Diapositiva 1

L’approccio parametrico
o delle varianze-covarianze
Slides tratte da:
Andrea Resti
Andrea Sironi
Rischio e valore
nelle banche
Misura, regolamentazione, gestione
Egea, 2008
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
AGENDA
• Il VaR nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• La sensibilità delle posizioni in portafoglio ai fattori di mercato
• Il mapping delle posizioni di rischio
• Limiti e riepilogo
• Esercizi
© Resti e Sironi, 2008
2
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La misurazione dei rischi di mercato
• L’approccio varianze-covarianze è quello più diffuso presso le istituzioni
finanziarie per la misurazione dei rischi di mercato, per una serie di motivi:
 semplicità in termini di onerosità dei calcoli
 è la versione originale dei modelli VaR
 presenza di una banca dati (RiskMetrics originariamente sviluppata dalla
banca statunitense J.P. Morgan), che si basa sull’approccio in esame
• Tale approccio presenta però diversi svantaggi, legati alle ipotesi teoriche alla
base dell’intera metodologia:
 la distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato;
 la sensibilità delle posizioni in portafoglio al variare dei fattori di mercato.
© Resti e Sironi, 2008
3
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
Data
1-giu-98
2-giu-98
3-giu-98
4-giu-98
5-giu-98
8-giu-98
9-giu-98
10-giu-98
11-giu-98
12-giu-98
15-giu-98
16-giu-98
17-giu-98
18-giu-98
19-giu-98
22-giu-98
23-giu-98
24-giu-98
25-giu-98
26-giu-98
29-giu-98
30-giu-98
1-lug-98
2-lug-98
3-lug-98
rt
0,01%
0,21%
-0,96%
1,11%
1,72%
0,17%
0,24%
-0,55%
-1,60%
0,39%
-2,01%
0,98%
1,78%
-0,07%
-0,52%
0,24%
1,46%
1,19%
-0,32%
0,35%
0,47%
-0,41%
1,29%
-0,19%
0,47%
Data
6-lug-98
7-lug-98
8-lug-98
9-lug-98
10-lug-98
13-lug-98
14-lug-98
15-lug-98
16-lug-98
17-lug-98
20-lug-98
21-lug-98
22-lug-98
23-lug-98
24-lug-98
27-lug-98
28-lug-98
29-lug-98
30-lug-98
31-lug-98
3-ago-98
4-ago-98
5-ago-98
6-ago-98
7-ago-98
© Resti e Sironi, 2008
rt
0,47%
-0,23%
1,01%
-0,67%
0,50%
0,07%
1,06%
-0,24%
0,78%
0,23%
-0,22%
-1,62%
-0,09%
-2,11%
0,09%
0,57%
-1,50%
-0,45%
1,56%
-1,97%
-0,74%
-3,69%
0,86%
0,76%
-0,02%
Data
10-ago-98
11-ago-98
12-ago-98
13-ago-98
14-ago-98
17-ago-98
18-ago-98
19-ago-98
20-ago-98
21-ago-98
24-ago-98
25-ago-98
26-ago-98
27-ago-98
28-ago-98
31-ago-98
1-set-98
2-set-98
3-set-98
4-set-98
7-set-98
8-set-98
9-set-98
10-set-98
11-set-98
rt
-0,58%
-1,32%
1,42%
-0,86%
-1,14%
1,95%
1,60%
-0,29%
-0,59%
-0,95%
0,64%
0,43%
-0,80%
-3,91%
-1,49%
-7,04%
3,79%
-0,38%
-0,83%
-0,86%
2,51%
2,45%
-1,70%
-2,62%
2,90%
Data
14-set-98
15-set-98
16-set-98
17-set-98
18-set-98
21-set-98
22-set-98
23-set-98
24-set-98
25-set-98
28-set-98
29-set-98
30-set-98
1-ott-98
2-ott-98
5-ott-98
6-ott-98
7-ott-98
8-ott-98
9-ott-98
12-ott-98
13-ott-98
14-ott-98
15-ott-98
16-ott-98
rt
2,03%
0,77%
0,75%
-2,58%
0,12%
0,37%
0,56%
3,48%
-2,22%
0,19%
0,38%
0,03%
-3,10%
-3,06%
1,63%
-1,41%
-0,40%
-1,42%
-1,16%
2,57%
1,34%
-0,29%
1,07%
4,09%
0,85%
Rendimenti
logaritmici
giornalieri
di un indice
di borsa
(Mib30)
relativi ad
un periodo
di 100
giornate
4
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• I rendimenti sono calcolati come:
 St  St
 
rt  ln St  ln St 1  ln
Valore dell’indice al giorno t
 St 1  St 1
• Alcuni dati riassuntivi:
Media
Deviazione standard ()
Asimmetria
Curtosi in eccesso
Numero di giorni in cui |rt| > 
Numero di giorni in cui rt < -
Massimo
Minimo
-0,03%
1,65%
-0,69
-0,13
23
12
4,09%
-7,04%
• Con una posizione lunga sul mercato azionario, in ben 12 giorni su 100 si
sarebbero conseguite perdite superiori alla deviazione standard
© Resti e Sironi, 2008
5
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• La distribuzione di probabilità dei rendimenti logaritmici, attraverso un grafico
a istogrammi:
Come si
vede, non è
irragionevole
ipotizzare
che i dati in
questione
provengano
da una
distribuzione
normale
25
20
Effettiva
Normale
15
10
5
0
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• La distribuzione normale si caratterizza per due soli parametri: la media e la
deviazione standard.
• La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale x distribuita
normalmente è data da:
media
nx;  ,   
1

2
deviazione standard
2
• La funzione di ripartizione della normale (probabilità che x assuma valori
inferiori o uguali ad una certa soglia u) è data da:
2
 x 
u
N (u;  ,  )   n x;  ,  dx 

u


1
2 2
e


 2 
e
 x 


 2 
dx
• Tale formula è molto utile per calcolare la probabilità associata ad un livello dei
rendimenti. La probabilità che rt sia inferiore a u=1,62% si dovrebbe calcolare:
N (u;  , )  N (1,62%;0,03%,1,65%)
© Resti e Sironi, 2008
84,12%
7
2
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• E’ possibile calcolare le probabilità associate a una data soglia anche facendo
ricorso alla distribuzione normale standard (cioè con media 0 e deviazione
standard 1) ed alla sua funzione di densità cumulata N(zα;0,1):
u

u 
N (u;  ,  )  N 
;0,1  N 
  N ( z )
 

