Numeri complessi
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Adolfo Scimone
1998
NUMERI COMPLESSI
Come sappiamo, non esistono nel campo dei numeri reali le radici di indice pari dei numeri
negativi.
Ammettiamo pertanto l’esistenza della radice quadrata del numero – 1. Questo nuovo ente
numerico che indicheremo con la lettera i o j non può essere un numero reale e viene
chiamato unità immaginaria. Si rese necessario quindi ampliare il campo dei numeri reali.
Def – 1 Dicesi numero complesso l’espressione
a + ib
dove il numero a è detto parte reale, i b parte immaginaria. Il numero complesso a + i b
viene indicato con le lettere z, w …
Due numeri complessi
z = a + i b e w = c + id
sono uguali se
a=c e b=d
cioè se hanno la stessa parte reale e uguali i coefficienti delle parti immaginarie.
Def. – 2 Dato il numero complesso z = a + i b , si dice opposto di z il numero − z = −a − i b ,
per cui il numero complesso z = a + i b è nullo se e solo se a = b = 0 .
Nel campo dei numeri complessi non si introducono i concetti di maggiore e di minore.
Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi
a) Rappresentazione mediante i punti del piano
Fissiamo un sistema di assi cartesiani Oxy. Al numero complesso z = a + i b associamo un
punto A ( a, b ) e inversamente al punto A ( a, b ) facciamo corrispondere il numero
complesso z = a + i b .
Rimane così stabilita una corrispondenza biunivoca fra i numeri complessi ed i punti del
piano. Ai punti dell’asse x corrispondono i numeri reali, per cui l’asse x prende il nome di
asse reale, mentre l’asse y a cui corrispondono i numeri immaginari prende il nome di asse
immaginario. Infatti i punti dell’asse x sono in corrispondenza biunivoca con i numeri
z = a +i0 = a ,
mentre i punti dell’asse y sono in corrispondenza biunivoca con i numeri del tipo
z = 0 + i b = ib
Due numeri complessi tra loro opposti a + i b e − a − i b hanno per immagine, o indici,
punti simmetrici rispetto all’origine.
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A(a,b)
A’(-a,-b)
Def. – 3 I numeri complessi
z = a + i b e z = a − ib
prendono il nome di numeri complessi coniugati ed hanno gli indici simmetrici rispetto
all’asse x.
A(a,b)
A’(a,- b)
b) Rappresentazione mediante vettori
Ad ogni punto A(a,b) del piano possiamo associare il vettore OA. Di conseguenza ad ogni
numero complesso z = a + i b si può far corrispondere il vettore OA e inversamente.
Si stabilisce così una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano di
origine O. Il vettore OA sarà quindi il vettore rappresentativo del numero complesso
z = a + i b ; a rappresenta la proiezione del vettore sull’asse x ed il coefficiente b
rappresenta la proiezione del vettore sull’asse y. I vettori rappresentativi di due numeri
complessi opposti, sono tra loro opposti, i vettori rappresentativi di due numeri complessi
coniugati sono simmetrici rispetto all’asse x.
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y
b
A(a,b)
ρ
ϕ
O
a
x
y
b
A(a,b)
-a
O
A’(-a,-b)
-b
a
y
b
A(a,b)
x
O
-b
A’(a,-b)
Operazioni Fra numeri complessi
Addizione
Consideriamo due numeri complessi z1 = a + i b e z 2 = c + i d .
La somma di z1 e z 2 sarà
z = z1 + z 2 = ( a + ib ) + (c + id ) = ac + i ( b + d )
x
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Indicando con P1 (a , b ) e P2 (c , d ) gli indici dei due numeri complessi, l’indice
corrispondente a z = z1 + z 2 sarà il punto Q( a + c, b + d ) avente come ascissa la somma
delle ascisse e come ordinata la somma delle ordinate dei punti P1 e P2 .
