Fluidodinamica dei processi astrofisici

Fluidodinamica
dei processi astrofisici
Introduzione all’Astrofisica
AA 2012/2013
Prof. Alessandro Marconi
Dipartimento di Fisica e Astronomia
Università di Firenze
Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzo
http://www.arcetri.astro.it/„marconi
Ultimo aggiornamento: 13 maggio 2013
1
Equazioni della fluidodinamica
Equazione di conservazione della massa
Bρ ~
` ∇ ¨ pρ~v q “ 0
Bt
(1)
~
B~v
∇p
1
` p~v ¨ ∇q~v “ ´
` F~ext
Bt
ρ
ρ
(2)
Equazione di moto
Se siamo in un campo gravitazionale
~
F~ext “ ´ρ∇φ
(3)
~
B~v
∇p
~
` p~v ¨ ∇q~v “ ´
´ ∇φ
Bt
ρ
(4)
se il campo è generato dalla stessa massa del fluido,
∇2 φ “ 4πGρ
(5)
Nel caso ~v “ 0 ritroviamo l’equazione dell’equilibrio idrostatico.
Queste equazioni sono scritte in notazione Euleriana, ovvero consideriamo
una posizione nello spazio ~r e guardiamo come variano le grandezze fisiche
in ~r al variare del tempo.
Esiste anche la notazione Lagrangiana in cui si segue il moto di un ben
definito volumetto di fluido (particella fluida) e si osservano le variazioni
delle grandezze fisiche che lo caratterizzano: si individua la particella fluida
alla posizione ~r0 al tempo t0 e se specifica la posizione in funzione del tempo
~r “ ~rp~r0 , t0 , tq
(6)
La derivata temporale nell’approccio Lagrangiano è data da
B
d
~
“
` ~v ¨ ∇
dt
Bt
(7)
dρ
Bρ
~ “ Bρ ` ∇
~ ¨ pρ~v q ´ ρ∇
~ ¨ ~v
“
` ~v ¨ ∇ρ
dt
Bt
Bt
(8)
Ad esempio,
1
da cui, applicando l’equazione di continuità in forma Euleriana (1) otteniamo
l’equazione di continuità in forma Lagrangiana
dρ
~ ¨ ~v
“ ´ρ∇
dt
(9)
Per l’equazione di moto, si riconosce che l’equazione in forma Euleriana (2)
è direttamente
~
d~v
∇p
~
“´
´ ∇φ
(10)
dt
ρ
ovvero il secondo principio della dinamica applicato alla particella fluida.
Riassumendo abbiamo 6 funzioni incognite (ρ, ~v , p, e φ) per 5 equazioni:
Bρ ~
` ∇ ¨ pρ~v q “ 0
Bt
~
B~v
∇p
~
` p~v ¨ ∇q~v “ ´
´ ∇φ
Bt
ρ
∇2 φ “ 4πGρ
A queste dobbiamo aggiungere l’equazione di stato p “ ppρ, T q che nel caso
dei gas perfetti è
ρ
(11)
p “ kT
m̄
ma questa introduce un’ulteriore incognita T . Per determinare la temperatura occorre considerare l’equazione per la conservazione dell’energia.
Dal primo e dal secondo principio della Termodinamica
dU “ T dS ´ pdV
(12)
che si riferisce all’elemento fluido di massa M ; U è l’energia interna (termica)
e S è l’entropia. Dividendo membro a membro per M possiamo passare alle
grandezze per unità di massa (specifiche) ovvero
U
M
S
s “
M
“
ma dV {M “ dpV {M q “ dp1{ρq per cui
ˆ ˙
1
p
d “ T ds ´ pd
“ T ds ` 2 dρ
ρ
ρ
2
(13)
Consideriamo il caso in non ci siano processi dissipativi (con produzione di
calore) e non ci sia trasmissione di calore da un elemento fluido all’altro
(tempi scala trasmissione del calore sono più lunghi dei tempi scala tipici del
sistema fluido). Queste approssimazioni sono ben verificate per il gas perfetto. Allora siamo nell’approssimazione adiabatica in cui T ds “ 0 e pertanto
l’equazione dell’energia esprime la conservazione dell’entropia specifica
ds
~ “0
` ~v ¨ ∇s
dt
(14)
Una trasformazione adiabatica di un gas perfetto è caratterizzata da una
relazione ben precisa tra p e ρ che deriva dalla ben nota pV γ “ cost. ovvero
p “ Kργ
(15)
con K costante e γ “ CP {CV . Nel caso di un gas perfetto monoatomico
γ “ 5{3. Una relazione come la 15 per un qualsiasi valore di γ prende il nome
di Politropica e può essere presa in sostituzione dell’equazione dell’energia
per chiudere il sistema. La relazione adiabatica T ds “ 0 fornisce un’altra
relazione che posso usare come alternativa per l’equazione dell’energia ovvero
d “ p{ρ2 dρ. L’energia interna specifica (energia termica) è
“
1 p
γ ´1ρ
(16)
dove p si sono utilizzate le relazioni che legano l’energia termica alla temperatura e l’equazione di stato dei gas perfetti. Infine l’equazione dell’energia,
in assenza di processi dissipativi (o di produzione di energia) ed in assenza
di conduzione del calore è
ˆ
˙
d
1 p
p~
“´ ∇
¨v
(17)
dt γ ´ 1 ρ
ρ
dove si è sfruttata l’equazione di continuità della massa in forma Lagrangiana.
1.1
Il Teorema di Bernoulli
Vediamo adesso come si può ricavare il Teorema di Bernoulli dalle equazioni
fluide. Il Teorema di Bernoulli vale nel caso stazionario per cui per ogni
grandezza fisica f , Bf {Bt “ 0.
