RADICALI
dispensa a cura del prof. Gianfranco Metelli
Liceo Classico Istituto Cesare Arici - Brescia
Definizione
Si chiama radice ennesima aritmetica del numero reale positivo a, quel numero reale positivo b,
che elevato alla n dà come risultato il numero a.
n
La radice ennesima di a si indica con
a =b
con
a > 0 ; b > 0 ; n∈Ν
che si chiama radicale aritmetico;
a viene detto radicando, mentre n indice del radicale.
Osserva:
se
n
a = b , allora b = a
n
Osservazioni:
1)
2)
3)
4)
se n = 2,
se n = 3,
se n = 1,
se n = 0,
allora
allora
allora
allora
2
3
1
0
a
a
a
a
si scrive come a e si chiama radicale quadratico;
si chiama radicale cubico;
= a (il segno di radice è superfluo);
non ha alcun significato;
m
5) si ricordi che
n
am = a n
6) in caso di n negativo:
−n
a
m
= a
−
m
n
=
1
a
m
n
1) Proprietà dei radicali quadratici n=2 :
a
Dato che i radicali derivano dalle potenze, si deducono facilmente le seguenti proprietà:
PROPRIETA’
Il prodotto di due o più radicali quadratici è uguale ad un radicale
quadratico avente per radicando il prodotto dei radicandi
Il quoziente di due o più radicali quadratici è uguale ad un radicale
quadratico avente per radicando il quoziente dei radicandi
formula
a ⋅ b = ab
a
b
=
a
b
( )
n
La potenza n-esima di un radicale quadratico è uguale ad un radicale
a = an
quadratico avente per radicando la potenza del radicando dato
Osserva: queste formule possono
essere lette in modo simmetrico
Radicali – pag. 1
Esempi:
1)
2 ⋅ 5 = 10
2)
a ⋅ b = ab
3)
4)
5)
2
15
a
15
= 3
5
=
5
2
5
;
10 ⋅ 6 ⋅ 15 = 900 = 30
;
a 2 ⋅ ab ⋅ b 5 = a 3b 6
;
5
a
=
2
b2
b
( 3)
2
;
18
2
=
18
= 9 =3
2
x2 − y2
x− y
=
(x + y )(x − y ) =
x+ y
x− y
= 32 = 9 = 3
6) si osservi la simmetria delle proprietà:
84 = 4 ⋅ 3 ⋅ 7 = 4 ⋅ 3 ⋅ 7 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7
(
;
)
8 x 2 + 16 xy + 8 y 2 = 8 x 2 + 2 xy + y 2 = 2 2 ⋅ 2 ⋅ ( x + y ) 2 = 2 2 ⋅ 2 ⋅ ( x + y ) 2 = 2( x + y ) 2
2) Trasposto di un fattore sotto il segno di radice quadrata
Quando un radicale è moltiplicato per un numero positivo, tale fattore si può trasportare sotto il
segno di radice, come fattore del radicando, purché lo si elevi al quadrato.
a b = a 2 ⋅ b = a 2b
Esempi:
1) 3 5 = 3 2 ⋅ 5 = 45
2)
a
ab
=
a2
=
ab
a
b
2
2
10
= 25 ⋅
=
15
15
3
;
5⋅
;
1
( a + b) ⋅
=
2
a − b2
(a + b )2
a −b
2
20
=
2
;
2
=
20
= 5
4
(a + b )2 =
(a + b )(a − b )
a+b
a−b
3) Se il fattore da trasportare all’interno è negativo, si trasporta il valore assoluto, lasciando il
segno negativo davanti alla radice:
− 5⋅
7
52 ⋅ 7
=−
= − 35
5
5
Radicali – pag. 2
3) Trasposto di un fattore fuori dal segno di radice quadrata
Un fattore che compare sotto il segno di radice quadrata con esponente pari, può essere portato fuori
radice con esponente dimezzato.
Esempi:
1)
x2 y = x2 ⋅ y = x y
2)
18 = 3 2 ⋅ 2 = 3 2 . 2 = 3 ⋅ 2 ;
a 4b = a 4 ⋅ b = a 2 ⋅ b
;
50 = 5 2 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2
Quando in un radicale quadratico il radicando è una somma algebrica, NON è possibile portare
fuori dalla radice alcun termine (vedi esempio 3):
3)
x 2 + y 2 non è uguale a
x 2 + y 2 : non è possibile
Quindi, se il radicando è un polinomio, esso deve essere scomposto in fattori perché è possibile
estrarre solo fattori ! (vedi esempio 4):
4)
a 3 − 2a 2 b + ab 2 = a (a 2 − 2ab + b 2 ) = a (a − b) 2 = (a − b) a
E’ possibile trasportare fuori dal segno di radice quadrata anche esponenti dispari, scomponendo la
potenza secondo le proprietà:
5)
a3 = a 2 ⋅ a = a2 . a = a ⋅ a
6)
53 = 5 2 ⋅ 5 = 5 2 . 5 = 5 ⋅ 5
;
54 = 33 ⋅ 2 = 3 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 3 2 . 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 6
4) Somma algebrica di radicali quadratici
La somma tra radicali quadratici è possibile solo se sono simili ( = stesso radicando) !
