momento angolare (

Capitolo 1
Momento angolare
Obiettivo di questo capitolo è quello di ricavare gli autovalori e gli autostati del momento angolare utilizzando un approccio
algebrico a partire dalle relazioni di commutazione
h
i
h
i
L x , Ly = i~Lz , Ly , Lz = i~L x , Lz , L x = i~Ly ,
(1.1)
cioè, più sinteticamente
h
i
Li , L j = i~ εijk Lk ,
(1.2)
dove è sottintesa una somma sull’indice k (l’unico ripetuto a destra, mentre i e j sono fissati già a sinistra), e dove si è
introdotto il tensore di Ricci, completamente antisimmetrico
εi jk
1.1
1








=
−1







0
se (i, j, k) = (x, y, z) o permutazioni cicliche ;
se (i, j, k) = (x, z, y) o permutazioni cicliche ;
altrimenti.
Momento angolare orbitale
Le relazioni di commutazione riportate qui sopra discendono dal fatto che il momento angolare è un vettore1 che fa da
generatore delle rotazioni spaziali. Prenderemo quest’algebra come punto di partenza a partire dalla prossima sezione,
prima però, in questa sezione, mostriamo che questa è proprio l’algebra “giusta” se si considera il momento angolare
orbitale. Come vedremo, quello orbitale non è l’unico caso di momento angolare che si possa considerare, in quanto è
perfettamente possibile utilizzare la stessa algebra per descrivere il momento angolare intrinseco (o di spin).
Il momento angolare orbitale è definito tramite i vettori posizione e quantità di moto
L = r × p,
cioè
L x = ypz − zpy , Ly = zp x − xpz , Lz = xpy − yp x .
(1.3)
L costituisce un vettore di operatori che soddisfa l’algebra (1.2). Questo si può dimostrare a partire dalle proprietà di
commutazione delle componenti dei vettori posizione e quantità di moto.
1 in
effetti, nella descrizione quantistica, un operatore vettoriale.
1
1. Momento angolare
2
dimostrazione
Il punto di partenza della dimostrazione sono i commutatori fondamentali:
x , y = y , z = [z , x] = 0
h
i h
i p x , py = py , pz = pz , p x = 0
h
i i
h
x , py = x , pz = y , p x = y , pz = z , p x = z , py = 0
i h
x , p x = y , py = z , pz = i~ .
(1.4)
Scriviamo per esteso il commutatore tra due componenti di L:
h
i
h
i
L x , Ly
= ypz − zpy , zp x − xpz =
i i
h
h
= ypz , zp x − zpy , zp x − ypz , xpz + zpy , xpz .
(1.5)
Questi commutatori si valutano utilizzando la relazione
[ab , cd] = ac [b , d] + a [b , c] d + c [a , d] b + [a , c] db .
Si vede immediatamente che solo il primo e l’ultimo termine dell’eq. (1.5) danno un contributo e che, in particolare, si
ha
h
i
L x , Ly = yp x pz , z + xpy z , pz = i~(xpy − yp x ) ≡ i~Lz .
Le altre due relazioni si dimostrano in maniera analoga.
Dunque, le osservabili corrispondenti a componenti diverse del momento angolare sono mutuamente incompatibili2 , in
quanto la relazione di indeterminazione implica che le deviazioni standard di misure eseguite su due delle componenti
debbano soddisfare
~
σLx σLy ≥ |hLz i| .
2
1.2
Il modulo quadro del momento angolare
Consideriamo il modulo quadro del vettore momento angolare, dato dalla quantità L2 = L2x + Ly2 + Lz2 . Questa osservabile è
compatibile con ciascuna delle tre componenti di L in quanto commuta separatamente con ognuna di esse:
h
i h
i h
i
L2 , L x = L2 , Ly = L2 , Lz = 0 .