Partiamo dall’equazione dell’energia d “ ´p dp1{ρq che possiamo scrivere
come
ˆ ˙
ˆ ˙
1
p
1
“ ´d
` dp
(18)
d “ ´p d
ρ
ρ
ρ
3
esplicitando la derivata Lagrangiana, con B{Bt “ 0, si ha
ˆ ˙
~
~ “ ´~v ¨ ∇
~ p ` 1 ~v ¨ ∇p
~v ¨ ∇
ρ
ρ
ˆ
˙
1 ~
p
~
~v ¨ ∇p “ ~v ¨ ∇ `
ρ
ρ
(19)
Consideriamo l’equazione della forza con B{Bt “ 0
p~v ¨ ∇q~v “ ´
~
∇p
~
´ ∇φ
ρ
~
∇p
~ v ´ ∇φ
~
“ ´p~v ¨ ∇q~
ρ
(20)
moltiplichiamo scalarmente membro a membro per ~v ,
1 ~
~ v ´ ~v ¨ ∇φ
~
~v ¨ ∇p “ ´~v ¨ p~v ¨ ∇q~
ρ
˙
ˆ
1 ~
1 2
~
~
~v ¨ ∇p “ ´~v ¨ ∇
v ´ ~v ¨ ∇φ
ρ
2
ˆ
˙
1 ~
1 2
~
~v ¨ ∇p “ ´~v ¨ ∇
v `φ
ρ
2
ma sostituendo l’equazione 19 otteniamo infine
ˆ
˙
1
p
2
~
~v ¨ ∇
v `φ``
“0
2
ρ
Poichè
`
otteniamo infine
ˆ
~
~v ¨ ∇
p
γ p
“
ρ
γ ´1ρ
1 2
γ p
v `φ`
2
γ ´1ρ
(21)
(22)
(23)
˙
“0
(24)
questo significa che lungo una linea di flusso (linea di campo di ~v ) il gradiente
deve essere nullo, ovvero
1 2
γ p
v `φ`
“ cost.
2
γ ´1ρ
(25)
che è proprio il Teorema di Bernoulli.
Vediamo adesso l’applicazione delle equazioni della fluidodinamica a vari casi
di rilevanza astrofisica.
4
2
Perturbazioni lineari e onde
Consideriamo adesso le piccole perturbazioni di un mezzo statico, omogeneo
e indefinito. Le grandezze fisiche della soluzione di equilibrio sono indicate
con il pedice 0:
ρ “ ρ0 , p “ p0 ,
~v “ 0,
~ 0 “ 0 ∇ρ
~ 0“0
∇p
Le piccole perturbazioni possono essere espresse nella forma f “ f0 ` δf con
δf {f ! 1, ovvero
ρ
p
φ
~v
“
“
“
“
ρ0 ` δrho
p0 ` δp
φ0 ` δφ
δ~v
(26)
Le equazioni fluide per il mezzo perturbato sono pertanto
Bpδρq ~
` ∇ ¨ rpρ0 ` δρqδ~v s “ 0
Bt
Bpδ~v q
~ v “ ´ 1 ∇pp
~ 0 ` δpq ´ ∇pφ
~ 0 ` δφq
` pδ~v ¨ ∇qδ~
Bt
ρ0 ` δρ
∇2 pφ0 ` δφq “ 4πGpρ0 ` δρq
(27)
Sviluppando al primo ordine (dove necessario), eliminando i termini del
secondo ordine e utilizzando le soluzioni di equilibrio si ottiene
Bpδρq ~
` ∇ ¨ pρ0 δ~v q “ 0
Bt
~
Bpδ~v q
∇δp
~
“´
´ ∇δφ
Bt
ρ0
∇2 δφ “ 4πGδρ
(28)
Consideriamo perturbazioni adiabatiche, ovvero tali che s “ cost. Allora
l’equazione di stato è esprimibile come
ˆ ˙
Bp
δp “
δρ “ c2s δρ
(29)
Bρ s
dove la derivata è stata indicata con c2s e il suo significato sarà chiaro a
breve. Adesso deriviamo rispetto al tempo la prima equazione e prendiamo
5
la divergenza della seconda:
ı
B 2 pδρq
B ”~
`
ρ
∇
¨
pδ~
v
q
“0
0
2
Bt
„
 Bt
2
~ ¨ Bpδ~v q “ ´ ∇ δp ´ ∇2 δφ
∇
Bt
ρ0
2
∇ δφ “ 4πGδρ
(30)
eliminiamo p utilizzando l’equazione di stato, sostituiamo la terza equazione
nella seconda e definiamo il contrasto di densità ∆ “ δρ{ρ0
ı
B2∆
B ”~
`
∇
¨
pδ~
v
q
“0
Bt2
Bt

„
~ ¨ Bpδ~v q “ ´c2s ∇2 ∆ ´ 4πGρ0 ∆
∇
Bt
Infine, sostituendo la seconda equazione nella prima si ottiene
B2∆
´ c2s ∇2 ∆ ´ 4πGρ0 ∆ “ 0
Bt2
(31)
questa è una equazione delle onde con un termine forzante dovuto alla gravità.
Cerchiamo soluzioni tipo onda piana
”
ı
∆k p~r, tq “ ∆k exp ˘iωt ` ~k ¨ ~r
(32)
con ∆k ampiezza costante. E’ facile verificare che
B2
∆ “ ´ω 2 ∆
2
Bt
∇2 ∆ “ ´k 2 ∆
(33)
(34)
per cui si ottiene la relazione di dispersione
ω 2 “ c2s k 2 ´ 4πGρ0
(35)
Una qualsiasi soluzione dell’equazione 31 è esprimibile come la combinazione
lineare di onde piane (32) ovvero
”
ı
∆p~r, tq “ Σk ∆k exp ˘iωt ` ~k ¨ ~r
(36)
con ω e k che soddisfano la relazione di dispersione 35.
