ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA
Informatica - Corso B - A. A. 2015-2016
22 Ottobre 2015
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Esercizio 1. Verificare che la seguente successione definita per ricorrenza
n=0
a0 = 0
a
=
1
n
=1
{an }n =
1
an = 6an−1 − 9an−2 n ≥ 2 .
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = ( 13 n)3n per ogni n ≥ 0.
Esercizio 2. Verificare che la seguente successione {an }n∈N definita per ricorrenza
1
a0 =
3
{an }n =
an = an−1 + n(n + 1) + 13 n ≥ 1.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = 13 (n + 1)3 , per ogni n ≥ 0.
Esercizio 3. Verificare che la seguente successione {an }n∈N∗ definita per ricorrenza
0
a1 =
a2 =
4
{an }n =
an = 4an−1 − 4an−2 n ≥ 3.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = (n − 1)2n , per ogni n ∈ N∗ .
Esercizio 4. Verificare che la seguente successione definita per ricorrenza
a0 =
1
{an }n =
an = an−1 + 2n + 1 n ≥ 1.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = (n + 1)2 per ogni n ≥ 0.
Esercizio 5. Verificare che la seguente successione definita per ricorrenza
b0 =
1
{bn }n =
bn = bn−1 + 2 n ≥ 1.
ammette come formula chiusa la successione {an }n con an = 2n + 1 per ogni n ≥ 0.
Esercizio 6. Dimostrare che per ogni n ≥ 5 si ha
n2 ≥ 11n − 30.
Esercizio 7. Calcolare gli anagrammi (per noi significa parole distinte anche sensa
senso) distinti delle parole
SOTTOTETTO, SORPASSO, APPROSSIMATIVAMENTE
Esercizio 8. Quanti sono i numeri minori di 300 composti da tre cifre tutte dispari e
diverse fra loro? Quanti con cifre dispari uguali fra loro? Quanti quelli con tutte cifre
pari e diverse fra loro? Quanti con cifre pari uguali fra loro?
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Nonostante l’impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione è molto
apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L’aggiunta di
evenutali errori è opera mia.
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Esercizio 9. Quanti numeri naturali di 7 cifre hanno almeno una cifra pari? Quanti
almeno una cifra dispari?
Esercizio 10. Siano A = {x, y} e B = {1, 2, 4}. Calcolare tutte le applicazioni da A a
B, da B ad A. Dire inoltre quali sono iniettive, suriettive e biettive.
Esercizio 11. Ci sono quattro amici.
a) In quanti modi diversi si possono formare delle coppie.
a) In quanti modi diversi si possono regalare una bici ed un cellulare ad amici
distinti?
c) In quanti modi diversi si possono formare 4 gruppi di un amico?
d) In quanti modi diversi si possono formare 2 gruppi di 2 amici?
Esercizio 12. In un gruppo di 6 donne e 4 uomini, dobbiamo scegliere 7 persone per
formare un comitato. In quandi modi possiamo formare il comitato, se richiediamo che
contenga almeno 4 donne? In quandi modi possiamo formare il comitato, se richiediamo che contenga al piu’ 3 donne? In quandi modi possiamo formare il comitato, se
richiediamo che contenga almeno 5 uomini?
Esercizio 13. In una classe di asilo ci sono 20 bambini.
a) In quanti modi si puo’ formare una delegazione di 4 genitori di tali bambini (si
conti un solo genitore per ogni bambino) per la rappresentanza?
b) In quanti modi si possono formare 5 gruppi di gioco formati ciascuno da 4 bambini?
Esercizio 14. Si considerino 3 studenti di Informatica, 4 studenti di Matematica e
5 studenti di Fisica. Gli studenti di Informatica e Matematica sono tutti maschi, gli
studenti di Fisica sono 3 maschi e due femmine.
a) In quanti modi diversi si puo’ formare un comitato di 4 studenti?
b) In quanti modi diversi si puo’ formare un comitato di 3 studenti, con un rappresentante per ogni materia?
c) In quanti modi diversi si puo’ formare un comitato di 3 studenti con una sola
donna?
d) In quanti modi diversi si puo’ formare un comitato di 3 studenti, con un rappresentante per ogni materia ed almeno una donna?
Esercizio 15. Ci sono 6 amici.
a) In quanti modi diversi si possono formare delle coppie?
b) In quanti modi diversi si possono regalare, un libro un cappello e una penna (a
persone diverse) ?
c) In quanti modi diversi si possono formare 2 gruppi di 3 amici?
d) In quanti modi diversi si possono formare 3 gruppi di 2 amici?
Esercizio 16. In quanti modi possiamo scrivere il numero 40 come somma di 4 numeri
strettamente positivi?
Esercizio 17. In quanti modi possiamo scrivere il numero 20 come somma di 5 numeri
strettamente positivi?
Esercizio 18. Siano A = {x, y, z, w, u} e B = {1, 2, 4} si definisca la seguente relazione
dall’insieme A all’insieme B:
A × B ⊇ R = {(x, 2), (z, 1), (z, 2), (z, 4), (u, 4), (u, 1)}.
R è una relazione associata ad una funzione?