(1.6)
dimostrazione
h
L2 , Lz
i
=
i h
i
L2x , Lz + Ly2 , Lz =
h
i h
i
L x L x , Lz + L x , Lz L x + Ly Ly , Lz + Ly , Lz Ly =
=
i~(−L x Ly − Ly L x ) + i~(Ly L x + L x Ly ) = 0 .
=
h
(1.7)
Analogamente si dimostrano le altre due relazioni.
Dunque si possono cercare autostati simultanei per L2 e una delle componenti, ad esempio Lz .
Siano ~2 λ e ~µ gli autovalori3 di questi due operatori relativi all’autostato (comune) |λ, µi. In altri termini, supponiamo che
esista un ket |λ, µi t.c.
L2 |λ, µi = ~2 λ |λ, µi ,
Lz |λ, µi = ~µ |λ, µi .
(1.8)
A partire da questa definizione, dovremo trovare quali sono i possibili valori per λ e µ, e quale sia la forma dell’autostato
corrispondente.
2a
3I
meno che il valor medio della terza componente non sia nullo
fattori ~ sono inseriti in modo che µ e λ siano adimensionali.
1. Momento angolare
1.3
3
Operatori di salita e discesa
Avendo scelto di diagonalizzare L2 e Lz , conviene usare le altre due componenti di L per costruire due nuovi operatori, detti
di salita e discesa, dati da:
L± = L x ± iLy
t.c.
(L+ )† = L− .
(1.9)
Questa coppia di operatori soddisfa
h
i
L2 , L± = 0 ,
Lz , L± = ±~L± .
(1.10)
dimostrazione
La prima è evidente: L± sono combinazioni lieari di L x e Ly , i quali commutano con L2 , pertanto anche L± lo fanno.
Per la seconda:
h
i h
i
Lz , L x ± iLy = Lz , L x ± i Lz , Ly = i~Ly ± i(−i~L x ) = ±~(L x ± iLy ) ≡ ±~L± .
(1.11)
Pur non sapendo ancora cosa siano λ, µ, |λ, µi, possiamo ottenere altri autostati di L2 e Lz applicando L± a |λ, µi.
Consideriamo infatti i due stati (non normalizzati) L+ |λ, µi e L− |λ, µi. Si può dimostrare che per essi valgono le relazioni
L2 (L± |λ, µi) = ~2 λ (L± |λ, µi) ,
Lz (L± |λ, µi) = ~(µ ± 1) (L± |λ, µi) .
(1.12)
(1.13)
Dunque, L± |λ, µi sono due autostati di L2 con lo stesso autovalore ~2 λ che corrispondeva a |λ, µi e sono autostati di Lz con
autovalori ottenuti da ~µ aggiungendo o sottraendo ~. Quest’ultimo fatto è all’origine del nome operatori di salita e discesa.
dimostrazione
Per dimostrare la prima delle due relazioni occorre utilizzare il fatto che L± commutano con L2 :
L2 L± = L± L2 .
Utilizzando questa relazione, si ha, infatti
L2 (L± |λ, µi) = L± L2 |λ, µi = L± ~2 λ |λ, µi = ~2 λ (L± |λ, µi) .
Per dimostrare la seconda relazione, usiamo invece
Lz L± = L± Lz ± ~L± = L± (Lz ± ~) ,
che permette di scrivere:
Lz (L± |λ, µi) = L± (Lz ± ~) |λ, µi = L± (~µ ± ~) |λ, µi = ~(µ ± 1) L± |λ, µi .
(1.14)
Come conseguenza di tutto questo, abbiamo che, fissato un autostato comune a L2 e Lz , |λ, µi, l’azione di L+ oppure di L−
porta ad altri autostati con lo stesso autovalore di L2 , e autovalori di Lz modificati:
• |λ, µi è autostato di Lz con autovalore ~µ
• L± |λ, µi è autostato di Lz con autovalore ~(µ ± 1) ;
• (L± )2 |λ, µi è autostato di Lz con autovalore ~(µ ± 2);
• (L± )3 |λ, µi è autostato di Lz con autovalore ~(µ ± 3);
• .......
