Funzioni periodiche

Funzioni periodiche
pag 1
Adolfo Scimone
1999
Funzioni periodiche
Una funzione
f : A
→ R
si dice periodica di periodo T se, ponendo x + T al posto di x si ottiene ancora la
stessa funzione, cioè:
∀ x ∈ A, x + T ∈ A
f ( x + T ) = f ( x)
(1)
Proprietà – Se la funzione f (x ) è periodica di periodo , anche ogni multiplo di T, cioè
kT con k ∈ Z , è periodo di f (x ) , cioè
f ( x + kT ) = f ( x) <
Infatti dalla definizione di funzione periodica si ha
f ( x + 2T ) = f [( x + T ) + T ] = f ( x + T ) = f ( x)
f ( x + 3T ) = f [( x + 2T ) + T ] = f ( x + 2T ) = f ( x)
Si ha anche
f ( x − T ) = f [( x − T ) + T ] = f ( x )
f ( x − 2T ) = f [( x − 2T ) + T ] = f ( x − T ) = f ( x)
Pertanto possiamo dire che
f ( x + kT ) = f ( x)
Generalmente si sceglie come periodo il più piccolo numero positivo per cui vale la (1) e si
chiama periodo principale o periodo minimo. <
Esempi:
< Determinare il periodo della funzione
y = sin 3 x
Si ha:
sin 3( x + T ) = sin 3x quindi
3x + 3T = 3 x + 2 kπ
2
T = kπ
3
Per k = 1 si ha
2
T = π<
3
< Determinare il periodo della funzione
x
y = sin
2
x+T
x
sin
= sin
2
2
x +T
x
= + 2 kπ
2
2
Funzioni periodiche
pag 2
Adolfo Scimone
x T x
+ = + 2 kπ
2 2 2
T = 4kπ
Per k = 1 si ha
T = 4π <
< Determinare il periodo della funzione
y = tg 2 x
si ha tg 2( x + T ) = tg 2 x
2 x + 2T = 2 x + kπ
quindi
2T = kπ
π
T =k
2
per k = 1 si ha
π
T= <
2
Calcolo del periodo della funzione
f ( x ) = Asin (ω x + ϕ )
Se T è il periodo minimo di f (x ) si ha
f ( x + T ) = f ( x) e quindi
Asin (ω ( x + T ) + ϕ ) = Asin (ω x + ϕ )
dovrà essere quindi
ω x + ω T + ϕ = ω x + ϕ + 2π
pertanto si ha
2π
T=
<
ω
Allo stesso modo si procede per la funzione
f ( x ) = A cos (ω x + ϕ )
Calcolo del periodo della funzione
f ( x ) = Atg (ω x + ϕ )
Se T è il periodo minimo di f (x ) si ha
f ( x + T ) = f ( x) e quindi
Atg (ω ( x + T ) + ϕ ) = Atg (ω x + ϕ )
dovrà essere quindi
ω x +ω T +ϕ = ω x +ϕ +π
pertanto si ha
π
T= <
ω
1999