6
Consideriamo il caso in cui la forza di gravità sia trascurabile, ovvero eliminiamo dall’equazione 31 il termine forzante. Otteniamo la classica equazione delle onde con ω “ cs k per cui le piccole perturbazioni sono descrivibili
come una sovrapposizione di onde piane che si propagano con velocità cs :
queste sono le ben note onde sonore e cs è la velocità del suono.
Nel caso in cui la gravità non sia trascurabile abbiamo due tipi di soluzioni
a seconda che ω 2 ą 0 o ω 2 ă 0. Nel primo caso abbiamo delle soluzioni che
continuano a essere esprimibili come la sovrapposizione di onde piane con le
oscillazioni sostenute dalla pressione del gas, sufficiente a opporsi alla forza
di gravità; sostituendo k “ 2π{λ la condizione per le soluzioni oscillatorie è
ˆ
λă
πc2s
Gρ0
˙1{2
“ λJ
(37)
λJ prende il nome di lunghezza d’onda di Jeans. Ovvero la lunghezza d’onda
delle perturbazioni deve essere superiore ad un valore critico al disotto del
quale la gravità prevale. Nel secondo caso la pressione non è in grado di sostenere le oscillazioni e la gravità prevale determinando il collasso gravitazionale
del mezzo, infatti se ω 2 ă 0 si hanno soluzioni del tipo
´
¯
“
‰
∆k p~r, tq “ ∆k exp ˘p4πGρ0 ´ c2s k 2 q1{2 t exp i~k ¨ ~r
(38)
Le soluzioni con il segno ´ sono ovviamente oscillazioni smorzate nel tempo
e quindi poco interessanti. Nel caso invece del segno ` cui il contrasto di
densità cresce esponenzialmente nel tempo, ovvero soluzioni in cui si ha il
collasso gravitazionale.
Avevamo trovato che una nube sferica autogravitante di massa M (fissata!) e temperatura T era gravitazionalmente instabile se il suo raggio era
inferiore al raggio di Jeans
r ă rJ “
GmM
3kT0
(39)
rJ rappresenta le dimensioni massime per avere il collasso della nube se M è
fissata. Questa espressione può essere modificata sostituendo M “ 4{3πrJ3 ρ0
da cui
ˆ
˙1{2
ˆ
˙1{2
9kT0
kT0
r ą rJ,ρ “
“ 0.846
(40)
4πGmρ0
Gmρ0
ovvero, nel caso in cui fissiamo la densità della nube, troviamo le dimensioni
minime per la stabilità. Per poter confrontarlo con il risultato appena ottenuto bisogna considerare che il diametro della nube 2rJ,ρ deve corrispondere
7
a mezza lunghezza d’onda di Jeans λJ {2. Inoltre nel caso di un gas perfetto
risulta
ρ0
kT0
m
p0
kT0
“ γ “γ
ρ0
m
p0 “
c2s
(41)
per cui
rJ,ρ
λJ
1
“
“
4
4
ˆ
πc2s
Gρ0
˙1{2
ˆ
“
πγkT0
16Gmρ0
˙1{2
ˆ
“ 0.572
kT0
Gmρ0
˙1{2
(42)
avendo utilizzato γ “ 5{3 dei gas perfetti. Questa espressione ottenuta con
l’analisi perturbativa delle equazioni fluide è, a meno di un fattore numerico, la stessa di quella ottenuta studiando la stabilirà di una nube sferica
autogravitante col teorema del viriale.
Consideriamo adesso il caso dell’instabilità gravitazionale e della crescita esponenziale del contrasto di densità. Trascurando il contributo della
pressione ovvero k 2 c2s , il fattore di crescita esponenziale è
“
‰
∆k p~r, tq „ exp p4πGρ0 q1{2 t “ exppt{τf f q
(43)
e, in assenza del contributo di pressione, il tempo scala di crescita del contrasto di densità τf f assume il significato di tempo di caduta libera:
ˆ
τf f “
1
4πGρ0
˙1{2
“ 0.282 pGρ0 q´1{2
(44)
Studiando la caduta libera di una distribuzione sferica di massa avevamo
trovato
˙1{2
ˆ
3π
“ 0.543 pGρ0 q´1{2
(45)
τf f “
32Gρ0
che, a parte il fattore numerico, è la stessa espressione appena ottenuta.
8
Y
Y
Flusso di massa
X
X
F(X)
F(X)
X
X
Discontinuità
a contatto
Onda d’urto
Figura 1: Superfici di discontinuità delle soluzioni: discontinuità a contatto
(sinistra) e onda d’urto (destra).
3
Superfici di discontinuità
Una delle peculiarità dell’idrodinamica è quella di ammettere soluzioni discontinue, ovvero esistono delle superfici speciali, dette superfici di discontinuità, attraverso le quali tutte le grandezze fisiche sono discontinue.
Matematicamente, le soluzioni sono funzioni a gradino. Dal punto di
vista fisico invece, le discontinuità sono regioni molto sottili rispetto alle
altre dimensioni fisiche; le grandezze variano in modo continuo attraverso
le regioni di discontinuità e quindi hanno gradienti molto grandi, ma non
infiniti come nel limite matematico. Tuttavia, nella maggior parte dei casi è
ragionevole fare l’approssimazione matematica di discontinuità a gradino.
