Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.
A.A. 2006/2007
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Foglio 1
In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri
reali, dove supporremo fissato un sistema di riferimento cartesiano Oxy ortogonale con unità di misura u.
Esercizio 1.1. Scrivere l’equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per il punto
(−2, 3) ∈ R2 e di direzione il vettore v = (4, 1).
Esercizio 1.2. Scrivere l’equazione cartesiana della generica retta:
1. parallela all’asse x;
2. parallela all’asse y;
3. passante per l’origine.
Esercizio 1.3. Siano A := (xA , yA ) e B := (xB , yB ) ∈ R2 . Verificare che la retta passante per i punti A
e B ha equazioni parametriche
x = xA + (xB − xA )t
y = yA + (yB − yA )t
e se AB non è parallelo ad un asse, allora l’euqazione cartesiana della medesima retta risulta
y−yA
yB −yA .
x−xA
xB −xA
=
Esercizio 1.4. Scrivere l’equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per i punti
A = (2, 1), B = (−1, 4) ∈ R2 .
Esercizio 1.5. Calcolare la distanza tra i punti A e B di cui all’esercizio ??.
Esercizio 1.6.
Scrivere l’equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per il punto
A := − 21 , 3 e parallela alla retta y = −2x + 1.
Esercizio 1.7. Verificare che la retta parallela ad r : ax + by + c = 0 e passante per il punto Q := (x1 , y1 )
si può scrivere nella forma a(x − x1 ) + b(y − y1 ) = 0.
Esercizio 1.8. Dimostrare che se b 6= 0 e le equazioni ax + by + c = 0 e y = mx + q definiscono la
medesima retta, allora m rappresenta il coefficiente angolare della retta (ossia la tangente trigonometrica
dell’angolo che la retta forma con il verso positivo del vettore individuante l’asse x). Dimostrare inoltre
che q è l’ordinata all’origine (i.e. l’intersezione tra r e l’asse y è il punto (0, q)).
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Foglio 1
Esercizio 1.9. Trovare il fascio di rette di centro P := (1, 2) e determinanrne due generatrici.
Esercizio 1.10. Nel fascio generato dalle rette x − y = 0 e 2x = 1 trovare quella passante per il punto
Q := (1, 2).
Esercizio 1.11. Dato il fascio di rette kx + 2(k − 1)y + 3k = 0 determinare se è un fascio proprio o
improprio e trovarne la/le generatrice/i. Nel caso sia un fascio proprio trovare il punto in comune a tutte
le rette.
Quante rette appartenenti al fascio suddetto passano per il punto Q := (−3, 0)? È possibile trovare un
valore di k per cui l’equazione del fascio sia l’equazione di tale retta?
Esercizio 1.12. Nel fascio improprio delle rette parallelle all’asse y determinare quella che incide la retta
3y + x − 1 = 0 nel punto di coordinate (7, −2).
Esercizio 1.13. Determinare nel fascio improprio delle rette parallele ad r : 2x − y + 2 = 0 la retta che
stacca sull’asse delle x un segmento di lunghezza 6u.
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Foglio 2
2
Foglio 2
Esercizio 2.1. Dati i vettori u := 12 , 0, 1 , v := (1, 1, −1), w := (2, 1, 0) ∈ R3 . Sia z = 2u + 2v − 32 w.
Scrivere z come combinazione lineare dei seguenti vettori: u0 := (0, 0, 3), v := (0, 1, 1), w := (−1, 1, 0) ∈
R3 .
Esercizio 2.2. Verificare che l’insieme M(n,m) (R) delle matrici m × n ad elementi reali è uno spazio
vettoriale su R
Esercizio 2.3. Verificare che l’insieme V dei vettori applicati (ad esempio in un punto P0 ) è uno spazio
vettoriale.
Esercizio 2.4. Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di V = R3 sono dei sottospazi di V :
S1 := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 = 0},
S2 := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 = 1},
S3 := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 ≥ 0}.
Esercizio 2.5. Verificare che se S ed S 0 sono sottospazi di uno spazio vettoriale V , allora anche S ∩ S 0
è uno sottospazio di V .