Tuttavia, questa sequenza non può continuare indefinitamente, ne’ verso l’alto ne’ verso il basso, in quanto l’autovalore di
Lz elevato al quadrato deve essere sempre minore di quello di L2 . Ciò accade perché L2 = L2x + Ly2 + Lz2 e inoltre perché L2x
D E D E
e Ly2 sono operatori positivi, perciò L2 ≥ Lz2 . Prendendo il valor medio sugli autostati elencati sopra, si ha
λ ≥ µ2 ,
λ ≥ (µ ± 1)2 ,
λ ≥ (µ ± 2)2 ,
...
1. Momento angolare
4
Devono pertanto esistere due autostati, che chiamiamo |λ, µmax i e |λ, µmin i tali che a partire da essi non si possa salire o
scendere, rispettivamente:
L+ |λ, µmax i = 0
L− |λ, µmin i = 0
l’autovalore di Lz non può aumentare oltre ~µmax
l’autovalore di Lz non può diminuire oltre ~µmin
Nelle due sezioni successive dimostreremo che gli autovalori massimo e minimo, µmax e µmin , sono legati a λ. Per ottenere
queste relazioni, però, ci occorrono due espressioni che leghino L2 a Lz e L± .
Relazioni operatoriali tra L2 , Lz e L±
Vale:
(L+ + L− )2 (L+ − L− )2
1
−
+ Lz2 = L+ L− + L− L+ + Lz2 .
4
4
2
Inoltre vale il commutatore [L+ , L− ] = 2~Lz .
dimostrazione
L2 = L2x + Ly2 + Lz2 =
h
i
h
i
h
i
[L+ , L− ] = L x + iLy , L x − iLy = −i L x , Ly + i Ly , L x = −i(i~Lz ) + i(−i~Lz ) = 2~Lz .
Grazie a questa relazione di commutazione possiamo scrivere
L+ L− = L− L+ + 2~ Lz ,
ma anche
L− L+ = L+ L− − 2~ Lz .
Usando queste relazioni nell’espressione per L2 , si ottengono
1.3.1
L2 = L− L+ + ~Lz + Lz2
(1.15)
L2 = L+ L+ − ~Lz + Lz2
(1.16)
Autovalore massimo della terza componente del momento angolare
Per l’autoket |λ, µmax i vale
L2 |λ, µmax i = ~2 λ |λ, µmax i ,
Lz |λ, µmax i = ~µmax |λ, µmax i .
Usando la (1.15) si ha, pertanto
~2 λ |λ, µmax i = L2 |λ, µmax i = (L− L+ + ~Lz + Lz2 ) |λ, µmax i = (0 + ~2 µmax + ~2 µ2max ) |λ, µmax i ,
da cui
λ = µ2max + µmax = µmax (µmax + 1) .
1.3.2
Autovalore minimo della terza componente del momento angolare
Per l’autoket |λ, µmin i vale
L2 |λ, µmin i = ~2 λ |λ, µmin i ,
Lz |λ, mmin i = ~µmin |λ, µmin i .
Usando la (1.16) si ha, pertanto
~2 λ |λ, µmin i = L2 |λ, µmin i = (L+ L− − ~Lz + Lz2 ) |λ, µmin i = (0 − ~2 µmin + ~2 µ2min ) |λ, µmin i ,
da cui
λ = µ2min − µmin = µmin (µmin − 1) .
1. Momento angolare
1.3.3
5
Autovalori del momento angolare
Confrontando le due espressioni ottenute per λ, si ha
µmax (µmax + 1) = µmin (µmin − 1)
⇒
due possibilità :
µmin = µmax + 1
µmin = −µmax
impossibile in quanto µmin < µmax
Di conseguenza, posto µmax = l, abbiamo che µmin = −l e dunque
• ~2 λ = ~2 l(l + 1) ;
• µ, che è indicato più comunemente con la lettera m, varia tra µmin ≡ mmin = −l e µmax ≡ mmax = l;
• gli autostati si possono etichettare tramite m ed l: |λ, µi = |l, mi.