a+ a =2 a
;
a + b = non è possibile e NON risulta = a + b
Esempi:
1)
2 +5 2 =6 2
2)
3 + 2 non è possibile
3) 3 x + 7 x − 2 x = 8 x
Radicali – pag. 3
8 + 32 + 128 = 2 3 + 2 5 + 2 7 =
4)
= 2 2 ⋅ 2 + 2 4 ⋅ 2 + 2 6 ⋅ 2 = 2 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 3 ⋅ 2 = 2 2 + 4 ⋅ 2 + 8 ⋅ 2 = 14 2
5) 2 12 − 6 48 + 3 75 = 2 2 2 ⋅ 3 − 6 2 4 ⋅ 3 + 3 5 2 ⋅ 3 =
= 2 ⋅ 2 3 − 6 ⋅ 2 2 3 + 3 ⋅ 5 3 = 4 3 − 24 3 + 15 3 = −5 3
5) Proprietà dei radicali di indice n > 2 :
n
a
Per i radicali di indice n>2 valgono le stesse proprietà dei radicali quadratici (vedi paragrafo 1),
ma gli indici devo essere gli stessi
PROPRIETA’
formula
Il prodotto di due o più radicali con lo stesso indice è uguale ad un
n
radicale con lo stesso indice avente per radicando il prodotto dei
a ⋅ n b = n ab
radicandi
Il quoziente di due o più radicali con lo stesso indice è uguale ad un
n
a n a
=
radicale con lo stesso indice avente per radicando il quoziente dei
n
b
b
radicandi
La potenza n-esima di un radicale di indice n è uguale ad un radicale
m
n
a
= n am
di indice n avente per radicando la potenza del radicando dato
La radice n-enisa di una radice m-esima (radice di radice) è uguale ad
n m
un radicale che ha come indice il prodotto degli indici, mentre il
a = nm a
radicando rimane invariato
Osserva: queste formule possono
essere lette in modo simmetrico
( )
Esempi:
1)
2)
3
3
2 ⋅ 3 5 = 3 10
a ⋅ 3 b 2 = 3 ab 2
8
x5
8
y3
;
=8
x5
y3
La moltiplicazione o divisione tra radicali è possibile solo se i radicali hanno lo stesso indice.
In caso contrario, si veda il paragrafo successivo.
Radicali – pag. 4
6) Riduzione di più radicali allo stesso indice:
moltiplicazione e divisione
Si consideri la proprietà invariantiva dei radicali:
moltiplicando o dividendo per uno stesso numero intero positivo l’indice di un radicale e
l’esponente del suo radicando, il valore del radicale non cambia
n
es.:
3
a=
np
2 = 6 22
n
am =
7 4 = 15 712
;
ap
5
;
moltiplicazione per 2
np
a mp
moltiplicazione per 3
20
5 6 = 10 53
divisione per 2
Questa proprietà risulta fondamentale per ridurre più radicali allo stesso indice, operazione
necessaria per svolgere moltiplicazioni e divisioni tra radicali con indice diversi.
Per ridurre più radicali allo stesso indice (minimo), si assume per indice comune il m.c.m. degli
indici, e si eleva il radicando di ciascun radicale ad un esponente uguale al quoziente tra l’indice
comune e quello del radicale dato.
