Matematica e Statistica Modulo di Matematica

Matematica e Statistica
Modulo di Matematica
Sonia L’Innocente
Corso di Laurea
Biologia della Nutrizione
Argomento 6.
Integrali
a.a.
2013-2014
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
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Integrali
Outline
1
Integrali
Integrali impropri
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Integrali
Integrale
Definizione: Data una funzione f : [a, b] −→ R continua, allora si
definisce integrale definito di f tra a e b
Z
b
f (x) dx = area(A) − area(B)
a
dove A è la zona del piano compresa tra le rette vericali x = a ed
x = b, che sta sopra l’asse delle x e sotto il grafico della funzione,
mentre B è la zona del piano compresa tra le rette vericali x = a ed
x = b, che sta sotto l’asse delle x e sopra il grafico della funzione.
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Integrali
2
A
1
1
-1
2
3
4
5
6
7
B
-2
Figure:
Rb
a
f (x) dx = area(A) − area(B).
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Integrali
Osservazione
Data una funzione f : [a, b] −→ R continua e tale che f (x) ≥ 0,
∀x ∈ [a, b] allora
Z b
f (x) dx
a
è l’area della regione di piano compresa tra il grafico di f l’asse delle x
e le rette verticali x = a e x = b.
Definizione
Data una funzione f : [a, b] −→ R continua, allora si definisce
Z
a
Z
f (x) dx = −
b
b
f (x) dx,
a
Z
a
f (x) dx = 0.
a
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Integrali
Definizione
Una partizione P = {x0 , . . . , xn } di un intervallo chiuso [a, b] è un
insieme ordinato di punti tali che a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.
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Integrali
Definizione
Data una funzione f : [a, b] −→ R limitata, e data P = {x0 , . . . , xn } una
partizione di [a, b], diamo le seguenti definizioni
mk il valore del minimo assoluto di f (x) nell’intervallo [xk−1 , xk ],
k = 1, . . . n;
Mk il valore del massimo assoluto di f (x) nell’intervallo [xk−1 , xk ],
k = 1, . . . n;
P
s(P) = nk=1 mk (xk − xk−1 ) =
m1 (x1 − x0 ) + m2 (x2 − x1 ) + · · · + mn (xn − xn−1 ) la somma
integrale inferiore;
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Integrali
Definizione
Data una funzione f : [a, b] −→ R limitata, e data P = {x0 , . . . , xn } una
partizione di [a, b], diamo le seguenti definizioni
P
S(P) = nk=1 Mk (xk − xk−1 ) =
M1 (x1 − x0 ) + M2 (x2 − x1 ) + · · · + Mn (xn − xn−1 ) la somma
integrale superiore;
δ(P) = max{xk − xk−1 : k = 1, . . . n} la massima ampiezza degli
intervalli di P;
allora se
lim s(P) = lim S(P) = l ∈ R
δ(P)→0
δ(P)→0
f è detta integrabile in [a, b] e si ha
Z
b
f (x) dx = l.
a
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Integrali
Nella figura precedente abbiamo un esempio in cui sono rappresentati
la somma integrale inferiore e la somma integrale superiore per
una partizione P avente massima ampiezza δ(P) = 0.5.
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Integrali
2.5
M6
M2
M3
M5
M4
m5
-2
2
M1
m11.5
m2
1
m6
m3
m40.5
-1
-0.5
1
2
3
4
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
5
Figure: In questo esempio n = 6, δ(P) = 0.5, l’area più scura rappresenta
s(P), l’area più scura insieme con l’area più chiara rappresenta S(P).
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Integrali
Come si puo vedere dalla figura successiva, quando l’ampiezza
massima δ(P) della partizione P tende a zero allora la somma
Rb
integrale inferiore e superiore tendono a a f (x) dx il quale coincide
con l’area compresa tra la funzione e l’asse delle x quando f (x) ≥ 0.
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Integrali
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
1
2
-0.5
3
4
5
1
2
3
4
5
-0.5
Figure: Quando δ(P) → 0, s(P) e S(P) tendono a
Rb
a
f (x) dx.
Osservazione
Se f è continua in [a, b] allora f è integrabile in [a, b].
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Integrali
Osservazione
Se f è continua in [a, b] allora f è integrabile in [a, b].
Osservazione
Se f , g sono integrabili in un intervallo chiuso I, a, b, c ∈ I, k ∈ R,
l’integrale definito soddisfa le seguenti proprietà
Additività:
Z
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
Linearità:
Z b
(f (x) + g(x)) dx =
b
Z
b
g(x) dx,
a
Z
k · f (x) dx = k
a
b
f (x) dx +
a
Z
f (x) dx,
c
Z
a
b
b
f (x) dx,
a
Confronto tra integrali: se f (x) ≤ g(x) e a ≤ b allora
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Integrali
Osservazione
Se f , g sono integrabili in un intervallo chiuso I, a, b, c ∈ I, k ∈ R,
l’integrale definito soddisfa le seguenti proprietà
Confronto tra integrali: se f (x) ≤ g(x) e a ≤ b allora
Z
b
Z
f (x) dx ≤
a
b
g(x) dx,
a
Z
Z
b
b
f
(x)
dx
|f (x)| dx,
≤
a
a
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Integrali
Teorema della media
Se f è una funzione limitata ed integrabile in [a, b] allora si ha:
Z
m(b − a) ≤
b
f (x) dx ≤ M(b − a)
a
dove m = min{f (x) : x ∈ [a, b]}, M = max{f (x) : x ∈ [a, b]}. Inoltre
se f è continua in [a, b] allora esiste x0 ∈ [a, b] tale che
Z
b
f (x) dx = f (x0 )(b − a)
a
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Integrali
Funzione integrale
Definizione: Data una funzione f : [a, b] −→ R continua, allora la
funzione F : [a, b] −→ R definita da
Z x
F (x) =
f (t) dt
(1)
a
è detta funzione integrale di f nell’intervallo [a, b].