Ma poiché ~µmax e ~µmin sono gli autovalori corrispondenti agli autostati |l, µmax = li e |l, µmin = −li, e questi stati sono
il primo e l’ultimo gradino di una scala che si può scendere (salire) a passi di ±~ applicando L− (o L+ , rispettivamente),
occorre che si possa passare da −~l a +~l tramite un numero intero di salti. Ciò comporta che l deve essere un numero
intero, oppure un semintero4 , cosicché i possibili valori per l sono
3
5
1
l = 0, , 1, , 2, , 3, . . .
2
2
2
Fissato l, gli autovalori di L2 ed Lz sono, rispettivamente ~2 λ = ~2 l(l + 1) e ~µ = ~m con m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.
Il numero totale di autostati con lo stesso autovalore di L2 (ma distinti dall’autovalore di Lz ) è 2l + 1.
Note
1. l è detto numero quantico di momento angolare, mentre m è detto numero quantico magnetico;
2. si noti che gli autovalori sono stati ottenuti prendendo come ipotesi di partenza solo le relazioni di commutazione;
3. troveremo più avanti che il momento angolare orbitale ammette solo autovalori interi (l = 0, 1, 2, 3, . . .); viceversa, il momento angolare intrinseco (spin) può assumere tutti i possibili valori, sia quelli semi-dispari
(corrispondenti ai fermioni) che quelli naturali (corrispondenti ai bosoni);
4. in particolare, l’elettrone ha un momento angolare di spin corrispondente ad l = 12 .
1.4
Autostati e normalizzazione
Preso l’autostato |l, mi, sappiamo che L± |l, mi ∝ |l, m ± 1i. Vogliamo trovare la costante di proporzionalità assumendo che
|l, mi siano normalizzati. Per farlo, useremo le relazioni (1.15) e (1.16).
Le costanti di proporzionalità, infatti, sono legate alle norme degli stati L± |l, mi dalle relazioni
|l, m ± 1i =
1
L± |l, mi ,
||L± |l, mi ||
dove ||L± |l, mi || =
p
(hl, m| L∓ ) (L± |l, mi) .
Usando le (1.15) e (1.16), si ha
||L+ |l, mi ||2
2
||L− |l, mi ||
= hl, m| L− L+ |l, mi = hl, m| L2 − ~Lz − Lz2 |l, mi = ~2 l(l + 1) − ~2 m − ~2 m2 = ~2 l(l + 1) − ~2 m(m + 1)
= hl, m| L+ L− |l, mi = hl, m| L2 + ~Lz − Lz2 |l, mi = ~2 l(l + 1) + ~2 m − ~2 m2 = ~2 l(l + 1) − ~2 m(m − 1)
Pertanto, l’azione degli operatori di salita e discesa è data da
p
L+ |l, mi = ~ l(l + 1) − m(m + 1) |l, m + 1i
p
L− |l, mi = ~ l(l + 1) − m(m + −1) |l, m − 1i
(1.17)
(1.18)
Si noti che prendendo l’autovalore mmax = l nella prima di queste relazioni, oppure mmin = −l nella seconda, l’azione di L+
e quella di L− , rispettivamente, forniscono zero.
4 più
correttamente, “semi-dispari”.
1. Momento angolare
1.5
6
1
2
Il caso dello spin
Tutte le proprietà e le relazioni trovate in precedenza si applicano anche al caso del momento angolare di spin (tipicamente
denotato tramite S, invece che L, con autovalori s ed m s , invece che m ed l). In particolare per s = 12 , si hanno due possibili
stati
E
s = 21 , m s = + 21 L’autostato è 12 , 12 ≡ |↑i, t.c.
+
1 1
3
= ~2
S ,
2 2
4
2
+
1 , 1 ,
2 2
+
+
1 1
~ 1 1
Sz ,
= ,
.