Esercizio 2.6. Verificare che S := {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + 3x2 − x3 + 4x4 = 0} è un sottospazio di
R4 e calcolarne una base.
Esercizio 2.7. Dimostrare che l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di m equazioni
in n incognite x1 , . . . , xn a coefficienti in C è uno spazio vettoriale su C.
Esercizio 2.8. Sia V un R-spazio vettoriale di vettori applicati in P0 . Siano π un piano passante per P0
ed r, s due rette per P0 . Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di V sono sottospazi:
Sπ := {(P − P0 ) ∈ V | P ∈ π},
Sr := {(P − P0 ) ∈ V | P ∈ r},
Ss := {(P − P0 ) ∈ V | P ∈ s},
Sr ∪ Ss .
Esercizio 2.9. Verificare che tre vettori nello spazio sono linearmente indipendenti se e solo se sono
non-complanari.
Esercizio 2.10. Dimostrare che due vettori nel piano sono linearmente indipendenti se e solo se non
giacciono sulla stessa retta.
Esercizio 2.11. Siano S1 ed S2 due sottospazi di V . Si definisca S1 + S2 := {v ∈ V | ∃ v 1 ∈ S1 , v 2 ∈ S2 :
v = v 1 + v 2 }. Verificare che S1 + S2 è un sottospazio di V .
Esercizio 2.12. Siano U =< u1 , u2 , u3 > e W =< w1 , w2 , w3 > due sottospazi di R4 con u1 =
(1, 1, 0, −1), u2 = (1, 2, 3, 0), u3 = (2, 3, 3, −1), w1 = (1, 2, 2, −2), w2 = (2, 3, 2, −3), w3 = (1, 3, 4, −3).
Determinare la dimensione di U + W .
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Foglio 2
Esercizio 2.13. Sia V = M(n,n) (R). Siano S il sottoinsieme delle matrici simmetriche di V ed S 0 il
sottoinsieme delle matrici antisimmetriche di V . Verificare che S ed S 0 sono sottospazi di V e dimostrare
che S ⊕ S 0 = V .
Esercizio 2.14. Stabilire se le seguenti terne di vettori sono linearmente indipendenti in R4 :
• v 1 = (1, 0, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0, 0), v 3 = (2, −1, 0, 0);
• w1 = (1, 0, 0, 0), w2 = (1, 1, 0, 0), w3 = (0, 1, 2, 1).
Esercizio 2.15. Verificare che v 1 = (−1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (0, 0, 1), v 4 = (1, 1, 1) è un sistema di
generatori di R3 ma non è una base.
Esercizio 2.16. Determinare quali tra i seguenti sottoinsiemi di R4 sono sottospazi e trovarne eventualmente una base:
W1 := {(a, b, 2a, −b) ∈ R4 | a, b ∈ R},
W2 := {(a, 1 + a, a − b, 0) ∈ R4 | a, b ∈ R},
W3 := {(a + b, b − a, 0, −b) ∈ R4 | a, b ∈ R},
W4 := {(a, 0, b, ab) ∈ R4 | a, b ∈ R}.
Esercizio 2.17. Si considerino i seguenti sottospazi di R4 : V = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − ky = z = 0} e
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | t + y = kx + z = 0} dove k è un parametro reale. Dopo aver scritto una base per
V ed una base per W , determinare i valori di k per cui risulta W + V = R4 .
Esercizio 2.18. Torvare una base del sottospazio S = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y = 0} ⊂ R3 .
Esercizio 2.19. Trovare una base di S ∩ S 0 ⊂ R3 dove S = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y = 0} ed S 0 = {(x, y, z) ∈
R3 | x + 2y − z = 0}.
Esercizio 2.20. Trovare una base del sottospazio S +S 0 ⊂ R4 dove S = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x−y = 0} ed S 0
è l’intersezione dei seguenti sottospazi T e T 0 con T = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 2z = 0} e T 0 = {(x, y, z, t) ∈
R4 | y − z = 0}.
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Foglio 3
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Foglio 3
Esercizio 3.1. Sia V = R3 . Si consideri S ⊆ V t. c.
S := {(x, y, z) ∈ R3 | x + 3y − 2z = −7, 4x + 2y − z = 3, 3x + 5y = 1}.
Descrivere il generico elemento di S e dedurre che S non è un sottospazio di V (vedi Esercizio 7 del Foglio
2)
Esercizio 3.2. Sia V = R3 . Trovare una base del seguente sottospazio S ⊆ V :
S := {v = (x, y, z) ∈ V | x + 2y = 0, x − z = 0, 2x + 2y − z = 0}.
Esercizio 3.3. Risolvere, se possibile, il seguente sistema lineare in R3 :

