misura della capacita` di un condensatore tramite un circuito rc

MISURA DELLA CAPACITA’ DI UN CONDENSATORE TRAMITE UN CIRCUITO RC
Sperimentatori:
Marco Erculiani (n° matricola: 454922 V.O)
Ivan Noro (n° matricola: 458656 V.O)
Durata dell’esperimento:
1.5 ore ( dalle ore 09:00 alle ore 10:30)
Data di effettuazione:
Venerdi 30 Aprile 2004
Numero del Banco:
Banco n° 13
Numero della cassetta:
Cassetta n° 13
Numero dell’oscilloscopio:
Oscilloscopio numero 13
Numero del frequenzimetro:
Frequenzimetro numero 13
Materiale a disposizione:
Il materiale a disposizione e’:
La cassetta polifunzionale descritta di seguito:
In Fig. 1 è mostrato lo schema della cassetta utilizzata in laboratorio. Nella cassetta troviamo i
seguenti elementi:
1) Tester (ICE 680R): È uno strumento universale (analogico a bobina mobile) che può essere
utilizzato come amperometro, voltmetro o ohmetro. Il tester (di classe 1) viene inserito nei
circuiti tramite le boccole B28 e B29 e ha una batteria interna.
2) Milliamperometro (ICE 840, corrente di fondo scala If.s.= 50 mA, classe 1.5). Viene inserito
nei circuiti tramite le boccole B20 e B21.
3) Resistori: R1, R2 e R3.
4) Condensatore: C1.
5) Induttanza: L1.
6) Diodo: D1.
7) Reostati Helipot: R4 e R5. Il valore della resistenza di ciascun reostato può essere variato
tramite la rotazione del cursore, collegato rispettivamente alle boccole B18 e B31. I valori
della resistenza variano da 0 . al valore massimo di 500 . ± 4% in 10 giri di 50 divisioni
ciascuno (1./divisione). La linearità della scala è data al 0.25%.
8) Pila: U1. Viene inserita nel circuito tramite le boccole B26(-) e B27(+). Premendo il tasto S1 si
inserisce la pila nel circuito.
9) Connettori: J1 e J2. Servono per la realizzazione di circuiti che richiedono l’oscilloscopio.
Figura 1: Schema della cassetta utilizzata in laboratorio.
-un oscilloscopio (Tektronix 2225) a due tracce, con una banda passante a 50MHz, una sensibilita’ di
5mV/cm e una impedenza di ingresso di 1MΩ (in parallelo a 25 Pf).
L’oscilloscopio in questione e’ mostrato in figura 2, dove CH1 e’ l’entrata del primo canale:
figura 2:
CH1
figura 2: Oscilloscopio Tektronix 2225 usato per l’esperienza, dove CH1 e’ l’entrata del primo canale.
-un frequenzimetro modello Krohn-Hite 5100B
-due cavi coassiali
-cavetti per la realizzazione dei circuiti
Scopo dell’esperienza:
L’esperienza ha lo scopo di determinare la capacita’ di un condensatore inserito in un circuito in cui
le tensioni e le correnti siano variabili nel tempo.
Se un condensatore viene inserito in un circuito connesso ad una f.e.m. V0, in serie con una
resistenza R, esso, accumulando cariche sulle armature, si carichera’ completamente fino a bloccare
il flusso di corrente I.
Si ha infatti che la tensione del condensatore piu’ la tensione della resistenza deve essere uguale alla
tensione della batteria.
Tradotto nella formula 1:
formula 1:
Q(t )
VC (t ) + V R (t ) =
+ RI (t ) = V0
C
formula 1:bilancio delle forze nel circuito dove VC (t ) il potenziale ai capi del condensatore, V R (t ) e’ il potenziale ai capi della
resistenza e
V0 e’ tensione della batteria
dove VC (t ) il potenziale ai capi del condensatore, VR (t ) e’ il potenziale ai capi della resistenza e
V0 e’ tensione della batteria.
dI (t )
e’ la derivata
I (t )
della corrente rispetto al tempo, R e’ la resistenza del circuito e C e’ la capacita’ del condensatore
in esame:
formula 2:
dI (t )
1
=
dt
I (t )
RC
dI (t )
formula 2:derivata rispetto al tempo della formula 1 dove
e’ la derivata della corrente rispetto al tempo, R e’ la resistenza
I (t )
Derivando rispetto al tempo e separando le variabili si ottiene la formula 2, dove
