Prof. A. Di Muro
Moto rettilineo vario
Abbiamo visto che la legge oraria della posizione è una funzione del tempo, x f (t ) infatti nel M.R.U. è
1
x x 0 v t rappresentabile con una retta, mentre nel M.R.U.A. è x = x 0 + v 0 t + a t 2
2
rappresentabile con una parabola.
Usando la derivata, dalla legge oraria della posizione è possibile ricavare la legge oraria della velocità e
da quest’ultima la legge oraria dell’accelerazione.
M.R.U. dalla proprietà di linearità dell’operatore si ha
dx d
dt
dx
.
( x 0 v t ) v v , visto che x 0 è costante la sua derivata è nulla, quindi v
dt dt
dt
dt
M.R.U.A dalla proprietà di linearità dell’operatore si ha
dx d
1
dt 1 d 2
( x 0 v0 t a t 2 ) v0
a
( t ) v0 a t
dt dt
2
dt 2 dt
Quindi v v0 a t
Applicando nuovamente l’operatore si ha:
dv
dv
a cioè a
costante
dt
dt
Se il moto è vario, l’accelerazione in generale non sarà costante, tuttavia sarà possibile ricavare tutte le
leggi orarie.
Esempio:
Data la legge oraria x 2 t 4 3 t 2 2 t 2 quale sarà la velocità e l’accelerazione del punto dopo due
secondi? In quali istanti di tempo il moto è accelerato?
Deriviamo rispetto al tempo
dx
8 t 3 6 t 2 per cui v 8 t 3 6 t 2
dt
applicando nuovamente l’operatore si ha:
dv
24 t 2 6 da cui a 24 t 2 6
dt
Per la prima domanda basta sostituire nelle leggi orarie corrispondenti t = 2 s
v ( 2 ) = 50 m / s
e a ( 2 ) = 90 m / s 2.
Per la seconda domanda basta studiare il segno del prodotto velocità per accelerazione:
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v a (8 t 3 6 t 2)(24 t 2 6) 0
Dopo semplici passaggi si ha
1
2
1
2
1
12(2t 1)3 (2t 1)(t 1) 0
Il moto è accelerato per
1
1
t t 1
2
2
+
+
È possibile fare il procedimento inverso, partendo dalla legge oraria dell’accelerazione risalire alla legge
oraria della velocità e da questa alla legge oraria della posizione.
Questo processo purtroppo non è univoco, occorre sapere qualcosa in più, occorre conoscere le
condizioni iniziali del moto per ogni procedimento inverso.
Esempio:
Data la legge oraria dell’accelerazione a 6 t e sapendo che la velocità dopo 2 s vale 11 m / s e che la
posizione dopo 3 s vale 24 m, determinare le leggi orarie della velocità e della posizione.
Determinare inoltre la velocità e la posizione dopo un secondo e quando il moto è accelerato.
Le condizioni v ( 2 ) = 11 m / s e x ( 3 ) = 24 m sono le condizioni iniziali.
Integrando nel tempo l’accelerazione si ha v a dt 6
t2
C1 3t 2 C1 ,
2
Applicando la prima condizione iniziale si ha:
12 C1 11 da cui C1 1 per cui la legge oraria della velocità è v 3 t 2 1
Integrando nel tempo la velocità si ha x v dt t 3 t C2 ,
Applicando la seconda condizione iniziale si ha:
27 3 C2 24 da cui C2 0 per cui la legge oraria della posizione è x t 3 t
La velocità dopo un secondo vale v ( 1 ) = 2 m / s.
La posizione dopo un secondo vale x ( 1 ) = 0 m.
il moto è accelerato quando v a 6 t (3 t 2 1) 0 con soluzione
3
3
t 0 t
3
3
Prof. A. Di Muro
la legge oraria della posizione
x t (t 2 1) presenta tre zeri a x = 0 e x = 1, inoltre la posizione è
positiva per t (t 2 1) 0 cioè per
2
2
mentre è negativa nella parte restante.
t 0 t
2
2
Ciò suggerisce di disegnare la curva spazio-tempo nel seguente modo:
x(m)
A
3
3
–1
3
3
1
t(s)
O
B
Inoltre nei punti A e B la tangente alla curva è orizzontale, ciò comporta velocità nulla
Studiamo il segno della velocità:
v 3 t 1 0
2
+
ricordando che laddove la velocità è
positiva lo è anche la pendenza della curva
spazio-tempo, risulta che per
t
3
3
3
3
t
+
3
3
t
3
3
la pendenza è positiva, mentre si annulla proprio in questi punti, ovvero i punti A e B della curva.
L’accelerazione invece è positiva per t > 0 e si annulla per t = 0 ciò significa che per tempi positivi la
concavità della curva è rivolta verso l’alto e per tempi negativi è rivolta verso il basso.
Il punto a t = 0 è quindi un punto di flesso.
Prof. A. Di Muro
Costruzione di grafici nel moto rettilineo vario
Consideriamo una legge oraria della posizione e
x(m)
A
E
D
B
t(s)
C
v(m/s)
+
G
t(s)
F
a(m/s2)
+
t(s)
determiniamo graficamente in modo approssimato le leggi
orarie restanti.
Il corpo parte da fermo nella posizione A, la pendenza
iniziale è nulla, quindi si muove verso le x negative con
pendenza massima negativa in B e si ferma in C dove la
pendenza è nulla.
Torna indietro lungo le x positive con pendenza e quindi
velocità positiva massima in D, quindi rallenta e si ferma in
E.
Per trovare il grafico delle velocità basta seguire le
pendenze, inizialmente la velocità è nulla, poi diventa
negativa, il punto a pendenza massima B costituisce quindi
un minimo della velocità negativa.
La velocità si annulla in C quindi diventa positiva con un
picco in D dove la pendenza è massima.
Poi diminuisce restando positiva fino a zero in E.
Analogamente per trovare il grafico delle accelerazioni.
Partendo dal grafico delle velocità, inizialmente la pendenza
è nulla e quindi l’accelerazione iniziale è nulla, poi la
pendenza diventa negativa, la pendenza massima negativa è
in F dove sarà presente un minimo dell’accelerazione.
La pendenza diventa poi nulla in B dove a = 0, quindi
diventa positiva con un massimo di accelerazione in C. In
seguito l’accelerazione decresce fino ad annullarsi in D e
ridiventa negativa con un minimo in G, poi sempre restando
negativa si annulla in E.
Considerando il prodotto dei segni tra velocità ed
accelerazione risulta che nel tratto AB il moto è accelerato,
nel tratto BC il moto è decelerato, nel tratto CD il moto è
nuovamente accelerato ed infine nel tratto DE il moto è
decelerato.
Particolarmente importante è la fase iniziale del moto, consideriamo per semplicità solo i grafici spaziotempo e velocità-tempo sovrapposti. La curva delle posizioni è blu, quella delle velocità è rossa. In fig. 3
il corpo parte da fermo per cui v = 0, in fig. 4 la velocità iniziale è negativa ed è data dal coefficiente
angolare della retta tangente, si dovrà quindi partire da una velocità negativa, infine nella fig.5 la velocità
iniziale è positiva ed il punto di partenza è sul semiasse positivo delle velocità.
v = tan
v=0
Fig. 3
v = tan
Fig. 4
Fig. 5
