Verifica legge di Faraday-Neumann
Consideriamo una sbarretta metallica che si muove di moto rettilineo uniforme in un campo
magnetico. Ad esempio, supponiamo che la sbarretta si muova verso destra, mentre le linee di
campo magnetico escano dalla pagina.
In questo caso, la forza di Lorentz agisce sugli
elettroni di conduzione nella sbarra e li spinge verso
l'alto, mentre in basso si accumula carica positiva.
La separazione delle cariche crea allora nella sbarra
un campo elettrico che tende a spostare gli elettroni
verso il basso.
Se il campo magnetico è uniforme e la sbarra continua a muoversi a velocità costante, tra i suoi
estremi si stabilizza una differenza di potenziale dovuta alle cariche positive e negative presenti ai
suoi estremi, e la separazione delle cariche si interrompe.
All’equilibrio, la forza elettrica compensa quella magnetica.
La situazione cambia se la sbarra fa parte di una spira
rettangolare che viene estratta da una zona di spazio in cui è
presente un campo magnetico uniforme.
In questo caso, gli elettroni che si erano accumulati nella parte
alta della sbarra possono ora muoversi lungo il filo, generando
una corrente elettrica.
Lo spostamento degli elettroni rompe l’equilibrio che si era formato nella sbarra e il moto delle
cariche all’interno di essa è continuo. La sbarra, in moto in un campo magnetico, si comporta come
un generatore di forza elettromotrice.
Durante il funzionamento di questo particolare generatore, il flusso di campo magnetico attraverso il
circuito continua a cambiare (per la precisione, a diminuire), visto che la spira tende ad uscire dalla
zona in cui è presente il campo magnetico.
Dimostriamo in questo caso particolare la formula di Faraday-Neumann f em =−
B
.
t
Per questo sistema fisico calcoliamo i due membri della formula e verifichiamo che sono uguali.
Calcolo della variazione di flusso.
è perpendicolare al piano del circuito, per cui il flusso
Il campo B
=BA , dove A è l’area della spira
si calcola come B
di B
immersa nel campo magnetico.
Se A passa dal valore iniziale Ai a quello finale Af, abbiamo:
= f B
−i
B
B =BA f −BAi =B A f − Ai .
Nell’intervallo di tempo t la sbarra, che si muove con velocità costante di modulo v, percorre
una distanza s=v t , facendo diminuire l’area da Ai ad Af.
Se indichiamo con l l’altezza della spira, abbiamo:
Ai = A f lv t .
Sostituiamo questa espressione in quella precedente:
=B A f − Ai =B [ A f − A f lv t ]=−Blv t
B
e siamo quindi in grado di calcolare il secondo membro della legge di Faraday-Neumann:
−
B
−Blv t
=−
=Blv .
t
t
Calcolo della forza elettromotrice (1).
Come abbiamo detto in precedenza, la separazione delle cariche che si è verificata all'interno della
sbarretta genera al suo interno un campo elettrostatico tale da creare equilibrio tra la forza
elettrostatica e quella di Lorentz che agiscono sugli elettroni di conduzione.
Imponiamo tale condizione di equilibrio:
F el =F L ⇒ qE=qvB ⇒ E=vB .
La f.e.m. indotta è quindi: f em=El=Blv .
Qual è il senso del calcolo che abbiamo svolto?
Non possiamo certo dire di avere “dimostrato” la legge di Faraday-Neumann, ma, se non altro,
abbiamo verificato che, in questo caso particolare, il risultato ottenuto applicando tale legge
coincide con quello che possiamo ricavare in maniera più elementare considerando la forza di
Lorentz che agisce sugli elettroni di conduzione del metallo.
Calcolo della forza elettromotrice (2).
Svolgiamo questo calcolo in una maniera leggermente diversa, sia perché è maggiormente rigorosa che per comprendere
meglio la situazione fisica che stiamo esaminando.
Nel circuito indotto è dissipata energia per effetto Joule.
Come sappiamo, la potenza Pd dissipata in questo modo è: P d = f em i , dove fem e i sono,
rispettivamente, la forza elettromotrice indotta e la corrente indotta.
La sbarra, che si muove verso destra, è percorsa dalla corrente i
rivolta verso il basso.
Il campo magnetico esercita su questa corrente una forza
=i l × B
che si oppone al moto della sbarra, il cui modulo è:
F
F =ilB .
Perché la sbarra continui a muoversi con velocità costante, deve essere spinta da una forza esterna
uguale e contraria alla forza magnetica. Il lavoro compiuto da questa forza esterna è quello che
fornisce l’energia dissipata per effetto Joule.
In un intervallo di tempo t la forza esterna, che ha la stessa direzione e lo stesso verso dello
spostamento della sbarra, compie un lavoro:
W =F s=Bilv t ,
per cui la potenza erogata dalla forza esterna è:
P e=
W
=Bilv .
t
Imponendo che la potenza dissipata Pd sia uguale alla potenza fornita Pe, otteniamo:
P d =P e ⇒ f em i=Bilv ⇒ f em =Blv
che è ancora il valore ottenuto in precedenza.
