Corso di Istituzioni di Matematiche con Elementi di Statistica anno

Corso di Istituzioni di Matematiche con Elementi di Statistica
anno accademico 2015/2016 – corso A-L (G. Gaeta & N. Bressan)
Esercizi – Foglio 8 (Probabilita’)
Esercizio A.
1. In un esperimento si usano tre topi scelti tra 40 a disposizione del laboratorio. Quante scelte sono possibili?
40!
40
=
= 9880
3
(37!) (3!)
2. In un esperimento si usano due gatti maschi e due femmine; il laboratorio
ne ha a disposizione 10 maschi e 7 femmine. Quante diverse scelte sono
possibili?
10
7
= 45 ∗ 21 = 945
2
2
3. Determinare quanti anagrammi (anche di senso non compiuto) esistono
per le seguenti parole: case, libro, pepe, mamma, pappagallo.
Nei primi due casi, le k lettere sono tutte diverse tra loro, quindi si tratta
di ordinarle in tutti i modi possibili, che sono k!; otteniamo quindi 4! = 24
e 5! = 120 rispettivamente. Per la parola ”pepe” si tratta solo di scegliere
tra le ”p” (che sono 2) e le ”e” (che sono due); abbiamo quindi
4!
= 6
2! 2!
possibilita’ (si puo’ vedere questo problema anche come quello di scegliere
le due posizioni, tra le cinque possibili, in cui appariranno le ”a”). Per
la parola ”mamma” si tratta solo di scegliere tra le ”m” (che sono 3) e le
”a” (che sono due); abbiamo quindi
5!
= 10
2! 3!
possibilita’ (si puo’ vedere questo problema anche come quello di scegliere
le due posizioni, tra le cinque possibili, in cui appariranno le ”a”). Per la
parola di dieci lettere ”pappagallo” si ripetono sia le ”p” (3 volte) e le ”a”
(3 volte) che le ”l” (2 volte). Abbiamo quindi
10!
= 50400
(3!) (3!) 2!
possibilita’.
1
4. Supponendo che le nascite di maschi e femmine siano in proporzione 1:1,
qual e’ la probabilita’ che una famiglia con cinque figli abbia: (a) tutti
maschi; (b) almeno un maschio; (c) non piu’ di due maschi; (d) un solo
maschio.
Per (a) abbiamo p(a) = (1/2)5 = 1/32 ≈ 0.03125; il caso (b) si verifica
sempre tranne che tutti i figli sono femmine, e questo caso ha la stessa
probabilita’ di tutti maschi; quindi p(b) = 1 − p(a) = 31/32 ≈ 0.96875. Il
caso (c) si verifica se ci sono 0,1 o 2 figli maschi. Dato che
1
5
P (k) =
,
k
32
calcoliamo facilmente P (0) = 1/32, P (1) = 5/32, P (2) = 10/32. Quindi
p(c) = P (0) + P (1) + P (2) = 16/32 = 1/2 .
Infine p(d) = P (1) = 5/32 ≈ 0.15625.
5. Si decide di gettare per 24 volte due dadi (non truccati). Si puo’ scommettere su due eventi: (A) che non esca mai un doppio sei; (B) si presnta
almeno una volta un doppio sei. Su cosa conviene scommettere?
Si tratta del problema del Cavaliere de Meré (1650). La probabilita’ che in
un singolo lancio non esca un doppio sei e’ p = 35/36; quindi – dato che
A corrisponde al che questo si verifichi in 24 lanci indipendenti – abbiamo
P (A) = p24 ' 0.508596. D’altra parte, B e’ il complementare di A, ed
abbiamo P (B) = 1 − P (A) ' 0.491404. Conviene scommettere su A. Non
disponendo di una calcolatrice (come nel 1650), il calcolo di (1 − 1/32)24
andrebbe effettuato con il polinomio di Taylor.
Esercizio B.
1. Vengono gettati simultaneamente due dadi; calcolare la probabilita’ che
la somma dei punti sia uguale a 5.
La somma puo’ fare 5 in 4 modi diversi sui 36 possibili; la probabilita’ e’
quindi 4/36 = 1/9.
2. Vengono gettati simultaneamente due dadi; calcolare la probabilita’ che
la somma dei punti sia uguale a 7.
La somma puo’ fare 7 in 6 modi diversi sui 36 possibili; la probabilita’ e’
quindi 6/36 = 1/6.
3. Vengono gettati simultaneamente due dadi; calcolare la probabilita’ che
la somma dei punti sia uguale a 11.
La somma puo’ fare 11 in 2 modi diversi sui 36 possibili; la probabilita’ e’
quindi 2/36 = 1/18.
4. Una lotteria ha 100 biglietti, ed assegna 5 premi. Se si acquistano 3
biglietti, qual e’ la probabilita’ di vincere almeno un premio?