del circuito e C e’ la capacita’ del condensatore in esame
Analogamente, si puo’ riscrivere la formula 2 come:
−
t
I = I0 ⋅ e
dove τ e’ il prodotto di R per C, e si chiama costante di tempo del circuito, ossia il parametro che
caratterizza il decremento della corrente col tempo.
1
Chiamo inoltre frequenza critica υ la frequenza pari a τ .
10
Se ora, caricato il condensatore escludo dal circuito la f.e.m., ci sara’ ancora passaggio di corrente,
che andra’ pero’ nel verso opposto, scaricando cosi’ il condensatore in precedenza caricato.
Pertanto, il nuovo bilancio delle forze sara’ dato dalla formula 3:
formula 3:
VC (t ) + V R (t ) = 0
τ
formula 3:bilancio delle forze nel circuito dove
VC (t ) e’ il potenziale ai capi del condensatore e VR (t ) e’ la tensione della
resistenza.
Analogamente a prima, derivando rispetto al tempo e isolando I si avra’ che:
I = −I 0 ⋅ e
−
( t − t1 )
τ
dove τ e’ il prodotto di R per C.
Tuttavia, poiche’ VR e’ uguale al prodotto di R per I, anche il potenziale ai capi della resistenza
avra’ lo stesso andamento, per cui si ottengono le formule 4 e 5 dell’andamento del potenziale ai
capi della resistenza durante la carica e la scarica del condensatore:
Formule 4 e 5:
t
V = V0 e
e
τ
( t − t1 )
V0 = −V0 e
τ
Formule 4 e 5: dell’andamento del potenziale ai capi della resistenza durante la carica e la scarica del condensatore
Facendo il rapporto fra la 4 e la 5 si ottiene la formula 6, ossia come varia il logaritmo di V in
funzione di t,R, C e V0 .
formula 6:
V 
t
t
ln  = − ⇒ ln V = − + ln V0
τ
τ
 V0 
formula 6:Andamento del logaritmo di V in funzione di t,R, C e
V0 .
Il valore di tabella di C e’ di 1nF.
Svolgimento:
Per prima cosa viene allestito un circuito come nello schema 1 qui di seguito, dove Ri e’ la
resistenza interna del generatore di onde quadre, R AB e’ la resistenza numero 3 della cassetta
elettrica numero 13, C e’ il condensatore della cassetta medesima, O e’ l’oscilloscopio numero 13,
G e’ il generatore di onde quadre numero 13.
schema 1:
C
O
G
RAB
Ri
schema 1: Circuito realizzato dal primo operatore, dove
Ri e’ la resistenza interna del generatore di onde quadre, R AB
e’ la
resistenza numero 3 della cassetta elettrica numero 13, C e’ il condensatore della cassetta medesima, O e’ l’oscilloscopio numero 13,
G e’ il generatore di onde quadre numero 13.
Poi viene settato il generatore di onde con i seguenti comandi:
POWER-ON
TUNING-DIAL
ATTENUATOR-0 Db
Dc OFFSET-OFF
WAVEFORM-SQUARE
MULTIPLIER-1K
Colleghiamo il canale 1 dell’oscilloscopio (CH1, si veda figura 2) in parallelo con la resistenza ed
utilizziamo l’asse X come asse dei tempi.
Colleghiamo poi in serie la resistenza, il condensatore e il generatore di onde, chiudendo il circuito.
Facendo cosi’ utilizziamo l’oscilloscopio come voltmetro, visualizzando sullo schermo l’andamento
della differenza di potenziale ai capi della resistenza (intesa come la resistenza totale del circuito),
nei processi di carica e scarica del condensatore, iterati dal generatore di onde posizionato sulle
onde quadre.
Quello che si ottiene e’ un andamento del tipo mostrato in figura 3:
figura 3:
V
t
Per poter visualizzare il tempo di scarica bisogna scegliere una frequenza che non sia superiore alla
1
frequenza critica di
, in quanto se si scegliesse una frequenza superiore lo strumento non
10τ
potrebbe bloccare il passaggio della corrente nel circuito e il processo avverrebbe tanto velocemente
da far passare il segnare in entrata, ossia l’onda quadra, praticamente inalterato.
Dopo varie prove si e’ optato per tenere una frequenza minore di 9KHz, e pertanto e’ stato
posizionato il regolatore di frequenza del generatore di onde quadre sugli 8KHz.