  
Per utilizzare la funzione di
densità cumulata standard è
necessario sostituire u con zα:
z 
u

u    z 
• Utilizzare la funzione di ripartizione normale standard è vantaggioso perché essa
dipende solo da α.
• C’è quindi una corrispondenza biunivoca tra i valori di zα ed i corrispondenti
livelli della probabilità, indipendentemente da μ e σ della variabile considerata
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• La distribuzione normale dei rendimenti consente di tradurre un livello di
probabilità (α) in un fattore z, cui corrisponde una soglia massima u per rt
Probabilità, ≡N(z)
99,99%
99,98%
99,97%
99,87%
99,90%
99,50%
99,38%
99,00%
98,00%
97,72%
97,50%
97,00%
96,00%
95,00%
93,32%
84,13%
© Resti e Sironi, 2008
3,719
3,500
3,432
3,000
3,090
2,576
2,500
2,326
2,054
2,000
1,960
1,881
1,751
1,645
1,500
1,000
Ad esempio la
probabilità di ottenere
un rendimento inferiore
alla media, aumentata
di tre volte la deviazione
standard è pari al
99,87%; di
conseguenza, la
probabilità di ottenere
un rendimento
superiore a tale soglia è
circa pari a 0,13%.
9
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• Se la finalità è determinare le perdite potenziali ogni posizione è esposta solo a
metà degli eventi racchiusi nella sua distribuzione.
• Le posizioni lunghe sono esposte al rischio di rendimenti inferiori a quelli attesi
(metà sinistra della distribuzione), mentre le posizioni corte sono esposte al
rischio di rendimenti superiori a quelli attesi (metà destra della distribuzione).
• Ad esempio se si vuole isolare il α=5% di rendimenti più bassi, si sceglierà
zα -1,65 e quindi il valore soglia è
u = +z    0,03%  1,65 1,65%  2,69%
Si tratta dunque della massima perdita probabile,
in un arco di tempo pari a un giorno (gli rt sono giornalieri),
al livello di confidenza 1-α del 95%.
Var al 95%
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
Il VaR è stato espresso in termini
di perdita percentuale: per
conoscere la perdita assoluta
sarebbe sufficiente
moltiplicarlo per il valore
di mercato, VM, del
portafoglio di azioni
del Mib30 posseduto
=N(z)=5%
(probabilità)
dalla banca
VaR95%
=-2,72%
uz
2,69%
(soglia)
© Resti e Sironi, 2008
=E(rt)=+0,03%
(rendimento
atteso)
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• L’approccio varianze-covarianze viene sovente utilizzato ipotizzando che i
rendimenti dei fattori di mercato abbiano media nulla
• Con riferimento a orizzonti temporali giornalieri, studi empirici dimostrano che
la miglior previsione del rendimento futuro non è il rendimento medio storico
ma un valore nullo
• Poiché i rendimenti passati non sono indicativi dei rendimenti futuri, è più
ragionevole affidarsi a stime indipendenti dai dati storici.
• Si può quindi imporre uguale al tasso risk-free o, per orizzonti temporali brevi, si
può ipotizzare che sia pari a zero
• Anche se si ritiene media μ diversa da zero, ci si può concentrare solo sulla
perdita inattesa
In ogni caso u diventa
© Resti e Sironi, 2008
u  0  z     z     z 
12
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Var nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti
• Nel nostro esempio (slide 10-11), ipotizzando una media nulla si ottiene:
u  0  z    z    1,64 1,65%  2,72%
• Se VM fosse pari a 1000 euro, il VaR al 95% sarebbe 27,2 euro
• In generale il VaR è così ottenibile:
VaR  VM  z    VM  z  
Il VaR è quindi il prodotto di tre elementi:
1. il valore di mercato della posizione (VM);
2. un fattore scalare |z| che consente di ottenere una misura
di rischio corrispondente al livello di confidenza desiderato;
3. la volatilità stimata dei rendimenti del fattore di mercato ().
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La scelta del livello di confidenza
• Si è visto che maggiore è l'intervallo di confidenza 1-α, maggiore risulta essere
|zα| e, a parità di altre condizioni, il valore a rischio
• Se la banca si dota di una quantità di capitale proprio pari al VaR, un livello di
confidenza elevato implica ovviamente un grado di protezione maggiore
Minor probabilità di ottenere
perdite superiori al capitale
• La variabile critica nella scelta dell'intervallo di confidenza è il grado di
avversione al rischio della singola istituzione finanziaria.
Maggiore l’avversione al
rischio, più sarà elevato |zα |
• Tale scelta condurrà a scartare numerose alternative di investimento,
caratterizzate da un VaR eccessivo rispetto al rendimento atteso e il premio
al rischio richiesto dagli azionisti sarà minore
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La scelta del livello di confidenza
• Un’interessante modalità di determinazione dell’intervallo di confidenza è quella
proposta dalla Bank of America e riconosciuta dagli organi di vigilanza
• Bank of America ha deciso di detenere una quantità di capitale, quantificata
attraverso un modello VaR, sufficiente per preservare il proprio rating AA3
(probabilità annua media di insolvenza = 0,03%)
Classe di
Moody’s
Aaa
Aa1
Aa2
Aa3
A1
A2
A3
Baa1
Baa2
Baa3
Ba1
Ba2
Ba3
B1
B2
B3
rating Probabilità di insolvenza a 1
anno ()
0,001%
0,01%
0,02%
0,03%
0,05%
0,06%
0,09%
0,13%
0,16%
0,70%
1,25%
1,79%
3,96%
6,14%
8,31%
15,08%
© Resti e Sironi, 2008
Livello di confidenza
(1-)
99,999%
99,99%
99,98%
99,97%
99,95%
99,94%
99,91%
99,87%
99,84%
99,30%
98,75%
98,21%
96,04%
93,86%
91,69%
84,92%
Il livello di
confidenza sarà
quindi pari a 99,97%
e |zα| sarà 3,43
Livelli di confidenza
impliciti nelle
probabilità di
insolvenza a un anno
relative alle diverse
classi di rating
15
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La scelta del livello di confidenza
• Le banche caratterizzate da un rating migliore dovrebbero dotarsi, a parità di
altre condizioni, di maggiore patrimonio
Rabobank
Rating (Standard & Poor's)
AAA
AA+
BoS
Bnp
Santander
Natixis
ING
SG
HSBC BBVA
Intesa SP
HBOS Calyon
RBS Lloyds
Deutsche
Unicredit
AA
AAA+
A
Commerz
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
Come si vede dalla figura
a fianco tale relazione
vale per i principali
gruppi bancari europei
non in modo “esatto”
Il giudizio delle agenzie di
rating può essere
influenzato anche da
altre variabili
(ad esempio, le
aspettative circa un
possibile sostegno
pubblico in caso di crisi)
Tier 1 capital
© Resti e Sironi, 2008
16
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La scelta dell’orizzonte temporale di riferimento