x+z =2



2y + z = 1
.
x−y =1



3x − y + z = 4
Esercizio 3.4. Risolvere, se possibile, il seguente sistema lineare in R3 :

 x + 2y − z = 0
2x − y + z = 3 .

x + 3y + z = 2
Esercizio 3.5. Discutere al variare del parametro h ∈ R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema
lineare in R2 :
hx + (2h − 1)y = 2
.
x + hy = 2h
Esercizio 3.6. Discutere al variare del parametro h ∈ R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema
lineare in R3 :

 x + hy + z = 2h − 1
x + y + hz = 0
.

hx + y + z = 5
Esercizio 3.7. Determinare al variere di h ∈ R la dimensione del sottospazio vettoriale di V = R3
generato dai vettori u = (0, 1, 1), v = (1, 1, h), w = (−1, h, 0) ed esprimere poi il vettore s = (1, 1, 1) come
combinazione lineare di u, v, w.
Esercizio 3.8. Siano U :=< u1 , u2 >, W :=< w1 , w2 > sottospazi di R3 con u1 = (1, 2, 1), u2 =
(0, 1, −1), w1 = (1, 0, 1) e w2 = (1, 3, 0). Determinare la dimensione di U + W .
Esercizio 3.9. Siano S1 := {(x, y, z, t) ∈ R4 | x−y −t = 0} ed S2 := {(x, y, z, t) ∈ R4 | x−y = 0, y −3z =
0} due sottospazi di V = R4 . Torvare una base per S1 ∩ S2 ⊆ V ed una base per S1 + S2 ⊆ V .
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Foglio 3
Esercizio 3.10. Discutere al variare del parametro h ∈ R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema
lineare in R2 :

 x+y =2
hx − y = −1 .

x−y =1−h
Esercizio 3.11. Discutere al variare del parametro h ∈ R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema
lineare in R3 :

 x + (h + 1)y + z = 2 + h
(h + 3)y + z = 2h2
.

x + (5 + h)y + (1 + h)z = 6 − h
Esercizio 3.12. Sia h ∈ R un parametro reale e siano S1 , S2 sottospazi di V = R4 cosı́ definiti:
S1 := {(x, y, z, t) ∈ V | hy + t = 0, 2x − z = 0},
S2 := {(x, y, z, t) ∈ V | y − hz = 0, (h + 1)x − 2z − ht = 0}.
Stabilire la dimensione di S1 ∩ S2 ⊆ V = R4 al variare di h ∈ R.
Esercizio 3.13. Sia h ∈ R un parametro reale e sia S ⊂ V = R4 il seguente sottospazio:
S := {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − hy + ht, −2y − z + t = 0, x + y + hz = 0}.
Trovare una base di S.
Esercizio 3.14. Dsicutere in R2 il sistema

 −x + y = −1
hx + 2y = 2

x+y =3
dove h è un parametro reale.
Esercizio 3.15. Discutere e, ove possibile, risolvere il seguente sistema in R3 :

2x + y − 5z = h



−x + 3y + hz = 0
3x + 2y − 9z = 0



−x + y − 2z = 0
dove h è un parametro reale.
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Foglio 4
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Foglio 4
In tutti gli esercizi che seguono lo spazio ambiente è R3 .
Esercizio 4.1. Scrivere l’equazione del piano di R3 passante per i punti A : (0, 1, 0), B : (2, 1, 0) e
C : (0, 1, 1).
Esercizio 4.2. Scrivere l’equazione del piano π ⊂ R3 passante per il punto A : (2, 1, −1) ∈ R3 e parallelo
al piano π 0 ⊂ R3 definito dall’equazione cartesiana x − 3y + z − 1 = 0.
Esercizio 4.3. Scrivere l’equazione del piano di R3 passante per la retta x = y = z − 1 e per il punto
P : (5, 1, 1) ∈ R3 .
Esercizio 4.4. Scrivere l’equazione del piano di R3 passante per i punti A : (3, 0, 1), B : (2, 2, 2) ∈ R3 e
parallelo alla direzione individuata dal vettore v = (1, 1, 0).
Esercizio 4.5. Scrivere l’equazione del piano di R3 passante per i punti P : (1, 1, 1), Q : (2, 1, 2) e parallelo
alla retta r ⊂ R3 di equazioni

 x=t
y = 2t .

z = 3t
Esercizio 4.6. Determinare la distanza tra i piani π e π 0 di R3 con equazioni rispettive x − y + 4z = 0 e
x − y + 4z − 9 = 0.
Esercizio 4.7. Scrivere l’equazione del piano assiale al segmento di estremi A : (1, 0, 1) e B : (2, 2, 0).
Esercizio 4.8. Si considerino i punti A : (1, 1, 1), B : (0, 1, 0), C : (0, 2, 1), D : (0, 0, 0) ∈ R3 . Stabilire se
sono complanari.
Esercizio 4.9. Siano date le rette
x+y+z+1=0
r:
,
x−y =1

 x = 1 + 2t
y = 2 + 3t .
s:

z=t
Scrivere le equazioni parametriche di r e le equazioni cartesiane di s.
Esercizio 4.10. Scrivere le equazioni della retta di R3 congiungente i punti A : (1, 1, 1) e B : (2, 3, 5).
Esercizio 4.11. Scrivere le equazioni della retta r ⊂ R3 passante per il punto Q : (1, −1, 0) ∈ R3 ,
incidente la retta s : x = y = z e parallela al piano π : 2x − y + 4 = 0.
Esercizio 4.12. Scrivere l’equazione del piano passante per il punto P : (1, 1, 0) ∈ R3 e parallelo al piano
di equazione x − z + 1 = 0.
Esercizio 4.13. Scrivere l’equazione della retta r ⊂ R3 passante per i punti A : (1, 2, 3) e B : (0, −4, 1).
Esercizio 4.14. Scrivere le equazioni della retta r ⊂ R3 passante per i punto P : (1, 0, 0) ∈ R3 ed
ortogonale al piano π ⊂ R3 descritto in forma parametrica dalle seguenti equazioni:

 x = 2 + t1
y = t2
π:
.

