Metodologie Elettromagnetiche
per la Geofisica
Proprietà elettromagnetiche di
suoli e rocce (I)
Anno Accademico 2009/2010
Docente:Elena Pettinelli
Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi”
Proprietà dei dielettrici
I dielettrici ideali sono materiali caratterizzati dall’avere atomi e
molecole con tutti gli elettroni fortemente legati ai rispettivi
nuclei.
Pur essendo elettricamente neutro il dielettrico può produrre un
campo elettrico macroscopico, se possiede un momento di dipolo
diverso da zero
Azione di un campo
elettrico esterno
POLARIZZAZIONE ELETTRICA
r
1
P = lim
∆V → 0 ∆ V
N e ∆V
∑
i =1
r
dpi
r
r
P = N e < dp >
Orienta e/o genera i dipoli
all’interno del dielettrico
dove ∆V è il volume;
Ne il numero di dipoli per unità di volume;
dpi sono i vari momenti che si formano nel
volume in considerazione.
r
< dp >
dipolo elettrico medio
Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3
Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi”
Meccanismi di polarizzazione
Metodologie Elettromagnetiche per la Geofisica – lezione n.3
Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi”
Meccanismi di polarizzazione
Polarizzazione per orientamento: Questo meccanismo è evidente in
materiali che in assenza di un campo applicato ed internamente
alla loro struttura posseggono momenti di dipolo permanenti
casualmente orientati. Quando un campo elettrico viene applicato
tali dipoli tendono ad allinearsi parallelamente al campo applicato.
Polarizzazione ionica o molecolare: questa polarizzazione è evidente
per materiali che posseggono ioni positivi e negativi che tendono ad
allontanarsi reciprocamente in presenza di un campo applicato. Ad
esempio in strutture ioniche come il NaCl, l'applicazione di un
campo esterno provoca lo spostamento delle cariche positive e
negative con conseguente formazione di dipoli.
Polarizzazione elettronica: Questa polarizzazione è evidente in
molti materiali, ed esiste quando un campo applicato sposta il
baricentro della nube elettronica rispetto al centro del nucleo.
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Meccanismi di polarizzazione
Polarizzazione per migrazione
di cariche Polarizzazione
dovuta alla migrazione locale
di cariche nello spazio
(detta space charge
polarization) . Tale
polarizzazione è un
fenomeno comune nei
materiali eterogenei come
le rocce saturate da acque
salate (brine).
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Meccanismi di polarizzazione
L'applicazione di un campo alternato ad un materiale
dielettrico può causare un ritardo nel
raggiungimento dello stato di equilibrio. Questo
ritardo è noto come rilassamento.
L'applicazione improvvisa di un campo elettrico non è
seguita da un istantaneo processo di polarizzazione.
In pratica, si verificano due tipi di polarizzazione:
una istantanea dovuta alla distorsione delle molecole
del mezzo ed una dipendente dal tempo che tende
asintoticamente al valore di equilibrio.
Il tempo necessario per raggiungere tale equilibrio è
detto tempo di rilassamento τ.
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Dispersione dielettrica
Dissipazione di energia
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Meccanismi di polarizzazione
La polarizzazione più rapida si manifesta generalmente
come polarizzazione di tipo elettronico ed è dovuta alla
dislocazione degli elettroni rispetto al nucleo all'interno di
un atomo; il tempo di polarizzazione è di circa 10-15 sec,
che corrisponde al periodo della luce visibile/ultravioletta.
La polarizzazione elettronica è indipendente dalla temperatura,
fatta eccezione che per l’espansione termica, che ha l’effetto
di diminuire il numero di elettroni per unità di volume. La
pressione ha effetto opposto, aumentando la densità e,
quindi, la permettività del materiale.
La polarizzazione elettronica si verifica in tutti i materiali,
solidi, liquidi e gassosi.
Il contributo della polarizzazione elettronica alla permettività
può essere misurato facilmente alle frequenze visibili, dove:
ε
= n2
ε0
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Meccanismi di polarizzazione
Una polarizzazione atomica di entità minore può avvenire per
spostamento degli atomi all'interno delle molecole; si tratta di
un processo che richiede un intervallo di tempo di 10-12 - 10-14
sec, che corrisponde al periodo della luce infrarossa.