• Per la scelta dell'orizzonte temporale devono essere presi in considerazione tre
fattori:
1. il grado di liquidità del mercato di riferimento della singola
posizione. Il VaR rappresenta una perdita massima solo se la posizione
può essere ceduta entro l’orizzonte di rischio
2. la dimensione della posizione assunta. La possibilità di liquidare un
investimento senza subire perdite dovute all’ampliamento del bid/ask
spread dipende anche dalla sua dimensione
3. holding period della singola posizione. Le posizioni di trading
devono essere valutate con un orizzonte temporale più breve delle
posizioni considerate di investimento
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La scelta dell’orizzonte temporale di riferimento
• La stima della volatilità per intervalli di tempo prolungati comporta problemi
dovuti alla scarsità di dati. Ad esempio per un orizzonte temporale di un anno
occorrerebbe un campione sia sufficientemente ampio di 20 o 30 osservazioni
annuali.
Impossibilità di reperire i dati o
scarsa significatività degli stessi
• È possibile utilizzare la volatilità giornaliera per stimare la volatilità di periodi
più prolungati, ipotizzando che i rendimenti giornalieri rg siano variabili
2
casuali indipendenti e identicamente distribuite, con media  g e varianza  g
rT 
T
r
g
g 1
Rendimento relativo a un periodo di T
giorni, distribuito normalmente con
2
2
media  T  T   g e varianza  T  T   g
• La deviazione standard è quindi
T   g T
© Resti e Sironi, 2008
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La scelta dell’orizzonte temporale di riferimento
• La volatilità mensile può essere ottenuta da quella giornaliera:
 T   G 22
giorni di mercato aperto
• Tale formula è basata sull’ipotesi di indipendenza seriale dei T rendimenti
giornalieri, cioè la variazione verificatasi il giorno t è indipendente da quella
relativa al giorno t-1 e non influenza quella relativa al giorno t+1
• Spesso le variazioni dei fattori di mercato sono caratterizzate da un fenomeno
di autocorrelazione, in particolare nelle fasi di tensione dei mercati, per diversi
motivi:
1. in caso di fluttuazioni fra quotazioni denaro e lettera, si può registrare una
correlazione seriale negativa, senza che il prezzo di equilibrio subisca alcuna
variazione;
2. discontinuità nelle negoziazioni (correlazione positiva);
3. i fattori strutturali di alcuni mercati influenzano il modo in cui le
informazioni si riflettono nei prezzi.
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Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La scelta dell’orizzonte temporale di riferimento
S&P Mib
Effettiva
Stimata
Errore
CAC40
Effettiva
Stimata
Errore
S&P500
Effettiva
Stimata
Errore
FTSE100
Effettiva
Stimata
Errore
Volatilità
giornaliera
Volatilità
settimanale
Volatilità
mensile
0.73%
1.54%
1.63%
-0.09%
2.69%
3.24%
-0.55%
0.86%
1.74%
1.92%
-0.18%
2.78%
3.65%
-0.86%
0.69%
1.42%
1.53%
-0.12%
2.12%
2.97%
-0.85%
0.69%
1.41%
1.54%
-0.13%
2.04%
2.96%
-0.92%
Verifica basata sulle ultime 1.000 quotazioni giornaliere (corrette
per gli split e i dividendi) disponibili al 1 giugno 2007
© Resti e Sironi, 2008
• Nella tabella sono riportate le stime
della deviazione standard giornaliera,
settimanale e mensile relative ai
rendimenti di cinque indici azionari
nel biennio 1995-1996.
• Vengono
stimate le deviazioni
standard settimanali e mensili sulla
base dei dati di rendimento
settimanali e mensili e le si confronta
con quelle ottenute dalla volatilità
giornaliera
• I risultati sono accettabili per quanto
riguarda la volatilità settimanale, gli
errori sono più evidenti nel caso della
volatilità mensile
20
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La sensibilità delle posizioni ai fattori di mercato
• Il fattore di rischio può non coincidere con il rendimento di portafoglio e la
sensibilità delle variazioni di valore della posizione al fattore di mercato può
non essere unitaria.
• Il VaR è quindi:
VaR  VM    z  
VaR  VM    z    VM    z1  
Se  è positivo
coefficiente rappresentativo della sensibilità del valore di
mercato della posizione a variazioni del fattore di mercato
© Resti e Sironi, 2008
21
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La sensibilità delle posizioni ai fattori di mercato: un esempio
• Misuriamo il VaR di una posizione in buoni del Tesoro decennali con valore
nominale pari a 1 milione di euro e prezzo pari a 105
• Utilizziamo come fattore di mercato (rt) le variazioni giornaliere assolute (non
logaritmiche) del tasso interno di rendimento (yield to maturity, y) dei titoli
di Stato decennali (Δy)
• In realtà normalmente le banche usano come fattore di rischio l’intera curva
dei tassi zero coupon
α=1%
• Livello di confidenza selezionato = 99%
|zα| = 2,326
• Volatilità del tasso interno di rendimento
VM  VM  DM  y
© Resti e Sironi, 2008
*
σΔy = 0,15%
Una variazione di Δy si trasmette
al valore della posizione
attraverso la duration modificata
22
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
La sensibilità delle posizioni ai fattori di mercato: un esempio
• Il VaR della posizione è quindi:
VaR   VM  DM  z   y   VM  DM  z   y
VaR  1.050.000  (7)  0,15%  (2,326)  25.644,15
•Il coefficiente di sensibilità δ è dato da –DM, cioè dalla duration modificata
cambiata di segno
•Questa misura di rischio non solo riflette la sensibilità del prezzo dei titoli a
variazioni dei tassi di interesse, ma anche la volatilità di tali variazioni.
© Resti e Sironi, 2008
23
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il VaR di portafoglio
• È necessario tenere conto non solo delle volatilità dei singoli rendimenti, ma
anche delle covarianze
• Ipotizzando che ogni i-esima posizione risenta di un diverso i-esimo fattore di
mercato, la variazione percentuale del valore di tale posizione sarà:
VM i
 vmi   i ri
VM i
• La sua volatilità sarà:
 vm  i   i
i
• La covarianza sarà invece:
 2vm , vm  i , j   vm   vm  i , j   i   i   j   j
i
© Resti e Sironi, 2008
j
i
j
24
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il VaR di portafoglio
• Consideriamo un portafoglio P comprendente N posizioni, dove VMi è la
consistenza della i-esima posizione
N
N
 2VM  VM i  VM j   2vm , vm
VM P   VM i  vmi
P
i 1
variazione percentuale
varianza
deviazione standard delle
variazioni (assolute) di
valore del portafoglio P
N