2 2
2 2 2
E
s = 21 , m s = − 21 L’autostato è 12 , − 12 ≡ |↓i, t.c.
+
+
1 1
1 1
3
S 2 , − = ~2 , −
,
2 2
4
2 2
Inoltre, posti S ± = S x ± iS y , si ha
+
+
+
1 1
1 1
1 1
S + , − = ~ ,
,
S + ,
= 0,
2 2
2 2
2 2
+
1 1
~
S z ,
=−
2 2
2
+
1 1
S − , − = 0 ,
2 2
+
1 , − 1 .
2 2
+
+
1 1
1 1
S − ,
= ~ , −
.
2 2
2 2
(1.19)
Associando i due ket ai due vettori della base canonica, si ottiene una rappresentazione matriciale bidimensionale:
+
+
1 1
1
0
1 , 1 = |↑i −→
,
,
−
=
−→
|↓i
2 2
2 2
0
1
In questa rappresentazione, lo stato generico è rappresentato da un vettore ∈ C2 ,
α
,
|ψi = α |↑i + β |↓i −→
hψ| = α∗ h↑| + β∗ h↓|
β
−→
(α∗ , β∗ ) ,
mentre il generico operatore è rappresentato da una matrice 2 × 2:
h↑| Ô |↑i h↑| Ô |↓i
Ô −→
.
h↓| Ô |↑i h↓| Ô |↓i
In particolare, si ottiene immediatamente che S 2 e S z sono matrici diagonali (visto che la base che stiamo usando è proprio
quella dei loro autostati):
!
!
~
3 2
3 2 1 0 3 2
~ 1 0 ~
0
0
2
4~
=
≡
~
~
1
,
S
−→
=
≡ σz .
S 2 −→
z
3 2
0 1
0
0 − ~2
4
4
2 0 −1
2
4~
Inoltre
0 ~
,
S − −→
0 0
da cui usando S x = S + + S − /2 e S y = −i(S + − S − )/2, si ottiene
~ 0 1 ~
S x −→
≡ σx ,
S y −→
2 1 0
2
S+
−→
0
~
0
,
0
~ 0
2 i
~
−i
≡ σy .
0
2
Nelle relazioni appena scritte si sono introdotte quattro matrici (le tre matrici di Pauli e l’identità) che formano una base
per l’insieme delle matrici 2 × 2:
0 1
0 −i
1 0
1 0
σx =
, σy =
, σz =
, 1=
.
1 0
i 0
0 −1
0 1
Esercizio: commutatori
h
i
Mostrare tramite la rappresentazione matriciale la relazione S x , S y = i~S z .
soluzione
Si ha
S xS y =
~2 0
4 1
1
0
0
i
~2 −i
i
=
0
4 0
0
,
−i
S yS x =
~2 0
4 i
−i
0
0
1
~2 1
−i 0
=
,
0
4 0 i
1. Momento angolare
7
pertanto,
S xS y − S yS x =
~2 2i
4 0
~ 1
0
= i~
−2i
2 0
0
≡ i~S z .
−1
Esercizio: austati di S x
Ricavare autostati e autovalori dell’osservabile S x = ~2 σ x .
soluzione
Lavoriamo su σ x :
det {σ x − λ1} = 0
⇒
det
−λ
1
1
=
−λ
⇒
λ2 − 1 = 0
⇒
λ = ±1 .
Dunque gli autovalori di S x sono ± 2~ . Scriviamo gli autostati nella forma
|x, ±i = α pm |↑i + β± |↓i .
Sostituendo nell’equazione agli autovalori e utilizzando la condizione di normalizzazione |α+ |2 + |β+ |2 = |α− |2 + |β− |2 = 1,
si ricavano
1
1
α− = −β− = √
α+ = β+ = √ ,
2
2
ovvero
1
1
|x, +i = √ (|↑i + |↓i) ,
|x, −i = √ (|↑i − |↓i) .