2
La probabilita’ di non vincere nessun premio e’ 95/100 per il primo biglietto, 95/99 per il secondo (dato che il primo biglietto non era tra i vincenti), 95/98 per il terzo (dato che il primo ed il secondo biglietto non
erano tra i vincenti). Quindi la probabilita’ di non vincere con nessuno
dei tre biglietti e’ q = (95/100) ∗ (95/99) ∗ (95/98) ' 0.88371. L aprobabilita’ di vincere almeno un premio e’
p = 1 − q ' 0.11629 .
5. Si tira un dado per 5 volte. Qual e’ la probabilita’ che almeno uno dei
lanci dia un 6?
La probabilita’ di non avere mai un sei e’ q = (5/6)5 ; quella di avere
almeno un sei e’ quindi
p = 1−q = 1
5
5
' 0.598122 .
6
6. Si tira un dado per 5 volte. Qual e’ la probabilita’ che almeno uno dei
lanci non dia un 6?
Si sta chiedendo la probabilita’ di non avere tutti sei; la probabilita’ di
avere sempre sei e’ (1/6)5 , quindi la probabilita’ richiesta e’
5
1
' 0.999871 .
p = 1 −
6
7. La probabilita’ di indovinare la risposta di un esercizio di Matematica
senza aver studiato e’ 0.0025. Quanti esercizi uno studente che non ha
studiato deve svolgere (senza copiare) perche’ ci sia una probabilita’ del
70 per cento che almeno in uno dia la risposta corretta?
La probabilita’ di errore in un esercizio e’ p = 1/400; quella di non dare
nessuna risposta corretta in k esercizi e’
P (0; k) =
1
1−
400
k
.
Stiamo quindi chiedendo qual e’ il minimo k per cui
1 − P (0; k) ≥ 0.7 ,
ovvero
P (0; k) ≤ 0.3 .
Si tratta di risolvere una disuguaglianza del tipo
(1 − p)k ≤ a ;
3
passando ai logaritmi abbiamo
k log(1 − p) ≤ log(a) ,
ovvero, notandop che sia (1 − p) che a sono minori di uno (e quindi i loro
logaritmi sono negativi)
k | log(1 − p)| ≥ | log(a)| .
Segue immediatamente che deve essere
k ≥ k0 :=
| log(a)|
;
| log(1 − p)|
nel nostro caso (p = 0.0025, a = 0.3) risulta
k0 = 480.987 ,
quindi e’ necessario svolgere almeno 481 esercizi.
8. Un sistema di circolazione dell’aria e’ sostenuto da quattro pompe, ognuna delle quali e’ in ogni momento funzionante con probabilita’ p = 0.9.
Sapendo che il sistema puo’ funzionare correttamente anche con una sola
pompa in funzione, qual e’ la probabilita’ che il sistema non sia in grado
di funzionare?
La probabilita’ che tutte e quiattro le pompe siano guaste e’ P = (1−p)4 =
0.0001.
9. Alla fiera degli “o bej o bej” due studenti tirano contemporaneamente
sullo stesso bersaglio. Sapendo che il primo ha una probabilita’ 0.6 di fare
centro ed il secondo una probabilita’ 0.7, qual e’ la probabilita’ che almeno
uno colpisca il bersaglio?
La probabilita’ che tutti e due lo manchino e’ q = (3/10)(4/10) = 0.12;
quella che almeno uno lo colpisca e’ p = 1 − q = 0.88.
10. Nella situazione dell’esercizio precedente, se il bersaglio viene colpito da un
solo colpo, qual e’ la probabilita’ che sia stato colpito dal primo studente?
Usando la formula di Bayes, otteniamo p = 0.6/(0.6 + 0.7) = 6/13 '
0.461538.
Esercizio C.
1. La probabilita’ di colpire un bersaglio e’ 0.6 per ogni colpo; qual e’ la
probabilita’ di fare almeno un centro con tre colpi?
p = 0.6, quindi P = 1 − (1 − p)3 ' 0.936.
2. Due scatole contengono cioccolatini fondenti ed al latte con la stessa confezione. Nella scatola A i cioccolatini fondenti sono il 40 %, nella scatola
B il 30 %. Se si prende un cioccolatino da ognuna delle due scatole, qual
e’ la probabilita’ che ambedue siano fondenti?
P = (4/10) ∗ (3/10) = 0.12.
4
3. E che ambedue siano al latte?
P = (6/10) ∗ (7/10) = 0.42.
4. Un meccanismo e’ composto di tre parti, A, B e C, e tutte e tre devono funzionare affinche’ il meccanismo funzioni. Sapendo che in fase di
produzione la parte A e’ difettosa con probabilita’ 0.008, la parte B con
probabilita’ 0.012 e la parte C con probabilita’ 0.01, qual e’ la probabilita’
che il meccanismo non funzioni?
Funziona se tutte e tre le parti funzionano. Questo evento ha probabilita’
q = (1 − 0.008) ∗ (1 − 0.012) ∗ (1 − 0.01) ' 0.970295; quindi non funziona
con probabilita’ p = 1 − q ' 0.029705.