Esistono due tipi di discontinuità (figura 1):
• le discontinuità tangenziali, che si hanno ad esempio quando due fluidi
diversi scorrono l’uno accanto all’altro e la superficie di contatto non è
attraversata da alcun flusso di materia;
9
• le onde d’urto (shock waves o shocks), che si hanno quando la superficie
di separazione tra i due fluidi è attraversata da un flusso di massa,
quantità di moto ed energia.
Le discontinuità tangenziali sono in genere poco interessanti perchè sono
configurazioni instabili e quindi con vita breve. Al contrario, le onde d’urto
sono estremamente importanti in astrofisica perchè sono alla base di molti
fenomeni, specialmente quelli di natura esplosiva come le Supernovae (ma
non solo ...).
Potrebbe sembrare che le soluzioni discontinue in generale, e le onde d’urto in particolare, si formino soltanto per particolari condizioni al contorno;
in realtà si formano naturalmente in un ampio spettro di fenomeni. Sono
praticamente inevitabili quando le perturbazioni del sistema idrodinamico
non sono infinitesime come quelle viste in precedenza.
Per poter trattare le soluzioni (matematicamente) discontinue è necessario prima di tutto esprimere le equazioni idrodinamiche in forma conservativa per vedere quali grandezze si conservano al passaggio delle superfici di
discontinuità.
4
Equazioni in forma conservativa
Consideriamo l’equazione di conservazione della massa
Bρ ~
` ∇ ¨ pρ~v q “ 0
Bt
(46)
Consideriamo un elemento di fluido di massa ∆M , volume ∆V e integriamo
l’equazione di continuità sul volumetto in esame
„ż
 ż
B
~ ¨ pρ~v q “ 0
∇
ρdV `
Bt ∆V
∆V
ż
B
∆M `
pρ~v q ¨ ~n dS “ 0
(47)
Bt
∆S
quest’ultima equazione indica che la massa dell’elemento fluido ∆M può
variare nel tempo solo per un flusso di massa, ρ~v , attraverso la superficie ∆S
che delimita il volume ∆V .
In generale, data una grandezza u nel volume ∆V caratterizzata da un
flusso f~u attraverso la superficie ∆S che delimita il volumetto, si può scrivere
„ż
 ż
B
u dV `
f~u ¨ ~n dS “ 0
(48)
Bt ∆V
∆S
10
da cui l’equazione in forma conservativa
Bu ~ ~
` ∇ ¨ fu “ 0
Bt
(49)
Per quanto riguarda ρ, con flusso ρ~v , la prima equazione della fluidodinamica
è direttamente in forma conservativa:
Bρ ~
` ∇ ¨ pρ~v q “ 0
Bt
(50)
Consideriamo l’equazione per ~v
~
B~v
~ v “ ´ ∇p
` p~v ¨ ∇q~
Bt
ρ
(51)
dove abbiamo trascurato il termine gravitazionale per semplicità. Consideriamo la variazione temporale di ρ~v e utilizziamo l’equazione di continuità
per ρ e quella per ~v :
Bρ
B~v
B
pρ~v q “
~v ` ρ
Bt
Bt
Bt
B
~ ¨ pρ~v q~v ´ ρp~v ¨ ∇q~
~ v ´ ∇p
~
pρ~v q “ ´∇
Bt
Consideriamo la i-esima componente di questa equazione
ˆ
˙
B
B
Bp
B
pρvi q “ ´
pρvj q vi ´ ρ vj
vi ´
Bt
Bxj
Bxj
Bxi
(52)
(53)
dove si è utilizzato la convenzione di Einstein in base alla quale gli indici ripetuti sono sommati (ad esempio, vj uj “ Σ3j“1 vj uj ). Si nota che quell’equazione
può essere riscritta come
B
B
Bp
pρvi q “ ´
pρvi vj q ´
Bt
Bxj
Bxi
(54)
Si definisce il tensore degli sforzi di Reynolds
Rij “ ρvi vj ` pδij
(55)
dove δij è la delta di Kronecker (δij “ 1 per i “ j, 0 altrimenti). Il tensore Rij è chiaramente simmetrico, per cui si può operare sugli indici i e j
indifferentemente. Si può scrivere
B
~ ¨ R̂
Rij “ ∇
Bxj
11
(56)
da cui si vede come si può definire la divergenza del tensore R̂ che è un
vettore. Infine si ottiene
B
~ ¨ R̂ “ 0
pρ~v q ` ∇
Bt
(57)
ovvero l’equazione in forma conservativa per ρ~v , il cui flusso è un tensore R̂.
Per quanto riguarda l’equazione dell’energia in forma conservativa, notiamo che la densità di energia del fluido è
˙
ˆ
1 2
v `ε
(58)
η“ρ
2
con ε energia interna (termica) del fluido. Allora l’equazione di continuità
sembrerebbe essere
Bη
` ~v ¨ f~E “ 0
(59)
Bt
con f~E “ η~v “ ρpv 2 {2 ` εq~v , in analogia all’equazione di continuità per ρ. In
realtà f~E è incompleta; in condizioni adiabatiche come quelle che abbiamo
considerato, l’energia non varia solo per il suo flusso attraverso la superficie
ma anche per il lavoro termodinamico dE “ ´pdV . Utilizzando le equazioni
fluide ottenute fin qui si dimostra che
„ ˆ 2
˙
„ ˆ 2
˙ 
v
v
B
~
~ ¨ pp ~v q
ρ
`ε
`∇¨ ρ
` ε ~v “ ´∇
(60)
Bt
2
2
e quindi l’equazione dell’energia in forma conservativa è
„ ˆ 2
˙
„ ˆ 2
˙ 
B
v
v
p
~
ρ
`ε
`∇¨ ρ
`ε`
~v “ 0
Bt
2
2
ρ
(61)
notare che ε ` p{ρ “ h con h entalpia specifica, ovvero per unità di massa.
