esercizi di statistica matematica

ESERCIZI DI STATISTICA MATEMATICA
Docente titolare: Irene Crimaldi
20 giugno 2009
Es.1 Per fare un’indagine sull’altezza degli uomini appartenenti ad una certa popolazione, viene
estratto un campione di numerosità n = 20 e vengono registrati i seguenti risultati (in metri):
6 uomini di altezza 1.75
10 uomini di altezza 1.80
3 uomini di altezza 1.65
1 uomo di altezza 1.60
(a) Calcolare la media campionaria (ossia una stima non distorta dell’altezza media).
(b) Calcolare la varianza campionaria (ossia una stima non distorta della varianza dell’altezza).
Es.2 Si ha il seguente campione di numerosità n = 10 relativo alla quantità aleatoria X:
1, 0.5, 2, 2.3, −1, 0, −1.6, 2, −2.5, 1.
(a) Calcolare la media campionaria (ossia una stima non distorta della media di X).
(b) Calcolare la varianza campionaria (ossia una stima non distorta della varianza di X).
Es.3 All’esame di matematica hanno partecipato 67 studenti. Si sono registrati i seguenti voti
(in trentesimi):
10 studenti hanno preso 30
19 studenti hanno preso 26
15 studenti hanno preso 24
12 studenti hanno preso 18
8 studenti hanno preso 14
3 studenti hanno preso 10.
(a) Calcolare la media campionaria.
(b) Calcolare la varianza campionaria.
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Es.4 Si lancia 1000 volte una moneta ottenendo 338 volte testa. Calcolare una stima non distorta
della probabilità di ottenere testa in un lancio.
Es.5 In una certa fabbrica si vuole fare un controllo di qualità sui pezzi prodotti. Tra 5000 pezzi
osservati si individuano 50 pezzi difettosi. Trovare una stima non distorta della probabilità che
un pezzo risulti difettoso.
Es.6 Si osservano le seguenti n = 50 coppie di valori di due variabili aleatorie X e Y :
(31, 103), (32, 99), (33, 151), (34, 122), (35, 122),
(36, 78), (37, 91), (38, 116), (39, 114), (40, 120),
(41, 121), (42, 97), (43, 107)(44, 118), (45, 114),
(46, 116)(47, 106), (48, 112), (49, 107), (50, 96),
(51, 115), (52, 105), (53, 97), (54, 110), (55, 125),
(56, 147), (57, 136), (58, 95), (59, 194), (60, 124),
(61, 119), (62, 126), (63, 119), (64, 138), (65, 120),
(66, 114), (67, 132), (68, 124), (69, 144), (70, 132),
(71, 89), (72, 104), (73, 118), (74, 138), (75, 166),
(76, 102), (77, 117), (78, 145), (79, 123), (80, 134).
(a) Calcolare la media campionaria per Y .
(b) Determinare la retta di regressione lineare y = âx + b̂
Es.7 Si ritiene che una certa terapia abbia una efficacia nel 50% dei casi. Vengono osservati 104
pazienti, di cui 43 guariscono grazie alla terapia e 61 no. Prendendo come probabilità di errore
di prima specie α = 0.05, fare un test del χ2 per verificare l’ipotesi avanzata.
Es.8 Si ritiene che in una generica famiglia di 4 figli, il numero di figli maschi sia uguale a 0
con probabilità 5/42, sia uguale a 1 con probabilità 5/21, sia uguale a 2 con probabilità 2/7, sia
uguale a 3 con probabilità 5/21 e uguale a 4 con probabilità 5/42. Si osservano n = 300 famiglie
con 4 figli, ottenendo i seguenti risultati: 46 famiglie hanno zero figli maschi, 69 famiglie hanno
un solo figlio maschio, 74 famiglie hanno due figli maschi, 65 famiglie hanno 3 figli maschi e 46
famiglie hanno 4 figli maschi. Prendendo come probabilità di errore di prima specie α = 0.05,
fare un test del χ2 per verificare l’ipotesi avanzata.
Es.9 Nell’esaminare due distinte popolazioni, un certo fenomeno è stato riscontrato solo su alcuni
soggetti. Più precisamente, sono stati osservati 110 soggetti e sono stati registrati i seguenti
risultati:
numero di soggetti della popolazione 1 in cui non si è riscontrato il fenomeno=12
numero di soggetti della popolazione 1 in cui si è riscontrato il fenomeno=38
2
numero di soggetti della popolazione 2 in cui non si è riscontrato il fenomeno=27
numero di soggetti della popolazione 2 in cui si è riscontrato il fenomeno=33.
Prendendo come probabilità di errore di prima specie α = 0.025, fare un test del χ2 per verificare
se il verificarsi del fenomeno considerato e l’appartenenza all’una o l’altra popolazione sono
variabili indipendenti.
Ripetere il test prendendo come probabilità di errore di prima specie α = 0.01.
Es.10 Sono stati osservati 1033 soggetti, i quali sono stati classificati in 3 categorie (P1 , P2 , P3 )
per quanto riguarda la provenienza e in 4 categorie (L1 , L2 , L3 , L4 ) per quanto riguarda il tipo
di lavoro svolto. I risultati ottenuti sono:
numero di soggetti di provenienza P1 che appartengono alla categoria L1 =85
numero di soggetti di provenienza P1 che appartengono alla categoria L2 =213
numero di soggetti di provenienza P1 che appartengono alla categoria L3 =166
numero di soggetti di provenienza P1 che appartengono alla categoria L4 =25
numero di soggetti di provenienza P2 che appartengono alla categoria L1 =119
numero di soggetti di provenienza P2 che appartengono alla categoria L2 =126
numero di soggetti di provenienza P2 che appartengono alla categoria L3 =105
numero di soggetti di provenienza P2 che appartengono alla categoria L4 =14
numero di soggetti di provenienza P3 che appartengono alla categoria L1 =18
numero di soggetti di provenienza P3 che appartengono alla categoria L2 =86
numero di soggetti di provenienza P3 che appartengono alla categoria L3 =58
numero di soggetti di provenienza P3 che appartengono alla categoria L4 =18.
Prendendo come probabilità di errore di prima specie α = 0.01, fare un test del χ2 per verificare
se il tipo di lavoro svolto e la provenienza sono due variabili indipendenti.
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