ottica geometrica

OTTICA GEOMETRICA
L’ottica geometrica si occupa di tutta quella branca della fisica che ha a che fare con lenti,
specchi, vetri e cose simili. Viene chiamata “geometrica” in quanto non interessa la natura
della luce o dei raggi luminosi, ma solo la loro direzione. In altre parole, tutti i problemi
dell’ottica geometrica possono essere risolti grazie a costruzioni geometriche o simili.
RIFLESSIONE
Iniziamo citando le leggi fondamentali della riflessione, che dobbiamo tenere ben presenti,
in quanto sono indispensabili per la risoluzione di pressoché tutti i problemi ottici.
1. Il raggio riflesso giace nel piano determinato dal raggio incidente e dalla normale1 alla superficie
riflettente.
2. L’angolo di riflessione è uguale all’angolo di incidenza.
La prima legge ci dice che raggio riflesso e incidente sono sullo stesso piano, e che quindi
possono essere disegnati su una
superficie (i problemi quindi saranno
tutti bidimensionali).
La seconda legge invece ci dice che una
volta disegnato il raggio incidente,
sappiamo con precisione disegnare il
raggio riflesso (figura 1).
α
α
Figura 1
SPECCHI PIANI
Gli specchi piani sono la tipologia di specchi più semplice. Sono costruiti da lastre piane
ricoperte da una sottile pellicola riflettente, di solito alluminio. Hanno la peculiarità di
conservare le dimensioni dell’oggetto, ovvero possiede un ingrandimento uguale a 1.
Per formare l’immagine di uno specchio piano (che è sempre virtuale, in quanto si
costruisce con i prolungamenti dei raggi luminosi), si inviano alcuni raggi e si fanno
riflettere
sullo
specchio. L’immagine
sarà
data
dai
prolungamenti
dei
raggi dalla parte
opposta
dello
specchio (figura 2).
Figura 2
1
Ovvero la retta perpendicolare alla superficie riflettente.
SPECCHI SFERICI
Gli specchi sferici sono costruiti ricoprendo una superficie sferica con uno strato sottile
di materiale riflettente. A seconda della superficie trattata, lo specchio può essere
classificato come concavo o come convesso.
Viene definita apertura
dello specchio l’angolo
compreso dalle rette che
uniscono il centro di
curvatura con i punti
esterni dello specchio
stesso (figura 3).
Angolo
apertura
Si
definisce
inoltre
“vertice dello specchio” il
punto dello specchio che si trova sull’asse ottico, ovvero il vertice della calotta. Il “fuoco”
è invece il punto situato a metà strada fra il centro di curvatura e il vertice dello specchio.
Figura 3
Possiamo, riferendoci alla figura 4, determinare alcune leggi di validità generale che ci
serviranno per risolvere moltissimi esercizi.
 I raggi che sono paralleli
all’asse ottico vengono
riflessi nel fuoco;
 I raggi passanti per il
centro di curvatura non
subiscono deviazione,
quindi
ritornano
esattamente lungo il
percorso del raggio
incidente.
centro
vertice
Asse ottico
fuoco
Figura 4
La totalità degli esercizi di ottica si possono risolvere utilizzando la legge dei punti
coniugati:
1
1 2
+ =
𝑑𝑜 𝑑𝑖 𝑟
Dove con do abbiamo indicato la distanza dal vertice dell’oggetto, con d i la distanza
dell’immagine e con r il raggio di curvatura.
In modo analogo, dato che sussiste la relazione 𝑟 = 2𝑓:
1
1 1
+ =
𝑑𝑜 𝑑𝑖 𝑓
Da tenere presente i segni delle distanze. Non ci sono regole precise, ma occorre
mantenere rigore durante le definizioni. Ovvero potremmo indicare come positive tutte le
distanze che misuriamo all’interno dello specchio, ovvero dalla parte concava. In tal maniera,
se l’immagine presenterà una distanza negativa, allora potremo asserire che l’immagine
sarà virtuale2.
Abbiamo una immagine reale nel seguente caso:
- SPECCHIO CONCAVO. L’immagine è reale quando l’oggetto si trova più lontano
del fuoco.
Abbiamo invece una immagine virtuale nei seguenti casi:
- SPECCHIO CONCAVO. L’immagine è virtuale quando l’oggetto si trova più
vicino del fuoco;
- SPECCHIO CONVESSO. L’immagine è sempre virtuale.
Tuttavia si potrebbe pensare che sia impossibile vedere una immagine virtuale, ma la
denominazione è solo fuorviante. Infatti le immagini virtuali sono perfettamente visibili ai
nostri occhi, in quanto il cristallino funge da lente convergente, creando quindi una
immagine reale della immagine virtuale.
