Soluzioni

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI PROPOSTI SUL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
(vanno completati effettuando i calcoli)
1. Sia B1 l’evento “estrazione palla bianca dalla prima urna” e B2 l’evento “estrazione palla
bianca dalla seconda urna”. Ovviamente risulta P ( B1 ) = 7 /10, P ( B2 ) = 8 /10 . Poiché i due
eventi sono indipendenti – le estrazioni avvengono separatamente e indipendentemente - la
risposta al quesito si trova calcolando
P ( B1 U B2 ) = P ( B1 ) + P ( B2 ) − P ( B1 I B2 ) = P ( B1 ) + P ( B2 ) − P ( B1 ) P ( B2 )
2. Si tratta di estrazioni senza ripetizione, quindi di una variabile aleatoria ipergeometrica,
dove N=100, K=10, n=4. L’esercizio chiede di calcolare
 90  10 
 3  1 
P ( X = 1) =    = hygepdf(1,100,10,4)
100 


 4 
3. Nel caso del reinserimento, al quesito è possibile rispondere usando la distribuzione
multinomiale, ossia
3  3  5  4 
(a) P ( X R = 1, X B = 1, X V = 1) =
   
1!1!1!  12  12  12 
(b) P ( X R = 0, X B = 2, X V = 1) =
3
0
2
3  3  5  4
     
0!2!1!  12   12   12 
0
3  3 5  4
(c) P ( X R = 3) =
     
0!0!3!  12   12   12 
0
Nel caso del non reinserimento, bisogna costruire un diagramma ad albero che si sviluppa
sulle 3 estrazioni. Indichiamo con
Ri = 'pallina rossa alla i -esima estrazione', Bi = 'pallina blu alla i -esima estrazione',
Vi = 'pallina verse alla i -esima estrazione'
(a) La probabilità cercata risulta essere:
P ( R1 V2 B3 ) + P( R1 B2 V3 ) + P(V1 R2 B3 ) + P(V1 B2 R3 ) + P ( B1 R2 V3 ) + P( B1 V2 R3 ) .
Ogni
evento
del
tipo
P ( A1 A2 A3 )
può
essere
decomposto
nella
forma P ( A1 A2 A3 ) = P ( A3 | A2 A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) con A1 , A2 , A3 eventi che indicano l’uscita
della pallina blu, rossa o verde, moltiplicando le probabilità che sono sui rami. Pertanto si ha
P ( R1 V2 B3 ) + P( R1 B2 V3 ) + P(V1 R2 B3 ) + P (V1 B2 R3 ) + P( B1 R2 V3 ) + P( B1 V2 R3 ) =
3 4 5 3 5 4 4 3 5 4 5 3 5 3 4 5 4 3
× × + × × + × × + × × + × × + × ×
12 11 10 12 11 10 12 11 10 12 11 10 12 11 10 12 11 10
(b) La probabilità cercata risulta essere:
P ( B1 B2 V3 ) + P ( B1 V2 B3 ) + P (V1 B2 B3 ) =
5 4 4 5 4 4 4 5 4
× × + × × + × ×
12 11 10 12 11 10 12 11 10
(c) La probabilità cercata risulta essere:
P ( R1 R2 R3 ) =
3 2 1
× ×
12 11 10
4. Sia P ( A) =0.2 la probabilità che si guasti la macchina A e P ( B ) =0.3 la probabilità che si
guasti la macchina B. Sia P( AI B) = 0.05 la probabilità che si guastino entrambe le
macchine. La probabilità che almeno una delle macchine si guasti corrisponde a
P( AU B) = P( A) + P( B) − P( AI B) . La probabilità che una sola si guasti corrisponde a
P( AI B ) + P( AI B) ossia la probabilità dell’evento colorato di blu nel Diagramma di
Venn sottostante. Siccome P ( AI B ) + P ( AI B ) = P ( AU B ) − P ( AI B ) la risposta al
quesito si calcola di conseguenza.
5. Indicati con Si = 'successo nella i -esima fase' si ha:
P ( S1 ) = 0.60, P ( S2 ) = 0.70, P ( S3 ) = 0.90 .
La risposta al quesito si calcola come P ( S1 S2 S3 ) = P ( S1 ) P ( S2 ) P ( S3 ) poiché gli eventi
sono indipendenti.
6. Risulta
A = {(1,1) , (1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , (1,5 ) , (1, 6 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2,3) , ( 2, 4 ) , ( 2,5 ) , ( 2, 6 )}
e
B = {(1,5 ) , ( 2,5 ) , ( 3,5 ) , ( 4,5 ) , ( 5,5 ) , ( 6,5 ) , (1, 6 ) , ( 2, 6 ) , ( 3, 6 ) , ( 4, 6 ) , ( 5, 6 ) , ( 6, 6 )} . Pertanto
AI B = {(1,5 ) , (1,6 ) , ( 2,5) , ( 2, 6 )} . Poiché lo spazio campione è formato da 36 esiti
12 1
4 1
= . Allo stesso modo P ( AI B ) =
= sicchè
36 9
36 9
i due eventi risultano indipendenti. La probabilità
equiprobabili, si ha P ( A ) = P ( B ) =
essendo P ( AI B ) = P ( A ) P ( B )
dell’evento unione si calcola come P ( AU B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AI B ) .
7. L’esperimento può essere schematizzato con un diagramma ad albero:
La risposta al quesito può essere calcolata mediante il teorema di Bayes:
P ( A |100000 ) =
P (100000 | A ) P ( A )
P (100000 | A ) P ( A ) + P (100000 | B ) P ( B ) + P (100000 | C ) P ( C )
dove
1
3
P (100000 | A ) = 1; P (100000 | B ) = 0.5, P (100000 | C ) = 0
P ( A) = P ( B ) = P ( C ) =
8. Gli eventi elementari sono eventi a intersezione vuota. Nel diagramma di Venn sono i 7
eventi colorati in modo diverso. In particolare si ha
area bianca=AI BI C , area arancione=AI BI C , area bianca=AI BI C , area celeste=AI B I C ,
area rossa=AI B I C , area blu=AI BI C , area grigia=AI B I C ,
Pertanto l’evento richiesto nel quesito a) corrisponde all’area colorata di rosso nel Diagramma
di Venn sottostante: ossia
( AI BI C ) U ( AI BI C ) U ( AI BI C )U ( AI BI C )
L’evento richiesto nel quesito b) corrisponde all’area rossa nel Diagramma di Venn sottostante,
ossia ( AI BI C ) U ( AI B I C )U ( AI BI C )
L’evento richiesto nel quesito c) corrisponde all’area blu nel Diagramma di Venn sottostante,
ossia l’unione di tutti gli eventi elementari, fatta eccezione per AI BI C
E infine per l’ultimo quesito, l’area di interesse nel Diagramma di Venn successivo è quella
viola, ossia ( AI B I C ) U ( AI B I C )U ( AI BI C )
9. La risposta al quesito si calcola usando la formula P ( AU B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AI B ) .
10. Sia A1 l'evento `si seleziona la scatola i -esima` . Risulta P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = 1 . La
3
percentuale di pezzi difettosi può essere descritta al seguente modo:
P ( D | A1 ) = 0.05; P ( D | A2 ) = 0.40; P ( D | A3 ) = 0.10 . (Usare un diagramma ad albero) Usando
il teorema delle alternative, la percentuale di pezzi difettosi si calcola come
P ( D ) = P ( D | A1 ) P ( A1 ) + P ( D | A2 ) P ( A2 ) + P ( D | A3 ) P ( A3 )
La risposta al secondo quesito si determina usando il teorema di Bayes:
P ( A2 | D ) =
P ( D | A2 ) P ( A2 )
P ( D | A1 ) P ( A1 ) + P ( D | A2 ) P ( A2 ) + P ( D | A3 ) P ( A3 )