Moto rettilineo uniformemente accelerato Calcolo della velocità

Moti ad accelerazione costante
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Easy matematica di Adolfo Scimone
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Poiché l’accelerazione risulta costante avremo
v = v0 + at
In questo caso considerando un moto rettilineo la velocità media vm è uguale alla media aritmetica
delle velocità. Avremo quindi
v + v0
vm =
2
Lo spazio percorso in un tempo t sarà
s = vmt + s0 cioè
v + v0
s=
t + s0
2
essendo
v = v0 + at
otteniamo
v + at + v0
s= 0
t + s0
2
e quindi
1
s = v0t + at 2 + s0
2
Calcolo della velocità
Essendo
v = v0 + at
avremo
v − v0
t=
a
sapendo che in un moto ad accelerazione costante
s = vmt
dove
v + v0
vm =
2
otteniamo
v + v0
s=
t
2
v − v0
sostituendo t =
avremo
a
v + v0 v − v0
e quindi
s=
2
a
v 2 − v02
s=
da cui
2a
v 2 = v02 + 2as
Moti ad accelerazione costante
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Moto dei proiettili
Consideriamo un punto materiale (proiettile lanciato verso l’alto con una velocità iniziale v 0 che
forma un angolo ϑ con la direzione orizzontale. Riferiamo il moto ad un sistema di assi cartesiani
ortogonali Oxy. Avremo
v0 x = v0 cos ϑ
v0 y = v0 sin ϑ
L’accelerazione è diretta verso il basso e non possiede componente lungo l’asse x. Si ha quindi
ax = 0
ay = − g
lungo l’asse x la velocità rimane costante perché l’accelerazione è nulla e si ha:
x = v0 x t
mentre lungo l’asse y varia secondo la legge del moto uniformemente accelerato e si ha:
v y = v0 y − gt
Inoltre
1
y = v0 y t − gt 2
2
Pertanto le componenti del moto del proiettile saranno:
x = v0 x t
1
y = v0 y t − gt 2
2
Ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda otteniamo
x
v0 x
e quindi
t=
x 1  x 
y = v0 y
− g

v0 x 2  v0 x 
2
(1)
essendo
v0 x = v0 cos ϑ
v0 y = v0 sin ϑ
avremo
v sin ϑ
1
x2
y=− g 2
+x 0
2
2 v0 cos ϑ
v0 cos ϑ
1
x2
y=− g 2
+ x tg ϑ
2 v0 cos 2 ϑ
(2)
che è l’equazione della traiettoria. Essendo un’equazione del tipo
y = −ax 2 + bx
rappresenta una parabola
la gittata X è il massimo spostamento in direzione orizzontale e viene calcolata ponendo nella (2)
y=0
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Avremo
1
x2
− g 2
+ x tg ϑ = 0
2 v0 cos 2 ϑ
 1

x
x− g 2
+ tg ϑ  = 0 e quindi
2
 2 v0 cos ϑ

2
2
2 tg x v0 cos ϑ
x=
g
sin ϑ 2
1
x=2
v0 cos 2 ϑ
cioè
cos ϑ
g
X=
2 v02 sin ϑ cos ϑ
g
od anche
X=
2 v0 x v0 y
g
L’altezza massima H del proiettile è l’ordinata del punto più alto della traiettoria e siottiene in
X
corrispondenza del valore x =
(tenendo conto del fatto che la parabola è simmetrica rispetto al
2
proprio asse). Avremo:
1 X 2 X v0 y
H =− g 2 +
2 4v0 x 2 v0 x
Essendo
X=
2 v0 x v0 y
g
avremo
2 2
2
1 4v0 x v0 y 2v0 x v0 y
H =− g 2 2 +
2 4v0 x g
2 gv0 x
H =−
2
2
1 v0 y v0 y
+
2 g
g
H=
v02y
2g
Si ha anche
v02 sin 2 ϑ
2g
essendo inoltre
H=
2 v02 sin ϑ cos ϑ
ricavando v02 otteniamo
g
Xg
e quindi
v02 =
2 sin ϑ cos ϑ
X=
H=
Xg sin 2 ϑ
1
= X tg ϑ
2 g 2sin ϑ cos ϑ 4
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La gittata massima si ha per ϑ = 45D cioè per
v2
X max = 0
g
Nel caso in cui un proiettile o un grave venga lanciato lungo una linea orizzontale, l’equazione della
traiettoria è un arco di parabola e si ottiene ponendo v0 y = 0 nell’equazione (1); otteniamo:
1 x2
y=− g 2
2 v0 x