2
2
1.5.1
Spin in un campo magnetico
Se si considera una particella carica, al suo momento angolare è associato un momento di dipolo magnetico. In particolare,
per lo spin
µ=g
q
S,
2m
(1.20)
dove
g è il fattore di Landé; per l’elettrone g ' 2.
q è la carica della particella;
m è la massa della particella.
Classicamente, i momenti di dipolo magnetico tendono a stare allineati col campo magnetico. L’energia di un dipolo in un
campo esterno è pari a −µ · B.
Dunque, nella descrizione quantistica, la dinamica di una particella carica con spin, posta in un campo magnetico, è generata
dall’Hamiltoniano H = −µ · B.
Se B = (0, 0, B), si ha (prendendo q = −e per l’elettrone)
H=
dove ωc =
geB
2m
ge ~
~ωc
σz B =
σz ,
2m 2
2
è la frequenza di ciclotrone. Pertanto gli autostati dell’Hamiltoniano sono esattamente quelli di σz :
• |↑i, con autovalore E↑ =
~ωc
2 ,
• |↓i, con autovalore E↓ = − ~ω2 c .
In assenza di campo magnetico, questi due stati di spin sarebbero degeneri con energia nulla.
1. Momento angolare
1.6
8
Momento angolare orbitale - rappresentazione della posizione
Nel caso del momento angolare orbitale, l’operatore L si ottiene dal prodotto vettoriale della posizione per la quantità di
moto, L = r × p.
Nella rappresentazione della posizione, in cui i ket di stato diventano delle funzioni d’onda, si può ottenere un’espressione esplicita per l’operatore differenziale che rappresenta L, utilizzando il fatto che l’operatore p è rappresentato da
p = −i~∇. Il momento angolare ha una forma particolarmente semplice se si usano le coordinate sferiche r, θ, ϕ, invece di
quelle cartesiane x, y, z.
In particolare, il gradiente si scrive
1 ∂
1 ∂
∂
+ ûθ
+ ûϕ
,
∇ = ûr
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
dove i versori sferici si scrivono tramite quelli cartesiani come
ûr = sin θ cos ϕ û x + sin θ sin ϕ ûy + cos θ ûz
(1.21)
ûθ = cos θ cos ϕ û x + cos θ sin ϕ ûy − sin θ ûz
(1.22)
ûϕ = − sin ϕ û x + cos ûy
(1.23)
Nel prodotto vettoriale tra r e p, la componente radiale di p non contribuisce, pertanto
!
∂
1 ∂
L = −i~ ûϕ
− ûθ
∂θ
sin θ ∂ϕ
"
∂ 1 ∂ #
= i~ − sin ϕ û x + cos ûy
− cos θ cos ϕ û x + cos θ sin ϕ ûy − sin θ ûz
∂θ
sin θ ∂ϕ
da cui è immediato ottenere le tre componenti cartesiane di L espresse in coordinate sferiche:
!
!
∂
cos ϕ ∂
∂
sin ϕ ∂
∂
L x = i~ sin ϕ
+
,
Ly = −i~ cos ϕ
+
,
Lz = −i~
.
∂θ tan θ ∂ϕ
∂θ tan θ ∂ϕ
∂ϕ
(1.24)
(1.25)
Nota
Il fatto che la componente z di L abbia un’espressione estremamente semplice in coordinate sferiche è dovuto alla scelta
dell’asse z come asse polare.
A partire da L x e Ly , si ottengono facilmente le rappresentazioni degli operatori di salita e discesa come operatori differenziali:
!
∂
i ∂
L± = ±~e±iϕ
±
.
(1.26)
∂θ tan θ ∂ϕ
In particolare, applicando in sequenza L+ ed L− si ottiene
L+ L− = −~2
!
∂2
1 ∂
1
∂2
∂
+
+
+
i
,
∂ϕ
∂θ2 tan θ ∂θ tan2 θ ∂ϕ2
da cui, ricordando che L2 = L+ L− + Lz2 − ~Lz , si ottiene l’operatore differenziale relativo al modulo quadro del momento
angolare come
"
!