N
2
VM P
i
j
N
 VM i  VM j  i , j   i   i   j   j
 VM 
P
i 1 j 1
i 1 j 1
N
N
VM
i 1 j 1
i
 VM j  i , j   i   i   j   j
• Poiché i fattori di rischio sono, per ipotesi, distribuiti normalmente, anche la
variazione di valore del portafoglio è distribuita secondo una normale
© Resti e Sironi, 2008
25
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il VaR di portafoglio
• Il VaR associato ad un certo livello di confidenza c può dunque essere ricavato
moltiplicando
 VM
VaRP  z   VM P 

N
N
  VM
i 1 j 1
i, j
i
P
VaRP  z   VM P
per un opportuno |zα|:
N
N

i 1 j 1
z VM i  VM j  i , j   i   i   j   j 
2
 z   i   i  VM j  z   j   j  
N
N
 
i 1 j 1
i, j
 VaRi  VaR j
j
i
VaR j
• In presenza di delta negativi: VaRP   i , j  VaRi 
i
j
i 1 j 1
• Se tutti i fattori di rischio fossero perfettamente correlati il VaR complessivo
N
N
coinciderebbe con la somma dei VaR individuali.
N
Dato che
ρi,j  1
© Resti e Sironi, 2008
VaRP   VaRi
i 1
Il VaR calcolato con
l’approccio parametrico è una
misura di rischio subadditiva.
26
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il VaR di portafoglio – Un esempio
• Si supponga di voler stimare il VaR connesso a due posizioni in valuta, una lunga
in dollari USA (€ 50 milioni ) e una corta in yen giapponesi (€ 10 milioni).
• Volatilità dei tassi di cambio EUR/USD ed EUR/YEN pari a 2% e 3%, coefficiente
di correlazione 0,6
• VaR della posizione lunga in dollari in milioni di euro (livello di confidenza
99.5%):
VaRUSD  VMUSD  USD  z   USD  50  1  2,576  2%  2,576
• VaR della posizione corta in yen in milioni di euro (livello di confidenza 99.5%):
VaRYEN  VMYEN   YEN  z   YEN  10  (1)  (2,576)  3%  0,773
• δ = -1 perché, essendo una posizione corta, un aumento del fattore di mercato,
ossia un apprezzamento dello yen, conduce ad una perdita
© Resti e Sironi, 2008
27
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il VaR di portafoglio – Un esempio
VaR di portafoglio:
VaRP  2,576 2  (0,773) 2  2  2,576  (0,773)  0,6  2,201
Si tiene in esplicita considerazione il segno delle due
posizioni. Infatti se l’euro si apprezza sul dollaro, creando una
perdita, è probabile (il coefficiente di correlazione è positivo) che
l’euro si apprezzi anche rispetto allo yen, mitigando la perdita su
dollari.
Il terzo termine sotto radice, quello legato alla covarianza tra
guadagni/perdite sulle due posizioni, è infatti negativo
© Resti e Sironi, 2008
28
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Approccio delta-normal e asset-normal
• L’approccio delta-normal parte dalla distribuzione delle variazioni dei fattori di
mercato e la “collega” alla distribuzione delle variazioni di valore delle posizioni
in portafoglio attraverso opportuni coefficienti di sensibilità lineari
 1
 
 1
 2
v   2


 N
  N

VaR1 

VaR2 




VaRN 

© Resti e Sironi, 2008
Vettore dei VaR relativi alle singole posizioni
Matrice
delle
correlazioni
fra i
rendimenti
dei fattori
di mercato
VaRP  vCv
 1

2 ,1
C
 

  N ,1
1, 2
...
1
...


...
...
1, N 
 2, N 
 

1 
VaR di portafoglio
29
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
L’approccio delta-normal e asset normal
La distribuzione di probabilità delle variazioni di prezzo delle
posizioni in portafoglio risulta normale, ed il VaR può essere
calcolato utilizzando un opportuno multiplo a della deviazione
standard
Alternativamente è possibile utilizzare come fattori di rischio
esclusivamente le variazioni logaritmiche dei prezzi delle attività
finanziarie presenti nel portafoglio
Ciò equivale a imporre che i prezzi delle attività in portafoglio
seguano una distribuzione lognormale
È l’approccio asset normal seguito da RiskMetrics
© Resti e Sironi, 2008
30
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
L’approccio delta-normal e asset normal
• Nell’approccio asset-normal, nel caso ad esempio di una posizione
in bond, si dovrebbe utilizzare come fattore di rischio non le
variazioni dello yield to maturity, bensì le variazioni logaritmiche
del prezzo dell’obbligazione sul mercato secondario
• Non viene così utilizzato alcun coefficiente delta per calcolare il
VaR
Rispetto all’approccio delta-normal,
l’approccio asset-normal presenta il vantaggio di
semplificare l’analisi, limitandosi a considerare come
fattori di rischio i rendimenti unitari delle diverse posizioni
© Resti e Sironi, 2008
31
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni a rischio
• Può accadere che il valore di mercato delle posizioni sia funzione di più variabili
di mercato
• Ad esempio nel caso di una banca tedesca che acquista un Treasury bond
decennale statunitense.
Il valore della posizione dipende da:
tasso di cambio EUR/USD
livello dei tassi di rendimento del dollaro
• La stima del VaR nell’approccio varianze-covarianze prevede che le singole
posizioni vengano scomposte in componenti elementari, tali che il loro valore
dipenda dalle variazioni di un solo fattore di mercato.
• Il rischio dell’intera posizione viene poi determinato aggregando i rischi delle
componenti elementari sulla base delle correlazioni
© Resti e Sironi, 2008
32
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping dei titoli obbligazionari in valuta
• POSIZIONE
una banca tedesca investe 100 milioni di euro
in un’ obbligazione in dollari USA avente
duration modificata pari a 7 anni
• La banca è esposta al rischio di cambio e al rischio di tasso sui dollari
• POSIZIONI ELEMENTARI:
una posizione a pronti (in contanti)
in dollari per 100 milioni di euro
una posizione in obbligazioni USA
priva di rischio di cambio
• I VaR delle due posizioni, immaginando che la volatilità delle variazioni del tasso
di cambio EUR/USD sia pari al 2% e che il tasso d’interesse in dollari abbia una
volatilità del 1%:
VaR1  VM    z    100 1 2,576  2%  5,152
VaR2  VM  (MD)  z    100  (7)  (2,576)  1%  18,031
© Resti e Sironi, 2008
33
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping dei titoli obbligazionari in valuta
• Immaginando una correlazione positiva pari al 30%
VaRP  5,1522  (18,031)2  2  5,152(18,031)  0,3  17, 202
VaR della posizione
• E’ possibile dare una spiegazione più rigorosa dell’equivalenza tra l’investimento
in un’obbligazione in valuta e le due componenti elementari
• Il valore di mercato di una posizione di questo tipo rappresenta una funzione di
due variabili: FX (il tasso di cambio euro/dollaro) e y (yield to maturity sulle
obbligazioni in dollari)
VM  f ( FX , y)
• Le variazioni di valore della posizione sono approssimabili, linearmente, con un
espansione in serie di Taylor di primo grado:
FX
 FX  f yy  f FX
 FX
VM  f FX
 f yy
FX
© Resti e Sironi, 2008
34
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping dei titoli obbligazionari in valuta
VM
 