Vettorialmente si ha che il vettore z sarà la somma dei vettori z1 e z2 .
z2
z
z1
Sottrazione
Per differenza tra due numeri complessi
z1 = a + i b e z 2 = c + i d
e si indica con z = z1 − z 2 si intende il numero complesso x + iy tale che
( x + iy ) + (c + id ) = a + ib
quindi
x + c + i ( y + d ) = a + ib
Per il principio di identità dei polinomi si ha:
x+c= a ⇒ x = a−c
y+d =b ⇒ y = b−d
per cui
z1 − z 2 = x + iy = a − c + i (b − d )
Il vettore z = z1 − z 2 è rappresentato in fig.
z2
z1 – z2
z1
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Moltiplicazione
Dati i numeri complessi
z1 = a + i b e z 2 = c + i d
il prodotto di z1 per z 2 è dato da
z = z1 ⋅ z 2 = ( a + ib)( c + id ) = ac + iad + ibc + i 2 bd = ( ac − bd ) + i (bc + ad )
Si ha anche che la somma e il prodotto di due numeri complessi coniugati sono numeri
reali. Infatti, se
z = a + ib
z = a + ib
sono numeri complessi coniugati, avremo
z + z = (a + ib) + ( a − ib) = 2a
zz = (a + ib)( a − ib ) = a 2 + b 2
Il termine a 2 + b 2 viene chiamato anche norma del numero complesso a + ib .
Potenza ad esponente intero positivo
In modo analogo al campo reale si ha che, dato il numero complesso
z = a + ib
z 0 = ( a + ib ) 0 = 1
z 1 = ( a + ib ) 1 = a + ib
z n = ( a + ib ) n = (a + ib)( a + ib).....( a + ib)
14444244443
n vplte
inoltre si ha:
i0 = 1
i1 = i
i 2 = −1
i 3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i 6 = −1
Poiché le potenze si ripetono periodicamente ogni 4 volte, le potenze di i formano un
gruppo ciclico di ordine 4.
i 4n = i 0 = 1
i 4 n +1 = i 1 = i
i 4 n +2 = i 2 = − 1
i 4 n +3 = i 3 = − i
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Divisione
Dati i numeri complessi
z1 = a + i b e z 2 = c + i d
con z 2 ≠ 0 definiamo quoziente di z1 e z 2 quel numero complesso z = x + iy tale che
a + ib = ( c + id ) ⋅ ( x + iy )
che si può anche scrivere
a + ib = cx − dy + i ( dx + cy) e quindi per il principio di identità dei polinomi si ha
cx − du = a
dx + cy = b
Risolvendo il sistema con il metodo di Cramer si ha
c −d
det A =
= c 2 + d 2 ≠ 0 perché somma di quadrati
d
c
a −d
det A1 =
= ac + bd
b
c
c a
det A2 =
= bc − ad
d b
Avremo:
det A1 ac + bd
x=
=
det A c 2 + d 2
det A2 bc − ad
x=
=
det A c 2 + d 2
Il quoziente sarà
z
ac + bd
bc − ad
z = 1 = x + iy = 2
+i 2
2
z2
c +d
c +d2
In pratica il quoziente si può determinare moltiplicando numeratore e denominatore per il
coniugato di z2 . Si ha:
z 1 a + ib ( a + ib )( c − id ) ac + bd + i (bc − ad ) ac + bd
bc − ad
=
=
=
= 2
+i 2
2
2
2
z 2 c + id ( c + id )( c − id )
c +d
c +d
c +d2
Coordinate polari
Fissati nel piano un punto O, polo ed una semiretta , asse polare, uscente da O ed un verso
di rotazione, ad un punto P del piano si associa la sua distanza ρ dal polo e l’ascissa
angolare ϕ della semiretta OP. Alla a coppia (ρ, ϕ) si dà il nome di coordinate polari del
piano. Esse sono legate alle coordinate cartesiane dalle relazioni:
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
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ρ
ϕ
ρ si chiama raggio vettore e ϕ anomalia del punto P.