E’ stata regolata poi la scala del potenziale a 2 Volt/div e quella dei tempi a 10µs/div, in modo da
isolare sullo schermo una curva che ne occupasse circa il 90% e che non fosse troppo ripida.
Essa rappresenta un singolo processo di scarica.
Ponendo la linea di ground,ossia il potenziale di terra, sulla tacca 0.1, ossia una divisione sopra
l’untima riga orizzontale della griglia, viene centrata la figura sullo schermo.
Sono state misurate quindi tutte le intersezioni della curva con la griglia, contando il potenziale a
partire dal round, e il tempo dall’asse centrale disegnato sul quadrante.
Nella tabella 1 sono riportate le misure ottenute (con la resistenza R3 =11030 Ω), in cui il valore
delle tacche e’ gia’ stato moltiplicato per la portata scelta.
In tabella sono ripostati altresi’ il logaritmo del potenziale, l’errore di classe per il tempo (∆t) e il
potenziale (∆V) (dati dalla semidistanza di una divisione secondaria della griglia, ossia 0.1,
moltiplicata per la portata scelta), l’errore sul logaritmo del potenziale (∆lnV) (ottenuto dividendo
l’errore di classe ∆V) rispettivamente per ogni singola misura di V, la portata della scala dei tempi e
del potenziale,la tensione in uscita del generatore di onde quadre misurata precedentemente, la
frequenza scelta e quella critica.
Tabella 1:
∆t (µs)
∆V (Volt)
Resistenza (OHM) V (Volt) t (µs)
lnV
R3
R3
R3
R3
R3
R3
R3
R3
R3
R3
R3
R3
R3
R3
11030
11030
11030
11030
11030
11030
11030
11030
11030
11030
11030
11030
11030
11030
∆lnV
v/div (V)
13,6
12
10
8
6
5,6
4
2,6
2
1,2
0,6
0,4
0,4
0,2
sec/div (µs)
-40
-39
-37
-34
-31
-30
-26
-20
-17
-10
0
10
20
30
2,61007
2,484907
2,302585
2,079442
1,791759
1,722767
1,386294
0,955511
0,693147
0,182322
-0,51083
-0,91629
-0,91629
-1,60944
V misurata (V)
0,014705882
0,016666667
0,02
0,025
0,033333333
0,035714286
0,05
0,076923077
0,1
0,166666667
0,333333333
0,5
0,5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
1
2
10
Tabella 1: Nella tabella 1 sono riportate le misure ottenute (con la resistenza
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ν (Hz)
gnd
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
ν critica (Hz)
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
9066,183137
15
0,1
8000
9066,183137
R3 =11030 Ω), in cui il valore delle tacche e’ gia’ stato
moltiplicato per la portata scelta.
In tabella sono ripostati altresi’ il logaritmo del potenziale, l’errore di classe per il tempo (∆t) e il potenziale (∆V) (dati dalla
semidistanza di una divisione secondaria della griglia, ossia 0.1, moltiplicata per la portata scelta), l’errore sul logaritmo del
potenziale (∆lnV) (ottenuto dividendo l’errore di classe ∆V) rispettivamente per ogni singola misura di V, la portata della scala dei
tempi e del potenziale,la tensione in uscita del generatore di onde quadre misurata precedentemente, la frequenza scelta e quella
critica.
Un percorso analogo e’ stato seguito utilizzando invece della sola resistenza R3 , il parallelo di
quest’ultima e R2 = 302.5Ω
I risultati ottenuti collegando in parallelo R3 e R2 = 302.5Ω sono riportati in tabella 2, in cui il
valore delle tacche e’ gia’ stato moltiplicato per la portata scelta.
In tabella sono ripostati altresi’ il logaritmo del potenziale, l’errore di classe per il tempo (∆t) e il
potenziale (∆V) (dati dalla semidistanza di una divisione secondaria della griglia, ossia 0.1,
moltiplicata per la portata scelta), l’errore sul logaritmo del potenziale (∆lnV) (ottenuto dividendo
l’errore di classe ∆V) rispettivamente per ogni singola misura di V, la portata della scala dei tempi e
del potenziale,la tensione in uscita del generatore di onde quadre misurata precedentemente, la