12
5
Le onde d’urto
Nel caso delle piccole perturbazioni abbiamo trovato delle soluzioni tipo onde
sonore che si propagano con velocità cs , se non si tien conto della gravità.
La propagazione di onda sonora è rappresentata in figura 2: il profilo della
perturbazione della grandezza F pxq si propaga inalterato nello spazio.
Se le perturbazioni non sono piccole, ovvero siamo nel regime non lineare, si trova che esistono delle soluzioni tipo onda dette onde semplici. La
caratteristica di queste onde è che non hanno una velocità di propagazione
(del suono) costante ma che dipende dalla densità: maggiore è la densità,
maggiore è la velocità di propagazione. La propagazione di un’onda nel regime non lineare è rappresentata sempre in figura 2. La cresta dell’onda,
dove la densità è massima, si muove più rapidamente del ventre dove la densità è minima. Dopo un certo tempo si tenderebbe ad avere una situazione
non fisica in cui la cresta ha superato il ventre dell’onda. In realtà prima
di giungere in tale situazione si arriva alla formazione di una discontinuità
nella quantità F pxq la cui variazione è a gradino nel punto indicato in figura
dalla riga tratteggiata. Tale condizione è riprodotta anche in figura 3 dove è
riportato il profilo dell’onda semplice al passare del tempo con la formazione
della discontinuità al posto della soluzione non fisica (tratteggiata).
Per semplicità mettiamoci in un sistema di riferimento comovente con
la superficie di discontinuità; tale riferimento esiste sempre, almeno istantaneamente. Consideriamo inoltre una situazione stazionaria (B{Bt “ 0) di
simmetria piana, ovvero quella in cui tutte le quantità variano solo nella
direzione x, perpendicolare alla superficie di discontinuità.
Prendiamo in esame una grandezza u con flusso J. L’equazione scritta in
forma conservativa è
Bu ~
`∇¨J “0
(62)
Bt
che nell’ipotesi di stazionarietà e simmetria piana diventa semplicemente
dJ
“0
(63)
dx
Alla superficie di discontinuità per x “ xs , la quantità J sarà discontinua e
tale che J “ J1 per x ą xs e J “ J2 per x ă xs . Posso integrare quell’equazione in un intervallo infinitesimo di ampiezza 2η attorno alla superficie di
discontinuità ottenendo nel limite di η piccolo
ż `η
dJ
dx “ J1 ´ J2 “ 0
(64)
´η dx
abbiamo quindi trovato la condizione di conservazione attraverso la superficie di discontinuità, ovvero il flusso della grandezza u si deve conservare al
13
F(X)
t
X
F(X)
t
X
Figura 2: Propagazione di un’onda sonora nel regime lineare (alto) e nel regime
non lineare (basso).
14
1.8. DISCONTINUITY
27
Figure3:1.1.
Formationdi of
a shock
(Landau
and&Lifshitz
Figura
Formazione
un’onda
d’urto
(Landau
Lifshitz).
1987b).
from a simple case: very special waves of noninfinitesimal
amplitude,
calleddi
simple
waves. Landau and Lifshitz (1987b)
passaggio della
superficie
discontinuità
discuss them, whereas we shall simply sum up their main features. Let us considerrJs
a perturbation
“ J1 ´ J2 “with
0 a finite (i.e., not
(65)
infinitesimal) amplitude, within an otherwise homogeneous
fluid (see
fig. 1.1). It compatta
is possible rJs
to show
simple waves,
dove si è definita
la notazione
per laforcondizione
di conservaziotoo,
that
the
speed
of
propagation
is
greater
where
density
is
ne.
greater. In particular, the points near the crest of the wave
Le equazioni della fluidodinamica scritte in forma conservativa ci forniwill move more quickly than those near its belly, and the difscono direttamente
le condizioni di continuità al passaggio della discontinuità
ference between the two velocities is not infinitesimal, because
the amplitude of the wave has been assumed finite. Therefore,
Bρ ~
the crest will reach the belly in a finite`time,
thus
∇ ¨ pρ~
v q “forming
0
a surface of discontinuity. The onlyBtwaves that manage to
B
avoid this destiny are those whose density
never
~ ¨ decreases
pρ~v q `
∇
R̂ “ 0 in
Bt
the direction
of
motion;
but,
apart
from
this
peculiar
case,
„ ˆ 2
˙
„ ˆ 2
˙ 
any
with a finite amplitude
evolves
toward a
B perturbation
v
v
p
Bt
ρ
2
`ε
~ ¨ ρ
`∇
2
`ε`
ρ
~v “ 0
(66)
con Rij “ ρvi vj ` pδij . Le condizioni di continuità nel caso stazionario e a
15
simmetria piana sono quindi:
rρvx s “ 0
(67)
ρvx2 s
rp `
“0
rρvx vy s “ 0
rρvx vz s “ 0
(68)
„ ˆ 2
˙ 
v
p
ρ
`ε`
vx “ 0
2
ρ
(69)
dove sono state incluse anche le condizioni per il flusso di quantità di moto
parallelo alla superficie di discontinuità.
Esistono due tipi di discontinuità.
Nel primo caso la massa non attraversa la superficie ed il flusso di massa
è nullo. Questo richiede che ρ1 v1x “ ρ2 v2x “ 0 ovvero v1x “ v2x “ 0. La
condizione di continuità sul flusso di quantità di moto comporta che rps “ 0.
