Carica di un condensatore inizialmente carico

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Carica di un condensatore inizialmente carico.
Supponiamo di avere il circuito raffigurato a lato. Un generatore
di tensione in continua Eo alimenta un circuito RC serie solo
quando l’interruttore SW viene chiuso, al tempo t=0. Da questo
momento in poi il condensatore C si carica fino a raggiungere il
valore Eo. Supponiamo che il condensatore sia carico e che
abbia un valore di tensione iniziale pari a vc(0), livello di
tensione inferiore ad Eo.
Troviamo la legge con cui si carica il condensatore.
Dall’istante in cui si chiuse l’interruttore SW l’equazione alla maglia nel domino del tempo è:
Dove i(t) rappresenta la corrente che circola nella maglia dall’istante t=0 in poi. Per semplicità,
visto che Eo è costante, possiamo derivare rispetto al tempo l’equazione alla maglia:
La soluzione di questa equazione differenziale è del tipo:
Dove Io e K sono costanti da determinare.
Tale soluzione deve tener conto delle condizione al tempo t
0 e per t
. Ossia:
Verifichiamo che la [3] sia soluzione della [2]:
!
All’istante t = 0 deve valere:
"! # $
%&'
In definitiva l’espressione della corrente cercata è :
( )
*+
,- .
0
/
Dal’espressione di i(t) si vede facilmente che per t
Calcoliamo la tensione ai capi del condensatore:
3
2
)%/1
la corrente tende a zero.
%&'
4
Dove Ao è una costante d’integrazione da determinare.
Imponiamo che il condensatore sia carico all’istante t=0:
6
!
6
'
In definitiva:
,1 )
,1 .
*+
0
)%/1
5
%&'
'
*+
7
6
!
"
Oscillatore astabile con Amplificatore Operazionale TL081
Lo schema che segue è tratto dal datasheet dell’integrato
TL081 della ST (SGS-Thomson). Supponiamo che l’uscita sia
in saturazione positiva Eo. In questo caso il morsetto non
invertente si trova al potenziale di soglia +Vs dato dal partitore
resistivo R1 ed R2.
Supponiamo inizialmente il condensatore scarico.
Con queste ipotesi il condensatore si carica per convergere
verso l’uscita posta a potenziale Eo. Una volta superato la
tensione +Vs l’ operazionale commuta l’uscita , che si porta a
–Eo. In questo caso il condensatore effettua una carica verso il
potenziale –Eo partendo da un valore +Vs. Quando la tensione
del condensatore raggiunge la soglia –Vs, l’operazionale
commuta di nuovo verso la saturazione positiva. In questo
caso si ha una carica del condensatore che parte da un valore
di –Vs per raggiungere di nuovo +Eo. In definitiva il
condensatore effettua una serie di cariche una volta verso il
valore positivo ed un’altra volta verso un valore negativo.
L’uscita varia tra i due valori di saturazione ±Eo con una
frequenza che adesso andiamo a determinare.
Dal diagramma temporale che segue si evince chiaramente il processo di carica e “scarica” del
condensatore.
Per la simmetria dei potenziali in gioco, per calcolare la
frequenza di oscillazione basterà calcolare il tempo che
impiega il condensatore ad effettuare una carica partendo
dal valore –Vs per raggiungere il valore +Vs.
Il calcolo formale può essere esplicitato facendo uso della
formula [6] del paragrafo precedente calcolando il tempo
t1 che il condensatore impiega a caricarsi partendo dal
valore –Es per raggiungere il valore +Vs. Data la
simmetria delle tensioni in gioco, il periodo T è calcolato come 2*t1.
La frequenza di oscillazione in Hz può essere calcolata con la seguente formula:
8+9-
:
/ 1 ;< :
/
= /=
:
=
Con i valori proposti dalla ST si ha una frequenza di 0.5 Hz come indicato nel datasheet.
La formula riportata nei datasheet dovrebbe essere corretta con 1/ 6RC e non 1/ 2RC.
Mettendo in serie ad R1 un trimmer da 1K è possibile centrare l’oscillazione ad 1 Hz, dato che se
R1=R2 si ha una frequenza di 1.3 Hz.