f FX
FX
f y  VM  DM
la sensibilità di una posizione in valuta a variazioni
percentuali nel tasso di cambio è data dal controvalore
della posizione espresso in valuta stranera
la sensibilità di una posizione in obbligazioni alle
variazioni nel tasso d’interesse è data dal valore di
mercato, cambiato di segno, moltiplicato per la duration
• Vale quindi che:
VM
FX
FX
dVM 
FX
 VM  DM  r  VM
 VM  DM  y
FX
FX
FX
• Le componenti in cui la variazione di valore su un’obbligazione è scomponibile
corrispondono, in definitiva:
alla variazione di valore
su una posizione in valuta
estera per contanti
© Resti e Sironi, 2008
alla variazione di valore su una
posizione in obbligazioni USA detenuta
da un intermediario statunitense
35
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni in valuta a termine
• POSIZIONE
una banca francese acquista un milione di dollari a 6 mesi
• La banca è esposta a 3 diversi fattori di mercato: il tasso di cambio a pronti e i
tassi di interesse delle due valute relativi alla scadenza dell’operazione a termine
• POSIZIONI ELEMENTARI:
3. Un acquisto di dollari a
pronti, che annulla i flussi
delle prime due operazioni
Tasso di cambio a pronti
euro/dollaro (S)
0,8
Tasso di interesse
sull’euro a 6 mesi (id)
3,50%
Tasso di interesse sul
dollaro a 6 mesi (if)
2,00%
Tasso di cambio
euro/dollaro a 6 mesi (FT) 0,806
© Resti e Sironi, 2008
1. Un indebitamento in euro con
scadenza pari a 6 mesi, che produce
un uscita a termine di 1 milione di euro
2. Un investimento in dollari che produce a
6 mesi il capitale di 1 milione di dollari
Dati delle variabili mercato
Fattore di mercato
Tasso di cambio spot EUR/USD*
Volatilità
3%
Correlazione con
EUR/USD
id
if
1
-0,2 +0,4
Tasso di interesse EUR a 6 mesi (id)**
1,5%
-0,2
1
+0,6
Tasso di interesse USD a 6 mesi (if)**
1,2%
+0,4
0,6
1
*variazioni logaritmiche; **variazioni assolute
36
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni in valuta a termine
• Il valore delle tre componenti elementari
in cui può essere scomposto l’acquisto
di dollari a termine è il seguente:
1) VM 1  1.000.000  990.099 dollari
1  0,02  0,5
2)VM 2  VM1  S  990.099  0,8  792.079 euro
3) VM 3  VM 1  990.099 dollari
• Il VaR connesso alle singole componenti
elementari è il seguente:
VaR1  990.099  (0,490)  (2,326)  1,2%  13.549
VaR2  792.079  0,483  (2,326) 1,5%  13.353
VaR3  990.099  1  (2,326)  3%  69.099
© Resti e Sironi, 2008
37
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni in valuta a termine
• La prima posizione ha delta negativo, perché un investimento vale di meno in
presenza di un rialzo dei tassi, mentre la seconda e la terza hanno delta positivo
• Il primo e il terzo valore sono espressi in dollari, e devono dunque essere
convertiti in euro al tasso a pronti ottenendoVaR1=10.839 e VaR2 55.280.
• Il VaR complessivo è quindi:
VaRP 

VaR12  VaR22  VaR32  2  VaR1 (VaR2 ) 1,2 
2  VaR1VaR3 1,3  2  (VaR2 )VaR3  2,3

10.8392  13.3532  55.280 2  2  (10.839) 13.353  0.6 
2  (10.839)  55.280  0.4  2 13.353  55.280  ( 0.2)
Posizione
Investimento USD
Indebitamento EUR
Acquisto USD a pronti
© Resti e Sironi, 2008
VM
990.099
792.079
990.099

1,20%
1,50%
3,00%
| z|
2,326
2,326
2,326
i
2,00%
3,50%
-
Duration
0,5
0,5
-
DM
0,490
0,483
-
 66.040
VaR
13.549
13.343
69.099
38
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping dei forward rate agreements
• POSIZIONE
un FRA a tre mesi di 1 milione di euro con decorrenza tra tre
mesi, sottoscritto il primo agosto 2007, tasso forward 5,136%
Montante finale: 1.000.000 * (1 + 0,05136 * 92/365) = 1.012.946 euro
• È un contratto che obbliga una controparte a versare, tra tre mesi, la somma di 1
milione di euro all’altra controparte, che si impegna a restituirla, tre mesi dopo,
maggiorata di interessi al tasso forward concordato
• POSIZIONI ELEMENTARI:
1. Debito a tre mesi con montante
finale pari a un milione di euro
2. Investimento per sei mesi del capitale ottenuto dall’operazione sub 1
• In generale, se il FRA decorre al tempo f e termina al tempo m, è possibile
“mapparlo” in due componenti elementari date da
un debito da oggi a f,
il cui montante corrisponde
al capitale investito nel FRA
© Resti e Sironi, 2008
un investimento da oggi a m,
il cui montante corrisponde
al montante del FRA
39
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping dei forward rate agreements
investimento
1m
1,013m
1,013m
1m
1-8-2007
debito
1-11-2007
1-2-2008
f
m
• Immaginando che i tassi spot a tre e a sei mesi siano pari, rispettivamente, al 5%
e al 5,10% su base semplice, le componenti elementari saranno:
Flussi di cassa
oggi
f
m
tasso
durata (gg)
01/08/2007
01/11/2007
01/02/2008
1. Debito
5,00%
92
+987.554
-1.000.000
2. Investimento
5,10%
184
-987.554
+1.012.946
1 + 2 = FRA
92
0
-1.000.000
1.012.946
• Per calcolare il VaR del FRA sarà necessario calcolare VaR1 e VaR2 e combinarli
conoscendo la correlazione storica tra le variazioni del tasso spot a tre mesi
(primo fattore di rischio) e quelle a sei mesi (secondo fattore di rischio)
© Resti e Sironi, 2008
40
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni in titoli azionari
• Una posizione azionaria presenta un valore di mercato sensibile a un solo fattore:
il prezzo del titolo
• Considerando ogni singolo prezzo azionario come un fattore di rischio si otterrebbe,
nel caso di un portafoglio, un elevato numero di fattori di mercato dei quali stimare
volatilità e correlazioni.
• Le posizioni vengono aggregate sulla base della comune sensibilità a un unico
fattore di mercato
La singola posizione in un titolo azionario viene ricondotta a una posizione
virtuale nei confronti del relativo mercato di borsa
• La posizione i-esima viene “mappata” al relativo mercato azionario j-esimo sulla
base del proprio coefficiente beta
VM  VM i   i , j
*
i
Valore della posizione virtuale sull’indice di borsa associata al valore
di mercato VMi della posizione effettiva nel titolo i-esimo
© Resti e Sironi, 2008
41
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni in titoli azionari
• ll VaR relativo alla posizione nel titolo azionario i-esimo diventa quindi:
VaRi  VM i   i , j  z   j  VM  z   j
*
i
Deviazione standard delle variazioni
(logaritmiche) dell’indice del mercato
Coefficiente di sensibilità
• Aggregando tutti i titoli quotati sul mercato j, si ha:
VM j 