Per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari eleviamo al quadrato le
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
x 2 = ρ 2 cos 2 ϕ
2
y = ρ 2 sin 2 ϕ
sommando membro a membro otteniamo
x 2 + y 2 = ρ 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ )
e quindi
x2 + y2 = ρ 2
ρ = x2 + y2
Avremo quindi
x
x
cos ϕ = =
2
ρ
x + y2
y
y
sinϕ = =
.
2
ρ
x + y2
Forma trigonometrica dei numeri complessi
Si dicono modulo e argomento del numero complesso z = a + i b rispettivamente il modulo
ρ e l’anomalia ϕ, definita a meno di multipli di 2π .
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Consideriamo il numero complesso z = a + i b , sia P(a,b) il punto corrispondente piano
complesso che individua il vettore rappresentativo corrispondente. Si ha
P(a,b)
ρ
ϕ
a = ρ cos ϕ
b = ρ sin ϕ
ρ = a2 +b2
cos ϕ =
a
=
ρ
a
a 2 + b2
b
b
=
2
ρ
a + b2
da cui, supponendo cos ϕ ≠ 0 si ha anche
b
tg ϕ =
a
Il numero complesso z = a + i b assumerà la forma
z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
sinϕ =
Moltiplicazione di numeri complessi
Chiamiamo prodotto di due numeri complessi un numero complesso che ha modulo uguale
al prodotto dei moduli dei fattori e argomento uguale alla somma degli argomenti dei
fattori.
Dati i numeri complessi
z1 = ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ1 )
z 2 = ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )
avremo:
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z1 ⋅ z 2 = ρ 1 ρ 2 (cos ϕ1 + i sin ϕ 1 ) ⋅ (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) =
= ρ 1 ρ 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 + i cos ϕ1 sinϕ 2 + isin ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) =
ρ 1 ρ 2 ((cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i (sin ϕ1 cos ϕ 2 + cos ϕ1 sin ϕ 2 ))
e quindi
z1 ⋅ z 2 = ρ 1 ρ 2 [cos (ϕ1 + ϕ
2
) + i sin (ϕ 1 + ϕ 2 )]
Il teorema si estende al caso di un prodotto di più fattori, dimostrando che se z1 , z 2 ,..., z n
sono numeri complessi, ρ 1, ρ 2 ,..., ρ n i loro moduli e ϕ 1 , ϕ 2 ,...,ϕ n i loro argomenti,
risulta:
z1 ⋅ z 2 L z n = ρ 1⋅ ρ 2L ρ n [cos (ϕ 1 + ϕ 2 + ... + ϕ n ) + i sin (ϕ 1 + ϕ 2 + ... + ϕ n )]
Divisione di numeri complessi
Se ( ρ 1 , ϕ 1 ) è il modulo e l’argomento di z1 e ( ρ 2 ,ϕ 2 ) il modulo e l’argomento di z 2 e se
z 2 ≠ 0 avremo:
z1
ρ 1 (cos ϕ1 + i sinϕ 1 )
ρ (cos ϕ1 + i sin ϕ 1 ) ⋅ (cos ϕ 2 − i sin ϕ 2 )
=
= 1
=
z 2 ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ρ 2 (cos ϕ 2 + i sinϕ 2 ) ⋅ (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )
ρ cos ϕ1 cos ϕ 2 − i cos ϕ 1 sin ϕ 2 + i sin ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2
= 1
=
ρ2
cos 2 ϕ 2 + sin 2ϕ 2
ρ
= 1 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 − i cos ϕ 1 sin ϕ 2 + i sin ϕ 1 cos ϕ 2 + sinϕ 1 cos ϕ 2 ) =
ρ2
ρ
= 1 (cos ϕ 1 − ϕ 2 ) − i sin (ϕ 1 − ϕ 2 ))
ρ2
Quindi il quoziente di due numeri complessi è un numero complesso avente modulo uguale
al quoziente dei moduli dei fattori e argomento uguale alla differenza degli esponenti dei
fattori.