z = 3 + t1
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Foglio 4
Esercizio 4.15. Sia r ⊂ R3 la retta cosı̀ definita:

 x=3+t
y = −t
r:
;

z = −2 − 2t
trovare una retta passante per il punto B : (3, 1, −2) ∈ R3 , sgemba con r e parallela al seguente piano
π ⊂ R3 :

 x = 1 − t1 + t 2
y = 3t2
π:
.

z = −t1 − 2t2
Esercizio 4.16. Scrivere l’equazione del piano di R3 passante per il punto P : (1, 2, 0) ∈ R3 e contenente
la retta r ⊂ R3 definita dalle seguenti equazioni cartesiane:
x+y =0
r:
.
2x + z + 1 = 0
Esercizio 4.17. Scrivere l’equazione della retta r ⊂ R3 passante per Q : (1/2, −3, 0) ∈ R3 , parallela al
piano di equazione cartesiana 2x − y + 1 = 0 e incidente la retta s ⊂ R3 :
x=y
s:
.
y =z+2
Esercizio 4.18. Stabilire se le rette r :
y=1
z=3
ed s :
x=1
−y + z − 1 = 0
sono incidenti, parallele o
sghembe.
Esercizio 4.19. Stabilire per quali valori del parametro reale h le rette
x − 2hy + 3z = 0
x + hy = 2
r:
, s:
hx + y = 0
y − hz = 0
sono parallele.
Esercizio 4.20. Scrivere le equazioni della retta r ⊂ R3 che passa per il punto P : (1, 1, 1) ∈ R3 , è
perpendicolare alla retta s ⊂ R3 di equazioni:

 x=2+t
y = 2 + 2t

z = 2 + 3t
ed è parallela al piano π ⊂ R3 di equazione x + 3y = 0.
Esercizio 4.21. Scrivere le equazioni della retta di R3 incidente e perpendicolare ad entrambe le rette


 x=1
 x=t
y=0 , s:
y = 2t .
r:


z=τ
z = 2t
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Foglio 4
Esercizio 4.22. Stabilire se le seguenti rette di R3 sono complanari o sghembe:
x−1=0
2x = y
r:
, s:
.
y=0
y=z
Esercizio 4.23. Siano date nello spazio le rette sghembe
2x − z = 0
x+y+z−1=0
r:
, s:
.
y−z =0
3x + 2z = 0
Calcolare la distanza minima tra r e s.
Esercizio 4.24. Calcolare la distanza dal punto P : (2, 0, 1) ∈ R3 dalla retta r ⊂ R3 di equazioni:
x+y =0
.
y−z+1=0
Esercizio 4.25. Scrivere l’equazione del luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano π : z = 1 e dal
punto P : (α, α, 0) ∈ R3 con α parametro reale. Successivamente determinare α in modo tale che il punto
Q : (0, 1, −1) ∈ R3 appartenga al luogo.
Esercizio 4.26. Siano dati i piani π, π 0 ⊂ R3 di equazioni rispettive 2x + y + z = 0 e x − z − 1 = 0.
Scrivere l’equazione del piano π 00 simmetrico di π 0 rispetto a π.
Esercizio 4.27. Si considerino nello spazio le rette
x=0
y=1
p:
, q:
,
y=1
z=2
r:
x=0
.
z=2
Stabilire se p, q, r appartengono ad un medesimo fascio.
Esercizio 4.28. Si consideri il sistema
(h + 1)x + y − h − 2 = 0
y + hz − 1 = 0
dove h ∈ R.
1. Verificare che il sistema rappresenta una retta nello spazio ∀ h ∈ R;
2. detta Fh la famiglia di rette data dal sistema al variare di h, determinare una retta di Fh perpendicolare alla retta r : 3x = −3y = −2z.
Esercizio 4.29. Si consideri la famiglia di rette Fh dell’esercizio precedente
1. stabilire se esistono rette di Fh ortogonali al piano π di equazione
x − 2y + 2z − 3 = 0;
2. verificare che le tutte rette di Fh passano per uno stesso punto V ∈ R3 . Determinare V .
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Foglio 4
Esercizio 4.30. Scrivere le equazioni del luogo dei punti dello spazio che appartengono al piano y−2x−2 =
0 e sono equidistanti dalla retta r:
x=z
y=0
e dal piano x = 0.
Esercizio 4.31. Scrivere l’equazione del luogo delle rette che sono parallele al piano z = 0 ed incidenti
all’asse z e alla retta r di equazioni

 x=3+t
y =2+t .