#
1 ∂
∂
1 ∂2
2
2
L = −~
sin θ
+
.
(1.27)
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂θ2
1.6.1
Autofunzioni del momento angolare
Sappiamo già che esistono degli autostati comuni di L2 e Lz , con autovalori l ed m, rispettivamente. Nella rappresentazione
della posizione, essi sono dati da funzioni d’onda (scritte in coordinate sferiche) dipendenti dalle variabili angolari θ e ϕ,
dette armoniche sferiche:
armoniche sferiche
Ylm (θ, ϕ) = hθ, ϕ| l, mi ,
t.c.
L2 Ylm = ~2 l(l + 1) Ylm ,
Lz Ylm = ~mYlm .
L’equazione agli autovalori per Lz ha soluzione immediata una volta che si usi l’espressione differenziale per Lz
Lz Ylm (θ, ϕ) = −i~
∂ m
Y (θ, ϕ) = ~m Ylm (θ, ϕ) ,
∂ϕ l
⇒
Ylm (θ, ϕ) = flm (θ) eimϕ ,
(1.28)
1. Momento angolare
9
dove la dipendenza da θ della funzione flm non può essere stabilita dall’equazione relativa ad Lz , ma solo da quella relativa
ad L2 .
La richiesta “naturale” che Ylm (θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ + 2π) implica che m possa assumere solo valori interi, m = 0, ±1, ±2, ±3, . . ..
Questa indicazione che i valori seminteri per m (e quindi per l) non siano ammissibili viene, in effetti, confermata quando
si cerchi di risolvere l’equazione agli autovalori per L2 , che ammette soluzioni solo per l intero.
Tuttavia, noi non seguiremo questa via per ottenere le armoniche sferiche; piuttosto partiremo dall’armonica con m = −l
e poi otterremo le altre tramite applicazioni successive di L+ .
1.6.2
Armonica con numero magnetico minimo
Cerchiamo l’espressione per l’armonica sferica con m = −l, Ylm (θ, ϕ) = fl−l (θ) e−ilϕ . Sappiamo che per essa devono valere
le relazioni
∂
Lz Yl−l = −~l Yl−l ,
ovvero − i Yl−l = −lYl−l ,
∂ϕ
!
∂
i ∂
L− Yl−l = 0 ,
ovvero
−
Y −l = 0 .
∂θ tan θ ∂ϕ l
Da quest’ultima si ricava un’equazione per f (θ):
tan θ
d f (θ)
= l f (θ) .
dθ
Questa equazione si semplifica ponendo z = sin θ, da cui
df
f
=l
dz
z
⇒
f (z) = Nzl
d
dθ
=
dz d
dθ dθ
= cos θ
f (θ) = N(sin θ)l
⇒
d
dθ .
Sostituendo si ottiene
Yl−l (θ, ϕ) = N(sin θ)l e−ilϕ .
⇒
(1.29)
La costante N, che assumiamo reale e positiva, si determina dalla condizione di normalizzazione:
1=
Z
2π
π
Z
dϕ
0
0
sin θ dθ |Yl−l |2 = N 2
Z
2π
Z
dϕ
0
π
sin θ dθ(sin θ)2l = 2πN 2
Z
1
dw (1 − w2 )l = 2πN 2 22l+1
−1
0
(l!)2
.
(2l + 1)!
Dunque, in totale:
Yl−l (θ, ϕ)
1.6.3
1
= l
2 l!
r
(2l + 1)!
(sin θ)l e−ilϕ .
4π
(1.30)
Altre armoniche sferiche
Le armoniche sferiche con numero quantico magnetico maggiore si ricavano dall’applicazione di L+ :
Ylm+1 (θ, ϕ) =
dove
1
L+ Ylm (θ, ϕ)
√
~ l(l + 1) − m(m + 1)
(1.31)
!
∂
i ∂
+
.
L+ = e ~
∂θ tan θ ∂ϕ
iϕ