ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA
Informatica- A. A. 2014-2015
5 Novembre 2014
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Esercizio 1. Quanti sono i numeri minori di 300 composti da tre cifre tutte dispari e
diverse fra loro? Quanti con cifre dispari uguali fra loro? Quanti quelli con tutte cifre
pari e diverse fra loro? Quanti con cifre pari uguali fra loro?
Esercizio 2. Siano A = {x, y} e B = {1, 2, 4}. Calcolare tutte le applicazioni da A a
B, da B ad A. Dire inoltre quali sono iniettive, suriettive e biettive.
Esercizio 3. Ci sono quattro amici.
a) In quanti modi diversi si possono formare delle coppie.
a) In quanti modi diversi si possono regalare una bici ed un cellulare ad amici
distinti?
c) In quanti modi diversi si possono formare 4 gruppi di un amico?
d) In quanti modi diversi si possono formare 2 gruppi di 2 amici?
Esercizio 4. Ci sono 90 studenti, 35 sono donne, 20 hanno l’iphone, 15 donne hanno
l’iphone.
a) Quanti sono i maschi senza iphone.
b) Quanti sono i maschi con l’iphone?
c) Quanti sono gli studenti o maschi o con l’iphone?
Esercizio 5. In un gruppo di 6 donne e 4 uomini, dobbiamo scegliere 7 persone per
formare un comitato. In quandi modi possiamo formare il comitato, se richiediamo che
contenga almeno 4 donne? In quandi modi possiamo formare il comitato, se richiediamo che contenga al piu’ 3 donne? In quandi modi possiamo formare il comitato, se
richiediamo che contenga almeno 5 uomini?
Esercizio 6. In una classe di asilo ci sono 20 bambini.
a) In quanti modi si puo’ formare una delegazione di 4 genitori di tali bambini (si
conti un solo genitore per ogni bambino) per la rappresentanza?
b) In quanti modi si possono formare 5 gruppi di gioco formati ciascuno da 4 bambini?
Esercizio 7. Si considerino 3 studenti di Informatica, 4 studenti di Matematica e 5
studenti di Fisica. Gli studenti di Informatica e Matematica sono tutti maschi, gli
studenti di Fisica sono 3 maschi e due femmine.
a) In quanti modi diversi si puo’ formare un comitato di 4 studenti?
b) In quanti modi diversi si puo’ formare un comitato di 3 studenti, con un rappresentante per ogni materia?
c) In quanti modi diversi si puo’ formare un comitato di 3 studenti con una sola
donna?
d) In quanti modi diversi si puo’ formare un comitato di 3 studenti, con un rappresentante per ogni materia ed almeno una donna?
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Nonostante l’impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione è molto
apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L’aggiunta di
evenutali errori è opera mia.
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Esercizio 8. Ci sono 6 amici.
a) In quanti modi diversi si possono formare delle coppie?
b) In quanti modi diversi si possono regalare, un libro un cappello e una penna (a
persone diverse) ?
c) In quanti modi diversi si possono formare 2 gruppi di 3 amici?
d) In quanti modi diversi si possono formare 3 gruppi di 2 amici?
Esercizio 9. Verificare che la seguente successione definita per ricorrenza
n=0
a0 = 0
a1 = 1
n=1
{an }n =
an = 6an−1 − 9an−2 n ≥ 2 .
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = ( 13 n)3n per ogni n ≥ 0.
Esercizio 10. Al primo anno di Informatica, sono iscritti 120 studenti. 40 studenti
sono donne, 60 studenti sono biondi. 30 sono maschi biondi. Supponendo solo donne o
uomini e solo mori o biondi, stabilire il numero di studentesse bionde, studentesse more
e maschi mori.
Esercizio 11. Dimostrare che ∀ n ≥ 0, si ha
n
X
1
1
= 2 − n.
i
2
2
i=0
Esercizio 12. Dimostrare per induzione completa che per ogni n ∈ N si ha
n+1
X
k=1
1
n+1
=
.
(2 + k)(3 + k)
3(n + 4)
Esercizio 13. Dimostrare per induzione completa che per ogni n ∈ N si ha
n+1
X
3i3 =
i=−1
3
(n + 1)2 (n + 2)2 − 4 .
4
Esercizio 14. Dimostrare per induzione completa che per ogni n ∈ N si ha
n+1
X
(3i + 1) =
i=−1
3
((n + 1)(n + 2)) + n.
4
Esercizio 15. Dimostrare per induzione completa che per ogni n ∈ N si ha
n+1
X 1 i 9 1 1 = −
.
3
2 2 3n+1
i=−1
Esercizio 16. Dimostrare per induzione completa, che per ogni n ∈ N si ha
n
X
2i = n2 + n − 6.
i=−2
Esercizio 17. Date le seguenti leggi:
f : N → Q − {1},
f (n) =
n
n+1
e
2x + 1
;
x+1
stabilire se sono funzioni, se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, se
possibile, le composizione g ◦ f e f ◦ g e le inverse.
g : Q − {1} → Q − {2},
g(x) =
3
Esercizio 18. Verificare che la seguente successione {an }n∈N definita per ricorrenza
1
a0 =
3
{an }n =
an = an−1 + n(n + 1) + 13 n ≥ 1.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = 13 (n + 1)3 , per ogni n ≥ 0.
Esercizio 19. Verificare che la seguente successione {an }n∈N definita per ricorrenza
1
a0 =
a1 =
3
{an }n =
an = 5an−1 + 6an−2 n ≥ 2.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn =
n ∈ N.
4 n
76
+ 37 (−1)n , per ogni
Esercizio 20. Verificare che la seguente successione {an }n∈N∗ definita per ricorrenza
0
a1 =
a2 =
4
{an }n =
an = 4an−1 − 4an−2 n ≥ 3.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = (n − 1)2n , per ogni n ∈ N∗ .
Esercizio 21. Verificare che la seguente successione {an }n∈N definita per ricorrenza
7
a0 =
a1 =
21
{an }n =
an = 5an−1 + 6an−2 n ≥ 2.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = 4 · 6n + 3 · (−1)n , per ogni
n ∈ N.
Esercizio 22. Verificare che la seguente successione {an }n∈N∗ definita per ricorrenza
0
a1 =
a2 =
1
{an }n =
an = 4an−1 − 4an−2 n ≥ 3.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = (−1 + n)2n−2 , per ogni
n ∈ N∗ .
