Moti ad accelerazione costante Pagina 1 di 4 Easy matematica di Adolfo Scimone Moto rettilineo uniformemente accelerato Poiché l’accelerazione risulta costante avremo v = v0 + at In questo caso considerando un moto rettilineo la velocità media vm è uguale alla media aritmetica delle velocità. Avremo quindi v + v0 vm = 2 Lo spazio percorso in un tempo t sarà s = vmt + s0 cioè v + v0 s= t + s0 2 essendo v = v0 + at otteniamo v + at + v0 s= 0 t + s0 2 e quindi 1 s = v0t + at 2 + s0 2 Calcolo della velocità Essendo v = v0 + at avremo v − v0 t= a sapendo che in un moto ad accelerazione costante s = vmt dove v + v0 vm = 2 otteniamo v + v0 s= t 2 v − v0 sostituendo t = avremo a v + v0 v − v0 e quindi s= 2 a v 2 − v02 s= da cui 2a v 2 = v02 + 2as Moti ad accelerazione costante Pagina 2 di 4 Easy matematica di Adolfo Scimone Moto dei proiettili Consideriamo un punto materiale (proiettile lanciato verso l’alto con una velocità iniziale v 0 che forma un angolo ϑ con la direzione orizzontale. Riferiamo il moto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy. Avremo v0 x = v0 cos ϑ v0 y = v0 sin ϑ L’accelerazione è diretta verso il basso e non possiede componente lungo l’asse x. Si ha quindi ax = 0 ay = − g lungo l’asse x la velocità rimane costante perché l’accelerazione è nulla e si ha: x = v0 x t mentre lungo l’asse y varia secondo la legge del moto uniformemente accelerato e si ha: v y = v0 y − gt Inoltre 1 y = v0 y t − gt 2 2 Pertanto le componenti del moto del proiettile saranno: x = v0 x t 1 y = v0 y t − gt 2 2 Ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda otteniamo x v0 x e quindi t= x 1 x y = v0 y − g v0 x 2 v0 x 2 (1) essendo v0 x = v0 cos ϑ v0 y = v0 sin ϑ avremo v sin ϑ 1 x2 y=− g 2 +x 0 2 2 v0 cos ϑ v0 cos ϑ 1 x2 y=− g 2 + x tg ϑ 2 v0 cos 2 ϑ (2) che è l’equazione della traiettoria. Essendo un’equazione del tipo y = −ax 2 + bx rappresenta una parabola la gittata X è il massimo spostamento in direzione orizzontale e viene calcolata ponendo nella (2) y=0 Moti ad accelerazione costante Pagina 3 di 4 Easy matematica di Adolfo Scimone Avremo 1 x2 − g 2 + x tg ϑ = 0 2 v0 cos 2 ϑ 1 x x− g 2 + tg ϑ = 0 e quindi 2 2 v0 cos ϑ 2 2 2 tg x v0 cos ϑ x= g sin ϑ 2 1 x=2 v0 cos 2 ϑ cioè cos ϑ g X= 2 v02 sin ϑ cos ϑ g od anche X= 2 v0 x v0 y g L’altezza massima H del proiettile è l’ordinata del punto più alto della traiettoria e siottiene in X corrispondenza del valore x = (tenendo conto del fatto che la parabola è simmetrica rispetto al 2 proprio asse). Avremo: 1 X 2 X v0 y H =− g 2 + 2 4v0 x 2 v0 x Essendo X= 2 v0 x v0 y g avremo 2 2 2 1 4v0 x v0 y 2v0 x v0 y H =− g 2 2 + 2 4v0 x g 2 gv0 x H =− 2 2 1 v0 y v0 y + 2 g g H= v02y 2g Si ha anche v02 sin 2 ϑ 2g essendo inoltre H= 2 v02 sin ϑ cos ϑ ricavando v02 otteniamo g Xg e quindi v02 = 2 sin ϑ cos ϑ X= H= Xg sin 2 ϑ 1 = X tg ϑ 2 g 2sin ϑ cos ϑ 4 Moti ad accelerazione costante Pagina 4 di 4 Easy matematica di Adolfo Scimone La gittata massima si ha per ϑ = 45D cioè per v2 X max = 0 g Nel caso in cui un proiettile o un grave venga lanciato lungo una linea orizzontale, l’equazione della traiettoria è un arco di parabola e si ottiene ponendo v0 y = 0 nell’equazione (1); otteniamo: 1 x2 y=− g 2 2 v0 x