Esempio:
3
Ridurre allo stesso indice i radicali
a e
4
b:
a = 12 a 4 e
4
b = 12 b 3
A questo punto, se si volesse svolgere il prodotto:
3
a ⋅ 4 b , come spiegato precedentemente è
il m.c.m. degli indici è 12, quindi:
3
possibile solo se i radicali vengono ridotti allo stesso indice, quindi:
3
a ⋅ 4 b = 12 a 4 ⋅ 12 b 3 = 12 a 4 b 3
Esempi:
1)
3
5 ⋅ 7 = 6 52 ⋅ 6 73 = 6 52 ⋅ 73
2)
4
2 ⋅ 3 2 = 12 2 3 ⋅ 12 2 4 = 12 2 3 ⋅ 2 4 = 12 2 7
3)
3
a ⋅ a 4 = 6 a 2 ⋅ 6 a 12 = 6 a 2 ⋅ a 12 = 6 a 14 = semplificando = 3 a 7
4)
4
1 1 3
1 4 3 + 2 3 4 + 1 4 5 3 5 12 5 3 12 2 4
:
:
+ : 2+ =
=
=
⋅
=
2 3
2
6
2
6
2
63
54
= 12
5 3 2 4 12 5 3
2 4 12 2
⋅
=
⋅
=
63 54
2 3 ⋅ 33 5 4
33 ⋅ 5
Radicali – pag. 5
7) Somma algebrica di radicali con n > 2
Come per i radicali quadratici (paragrafo 4), la somma algebrica di radicali può essere risolta solo
se sono simili (stesso radicando e stesso indice di radice):
n
quindi
e anche
n
n
a + n a = 2⋅n a
a + n b non è possibile
a + m a non è possibile.
8) Razionalizzazione del denominatore
Definizione:
Quando nel denominatore di una frazione compaiono dei radicali, è opportuno trasformare
sempre la frazione in un’altra equivalente il cui denominatore non contenga più radicali.
Questa operazione è detta razionalizzazione del denominatore di una frazione.
Distinguiamo 3 casi su cui lavoreremo:
a
1° caso) La frazione ha come denominatore un solo radicale quadratico:
b
In questo caso la frazione va moltiplicata per
b
( = 1), in modo tale che la frazione
b
risultante rimanga equivalente e, moltiplicando i denominatori, la radice venga
semplificata, ovvero
a
b
=
a
b
⋅
b
b
=
a⋅ b
b
2
=
a⋅ b
b
=
15
Esempi:
1)
2)
3)
4)
5
=
3
7
2 3
5
3
⋅
3
3
=
5⋅ 3
32
=
5⋅ 3
3
15
;
5
= razionalizzare solo con la radice =
2+ 2
2
=
( x + y) 2
x+ y
2+ 2
=
2
⋅
2
2
=
(2 + 2 )⋅
2⋅ 2
2
=
5
7
2 3
⋅
⋅
5
5
3
3
=
=
(
15 ⋅ 5
5
=
5
3
7⋅ 3
2 32
=
7⋅ 3 7⋅ 3
=
2⋅3
6
)
2⋅ 2 + 2 2⋅ 2 +1
=
= 2 +1
2
2
( x + y) 2 ⋅ x + y
= ( x + y) ⋅ x + y
=
⋅
x+ y
x+ y
x+ y
( x + y) 2
x+ y
Radicali – pag. 6
a
2° caso) La frazione ha come denominatore un solo radicale non quadratico:
In questo caso la frazione va moltiplicata per
n
b n−m
n
b n−m
bm
n
(n>m)
( = 1), in modo tale che la frazione
risultante rimanga equivalente e, moltiplicando i denominatori, la radice venga
semplificata, ovvero
a
n
=
bm
a
n
⋅
bm
n
b n−m
n
b n−m
a ⋅ n b n−m
=
n
b m ⋅ n b n−m
=
a ⋅ n b n−m
n
=
b m+ n−m
a ⋅ n b n−m
b
Esempi:
1)
2)
7
3
=
5
20
7
23
7
3
=
5
⋅
3
52
3
52
20
7
23
⋅
=
7
24
7
24
73 5 2
53
3
=
73 5 2
=
5
20 ⋅ 7 2 4
7
=
27
20 ⋅ 7 2 4
= 10 ⋅ 7 2 4
2
3 ⋅ 5 33 5 33
3)
=
=
⋅
=
= razionalizzare solo con la radice =
7⋅3
7
7 ⋅ 5 32
7 ⋅ 5 3 2 5 33 7 ⋅ 5 35
3° caso)
5
4
4
33
3 ⋅ 5 33
La frazione ha come denominatore la somma algebrica con almeno un radicale
c
c
c
quadratico:
; oppure
; oppure
a+ b
a− b
a +b
In questo caso, per la moltiplicazione si sfrutta il prodotto notevole “somma per
differenza”
(
)(
)
a+ b ⋅
a − b = a − b , ovvero (si osservino i segni)
c
a+ b
c
a− b
c
=
a+ b
c
=
a− b
Esempi:
1)
2)
3)
3
10 + 6