Questa è la discontinuità tangenziale dove, a parte velocità e pressione, tutte
le altre quantità sono discontinue. Queste discontinuità, come abbiamo detto,
sono instabili per qualsiasi equazione di stato. Questo significa che spariscono
in tempi scala molto brevi portando ad un rimescolamento (convettivo) dei
fluidi.
Nel secondo tipo di discontinuità, le onde d’urto, il flusso di massa attraverso la superficie non è nullo, pertanto v1x e v2x sono diversi da 0. Dalle
condizioni rρvx vy s “ 0 e rρvx vz s “ 0 ne consegue che le velocità tangenziali
debbano essere continue ovvero che rvy s “ 0, rvz s “ 0. Utilizzando la continuità su ρvx , si può semplificare la condizione di continuità sul flusso di
energia ed ottenere infine che per le onde d’urto
rρvx s “ 0
rp ` ρvx2 s “ 0
„

p
v2
`ε`
“0
2
ρ
(70)
queste sono le condizioni idrodinamiche sulle onde d’urto e sono dette condizioni di Rankine-Hugoniot.
Data la continuità nelle velocità trasversali possiamo metterci in un riferimento in cui queste siano nulle. Ricordiamo inoltre che siamo in un
16
riferimento comovente con l’onda d’urto. Indichiamo con 1 il gas prima
dell’attraversamento dell’onda d’urto (upstream) e con 2 il gas dopo l’onda
d’urto (downstream). Allora, v1x “ ´Vs con Vs velocità dell’onda d’urto, se
il gas upstream è in quiete. Definiamo il numero di Mach
M“
v
cs
(71)
e consideriamo che nel caso di un gas perfetto
c2s “ γ
p
kT
“γ
ρ
m
(72)
e che
p
1 kT
p
1 p
γ p
c2s
“
` “
`p“
“
(73)
ρ
γ´1 m
ρ
γ ´1ρ
γ ´1ρ
γ´1
Utilizzando queste definizioni si possono risolvere le condizioni RH ed ottenere infine
ε`
ρ2
v1
pγ ` 1qM12
“
“
ρ1
v2
pγ ´ 1qM12 ` 2
p2
2γM12 γ ´ 1
“
´
p1
γ`1
γ`1
2
r2γM1 ´ pγ ´ 1qsrpγ ´ 1qM12 ` 2s
T2
“
T1
pγ ` 1q2 M12
2 ` pγ ´ 1qM12
M22 “
2γM12 ´ γ ` 1
(74)
Ovvero si vede che le condizioni di Rankine-Hugoniot permettono di determinare le grandezze post-shock in funzione soltanto delle grandezze pre-shock e
del numero di Mach dello shock stesso. La prima cosa da notare è che quando
M1 “ 1 non si hanno discontinuità e la materia non subisce trasformazioni.
Poi si può notare che M1 potrebbe assumere un qualsiasi valore maggiore o
minore di 1.
Consideriamo quello che succederebbe per M1 ă 1. Si avrebbe v1 ă
v2 e T1 ą T2 ovvero si trasformerebbe parte dell’energia interna del fluido
(disordinata) in energia cinetica (moto ordinato) senza alcun altro effetto.
Per confermare come questo sia impossibile, possiamo calcolare l’andamento
dell’entropia pre- e post-shock; si trova che s è discontinua e che, per M1 ă 1,
si ha s2 ă s1 ovvero una diminuzione di entropia in una trasformazione
adiabatica (sistema isolato). Questo è impossibile per il secondo principio
della termodinamica e quindi ne possiamo concludere che per le onde d’urto
si deve avere M1 ą 1 ovvero gli shocks devono essere sempre supersonici!
17
Nel caso M1 ą 1, si noti come lo shock converta energia cinetica ordinata
(v2 ă v1 ) in moti disordinati (riscaldamento, ovvero aumento di energia
interna) in quanto T2 {T1 ą 1; quel rapporto può diventare molto grande
all’aumentare di M1 . In contrasto al caso precedente, adesso si ha s2 ą s1 ,
in accordo con il secondo principio della termodinamica.
Nel caso delle esplosioni di supernovae, lo shock può essere ipersonico, ovvero M1 " 1. In tal caso le relazioni appena trovate per f2 {f1 si semplificano
e, nel limite M Ñ 8 diventano
v1
γ`1
ρ2
“
“
ρ1
v2
γ´1
2
2γM1
p2
“
p1
γ`1
T2
2γpγ ´ 1qM12
“
T1
pγ ` 1q2
pγ ´ 1q
M22 “
2γ
(75)
che possono anche essere scritte utilizzando M1 “ v1 {cs1 “ v12 ρ1 {pγp1 q e
p1 {ρ1 “ kT1 {m:
ρ2 “
v2 “
p2 “
T2 “
M22 “
γ`1
ρ1
γ´1
γ´1
v1
γ`1
2ρ1 v12
γ`1
2pγ ´ 1qpm{kB qv12
pγ ` 1q2
pγ ´ 1q
2γ
(76)
con m massa media delle particelle. Si noti come per γ “ 5{3 si ha un
salto massimo di densità pari ρ2 “ 4ρ1 . Da notare come, contrariamente
alla densità, pressione e temperatura dopo l’urto (downstream) non abbiano
limiti e dipendano direttamente da v12 .