VM i* 
i j
VM
i
  i, j
i j
VaR j  VM j  z   j  z   j 
posizione virtuale complessiva
VM
i
 i, j
VaR complessivo
i j
• Per valutare vantaggi e limiti di questa metodologia di mapping, nella slides
successive verrà calcolato il VaR di un portafoglio sia utilizzando il mapping che
considerando come fattori di rischio i titoli stessi componenti il portafoglio
© Resti e Sironi, 2008
42
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni in titoli azionari
• Il livello di confidenza selezionato per l’esempio è 99%, a cui si associa uno
| zα| = 2,326
• Dati relativi a volatilità e correlazioni dei singoli titoli
Titolo A
Titolo B
Titolo C
Valore di Mercato (€ m)
10
15
20
Beta
Posizione virtuale nell’indice (€
m)
1,4
1,2
0,8
Volatilità
Indice Portafoglio
45
-
1,067
14
18
16
15,0%
12,0%
10,0%
48
7%
-
Correlazioni tra rendimenti logaritmici
Titolo A
1
0,5
0,8
Titolo B
0,5
1
0
Titolo C
0,8
0
1
© Resti e Sironi, 2008
43
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni in titoli azionari
• Calcoliamo ora il VaR nelle due modalità (in milioni di euro)
VaR j  z   j  VM i   i , j  2,326  0,07  48  7,817
Con mapping
i j
Senza mapping
VaRP  VaRA2  VaRB2  VaRC2  2VaRAVaRB  A, B  2VaRAVaRC  A,C  2VaRBVaRC  B ,C  9,589
• Il VaR ottenuto applicando la metodologia di mapping (€7.817.000) risulta
inferiore a quello fondato sulle volatilità dei rendimenti dei singoli titoli e sulle
relative correlazioni (€9.589.000).
VaR dei singoli titoli
VaR del portafoglio
Titolo A
Titolo B
Titolo C
Con il mapping
Con volatilità e correlazioni
3,490
4,187
4,653
7,817
9,589
© Resti e Sironi, 2008
44
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping delle posizioni in titoli azionari
• La tecnica mapping descritta si fonda sull’ipotesi che la variabilità del
rendimento di ogni singolo titolo azionario possa essere interamente spiegata
dalla variabilità del rendimento dell’indice di mercato
il rischio di un titolo
azionario è dato dal solo
rischio sistematico
il rischio sistematico può essere colto
adeguatamente mediante il beta, cioè tramite
un modello unifattoriale quale il CAPM
Possibili errori di stima nel caso in cui:
• Il portafoglio in esame abbia un limitato numero di i titoli
(la diversificazione non è sufficiente a eliminare il rischio specifico dei titoli)
• Il rischio sistematico di un titolo azionario è più correttamente colto da un
modello multifattoriale come l’APT
© Resti e Sironi, 2008
45
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Il Mapping dei titoli obbligazionari
• Il rischio di un titolo obbligazionario può essere modellato utilizzando lo
Yield to Maturity come unico fattore di rischio (coefficiente di sensibilità
duration modificata)
• Una banca che detiene nel proprio portafoglio molte obbligazioni
dovrebbe dunque utilizzare un numero assai elevato di fattori di rischio
• Normalmente le banche preferiscono non utilizzare come fatto di rischio
i tassi interni di rendimento, bensì i tassi zero coupon legati ad un
insieme predeterminato di scadenze, che rappresenta la term structure
• Ciò significa che un Treasury bond va scomposto nei suoi flussi di cassa
elementari che vanno successivamente tradotti (clumping) , in flussi di
cassa “fittizi” associati ai nodi della term structure.
© Resti e Sironi, 2008
46
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
L’approccio varianze-covarianze: riepilogo e principali limiti
• L’approccio parametrico ipotizza che le variazioni dei fattori di rischio
siano distribuite secondo una normale con varianza nulla e
volatilità stabile nel tempo; nell’approccio asset normal tale ipotesi è
applicata direttamente alle variazioni dei prezzi
• Le variazioni di valore delle posizioni vengono derivate da quelle dei
fattori di rischio attraverso coefficienti lineari (delta) le posizioni
complesse vengono suddivise in componente elementari tramite le
tecniche di mapping
• Le variazioni di valore di un portafoglio di posizioni e/o componenti
elementari sono ottenute in modo parametrico, utilizzando la matrice
delle correlazioni tra le variazioni dei fattori di rischio. Di conseguenza
anche il VaR è ottenuto in modo parametrico, moltiplicando la
deviazione standard per un coefficiente |zα|
© Resti e Sironi, 2008
47
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
L’approccio varianze-covarianze: riepilogo e principali limiti
I limiti di tale approccio sono 3:
16%
14%
azioni
% di casi
12%
materie prime
10%
8%
6%
4%
607
543
479
415
351
288
224
96
32
160
-32
-96
-160
-224
-288
-351
-415
-479
-543
0%
-607
2%
cambi
2. Portafoglio:
Sono definiti come
variazioni dei prezzi
(asset normal) come
variazioni nelle variabili di
mercato (delta normal) e la
loro distribuzione è
ipotizzata normale.
Le singole posizioni
vengono mappate ai fattori
di rischio sulla base di
flussi di cassa virtuali e di
coefficienti lineari (delta).
Il rischio di portafoglio è
stimato in base alla
matrice delle correlazioni
© Resti e Sironi, 2008
indipendenza
seriale della
distribuzione
dei rendimenti
dei fattori di
mercato
•Linearità dei
Variazioni di valore del portafoglio (euro, valore centrale)
tassi
1. Fattori di rischio:
•Ipotesi di
3. Misure di rischio:
Il VaR è generato
rapidamente come
multiplo (|z|) della
deviazione standard.
profili di
payoff delle
posizioni di
rischio
•Distribuzione
normale dei
rendimenti dei
fattori di
mercato
48
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di distribuzione normale
• Le distribuzioni empiriche dei rendimenti presentano generalmente delle code
più spesse ("fat tails") di quelle di una distribuzione normale.
leptocurtosi
La probabilità che si verifichino variazioni di prezzo lontane dal valore medio è più
elevata di quella implicita in una distribuzione normale
• Le variazioni di prezzo delle attività finanziarie sono distribuite in modo non
perfettamente simmetrico:
negative skewness
Si possono riscontrare più osservazioni all’estremo sinistro
della distribuzione rispetto che all’estremo destro
• Il problema delle fat tails è forse il più serio fra quelli menzionati:
La probabilità di conseguire perdite superiori al VaR
parametrico calcolato, ad esempio, con livello di
confidenza del 99% è in realtà superiore all’1%.
© Resti e Sironi, 2008
49
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di distribuzione normale
• In ogni caso i rendimenti di un portafoglio diversificato il cui valore dipende da
un numero elevato di fattori di mercato fra loro indipendenti sono comunque
distribuiti secondo una normale
I fattori di mercato però non sono, in generale, indipendenti e tendono a muoversi
in modo correlato
Soluzioni
sostituire la
distribuzione normale
con altre distribuzioni,
ad esempio con la
distribuzione t di Student
e le misture di normali
© Resti e Sironi, 2008
le misure di VaR parametriche
basate sulla normale vengano
corrette per tenere conto della
skewness e della curtosi della
distribuzione empirica dei
rendimenti
50
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di distribuzione normale
• La distribuzione t di Student è caratterizzata da code più spesse rispetto alla
distribuzione normale
Migliore approssimazione dei movimenti del mercato
• La distribuzione t di Student è una distribuzione con media zero, varianza
unitaria, interamente definita da un parametro ν, denominato “gradi di libertà”,
che controlla il grado di leptocurtosi.
Minori sono i gradi di libertà, maggiore è lo spessore delle code
Livello di
Percentili associati al livello di confidenza
confidenza
t di Student con v gradi di libertà
Normale
c
standard, zc v = 10 v = 9 v = 8 v = 7 v = 6 v = 5
99,99%
3,72
6,21 6,59 7,12 7,89 9,08 11,18
99,50%
2,58
3,58 3,69 3,83 4,03 4,32 4,77
99,00%
2,33
3,17 3,25 3,36 3,50 3,71 4,03
98,00%
2,05
2,76 2,82 2,90 3,00 3,14 3,36
97,50%
1,96
2,63 2,69 2,75 2,84 2,97 3,16
95,00%
1,64
2,23 2,26 2,31 2,36 2,45 2,57
90,00%
1,28
1,81 1,83 1,86 1,89 1,94 2,02
© Resti e Sironi, 2008
v=4
15,53
5,60
4,60
3,75
3,50
2,78
2,13
A parità di media e
deviazione standard,
una distribuzione t
di Student produce
stime di VaR più
elevate di quelle di
una distribuzione
normale
51
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di distribuzione normale
• Un'altra distribuzione di probabilità alternativa alla normale è la combinazione
di più distribuzioni normali (“mixture of normals”), caratterizzate dalla
medesima media ma con varianze differenti
• La mistura di normali risulta idonea per catturare gli eventi eccezionali o estremi
che una sola distribuzione normale non coglie adeguatamente,
Risolve il problema delle fat-tails
• E’ possibile utilizzare due distribuzioni normali, entrambe a media nulla, la
prima con varianza modesta (  12 ), la seconda con varianza assai più elevata
(  22 >  12 ).
• Per ottenere la mixture of normals si attribuisce alle due distribuzioni una
probabilità, attribuendo ai rendimenti del fattore di mercato una diversa
probabilità di essere estratti da una delle due distribuzioni
© Resti e Sironi, 2008
52
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di distribuzione normale
Probabilità che il rendimento sia estratto dalla prima distribuzione
r  p  r1  (1  p)  r2
Probabilità che il rendimento sia
estratto dalla seconda distribuzione
Variabile distribuita
come normale a media
2
zero e varianze pari  2
Variabile distribuita come normale a media zero e varianze pari
 12
• Distribuzione mista che considera adeguatamente gli eventi estremi
caratterizzati da una bassa probabilità di accadimento
• La volatilità delle variabili finanziarie risulta influenzata da due tipi di fattori
Fattori strutturali: incidono
in modo permanente sul
livello di volatilità
© Resti e Sironi, 2008
Fattori ciclici influenzano più raramente
il livello della volatilità: ad esempio i
fenomeni di stacco dei dividendi
53
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di distribuzione normale
• Alternativamente si può correggere le misure di VaR basate sulla normale, per
renderle più coerenti con la distribuzione empirica dei rendimenti r
Metodologia originariamente proposta
da Cornish & Fisher nel 1937
• Il percentile z a viene corretto come segue:
1 2
1 3
1
z  z   z  1 S   z  3z  K   2 z3  5 z  S 2
6
24
36
*
excess kurtosis
skewness
n
S
r  r 
i
i 1
s (n  1)
3
n
3
K
r  r 
i
i 1
s ( n  1)
4
4
3
deviazione standard campionaria
© Resti e Sironi, 2008
la media
(campionaria)
dei rendimenti)
54
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di distribuzione normale
• Considerando i dati della slide 4, il VaR al 99% è:
VaR  z   2,33  1,65%  3,85%
• I dati sono caratterizzati da una skewness negativa, -0,69 e un excess
kurtosis positivo 2,87.
Correggendo za si ottiene:
*
z
1
1 
2
3