12
7− 3
3
5+ 2
=
3
=
10 + 6
12
=
7− 3
3
⋅
⋅
⋅
10 − 6
10 − 6
7+ 3
7+ 3
5− 2
5+ 2 5− 2
=
(
=
=
12 ⋅
⋅
⋅
a− b
=
a− b
a+ b
=
a+ b
(
c⋅
(
c⋅
(
)
a− b
a−b
a+ b
a−b
(
)
)
3 ⋅ 10 − 6
3 ⋅ 10 − 6
=
10 − 6
4
(
)
7 + 3 12 ⋅
=
7−3
)
(
3⋅ 5 − 2
3⋅ 5 − 2
=
25 − 2
23
(
)
)
7+ 3
= 3⋅
4
(
7+ 3
)
)
Radicali – pag. 7
4)
8
3 5 − 13
=
8
⋅
3 5 + 13
3 5 − 13 3 5 + 13
=
(
)
(
)
8 ⋅ 3 5 + 13 8 ⋅ 3 5 + 13 3 5 + 13
=
=
9 ⋅ 5 − 13
32
4
9) Radicali quadratici doppi
Si chiama radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:
a+ b
a− b
oppure
Senza dimostrazione, se a, b, a2-b sono positivi, vale che:
a+ b =
a + a2 − b
a − a2 − b
+
2
2
a− b =
a + a2 − b
a − a2 − b
−
2
2
Esempi:
1)
4+ 7 =
4 + 16 − 7
4 − 16 − 7
+
=
2
2
4+ 9
4− 9
+
=
2
2
4+3
4−3
+
=
2
2
Osserva: se si vuole razionalizzare il risultato ottenuto:
7
1
+
=
2
2
7
2
+
1
2
=
7 +1
2
=
7 +1
2
⋅
2
2
=
(
7
1
+
2
2
)
7 +1 ⋅ 2
2
2) 12 − 3 7 = prima di applicare la formula, riscriviamo il radicale trasportando il fattore 3 sotto
radice
= 12 − 63 =
=
12 + 144 − 63
12 − 144 − 63
−
=
2
2
12 + 81
12 − 81
12 + 9
12 − 9
−
=
−
=
2
2
2
2
21
3
−
2
2
Radicali – pag. 8
a ± 2 b (attenzione alla
⎧x + y = a
che permettono di
presenza del coefficiente 2), considerando due numeri x e y tali che ⎨
⎩x ⋅ y = b
Esiste un secondo metodo per trasformare un radicale doppio del tipo
giungere all’uguaglianza
a±2 b = x ± y .
Dimostrazione: l’uguaglianza è valida perché, se esistono tali valori x e y, è possibile
scrivere
a ± 2 b = x + y ± 2 xy = dove all’interno della radice è possibile riconoscere il
quadrato di un binomio
==
(
x± y
)
2
= semplificando il quadrato con la radice = x ± y
Esempi:
1)
⎧x + y = 6
6 + 2 5 si devono trovare 2 numeri x e y tali che ⎨
. Tali valori sono x=5 e y =1,
⎩x ⋅ y = 5
quindi
2)
6+2 5 = 5 + 1
⎧x + y = 8
8 − 48 = 8 − 2 12 si devono trovare 2 numeri x e y tali che ⎨
. Tali valori sono
⎩ x ⋅ y = 12
x=6 e y =2, quindi
8 − 2 12 = 6 − 2
3) Riprendiamo un esercizio svolto con il primo metodo, in cui non compare il coefficiente 2
davanti alla seconda radice; in questo caso è possibile una forzatura del tipo:
7
7
si devono trovare 2 numeri x e y tali che
4 + 7 = 4 + 4⋅ = 4 + 2 ⋅
4
4
valori sono x =
7
1
e y = , quindi
2
2
4+ 7 =
⎧x + y = 4
⎪
⎨
7 . Tali
⎪⎩ x ⋅ y = 4
7
1
.
+
2
2
Radicali – pag. 9
10) Equazioni a coefficienti irrazionali
E’ possibile risolvere equazioni a coefficienti irrazionali.
Attenzione: qui l’incognita non è sotto radice, altrimenti sarebbero equazioni irrazionali, ma solo i
coefficienti della x , i termini noti e la soluzione possono essere radicali.
Per semplificare, ci occuperemo solo di equazioni con coefficienti irrazionali quadratici.
Le modalità di risoluzione sono sempre quelle delle equazioni, con l’obiettivo di determinare il
valore dell’incognita.
Esempi:
1)
2⋅x−2= 2
2⋅x = 2+ 2
2+ 2
… razionalizzando x = 2 + 1
x=
2
2)
2 (3 − x) + 2 2 ( x − 1) = x(1 + 2 ) + 1
3 2 − 2x + 2 2x − 2 2 = x + 2x + 1
− 2 x + 2 2 x − x − 2 x = +1 − 3 2 + 2 2
− x = +1 − 2
x = −1 + 2
Radicali – pag. 10