z =1+t
Esercizio 4.32. Siano
1. π ⊂ R3 un piano passante per la retta x = y = z;
2. P ∈ R3 l’intersezione di π con la retta r ⊂ R3 di equazioni

 x = 2t
y=t

z =1+t
3. σ ⊂ R3 il piano per P e parallelo al piano 2y − z + 1 = 0;
4. s ⊂ R3 la retta intersezione dei piani π e σ. Scrivere l’equazione della superficie descritta da s al
variare di π.
Esercizio 4.33. Si considerino la famiglia di piani
F : (k 2 − 2k + 2)x + (2 − k)y + z − 1 = 0
e la retta r : 2x = 2y = −z.
1. Determinare i piani di F paralleli a r.
2. Scrivere l’equazione del luogo delle rette passanti per il punto O : (0, 0, 0) e perpendicolari ai piani
di F.
Esercizio 4.34. Si considerino le rette

 x=1−t
y =h+t ,
r:

z=t
s:
x + y − hz = 0
.
2x + hz − 1 = 0
Trovare i valori di h in modo che r ed s siano incidenti. In corrispondenza dei valori trovati scrivere
l’equazione del piano contenente r e s.
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Foglio 4

 x = 3t
y=t ;
Esercizio 4.35. Dato il fascio di piani kx + 2y − (3 + k)z + 41 = 0 in R3 e il fascio di rette r :

z = αt
trovare k ed α reali tali che le equazioni dei due fasci rappresentino rispettivamente un piano ed una retta
tra loro perpendicolari. Calcolare poi la distanza del loro punto di intersezione dal piano del fascio (se
esiste) parallelo alla retta y = z = 0.
Esercizio 4.36. Siano π : x + y + z = 0 e π 0 : −x + 2z + 1 = 0 due piani di R3 . Trovare il piano π 00
simmetrico a π rispetto a π 0 .
Esercizio 4.37. Scrivere il luogo dei punti di R3 che appartengono al piano π ⊂ R3 di equazione x = 0,
che sono equidistanti dalla retta r ⊂ R3 e dal piano π 0 ⊂ R3 cosı̀ definiti:
x=1+y
r:
e π 0 : y = 1.
z=0
Esercizio 4.38. Scrivere l’equazione del luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano π : x = 1 e
dal punto P : (0, 0, a) ∈ R3 dove a è un parametro reale. Determinare poi a in modo tale che il punto
Q : (−4, 0, 0) ∈ R3 appartenga al luogo.
Esercizio 4.39. Trovare, se possibile, k ∈ R in modo tale che i seguenti punti di R3 siano complanari:
P1 : (0, 0, k), P2 : (1, k, 0), P3 : (k, 0, k) e P4 : (1, 1, k). Dopodiché, per uno di questi valori di k, trovare
un piano paralello a quello generato da P1 , . . . , P4 passante per Q = (1, 1, 1) ∈ R3 .

 x=2+t
y = −t
. Trovare in esso il piano
Esercizio 4.40. Sia dato il fascio di piani incidenti in r :

z =1−t
π ⊂ R3 passante per il punto P : (0, 0, 2) ∈ R3 . Sia ora π 0 ⊂ R3 il piano parallelo a π e passante per
Q : (2, 4, 0) ∈ R3 . Si consideri il fascio di rette costituito da tutte le rette di π 0 perpendicolari ad r. In
quest’ultimo fascio di rette trovare quela passante per R proiezione ortogonale di M su π 0 dove M è il
punto medio del segmento P Q. Calcolare infine l’area del triangolo di vertici P, Q, R.
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Foglio 5
5
Foglio 5
Esercizio 5.1. Si considerino la seguenti applicazioni
1. f : R → R, definta da f (x) = x2 + 5;
2. g : R+ → R, definita da g(x) = log(x).
Specificare quali applicazioni sono iniettive, suriettive, bijettive.
Esercizio 5.2. Si considerino le applicazioni
1. f : R → R tale che f (x) = x6 ;
2. g : R → R tale che g(x) = ex + 1.
Verificare che f e g non sono bijettive. Stabilire se è possibile modificare dominio e codominio di f e g in
modo che diventino entrembe bijettive.
Esercizio 5.3. Sia f : R3 → R2 l’applicazione lineare con matrice associata rispetto alle basi canoniche
nei rispettivi spazi:
1 a 1
A=
.
b 2b 1
Si determinino gli eventuali valori di a, b ∈ R per cui f è suriettiva.
Esercizio 5.4. Sia data un’applicazione f : R3 → R3 tale che
f ((0, 1, 1)) = (3, 0, 0)
f ((2, 0, 1)) = (2, 1, 2)
f ((2, 1, 2)) = (0, −1, 1).
Stabilire se f è lineare.
Esercizio 5.5. Si consideri l’endomorfismo f : R3 → R3 tale che