18
6
Flussi auto-similari: la soluzione di SedovTaylor
Consideriamo l’esplosione di una supernova che possiamo considerare come
il rilascio improvviso di energia E in un volume trascurabile per r “ 0 e
t “ 0. Se il mezzo esterno è omogeneo e statico (ρ0 “ cost., ~v0 “ 0), il moto
dell’onda d’urto che si genera per r “ 0 sarà radialmente simmetrico. Supponendo poi che il mezzo sia freddo (T0 “ 0, ovvero temperatura trascurabile
rispetto al mezzo post-shock), possiamo trovare la forma delle soluzioni con
argomenti di auto-similarità usando soltanto i dati a disposizione, ovvero E e
ρ0 . Vogliamo ottenere Rs ptq e Vs ptq ovvero il raggio dell’onda d’urto e la sua
velocità in funzione del tempo. Questi devono essere una combinazione di E,
ρ e, ovviamente, tempo t. Ragioniamo in termini dimensionali e scriviamo
R “ E α ρβ0 tγ
(77)
Facendo un’analisi dimensionale otteniamo
rLs “ r M α L2α T ´2α M β L´3β T γ s
(78)
Da cui è facile ottenere che α “ ´β “ 1{5 e γ “ 2{5. Infine, detta B una
costante adimensionale che determineremo in seguito, possiamo scrivere
ˆ
Rs ptq “
E t2
B
ρ0
˙1{5
9 t2{5
(79)
Inoltre
dRs d ` 2{5 ˘ ´3{5
9
t
9t
(80)
dt dt
Da notare come si sia trovata la dipendenza di Rs e Vs da t in modo puramente
dimensionale, senza risolvere alcuna equazione. A questo punto possiamo
applicare le condizioni di continuità nel caso ipersonico (Eq. 76). Queste
equazioni sono state ottenute nel riferimento comovente con lo shock pertanto
le velocità nel riferimento non comovente sono
Vs ptq “
v11 “ v1 ` Vs “ 0
v21 “ v2 ` Vs
(81)
con Vs velocità dello shock e dove si è assunto che la materia pre-shock sia
in quiete (v11 “ 0). Pertanto ponendo ρ1 “ ρ0 , v21 “ vpRs´ q [f pRs´ q indica la
19
quantità post-shock] abbiamo:
ρpRs´ q “
γ`1
ρ0
γ´1
vpRs´ q “ Vs ` v2 “ Vs `
ppRs´ q “
2Vs
γ´1
Vs “
γ`1
γ`1
2ρ0 Vs2
γ`1
(82)
Adesso siamo in grado di calcolare le condizioni post-shock. Definiamo la
distanza adimensionale dallo shock dall’origine:
´ ρ ¯1{5
r
0
“r
(83)
ξptq “
Rs ptq
BE t2
e rinormalizziamo tutte le grandezze fisiche relativamente ai loro valori postshock (cioè per Rs´ )
γ`1
ρ0 Rpξq
γ´1
2Vs
vpr, tq “
Vpξq
γ`1
2ρ0 Vs2
ppr, tq “
Ppξq
γ`1
ρpr, tq “
(84)
Le funzioni dimensionali appena definite hanno condizioni al contorno Rp1q “
Vp1q “ Pp1q “ 1. Quello che abbiamo fatto è molto conveniente perchè adesso le quantità fisiche non sono più funzione di due variabili (r, t) ma di una
soltanto (ξ) in modo che un sistema alle derivate parziali è stato ridotto ad
un sistema a derivate ordinarie, più semplice da risolvere. Partiamo dalle
equazioni fluide, e riscriviamole in simmetria sferica:
Bρ Bpρvq 2ρv
`
`
“ 0
Bt
Br
r
Bv
Bv
1 Bp
`v
“ ´
Bt
Br
ρ Br
ˆ
˙
B
B
p
`v
ln γ “ 0
Bt
Br
ρ
(85)
dove la terza equazione è semplicemente l’equazione dell’energia scritta per
l’entropia specifica (ds{dt “ 0) e dove si è sfruttato il fatto che s 9 lnpp{ργ q1 .
1
Da T dS “ dU ` pdV si ottiene che S “ nR ln V ` ncV ln T ` cost. da cui, utilizzando
l’equazione di stato, S “ n cV ln pV γ `cost. Infine s “ S{M “ 1{pγ ´1qkB lnpp{ργ q`cost.
20
Explosive events: SNe and GRBs
Relativistic stars
Gravitational collapse and Black Holes
Electrodynamics of compact objects
High Energy Astrophysics
The theory of relativity
Applications to compact objects
Figura 4: Soluzioni auto-simili di Sedov-Taylor per γ “ 5{3.
Figure: The self-similar Sedov-Taylor solution for
= 5/3.
Indicando con X9 “ dX{dξ si ottiene infine
2
9 ` RVq
9 ` 4 RV “ 0
pRV
γ`1
γ`1 ξ
9
γ ´ 1 2P9
4VV
“ ´
´2ξ V9 ´ 3V `
γ`1
γ`1 R
9
9
9
9
Pξ
2 VP
R
2γ
R
´3 ´
`
` γξ ´
V
“ 0
P
γ`1 P
R γ`1 R
e we know the post-shock quantities and we rescale the radius
he self-similarity insures that the spatial profiles of the normali
on time explicitly. As we can see, most of the mass
(86) is concent
while the interior
is filled with hot and light gas, providing the pr
che è un sistema di equazioni differenziali alle derivate ordinarie. La soluzione
questo sistema può essere ottenuta numericamente e, in figura 4, si riporta
e the shockdiquella
propagate.
ottenuta per γ “ 5{3.
´ξ R9 `
Si note come le quantità post-shock dipendano da R, V e P che, riscalando
il raggio con Rs ptq, non dipendano esplicitamente dal tempo: l’auto-similarità
deriva proprio dal fatto che la forma normalizzata delle soluzioni è sempre la
stessa indipendentemente dal tempo. Come si nota dalla figura, gran parte
della massa è concentrata nella regione immediatamente successiva allo shock
(ovvero per r{Rs ptq » 0.9 ´ 1) mentre il resto della sfera di raggio Rs ptq è
1
riempita di gas tenue e molto caldo che fornisce la pressione necessaria alla
2
propagazione dello shock.
e of can now be calculated by integrating the energy density
volume occupied by the shock gas
1 2
⇢v +
2
p
1
!