La polarizzazione ionica rappresenta un processo di notevole entità,
che si manifesta per dislocazione di ioni positivi e negativi all'interno
del reticolo cristallino. Tale polarizzazione può manifestarsi, tuttavia,
sia nei solidi cristallini che nei materiali amorfi. Poiché le masse atomiche
sono molto più grandi di quelle elettroniche, i tempi di rilassamento sono
ben più lunghi di quelli della polarizzazione elettronica. Ciò implica che
alle basse frequenze, la polarizzazione ionica è molto più importante.
Il tempo necessario per tale processo è di circa 10-12 - 10-13 sec, e
corrisponde alla radiazione dell'infrarosso lontano. Normalmente, alle
radiofrequenze o alle frequenze più basse, sia la polarizzazione
elettronica che quella atomica sono presenti, e la permettività di molti
minerali isolanti ricade in un range di 4-15.
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Meccanismi di polarizzazione
• Le sostanze polari omogenee come l’acqua, contengono molecole che
posseggono un momento di dipolo elettrico permanente.
L’applicazione di un campo elettrico esterno tende a far allineare
tali molecole con il campo stesso. A tale processo si oppone
l’agitazione termica che tende a far mantenere alle molecole una
orientazione random. Ne consegue che in questi tipi di materiali il
grado di polarizzazione è fortemente dipendente dalla temperatura.
Generalmente le molecole polari tendono ad avere un elevato valore
di permettività.
• Il tempo necessario affinché si manifesti una polarizzazione di
tipo orientazionale (rotazione dei dipoli) dipende dalla
resistenza e dalla forza d'attrito all'interno del mezzo che si
oppone all'orientazione delle molecole.
• Per un gas, questo tempo è dell'ordine di 10-12 sec. corrispondente
alla banda dell'infrarosso lontano. Per liquidi poco viscosi
costituiti da molecole di piccola dimensione, il tempo di
polarizzazione è dell'ordine di 10-11 - 10-10 sec. corrispondente
ad una frequenza tipica dello spettro a microonde.
• Per liquidi viscosi costituiti da molecole di grande dimensione, il
tempo impiegato è dell'ordine di 10-6 sec, corrispondente alle
frequenze radio.
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Meccanismi di polarizzazione
• Le resistenze d'attrito proprie dei liquidi molto viscosi, dei vetri
e dei solidi possono aumentare l'intervallo di tempo richiesto per
la polarizzazione fino ai secondi o ai minuti.
• Le sostanze eterogenee costituite, per esempio, da particelle aventi
un elevato valore di conducibilità immerse in una matrice isolante,
possono manifestare una elevata polarizzazione dovuta ad effetti
interfacciali. Tali effetti dipendono fortemente dalla struttura del
materiale e dalla sua mineralogia, e sono importanti solo a frequenze
minori di 1 kHz.
• Un campo elettrico applicato ad un mezzo poroso saturato con una
soluzione elettrolitica, produce una migrazione di ioni in direzioni
opposte che si accumuleranno alle interfacce solide. Tale accumulo
produrrà una elevata polarizzazione interfacciale ed un elevato
valore della costante dielettrica. Processi di questo tipo vengono
classificati sotto il nome di effetti Maxwell-Wagner, ed in un
sistema acqua-roccia possono produrre un aumento di permettività
del materiale dell’ordine di 1000, molto maggiore di quello della sola
acqua (ε = 80) o dei soli grani minerali (ε ∼ 4-15).
• In termini di tempi di rilassamento la polarizzazione interfacciale
può richiedere un tempo di alcuni secondi o di minuti.