2,33   2,33  1  (0, 69) 
2,33  3   2,33  2,87 



6
24 
1 
3

2   2,33  5   2,33  (0, 69) 2  3,32

36 
• Il VaR al 99% diventa:
© Resti e Sironi, 2008
VaR  z*   3,32 1,65%  5,50%
55
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’indipendenza seriale dei rendimenti
dei fattori di mercato
• La volatilità dei rendimenti giornalieri può essere utilizzata per stimare la
volatilità di orizzonti di rischio più prolungati, moltiplicando la prima per
la radice quadrata del numero di giorni compresi nel nuovo
orizzonte di rischio.
• Questa soluzione è corretta se si assume che l’evoluzione dei fattori di mercato
sia rappresentata da un moto browniano geometrico:
variazione istantanea percentuale del fattore di mercato
variazione infinitesimale del tempo
dSt
  dt   dWt
St
un processo di Wiener, ossia una
variabile aleatoria normale con
media nulla e varianza pari a dt
Volatilità del fattore di mercato
tasso di variazione annuo atteso del fattore di mercato
© Resti e Sironi, 2008
56
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’indipendenza seriale dei rendimenti
dei fattori di mercato
• Proprietà del moto browniano geometrico:
1. il fattore di rischio S segue un percorso casuale coerente con l'ipotesi di
efficienza debole del mercato (processo di Markov), ma
caratterizzato da un rendimento atteso (drift) non nullo, pari a μ;
2. i rendimenti relativi a intervalli temporali diversi sono fra loro
indipendenti (ipotesi di indipendenza seriale) e normalmente
distribuiti;
3. la volatilità rappresenta un “disturbo”, o “noise”, di quello che
altrimenti sarebbe un processo guidato unicamente dalla variazione
attesa ;
4. il rendimento dell'attività finanziaria considerata ha una varianza
costante, proporzionale al tempo (
© Resti e Sironi, 2008
2
dt).
57
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’indipendenza seriale dei rendimenti
dei fattori di mercato
• Le ipotesi della slide precedente sono spesso smentite dal comportamento reale
delle variabili finanziarie:
la varianza varia nel tempo
l’indipendenza seriale dei
rendimenti è ben di rado
verificata (si veda la slide 20)
© Resti e Sironi, 2008
58
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di linearità dei payoff e l’approccio delta-gamma
• L’ipotesi di una relazione lineare fra le variazioni dei fattori di mercato e le
variazioni del valore della posizione è scarsamente credibile
Un caso tipico è quello dei titoli obbligazionari,
dove l'ipotesi di linearità
equivale a trascurare la convessità
• Può essere resa più precisa l’approssimazione della funzione che lega il valore di
mercato delle singole posizioni al valore dei fattori di rischio
• Ciò equivale ad arrestare al secondo ordine, e non al primo, l’approssimazione in
serie di Taylor della funzione
Nel caso delle posizioni in opzioni
si include anche il cosiddetto
coefficiente “gamma” dell’opzione
© Resti e Sironi, 2008
Nel caso dei titoli obbligazionari,
si considera non solo la duration
ma anche la convessità;
Approccio “delta-gamma”
59
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di linearità dei payoff e l’approccio delta-gamma
• Consideriamo la funzione VM(S), che lega il valore di mercato di una posizione al
valore di un fattore di rischio S:
dVM
Approssimazione del primo ordine
VM 
 S
dS
dVM
1 d 2VM