5. In un magazzino esistono 400 componenti elettroniche che svolgono la
stessa funzione; di queste 180 sono di prima qualita’ (e si guastano con
probabilita’ 0.001), 120 di seconda qualita’ (e si guastano con probabilita’
0.005) e 100 di terza qualita’ (e si guastano con probabilita’ 0.01). Prendendo un componente a caso, qual e’ la probabilita’ che si guasti?
120
100
180
(0.001) +
(0.005) +
(0.010) = 0.00445 .
P =
400
400
400
Esercizio D.
1. In un villaggio, 35 persone hanno sangue del gruppo A, 47 del gruppo
B, 21 del gruppo AB e 4 del gruppo O. Qual e’ la probabilita’ che un
individuo scelto a caso abbia sange del gruppo AB? E del gruppo O?
21
4
P (AB) =
simeq 0.20 ; P (O) =
' 0.04 .
107
107
2. Si sa che in una popolazione i gruppi sanguigni (classificati secondo al
presenza di antigeni A e/o B) hanno le frequenze
f (A) = 0.35, f (B) = 0.42, f (AB) = 0.18, f (O) = 0.05 .
Qual e’ la probabilita’ che un individuo scelto a caso abbia l’antigene A?
E l’antigene B?
P (A) = p(A) + p(AB) = f (A) + f (AB) = 0.53 ;
P (B) = p(B) + p(AB) = f (B) + f (AB) = 0.60 .
3. Scegliendo due persone a caso, qual e’ la probabilita’ che una abbia gruppo
A e l’altra gruppo B?
[P (A, B) + P (B, A) = 2f (A)f (B) = 0.294 .]
4. Le probabilita’ di essere sordi o ciechi alla nascita sono P (S) = 0.005,
P (C) = 0.0085; quella di essere sia sordi che ciechi e’ P (SC) = 0.0006.
Quale e’ la probabilita’ di essere ciechi e/o sordi?
[P (S ∪ C) = P (S) + P (C) − P (S ∩ C) = 0.005 + 0.0085 − 0.0006 = 0.0129 .]
5
5. Un raggio di neutroni irraggia due strati di tessuto biologico. La probabilita’ che un neutrone sia assorbito dal pirmo strato e’ 0.08, che (dopo
esser passato dal primo senza essere assorbito) sia assorbito dal secondo
strato e’ 0.15. Qual e’ la probabilita’ che un neutrone passi attraverso i
due strati senza essere assorbito?
[P = (1 − 0.08)(1 − 0.15) = 0.782 .]
Esercizio E.
1. Determinare per quali valori del parametro A ∈ R la funzione
f (x) = A x e−x
2
/2
rappresenta una densita’ di probabilita’ su I = [0, ∞).
Per rappresentare una densita’ di probabilita’ su I la funzione f (x) deve
soddisfare due condizioni:
Z
f (x) ≥ 0 (x ∈ I) ;
f (x)dx = 1 .
I
BNel nostro caso e’ chiaro che la prima condizione e’ soddisfatta (su x ≥
0) per qualsiasi A ≥ 0. Per la seconda, osserviamo che
Z
2
2
x e−x /2 dx = − e−x /2 + C ,
e quindi
Z
∞
f (x) dx = A ;
0
dobbiamo quindi richiedere A = 1.
2. Se f (x) del punto precedente (con il valore di A determinato risolvendolo)
rappresenta la densita’ di probabilita’ per x, qual e’ la probabilita’ che sia
1 ≤ x ≤ 2 ? E che sia x > 10 ?
R2
3/2
P (1 ≤ x ≤ 2) = 1 f (x) dx = e e2−1 ' 0.471195;
R∞
P (x > 10)
= 10 f (x) dx = e−50 ' 1.9 · 10−22
3. Determinare per quali valori del parametro A ∈ R la funzione
f (x) = (x2 − A2 ) e−x
2
/2
rappresenta una densita’ di probabilita’ su I = (−∞, ∞).
La condizione f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ I e’ soddisfatta solo per A = 0.
D’altra parte,
Z +∞
√
2
x2 e−x /2 dx = 2π ,
−∞
quindi la condizione di normalizzazione non e’ soddisfatta. Nessun valore
del parametro reale A e’ accettabile.
6
4. Determinare per quali valori dei parametri reali A e B la funzione
f (x) = A (x2 − B 2 ) e−x
2
/2
rappresenta una densita’ di probabilita’ su I = (−∞, ∞).
Per quanto detto al punto precdente, deve essere B = 0. Inoltre,
√ per avere
la normalizzazione corretta sara’ necessario scegliere A = 1/ 2π.
5. Per f (x), A e B come nell’esercizio precedente, qual e’ la probabilita’ di
avere x ≥ 0 ?
La densita’ di probabilita’ determinata nell’esercizio precedente e’
2
1
f (x) = √
x2 e−x .
2π
Si tratta di una funzione pari (ossia tale che f (−x) = f (x)), e quindi
Z
0
Z
f (x)dx =
+∞
f (x)dx =
−∞
0
7
1
.
2