 f (e1 ) = 2e1 + e2 − 3e3
f (e2 ) = e1 + 3e2 − 2e3

f (e3 ) = f (e1 ) − 2f (e2 )
dove {e1 , e2 , e3 } è la base canonica di R3 . Si scriva una matrice associata ad f e si calcoli le dimensioni
di Ker(f ) o Im(f ).
Esercizio 5.6. Si considerino in R3 , in cui è fissata la base canonica, i tre vettori v 1 = (0, 1, 2), v 2 =
(3, 2, 1), v 3 = (0, 1, 0). Dopo aver verificato che v 1 , v 2 , v 3 formano una base di R3 , scrivere le equazioni
della sostituzione lineare omogenea tra le coordinate (x, y, z) di un vettore di R3 rispetto alla base canonica
e le coordinate (x0 , y 0 , z 0 ) dello stesso vettore rispetto alla base (v 1 , v 2 , v 3 ).
Esercizio 5.7. Siano B = (v 1 , v 2 ) e B 0 = (v 01 , v 02 ) due basi di R2 con v 1 = (2, 1), v 2 = (0, 1), v 01 = (1, −1),
v 02 = (1, 1). Scrivere le equazioni della sostituzione lineare tra le coordinate (x, y) rispetto a B e (x0 , y 0 )
rispetto a B 0 .
12
Foglio 5
Esercizio 5.8. In R2 si consideri la base B = (v 1 , v 2 ) con v 1 = (1, 1) e v 2 = (−1, 0), e l’applicazione
lineare f che, rispetto alla base B, è associata alla matrice
3 −2
M=
.
1 2
Determinare la matrice di f rispetto alla base canonica E = (e1 , e2 ).
Esercizio 5.9. In R3 , fissata la base canonica, si consideri l’endomorfismo definito da

 f (e1 ) = me1 + e2
f (e2 ) = 2e1 + me2

f (e3 ) = −e1 − e2 + 2e3
ove m è un parametro reale. Stabilire se f è semplice.
Esercizio 5.10. In R4 si consideri l’endomorfismo f definito dalla sostituzione lineare omogenea

y1 = 2x1 + x2 + 3x3 + x4



y2 = x1 − x2 + 2x4
.
y3 = x2 + x3 − x4



y4 = 0
1. Determinare la dimensione e una base per Im(f ).
2. Trovare una base per Ker(f ).
Esercizio 5.11. In R4 , in cui si pensa fissata la base canonica E = {e1 , e2 , e3 , e4 }, sono dati:
• l’applicazione lineare f tale che

f (e1 ) = e1 − 2e2



f (e2 ) = e3 + e4
f (e3 ) = e2



f (e4 ) = e1 − e2 + e3 + e4
• il sottospazio V di equazioni

 x1 + x4 = 0
−2x1 + x3 − x4 = 0

x2 + x4 = 0
ove x1 , x2 , x3 , x4 sono le coordinate in R4 associate a E.
Determinare la dimensione e una base per f (V ).
Esercizio 5.12. Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare definita da f (x, y, z) = (hx − y, y, hx + hy + z)
dove h ∈ R. Dopo aver determiato i valori di h in corrispondenza dei quali f è un automorfismo, scrivere
un’espressione analitica dell’applicazione lineare inversa f −1 .
13
Foglio 5
Esercizio 5.13. Si consideri l’endomorfismo fh : R3 → R3 associato alla matrice


h 0 h
Ah =  −1 1 h 
0 0 1
con h ∈ R. Si stabilisca se f è semplice.
Esercizio 5.14. Calcolare dimensioni di Ker(f ) e Im(f ) delle applicazioni lineari descritte negli esercizi
precedenti. Trovarne poi rispettive basi.
Esercizio 5.15. Sia f un endomorfinsmo di R3 tale che f (x, y, z) = (2x, z − y, y + x).
1. Trovare dimensioni e basi di Im(f ) e Ker(f );
2. Determinare dimensioni e basi per f (U ) ∩ f (V ) e f (U ) + f (V ) dove U =< (0, 0, 1), (2, 1, 0) > e
V =< (1, 0, 1), (1, 1, 0) >.
Esercizio 5.16. Sia data l’applicazione lineare f : R3 → R3 , t.c. f (x, y, z) = (2x+y+z, 4x+z, 6x+y+2z).
Determinare le dimensioni di Im(f ) e Ker(f ). Trovare poi (x, y, z) ∈ R3 t.c. f (x, y, z) = (3, 2, 5).
Esercizio 5.17. Sia {e1 , e2 , e3 } la base canonica di R3 . Trovare una base per Ker(f ) dove

 f (e1 ) = e1 − 2e3
f (e2 ) = −e1 + e2 + 3e3 .