Elevazione a potenza
Applicando la formula precedentemente vista al caso di n fattori uguali otteniamo una
regola che permette di elevare un numero complesso ad una potenza intera positiva.
[ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ]n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ )
cioè: Per elevare un numero complesso a una potenza intera positiva, è necessario elevare a
questa potenza il modulo e moltiplicare l’argomento per l’esponente della potenza.
Dimostriamo che vale anche se n è un numero intero negativo.
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Se m > 0 poniamo n = −m , avremo:
1
[ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ]− m =
=
[ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ]m
1
cos mϕ − i sin mϕ
= m
= m
=
ρ (cos mϕ + i sin mϕ ) ρ (cos 2 mϕ + sin 2 mϕ )
= ρ − m (cos mϕ − i sin mϕ )
che si può scrivere:
[ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ]− m = = ρ − m [cos( −mϕ ) + i sin ( −mϕ ) ]
Radici di un numero complesso
Dato un numero complesso z e un numero intero positivo n, dicesi radice n – esima di z
ogni numero complesso w tale che si abbia
wn = z
Supposto z ≠ 0 scriviamo z e w sotto forma trigonometrica. Si ha:
z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
w = r (cos ψ + i sin ψ )
con ρ,ϕ numeri noti e r e ψ incogniti.
Se w è una radice n – esima di z dovrà aversi:
[r (cos ψ + i sin ψ ) ]n = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
Per la formula di De Moivre avremo:
r n (cos nψ + i sin nψ ) = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
Affinché si verifichi l’eguaglianza, i numeri complessi dovranno avere lo stesso modulo e i
loro esponenti devono differire di multipli di 2π . Dovrà risultare:
rn = ρ
nψ = ϕ + 2kπ
con k ∈ Z
poiché ρ > 0 , dovrà essere r > 0 e quindi
r = n ρ e inoltre
ϕ + 2kπ
ψ=
n
Pertanto:
Le radici n – esime del numero complesso z sono tutti e soltanto i valori che si ottengono
dalla formula
ϕ + 2kπ
ϕ + 2 kπ
wk = n ρ cos
+ i sin
n
n
Sembrerebbe che la formula fornisse infiniti valori per wk poiché infiniti sono i numeri
k ∈ Z , vediamo invece che si possono dedurre solo n valori distinti.
Vediamo che gli n numeri complessi che si deducono attribuendo a k i valori
0,1,2,.....n − 1
sono tra loro distinti. Si ha
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ϕ
ϕ
w0 = n ρ cos + i sin
per k = 0
n
n
ϕ + 2π
ϕ + 2π
w1 = n ρ cos
per k = 1
+ i sin
n
n
ϕ + 4π
ϕ + 4π
w2 = n ρ cos
per k = 2
+ i sin
n
n
………………………………………………………….
ϕ + 2( n − 1)π
ϕ + 2( n − 1)π
wn −1 = n ρ cos
+ i sin
per k = n – 1
n
n
ϕ + 2 nπ
ϕ + 2 nπ n ϕ
ϕ
wn = n ρ cos
+ i sin
= ρ cos + 2π + i sin + 2π =
n
n
n
n
ϕ
ϕ
= n ρ cos + i sin = w0
per k = n
n
n
Alla stessa conclusione si perviene se k è un numero negativo:
ϕ − 2π
ϕ − 2π n ϕ − 2π
ϕ − 2π
w−1 = n ρ cos
+ i sin
+ 2π + i sin
+ 2π =
= ρ cos
n
n
n
n
ϕ + 2( n −1)π
ϕ + 2( n −1)π
= n ρ cos
+ i sin
= wn −1
n
n
e così via.
Possiamo pertanto enunciare il
Teorema – Ogni numero complesso non nullo
z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
ammette n radici n – esime che sono date dalla
ϕ + 2kπ
ϕ + 2 kπ
wk = n ρ cos
+ i sin
n
n
con k = 0,1,2,....., n − 1