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Suscettività dielettrica
Densità di flusso
elettrico D0 nel vuoto
Densità di flusso
elettrico D nel materiale
r
r
D0 = ε 0 Ea
r
r
r
D = ε 0 Ea + P
εS =ε0 (1+ χe )
r
r
D=εS Ea
r
1 P
χe = r χe è una grandezza adimensionale detta suscettività dielettrica
ε0 Ea
r
r
r
r
r
D=ε0Ea +ε0χeEa =ε0 (1+ χe ) Ea =εS Ea
dove εS è la permettività statica del mezzo
ε0=8.854 ×
10-12
F/m
keS =
εS
=1+ χe
ε0
e keS è la permettività relativa del mezzo,
nota anche come costante dielettrica
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Permettività complessa
Analogia circuitale
V = V0 e jωt
ω = 2π f
La corrente anticipa la tensione di 90°
Q = C0V quantità di carica immagazzinata dal condensatore
IC =
dQ
= jωC0V = I 0 e j (ωt +π
dt
2)
corrente di carica del condensatore
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Permettività complessa
Se si inserisce un materiale come
un dielettrico nel condensatore
la sua capacità aumenta
ε′
C = C 0 = C0 ε r
ε0
ε ′ = parte reale della permettività (o costante dielettrica)
ε 0 = permettività del vuoto ( ε 0 = 8.854x10-12 C 2 /Nm 2 )
k ′(o ε r′ ) = costante dielettrica relativa del materiale
Oltre alla corrente di carica IC si può generare una corrente
di perdita Il in fase con la tensione
Corrente totale
che attraversa il
condensatore
I l = GV G è la conduttanza del dielettrico
I tot = I C + I l = jωCV + GV
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Permettività complessa
I tot = I C + I l = jωCV + GV
Itot è inclinata di un certo valore θ < 90° rispetto alla tensione
L'angolo δ formato dalla corrente totale Itot e la
componente della corrente in quadratura con la
tensione è detto angolo di perdita
Il
1
tgδ = =
I c ω RC
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Permettività complessa
Esiste una similitudine di comportamento fra un dielettrico e un circuito
RC, tuttavia le perdite e la dissipazione di energia all'interno di un
dielettrico potrebbero essere dovute a fenomeni diversi da quello
relativo alle migrazioni di cariche elettriche.
Perciò l'esistenza di un fenomeno dissipativo in aggiunta alla corrente
di cariche può essere rappresentato attraverso la permettività
complessa.
Per definire la permettività complessa si deve considerare che il termine
G tiene conto non solo del movimento dei portatori di carica, ma può
rappresentare ogni altro processo associato ad una dissipazione di
energia.
G = ωε ′′
C0
ε0
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Permettività
complessa
jωε ′ + ωε ′′ → ε = ε ′ − jε ′′
I tot = ( jωε ′ + ωε ′′)
k=
C0
ε0
v = jω C0 kV
ε
= k ′ − jk ′′
ε0
ε è la permettività complessa e k è la permettività complessa relativa
ωε ′′
tgδ =
C0
Il
ε 0 ε ′′
=
=
I c ωε ′ C0 ε ′
ε0
→
k ′′
k′
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Permettività complessa
La densità di corrente totale Jtot che attraversa il condensatore
può essere ricavata come segue:
I tot = ( jωε ′ + ωε ′′)
C0
ε0
v = jωC0 kV
A
ε0
d
E =V /d
C0 =
J tot = ( jωε ′ + ωε ′′) E = ε
dE
dt
Il prodotto della frequenza angolare per il fattore di perdita è equivalente ad
una conducibilità dielettricaσ = ωε ′′. Tale conducibilità tiene conto di tutti gli
effetti dissipativi e può rappresentare sia una effettiva conducibilità ohmica
dovuta alla migrazione di cariche, che la perdita di energia associata alla
dipendenza dalla frequenza di ε’ (dispersione), come quella che accompagna,
ad esempio, i fenomeni di attrito durante la rotazione delle molecole.
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Permettività complessa
La permettività complessa è una grandezza che dipende dalla frequenza; tale
dipendenza produce degli spettri elettrici che descrivono il comportamento del
materiale al variare di ω.
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Permettività complessa
Spettro dielettrico dell’acqua distillata
misurato a T=25°C
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Modello di Debye
La dipendenza della permettività complessa dalla frequenza è descritta dalle
equazioni di Debye.
Attraverso queste equazioni, noti i valori della parte reale della costante dielettrica a
frequenza zero (εs) e a frequenze molto elevate (εinf), è possibile calcolare parte reale,
immaginaria e tangente di perdita di un materiale.
ε * (ω ) = ε inf +
ε ' (ω ) = ε inf +
ε ' ' (ω ) =
(ε s - ε inf )
1 + jωτ
(ε s - ε inf )
1 + (ωτ ) 2
(ε s - ε inf ) f
f rel (1 + (ωτ ) 2 )
f rel = 1 / τ
I valori di ε’ e di ε” a qualsiasi
frequenza possono essere calcolate
una volta noti i valori di εs, εinf e τ.
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Modello di Debye
Parti reali ed immaginarie di acqua e ghiaccio, in accordo con il modello di Debye
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