4⇡r dr ) 1 =
21
2
16⇡
1 25
Z
0
3, appropriate for a monoatomic gas, provides
L. Del Zanna
[R (⇠)V 2 (⇠) + P
' 2.02.
Relativistic Astrophysics and compact objects
Infine, per calcolare il valore della costante B, si può integrare la densità
di energia ρpv 2 {2 ` εq sul volume occupato dal gas post-shock
˙
ż Rs ˆ
1 2
p
E“
ρv `
4πr2 dr
(87)
2
γ
´
1
0
da cui
B 16π
1“ 2
γ ´ 1 25
ż1
rRpξqV 2 pξq ` Ppξqsξ 2 dξ
(88)
0
che, per γ “ 5{3 (gas monatomic) fornisce B » p2.02q1{5 . Questa soluzione
per una forte esplosione in un mezzo omogeneo è dovuta a Sedov (1946) e
Taylor (1950).
7
Le fasi dell’espansione dei resti di Supernova
Come visto nelle lezioni precedenti, il core di una stella massiccia (M ą 8 Md )
collassa quando sé terminata la reazione di bruciamento del Silicio e si arriva
alla formazione di una stella di neutroni. La mancanza del supporto di
pressione determina il collasso degli strati esterni della stella che rimbalzano
sulla stella di neutroni dando luogo all’esplosione della supernova di tipo II.
Nella prima fase dell’esplosione l’energia rilasciata E è talmente grande che
la presenza del mezzo interstellare ρ0 è totalmente ininfluente; l’onda d’urto
si propaga in modo balistico con velocità costante Vs ptq “ Vs :
1
E “ Mej Vs2
2
(89)
con valori tipici di E “ 1052 erg, Mej “ 10 Md , si ottiene Vs “ 104 km s´1 .
L’onda d’urto dell’esplosione spazza via il materiale del mezzo circostante
(interstellare) che viene spinto verso l’esterno e accumulato dall’onda urto.
Pertanto l’espansione libera avrà termine quanto il materiale raccolto (densità del mezzo interstellare ρ0 » 1 cm´3 » 10´24 g cm´3 ) avrà una massa pari
a quella del materiale espulso ovvero
4 3
(90)
πR ρ0 “ Mej
3 s
se Rs “ Vs τ , otteniamo Rs » 5 pc e τ » 500 yr.
La seconda fase è causata da un rallentamento dell’espansione dovuto
all’accumulo della massa del mezzo interstellare che viene spazzata via; l’espansione avviene in regime adiabatico poiché per T ą 106 K il raffreddamento radiativo del gas è molto poco efficiente ed il tempo di raffreddamento
22
(τcool “ E{L, con L energia irraggiata per unità di tempo) è molto lungo
rispetto al tempo scala di espansione. Quindi l’energia totale si conserva
(siamo nel caso adiabatico) e possiamo applicare la soluzione di Sedov per
un flusso adiabatico autosimile. Per applicare questo modello dobbiamo anche aspettare che il reverse shock ovvero l’onda d’urto che si genera a seguito
del rallentamento e si propaga in verso opposto a quello dell’esplosione abbia
percorso più volte lo spazio tra Rs e l’origine per portare il gas per r ă Rs
nelle condizioni previste dalla soluzione di Sedov.
La temperatura post-shock decresce rapidamente al rallentamento dello
shock
(91)
T pRs´ q9 Vs2 9 t´6{5
e, quando diventa inferiore a T » 106 K, il gas comincia a raffreddare efficacemente per l’emissione dovuta alla ricombinazione degli atomi. L’energia
non può essere più conservata, ma si deve conservare la quantità di moto
ovvero
4
πρ0 Rs3 Vs “ cost.
(92)
3
se prendiamo Rs 9 tα , Vs “ dRs {dt9 tα´1 ovvero Rs3 Vs 9 t4α´1 “ cost. Se ne
deduce infine che 4α ´ 1 “ 0 ovvero
Rs 9 t1{4
Vs 9 t´3{4
(93)
Questa fase è detta di snowplow perchè si può dimostrare che il materiale
raccolto nella parte post-shock è concentrato in uno strato molto piccolo.
Infine, quando Vs raggiunge la velocità del suono del mezzo interstellare, non
abbiamo più un’onda d’urto e c’è il mescolamento con il mezzo ambiente
Rs „ cost. Queste fasi sono riassunte in figura 5.
23
Explosive events: SNe and GRBs
Relativistic stars
Gravitational collapse and Black Holes
Electrodynamics of compact objects
High Energy Astrophysics
The theory of relativity
Applications to compact objects
Figura 5: Le quattro fasi dell’espansione di una supernova (e del suo resto): Rs 9t,
Rs 9t2{5 , Rs 9t1{4 , Rs „ cost.
2/5
1/4
re: The four phases of a SNR expansion: Rs / t, Rs / t
, Rs / t
, Rs ⇠ cons
ock temperature decreases rather rapidly as the shock slows down
T (Rs ) / Vs2 / t
6/5
,
reshold of T ' 106 K ions start to recombine and energy is radiated aw
adiative cooling in forbidden lines). Energy cannot be conserved any lo
ay still impose the conservation of momentum, which gives
4⇡
3
⇢
R
Vs
0
s
3
24
= const ) Rs / t 1/4 ,
Vs / t
3/4
.
s said of the snowplow, because material is collected post-shock in a v
. Finally, when the local ISM sound speed is reached, we have no long