2
2
VM 
 S 

(

S
)




S


(

S
)
dS
2 dS 2
2
Sviluppo del secondo ordine
• È come se il valore di mercato della posizione fosse una funzione di due distinti
fattori di rischio, ΔS ed il suo quadrato
• L’aumento di precisione ottenuto con l’approssimazione delta/gamma è tanto
maggiore quanto maggiore è lo shock del fattore di mercato e quanto maggiore è
il grado di “curvatura” della posizione
© Resti e Sironi, 2008
60
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di linearità dei payoff e l’approccio delta-gamma
• Anche se lo sviluppo del secondo (o del terzo) ordine migliora la qualità
dell’approssimazione, esso è comunque a una stima soggetta a errore
• Nel caso delle opzioni la stima degli effetti di variazioni delle variabili di mercato
si basa sui coefficienti delta, gamma, vega e rho
Tali coefficienti sono meno
efficaci in presenza di shock
congiunti di più variabili
Payoff
Y
A
E
X
W
© Resti e Sironi, 2008
B
Prezzo
dell’attività
sottostante
Nel caso di posizioni con
payoff non-lineare,
non-derivabile e
non-monotòno,
l’applicazione dell’approccio
delta-gamma può condurre a
risultati errati
61
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di linearità dei payoff e l’approccio delta-gamma
• La figura della slide precedente mostra uno straddle
acquisto di due opzioni, una call e una put, al medesimo prezzo di
esercizio per un’aspettativa di aumento della volatilità
• Immaginiamo che il valore corrente del fattore di rischio sia pari ad A (si veda la
figura della slide precedente)
• Il metodo delta-gamma coincide con un’approssimazione lineare, visto che la
derivata seconda è nulla
• In questo caso le perdite più elevate che il portafoglio può registrare non
corrispondono a movimenti estremi dei fattori di mercato.
La massima perdita si verifica se a scadenza l’attività sottostante
l’opzione ha un valore pari al prezzo di esercizio, indicato con E
© Resti e Sironi, 2008
62
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Limiti: l’ipotesi di linearità dei payoff e l’approccio delta-gamma
• Un aumento del prezzo fino a E determinerebbe quindi una perdita pari (Y-X)
Una variazione del prezzo di mercato
dell’attività sottostante di entità
doppia, da A a B, non comporterebbe
una perdita doppia, bensì una
perdita nulla
• La perdita stimata con l’approccio delta normal (Y-W) sovrastimerebbe il VaR
• Nel caso dell’approssimazione delta-gamma, la distribuzione delle variazioni del
valore della posizione deriva dalla combinazione di ΔS (normale) ΔS2 (non
normale e se ΔS è normale, è una Chi-quadro con un grado di libertà)
la combinazione lineare tra le due
distribuzioni è non normale
© Resti e Sironi, 2008
63
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Alcuni pregi dell’approccio parametrico
• Efficienza computazionale: il tempo di stima è molto
limitato
• Non richiede di esplicitare i modelli di pricing relativi a
ogni strumento in portafoglio: non si basa sulla
rivalutazione piena delle posizioni
• Può essere applicato anche se i fattori di rischio non
sono distribuiti normalmente, a condizione che essi siano
sufficientemente numerosi e relativamente indipendenti fra loro
© Resti e Sironi, 2008
64
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Esercizi/1
1. Un
trader di una banca francese ha appena acquistato a
termine yen giapponesi, contro euro, con consegna tra sei mesi.
Quale tra le seguenti alternative rappresenta un mapping
corretto della sua posizione?
a)
b)
c)
d)
Acquisto spot di euro contro yen, indebitamento a sei mesi
in yen, investimento a sei mesi in euro.
Acquisto spot di yen contro euro, indebitamento a sei mesi
in yen, investimento a sei mesi in euro.
Acquisto spot di yen contro euro, indebitamento a sei mesi
in euro, investimento a sei mesi in yen.
Acquisto spot di euro contro yen, indebitamento a sei mesi
in yen, investimento a sei mesi in euro.
© Resti e Sironi, 2008
65
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Esercizi/2
2. Usando l’approccio parametrico, trovate il VaR del portafoglio
rappresentato nella tabella seguente…
a)
b)
c)
… nell’ipotesi di correlazioni nulle;
… nell’ipotesi di perfetta correlazione;
… usando le correlazioni indicate nella tabella.
Attività
VaR
Azioni (A)
50.000
Valute (V)
20.000
Obbligazioni (B)
80.000
© Resti e Sironi, 2008
 (A,V)  (A,O) (V,O)
0,5
0
-0,2
66
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Esercizi/3
3. Usando i dati mostrati nella tabella seguente, trovate il VaR
parametrico, a un livello di confidenza del 99%, di un
portafoglio composto da tre azioni (A, B e C), utilizzando
alternativamente i seguenti tre approcci:
a)
b)
c)
usate le volatilità e le correlazioni dei rendimenti delle
singole azioni;
usate la volatilità del rendimento del portafoglio nel suo
complesso (approccio portfolio normal);
usate la volatilità dell’indice di mercato e i beta delle
singole azioni (basati sul CAPM).
© Resti e Sironi, 2008
67
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Esercizi/3
Commentate quindi le differenze tra i risultati ottenuti.
Azione Azione Azione Portafoglio Indice di
A
B
C
mercato
Valore di mercato (milioni di €)
15
15
20
50
-
Beta
1.4
1.2
0.8
1.1
1
Volatilità
15%
12%
10%
9%
7%
Correlazione con A
1
0,5
0,8
-
-
Correlazione con B
0,5
1
0
-
-
Correlazione con C
0,8
0
1
-
-
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68
Rischio e valore nelle banche
L’approccio parametrico o delle varianze-covarianze
Esercizi/4
4. Una banca italiana ha acquistato a termine, con consegna a tre
mesi, un milione di franchi svizzeri contro euro. Usando i dati
di mercato sui tassi di cambio e di interesse (semplici) indicati
nella tabella seguente, trovate le posizioni virtuali – e i
rispettivi ammontari – a cui potrebbe essere mappato questo
acquisto a termine.
Cambio a pronto euro/franco svizzero
0,75
Tasso a tre mesi sull’euro
4,25%
Tasso a tre mesi sul franco svizzero
3,75%
© Resti e Sironi, 2008
69