Se per esempio disponiamo di uno specchio concavo, esso crea una immagine reale. Se
posizioniamo uno schermo, riusciremo a vedere l’immagine. Se invece abbiamo uno
specchio convesso, sul nostro schermo non risulterà alcuna immagine, segno che essa è
virtuale e non reale (figura 5).
schermo
????
Figura 5
2 L’immagine si definisce reale se è formata proprio dai raggi riflessi. Si definisce virtuale se è formata
dai prolungamenti degli stessi.
RIFRAZIONE
Passiamo ora al fenomeno complementare alla riflessione. La rifrazione permette di
modificare la direzione dei raggi luminosi, che viaggiano sempre in linea retta. Anche in
questo caso raggio incidente e raggio rifratto giacciono sullo stesso piano.
Da verifiche sperimentali risulta che l’angolo di incidenza3 e l’angolo di rifrazione sono
legati da una relazione matematica molto semplice:
sin 𝑖
=𝑛
sin 𝑟
Dove i indica l’angolo di incidenza, r
l’angolo di rifrazione ed n l’indice di
rifrazione, una caratteristica tipica di ogni
materiale trasparente (figura 6, notare che
comunque una piccola parte del raggio
viene anche riflessa – indicata dalla freccia
tratteggiata).
i
n
r
Ufficialmente l’indice di rifrazione indica
il rapporto fra la velocità della luce nel
primo mezzo e quella nel secondo, quindi:
𝑛=
𝑣1
𝑣2
Quindi possiamo inserire le velocità all’interno della formula precedente (chiamiamo vi la
velocità della luce nel mezzo in cui c’è il
Figura 6
raggio incidente, e con vr la velocità della
luce nel mezzo in cui c’è il raggio rifratto:
sin 𝑖 sin 𝑟
=
𝑣1
𝑣𝑟
LA RIFLESSIONE TOTALE
E’ possibile dimostrare che esiste un angolo di incidenza oltre il quale la luce non passa
più da un mezzo all’altro, ovvero non viene più rifratta, ma solo riflessa. Tale angolo si
chiama “angolo limite” (figura 7).
L’angolo limite possiamo trovarlo con la seguente formula:
sin 𝑟0 =
3
1
𝑛
Ovvero l’angolo formato dal raggio e dalla normale alla lente.
Ovvero il seno dell’angolo limite è uguale
all’inverso dell’indice di rifrazione.
Su tale principio si basa la fibra ottica,
dove un lungo tubo di materiale plastico
viene attraversato da un segnale luminoso.
Le dimensioni fisiche del tubo fanno sì
che la luce sia sempre incidente contro le
pareti interne con un angolo superiore
all’angolo limite. In questo modo la luce
viene confinata all’interno e può essere
spedita da un capo all’altro del tubo.
I > angolo limite
n
LENTI SOTTILI
Figura 7
Le lenti sottili possono dividersi in due grandi categorie:
- Lenti convergenti;
- Lenti divergenti.
Le prime fanno convergere i raggi verso un punto detto fuoco, le seconde invece
allontanano ulteriormente i raggi l’uno dall’altro.
Anche in questo caso vale la legge dei punti coniugati, con lo stesso significato dei simboli:
1
1 1
+ =
𝑑𝑜 𝑑𝑖 𝑓
Da notare come il rapporto 1⁄𝑓 venga anche chiamato “potere diottrico”, misurato in
“diottrie”, ovvero m-1. In altre parole una lente con distanza focale 0.2 metri avrà un potere
diottrico di 1/0.2 = 5 diottrie. In figura 8 invece sono riportate alcune costruzioni
geometriche con le lenti.
convergente
divergente
Figura 8
PROBLEMI
1) Disponiamo di uno specchio concavo da 5 diottrie. Poniamo un oggetto ad una
distanza di 50 cm dal vertice. A quale distanza si forma l’immagine?
2) Posso mettere un oggetto davanti ad uno specchio in modo che si formi una
immagine di dimensione nulla?
3) Consideriamo una lastra piana di materiale trasparente, che ha un indice di
rifrazione n. Dimostrare che il raggio incidente alla lastra e il raggio rifratto all’uscita
della lastra sono paralleli.
4) Consideriamo la figura sottostante. Abbiamo una lente biconvessa, che presenta
raggi di curvatura diversi, uno per ogni faccia. Inoltre sulla destra c’è uno specchio
piano che riflette l’immagine. Calcolare la nuova immagine che si forma dopo la
riflessione dello specchio, sapendo che l’indice di rifrazione della lente è 1.5, e che
la faccia destra ha un potere diottrico di 4 diottrie, mentre la faccia sinistra ha un
potere diottrico di 2 diottrie. L’oggetto viene posto ad una distanza di 100 cm sulla
sinistra.