frequenza scelta e quella critica.
Tabella2:
∆t (µs)
∆V (Volt)
Resistenza (OHM) V (Volt) t (µs)
lnV
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
R3+R2
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
11332,5
∆lnV
v/div (V)
0,014492754
0,016666667
0,02
0,025
0,033333333
0,034482759
0,05
0,071428571
0,1
0,142857143
0,25
0,333333333
0,5
1
13,8
12
10
8
6
5,8
4
2,8
2
1,4
0,8
0,6
0,4
0,2
sec/div (µs)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-40
-39
-37
-34
-31
-30
-25
-20
-16
-10
0
10
20
30
2,624669
2,484907
2,302585
2,079442
1,791759
1,757858
1,386294
1,029619
0,693147
0,336472
-0,22314
-0,51083
-0,91629
-1,60944
V misurata (V)
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ν (Hz)
Gnd
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
Tabella 2: Nella tabella 2 sono riportate le misure ottenute (con la resistenza R2 +
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
ν critica (Hz)
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
8824,178248
R3 =11332.5 Ω), in cui il valore delle tacche e’
gia’ stato moltiplicato per la portata scelta.
In tabella sono ripostati altresi’ il logaritmo del potenziale, l’errore di classe per il tempo (∆t) e il potenziale (∆V) (dati dalla
semidistanza di una divisione secondaria della griglia, ossia 0.1, moltiplicata per la portata scelta), l’errore sul logaritmo del
potenziale (∆lnV) (ottenuto dividendo l’errore di classe ∆V) rispettivamente per ogni singola misura di V, la portata della scala dei
tempi e del potenziale,la tensione in uscita del generatore di onde quadre misurata precedentemente, la frequenza scelta e quella
critica.
Costruendo ora un grafico con in ascissa i valori del tempo ed in ordinata i valori del logaritmo del
potenziale, per entrambe i casi, ed interpolando i punti, la miglior retta di fit rappresentera’ la retta
1
t
ln V = − + ln V0 , il cui coefficiente angolare, ossia − ci permette di ricavare la capacita’ del
τ
condensatore, in quanto τ =RC ⇒ C =
τ
τ
R
L’errore da associare a C sara’ dato dalla formula 7, ossia dalla derivata della funzione C rispetto a
Reaτ .
Come si vede, infatti:
formula 7:
∂C ∂C
∆τ τ ⋅ ∆R
∆C =
+
=
+
∂τ
∂R
R
R2
formula 7: Formula per il calcolo dell’errore da associare a C
I grafici per entrambe i casi risultano i seguenti (grafici 1 e 2), con in ascissa i valori del tempo
misurato in microsecondi ed in ordinata i valori del logaritmo del potenziale espressi in volt:
grafici 1 e 2:
Logaritmo della tensione (V)
(LN(V))
RC-PRIMO CASO
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5
0
5
t (Microsecondi)
10 15 20 25 30 35
Logaritmo della tensione (V)
(Ln(V))
RC-SECONDO CASO
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5
0
5
10 15 20 25 30 35
t (Microsecondi)
grafici 1 e 2: Grafici dei punti ottenuti dall’intersezione della curva con la griglia dell’oscilloscopio, con in ascissa i valori del tempo
espressi in microsecondi ed in ordinata i valori del logaritmo del potenziale in volt.
Per trovare la retta che meglio interpola i nostri dati ci avvaliamo delle formule per il calcolo dei
minimi quadrati.
t
In sostanza, vogliamo trovare la retta ln V = − + ln V0 descritta in precedenza, facendo una piccola
τ
sostituzione.
Chiameremo P1 il coefficiente angolare della retta, cioe’:
1
P1 = −
τ
e chiameremo P0 il termine noto della retta, ossia:
P0 = ln V0
Tramite le equazioni per il calcolo dei minimi quadrati si ottengono le formule 8 e 9, ossia i valori
di P1 e di P0 :
formule 8 e 9:
P0 =
(ln V )i
(ln V ) t
t
t 2i
⋅
∑ (∆ ln V )2 ∑ (∆ ln V )2 − ∑ (∆ lniV )2 ⋅∑ (∆ ln Vi )i2
i
i
i
i
t 2i
1
∑ (∆ ln V ) ⋅∑ (∆ ln V )
2
i
(ln V )i t i
1
P1
2
i