f (e3 ) = 2e1 − 4e3
f
Esercizio 5.18. Sia data f : R3 → R3 applicazione lineare t.c. (x, y, z) 7→ (x+y, x−y +2z, x). Descrivere
una matrice associata ad f . Siano poi U :=< u1 , u2 > e V :=< v 1 , v 2 > due sottospazi di R3 generati
rispettivamente dai vettori u1 = (2, 2, 0), u2 = (−2, 2, 2) e v 1 = (1, −1, −1), v 2 = (2, −2, 0). Determinare
la dimensione e rispettive basi per gli spazi f (U ) ∩ f (V ) e f (U ) + f (V ).
Esercizio 5.19. Sia data l’applicazione lineare f : R3 → R2 cosı́ definita: f (x, y, z) = (x − y, x − z).
Stabilire la dimensione dell’immagine e del nucleo di f .
Esercizio 5.20. In R3 , fissata la base canonica, si consideri l’endomorfismo ft associato alla matrice


t
0
(t + 1)2
.
0
Mt :=  0 t + 1
1
0
2(t + 1)
• Determinare il valore del parametro per cui ft risulta un automorfismo.
• Determinare la dimensione e una base per Im(ft ) nel caso in cui t = 1.
Esercizio 5.21. Sia data l’applicazione lineare f : R3 → R3 t.c. f (x, y, z) = (x, 2y, y − z, x + 2z).
Determinare dim(Im(f )) e dim(Ker(f )) e relative basi.
f
Esercizio 5.22. Studiare Im(f ) e Ker(f ) di f : R4 → R3 con (x, y, z, t) 7→ (x − y + z + t, x − 2z − t, x +
y + 3z − 3t).
14
Foglio 5
Esercizio 5.23. Sia f : R4 → R4 t.c. f (x, y, z, t) = (x + 2y + z, 4x + z, x + y, z + t), Sia S ⊆ R4 il
sottospazio S := {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + t = −2x + z − t = y + t = 0}. Trovare una base per f (S).
Esercizio 5.24. Si fissi in R4 la base canonica e si consideri fk : R4 → R4 con matrice associata


k
0 1 k
 k − 1 −1 0 1 
.
Ak = 
 2k
0 2 1 
0
0 0 1
Stabilire per quali k ∈ R, dim(Ker(f )) = 1.
15
Foglio 6
6
Foglio 6
Esercizio 6.1. Trovare quei k ∈ R tali che la seguente applicazione lineare sia un automorfismo di R3 :
f : R3 → R3
f (x, y, z) = (x + ky + z, 2x + y + kz, 2x + y).
Esercizio 6.2. Sia f : R3 → R3 con f (x, y, z) = (kx − y, x + ky − 2z, −x + ky + z). Trovare quei k ∈ R,
se esistono, tali che dim(Im(f )) ≤ 2.
Esercizio 6.3. Sia f : R4 → R3 con f (x, y, z, t) = (x + t, x + ky + kz + t, kz). Trovare quei k ∈ R, se
esistono, tali che dim(Ker(f )) ≥ 2.
Esercizio 6.4. Sia f : R3 → R2 con f (x, y, z) = (−2x + (2 − k/2)y + 3z, −4x + (6 − k/2)y + 5z). Sia
inoltre U ⊂ R3 il sottospazio generato dai vettori u1 = (1, 0, 1) e u2 = (1, 2, 0). Trovare, se esistono, quei
k ∈ R tali che f (U ) sia una retta di R2 .
Esercizio 6.5. Sia B := {v 1 , v 2 , v 3 } una base di R3 con v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1) e v 3 = (−1, 0, 2).
Trovare f un endomorfismo di R3 tale che l’immagine di B sia una base ortonormale di R3 ed <
f (v 1 ), f (v 2 ) >= {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0}.
Esercizio 6.6. Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f ) e Ker(f ) dove f è cosı̀ definita
f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (kx − y, zk, x − y).
Esercizio 6.7. Sia B := {v 1 , v 2 , v 3 } una base di R3 con v 1 = (0, 1, 2), v 2 = (1, 0, −1) e v 3 = (3, 0, 0)
Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f ) e Ker(f ) dove f è l’endomorfismo di R3 definito
nel modo seguente tramite l’immagine dei vettori di B:

 f (v 1 ) = (1, 0, 1)
f (v 2 ) = (0, 1, 1)

