche dal fatto che l’origine
dell’asse y si può scegliere in modo arbitrario
∆EP>0
∆EP<0
se ∆y>0
(W<0 e quindi ∆EK<0)
se ∆y<0
(W>0 e quindi ∆EK>0)
Energia Potenziale della forza peso
Esempio. Una palla cade dal tetto, di altezza h. Calcolare il lavoro della forza peso.
EPI
EPF
∆EP
origine dell’asse y al suolo:
mgh
0
-mgh
origine dell’asse y sul davanzale:
mgh2
-mgh1
-mgh
origine dell’asse y sulla grondaia:
0
-mgh
-mgh
il risultato non dipende dalla scelta dell’origine
(cioè dalla costante arbitraria)
y
h2
h1
h1+h2=h
m 2
v = WP = −∆EP = mgh
2
Energia potenziale elastica
k 2 k 2
W = − x f + xi
2
2
ma anche:
W = EPi − EPf
Dal confronto delle due espressioni si ricava:
k 2
EP = x
2
Forza elastica (x: deformazione della molla)
+ cost.
di solito si pone cost=0 (EP nulla se la molla è a riposo)
Caso di più forze conservative
W = WP + WE = −∆EPP − ∆EPE = −∆EPTOT
con
r
− kx
r
mg
EPTOT = EPP + EPE
In presenza di più forze conservative l’energia potenziale totale
è la somma delle energie potenziali.
Teorema di conservazione dell’energia meccanica
Teorema dell’energia cinetica:
Se le forze sono tutte conservative
W = ∆EK
⇒ ∆EK = −∆EP
W = −∆EP
EKF + EPF = EKI + EPI
123
123
EKF − EKI = EPI − EPF
E MF = E MI
Definizione:
Energia meccanica: EM = E K + E P
Abbiamo dimostrato il seguente, fondamentale, Teorema:
Se un corpo è soggetto a forze soltanto conservative,
la sua energia meccanica è costante
Grafico dell’Energia (caso 1D)
massa m vincolata all’estremo
di una molla ideale di costante k
su piano orizzontale liscio.
v
8,0
k 2
U= x
2
7,0
6,0
5,0
EM =
4,0
K
3,0
2,0
U
1,0
0,0
-20
-15
-10
-5
0
equilibrio
5
10
15
r
F
20
k 2 m 2
x + v = cost
2
2
Conservazione dell’energia meccanica
Esempio con la forza peso.
Corpo lanciato verso l’alto
v0
v0
corpo lanciato lungo una guida liscia qualsiasi
Corpo lanciato verso l’alto lungo
un piano inclinato liscio.
Calcolare l’altezza massima raggiunta
E i = E Ki + E Pi =
E f = E Kf + E Pf
m 2

v0 + 0 
m 2
2
⇒
v 0 = mgh

2
= 0 + mgh 
v02
h=
2g
il risultato dipende solo dalla
conservazione dell’energia e
non dai dettagli del moto.
Conservazione dell’energia meccanica
Pendolo lasciato andare da un’inclinazione θ0 rispetto alla verticale. Calcolare la velocità
nel punto più basso
Pendolo.
r
T
r
v
θ0
r
mg
v=0
Ei = E Ki + E Pi = 0 − mgl cos θ 0 


m 2
E f = E Kf + E Pf = vmax
− mgl 
2

m 2
⇒ vmax = mgl(1 − cos θ 0 )
2
Nota: Queste non sono piccole oscillazioni
Quanto vale la tensione del filo nel punto più basso?
nel punto più basso
v2
aT = 0 ⇒ a = a N =
l
T − mg = ma T = mg (3 − 2 cos θ 0 )
generalizzare: velocità e tensione ad un angolo θ<θ0.
Energia meccanica in presenza di forze non conservative
Teorema dell’energia cinetica:
Se le forze sono tutte conservative
WC +WNC = ∆EK
WC = −∆EP
⇒ WNC = ∆EK + ∆EP
WNC = ∆EM
Il lavoro delle forze non conservative produce una variazione di energia meccanica.
L’energia meccanica di un sistema può essere modificata solo mediante il lavoro di
forze non conservative.
Quali sono le forze non conservative?
Oltre alle forze di attrito (radente o viscoso), resistenza del mezzo
si considerano forze non conservative anche le “forze applicate” (muscolare, motore ...)
Energia potenziale con forze non conservative.
Una sfera è inizialmente in quiete, appesa ad un filo di lunghezza l. Poi è posta in rotazione
come in figura (pendolo conico). Che lavoro è stato fatto per portarla in questo stato?
ovvero, che lavoro deve fare una forza esterna F
per portare un sistema dallo stato A allo stato B?
θ
Se la forza F si considera non conservativa:
WF = ∆EM = ∆EK + ∆EP
Il lavoro è pari alla variazione di energia meccanica.
Energia potenziale e forze esterne. Una diversa definizione.
Una palla è sollevata e posta su uno scaffale ad altezza h rispetto alla posizione iniziale.
Che lavoro è stato fatto per sollevarla?
in questo caso
h
WTOT = ∆EK = 0
Se la forza F si considera non conservativa:
WF = ∆EM = ∆EK + ∆EP
∆EP = WF
la variazione di energia potenziale è pari la lavoro compiuto da una forza esterna contro le
forze del campo conservativo (s’intende il lavoro minimo necessario per effettuare lo spostamento)
Forze conservative ed Energia potenziale
Si è visto come si ricava l’energia potenziale data una forza conservativa.
Problema inverso: ricavare la forza (conservativa) data l’energia potenziale
r r
dE P = − dW = − F ⋅ d r = − FX dx − FY dy − FZ dz
se si considera uno spostamento lungo x: dy = dz = 0 dEP = −FX dx ⇒ FX = −

∂E P
 FX = − ∂ x

∂E P

F
=
−
 Y
∂y


∂E P
F
=
−
 Z
∂z

r
r
F = − grad (E P ) = −∇E P
In un caso 1D
FX = −
Es. forza elastica ….
La forza (conservativa) è sempre diretta nel verso di EP decrescente.
∂EP
∂x
dEP
dx
Grafico dell’Energia Potenziale (caso 1D)
U
EM
posizioni di equilibrio
x
min
max
min
U
punti di inversione
EM
x