ti
− ∑
 (∆ ln V )2
i





2
(ln V )i
ti
∑ (∆ ln V ) ⋅∑ (∆ ln V ) − ∑ (∆ ln V ) ⋅∑ (∆ ln V )
=
2
i
2
i
2
i
t 2i
1
∑ (∆ ln V ) ⋅∑ (∆ ln V )
2
i
formule 8 e 9: valori di
P1
e di
2
i
P0


ti

−  ∑
2 
(
)
∆
ln
V
i 

2
i
2
ottenuti tramite le equazioni per il calcolo dei minimi quadrati
Analogamente, gli errori da attribuire a P1 e P0 ( ∆P1 e ∆P0 )daranno date anch’esse dalle formule
per il calcolo degli errori sui minimi quadrati, espresse come segue (formule 10 e 11):
formule 10 e 11:
1
∆P0 =

ti
− ∑
 (∆ ln V )2
i

t 2i
1
∑ (∆ ln V ) ⋅∑ (∆ ln V )
2
i
2
i
2
⋅∑
2
⋅∑




1
∆P1 =
1
t
2
∑ (∆ ln V ) ⋅∑ (∆ ln V )
2
i
i
2
i


ti

−  ∑
2 
∆
ln
V
(
)
i 

t 2i
(∆ ln V )i2
1
(∆ ln V )i2
⋅
formule 10 e 11: formule per il calcolo degli errori sui minimi quadrati
Da tali equazioni si ricava che, per il primo caso, ossia quello del circuito con la sola resistenza
R3 (=11030±1Ω):
P0 =-0.016±0.009
P1 =(-0.0829±0.0003) ⋅ 10 6 s −1
La retta cercata sara’ quindi:
ln V = −0.0829 ⋅ 10 6 t − 0.016
ma sapendo dal prima che P1 = −
1
τ
, si avra’ che τ =12.06 ⋅ 10 −6 s
L’errore da associare a τ , ossia ∆τ sara’ dato dalla formula 12:
formula 12:
∆τ =
∆P1
P1
2
= 0.043 ⋅ 10 −6 s
formula 12: Formula per calcolare l’errore da associare a
τ
La capacita’ del condensatore, come detto in precedenza vale C =
τ
R
, per cui ora possiamo
calcolarla.
L’errore da attribuirle risulta dalla formula 7.Pertanto risultera’ che:
C= (1.093 ± 0.004) ⋅ 10 −9 F= 1.093 ⋅ 10 −9 F ± 0.37%
Per il secondo caso, ossia quello del circuito con la resistenza R3 in serie alla resistenza R2 ,( si
avra’ come resistenza totale R3 + R2 =11332.5 ±1.1Ω) :
P0 =-0.015±0.009
P1 =(-0.0791±0.0003) ⋅ 10 6 s −1
La retta cercata sara’ quindi:
ln V = −0.0791 ⋅ 10 6 t − 0.015
ma sapendo dal prima che P1 = −
1
τ
, si avra’ che τ =12.64 ⋅ 10 −6 s
L’errore da associare a τ , ossia ∆τ sara’ dato dalla formula 12:
formula 12:
∆τ =
∆P1
P1
2
= 0.047 ⋅ 10 −6 s
formula 12: Formula per calcolare l’errore da associare a
τ
La capacita’ del condensatore, come detto in precedenza vale C =
τ
R
, per cui ora possiamo
calcolarla.
L’errore da attribuirle risulta dalla formula 7.Pertanto risultera’ che:
C= (1.115 ± 0.004) ⋅ 10 −9 F= 1.115 ⋅ 10 −9 F ± 0.36%
Il valore campione era C=1 ⋅ 10 −9 F, pertanto il nostro valore differisce, nel primo caso di
0.093 ⋅ 10 −9 F, mentre nel secondo caso il valore differisce di 0.115 ⋅ 10 −9 F.
Il primo valore differisce per una quantita’ pari al 9.3% del valore da ottenere, mentre la seconda
differisce di un valore pari all’11,2%.