f (v 3 ) = (k, k, k)
Esercizio 6.8. Sia f : R2 → R4 con f (x, y) = (kx, y, x − ky, 2x − ky). Discutere al variare di k in R, le
dimensioni di Im(f ) e Ker(f ).
Esercizio 6.9. Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f ) e Ker(f ) dove f è cosı̀ definita
f : R4 → R3 f (x, y, z, t) = (x − t, kz + t, x + 2z).
Esercizio 6.10. Sia f : R3 → R3 con f (x, y, z) = (kx, ky + z, kx − 2kz). Studiare dim(Im(f )) e
dim(Ker(f )).
Esercizio 6.11. Nello spazio vettoriale R4 si considerino i vettori v 1 = (1, 0, 1, 0), v 2 = (2, 0, 0, 1),
w1 = (1, 1, 1, 0), w2 = (0, 0, −2, 1) e i sottospazi V =< v 1 , v 2 > e W =< w1 , w2 >. Studiare i sottospazi
V ∩ W e V + W.
Esercizio 6.12. Siano dati i vettori u1 = (2, 5, 0), u2 = (3, 1, 2), u3 = (1, 9, −2) e u4 = (1, −4, 2) in R3 .
Stabilire qual è la dimensione di U =< u1 , u2 , u3 , u4 >.
Esercizio 6.13. Si considerino i seguenti sottospazi di R4 : V := {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − ky = z = 0} e
W := {(x, y, z, t) ∈ R4 | t + y = kx + z = 0} dove k è un parametro reale. Determinare i valori di k per
cui risulta dim(V + W ) = 4.
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Foglio 7
7
Foglio 7
Esercizio 7.1. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R2 → R2 con
f (x, y) = (x, −y).
Esercizio 7.2. Stabilire se la seguente applicazione lineare sia semplice e trovarne gli autospazi: f : R3 →
R3 tale che f (x, y, z) = 2y, 21 x, 7x + z .
Esercizio 7.3. Dimostrare che l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (x, 2x − y + z, x + 5y + 3z)
è semplice. Trovare una base di autovettori e scrivere la matrice che rappresenta la f in tale base.
Esercizio 7.4. Dimostrare che l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (x, 2x − x + y + z, −x + 2z)
è semplice. Trovare una base di autovettori e scrivere la matrice che rappresenta la f in tale base.
Esercizio 7.5. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R2 → R2 con
f (x, y) = (x + y, y).
Esercizio 7.6. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R2 → R2 con
f (x, y) = (x, x + y).
Esercizio 7.7. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R2 → R2 con
f (x, y) = (x + y, x + y).
Esercizio 7.8. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R2 → R2 con
f (x, y) = (x + ay, bx + y) dove a, b sono parametri reali.
Esercizio 7.9. Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare definita nel modo seguente: f (x, y, z) = (y −z, −x+
2y − z, x − y + 2z). Dimostrare che è semplice e trovare una base di autovettori per R3 e determinare la
matrice che rappresenta f in tale base.
Esercizio 7.10. Stabilire se l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (−6x + 2y − 5z, −4x + 4y − 2z, 10x − 3y + 8z)
è semplice. Descriverne poi gli autospazi.
Esercizio 7.11. Stabilire se l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (−8x − 13y − 14z, −6x − 5y − 8z, 14x + 17y + 21z)
è semplice. Descriverne poi gli autospazi.
Esercizio 7.12. Stabilire se l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (x, −3y − 15z, 2y + 8z)
è semplice. In caso affermativo trovare una base di autovettori per R3 e determinare la matrice che
rappresenta f in tale base.
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Foglio 7
Esercizio 7.13. Stabilire se l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (−5x + 4y − z, −4x + y − 2z, 8x − 4y + 3z)
è semplice. Descriverne poi gli autospazi.
Esercizio 7.14. Stabilire se l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (13x + 59y + 34z, 10x + 40y + 24z, −18x − 79y − 46z)
è semplice. Descriverne poi gli autospazi.
Esercizio 7.15. Stabilire se l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (−4x + 2y + 5z, −44y − 120z, 16y + 44z)
è semplice. Descriverne poi gli autospazi.
Esercizio 7.16. Stabilire se l’applicazione lineare f : R4 → R4 cosı́ definita
f (x, y, z, t) = (y, z, t, x)
è semplice. Descriverne poi gli autospazi.
Esercizio 7.17. Trovare per quali valori reali di k ∈ R l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (x + y, y, kz) è semplice.
Esercizio 7.18. Trovare per quali valori reali di a, b ∈ R l’applicazione lineare f : R2 → R2 cosı́ definita
f (x, y) = (x + ay, bx + y) è semplice.
Esercizio 7.19. Trovare per quali valori reali di k ∈ R l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (kx + y, y + z, z) è semplice.
Esercizio 7.20. Trovare per quali valori reali di k ∈ R l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (y − kz, x − kz, kz) è semplice.
Esercizio 7.21. Trovare per quali valori reali di k ∈ R l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (2kz, x + ky, x) è semplice.
Esercizio 7.22. Trovare per quali valori reali di k ∈ R l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (y, x − ky, z) è semplice.
Esercizio 7.23. Trovare per quali valori reali di k ∈ R l’applicazione lineare f : R3 → R3 cosı́ definita
f (x, y, z) = (10x, −ky + 3z, x + y − z) è semplice.
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