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Integrali
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f è una funzione continua in [a, b] allora la sua funzione integrale
F (x) data dall’equazione (1) è continua e derivabile in [a, b] inoltre
F 0 (x) = f (x).
Funzione primitiva
Definizione: Una funzione F : [a, b] −→ R derivabile in [a, b] è una
primitiva di f : [a, b] −→ R se F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ [a, b].
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Integrali
Alcuni esempi di primitive
F (x) = x, G(x) = x + 5, H(x) = x − 8 sono primitive di f (x) = 1
F (x) = sin x, G(x) = sin x + 15 sono primitive di f (x) = cos x
Osservazione
Se F (x) è una primitiva di f (x) allora anche F (x) + c è una primitiva di
f (x) qualunque sia la costante c ∈ R.
Osservazione
Due primitive F (x) e G(x) di f (x) differiscono per una costante cioè
G(x) = F (x) + c con c ∈ R.
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Integrali
Diamo ora una formula per poter calcolare l’integrale definito di una
funzione f (x) continua in [a, b]. Se F (x) è una primitiva di f (x) [cioè
F 0 (x) = f (x)] allora la formula fondamentale del calcolo integrale è
la seguente
Z
b
a
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a).
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Integrali
Esempio
3
Essendo F (x) = x3 una primitiva di f (x) = x 2 allora l’area della
regione di piano compresa tra l’asse delle x la parabola y = x 2 e le
rette verticali x = 0 e x = 2 (rappresentata nella figura successiva) è
data da
3 2
Z 2
Z 2
x
8
23 03
2
2
−
=
x dx =
f (x) dx = [F (x)]0 =
=
3 0
3
3
3
0
0
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Integrali
5
4
3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figure: In grigio si ha la regione di piano compresa tra l’asse delle x la
R2
parabola y = x 2 e le rette verticali x = 0 e x = 2, la cui area è 0 x 2 dx.
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Integrali
Integrale Indefinito
Definizione: Se f : [a, b] −→ R è continua in [a, b] allora si definisce
integrale indefinito di f
Z
f (x) dx
l’insieme di tutte le primitive di f . Dunque se F (x) è una primitiva di
f (x) allora
Z
f (x) dx = F (x) + c.
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Integrali
Vediamo alcune regole di integrazione:
Linearità:
Z
Z
cf (x) dx = c
Z
f (x) dx
Z
(f (x) + g(x)) dx =
Z
f (x) dx +
g(x) dx
Regola di integrazione per parti:
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx
Regola di integrazione per sostituzione:
Z
Z
f (x) dx = f (g(t)) g 0 (t) dt
con la sostituzione x = g(t), dx = g 0 (t)dt. Si osservi che se
t = h(x) con h la funzione inversa di g allora dt = h0 (x)dx.
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Integrali
Nella successiva tabella sono elencati gli integrali indefiniti immediati,
gli altri si ottengono utilizzando tale tabella e le regole di integrazioni.
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Integrali
Table: Integrali Indefiniti Immediati
R
0 dx = c
R
x b dx =
R
1
x
R
R
x b+1
b+1
[f (x)]b+1
b+1
R
[f (x)]b f 0 (x) dx =
R
1 0
f (x) f (x)
ex dx = ex + c
R
ef (x) f 0 (x) dx = ef (x) + c
ax dx = ax loga e + c
R
af (x) f 0 (x) dx = af (x) loga e + c
+c
se b 6= −1
dx = log |x| + c
+ c b 6= −1
dx = log |f (x)| + c
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Integrali
Table: Integrali Indefiniti Immediati
R
sin x dx = − cos x + c
R
sin (f (x)) f 0 (x) dx = − cos (f (x)) + c
R
cos x dx = sin x + c
R
cos (f (x)) f 0 (x) dx = sin (f (x)) + c
R
1
cos2 x
dx = tan x + c
R
1
f 0 (x)
cos2 (f (x))
dx = tan (f (x)) + c
R
1
sin2 x
dx = − cot x + c
R
1
f 0 (x)
sin2 (f (x))
dx = − cot (f (x)) + c
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Integrali
Table: Integrali Indefiniti Immediati
R
√1
dx = arcsin x + c
R
√
1
f 0 (x)
1−f 2 (x)
dx = arcsin (f (x)) + c
√1
dx = − arccos x + c
R
√
1
f 0 (x)
1−f 2 (x)
dx = − arccos (f (x)) +
R
1
f 0 (x)
1+f 2 (x)
1−x 2
R
1−x 2
R
1
1+x 2
dx = arctan x + c
dx = arctan (f (x)) + c
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Integrali
Integrali impropri
Si parla di integrale improprio quando o l’intervallo di integrazione è
illimitato oppure la funzione è illimitata, in entrambi i casi l’integrale
viene definito attraverso dei limiti e quando il valore di tale limite è finito
si dice che l’integrale è convergente.
In particolare si ha
I caso, intervallo di integrazione illimitato
Z +∞
Z
f (x)dx = lim
f (x)dx
b→+∞ a
a
Z
b
b
Z
b
f (x)dx = lim
Z
+∞
Z
0
f (x)dx =
−∞
Z
a→−∞ a
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+∞
Z
f (x)dx +
−∞
= lim
f (x)dx
a→−∞ a
−∞
f (x)dx =
0
0
Z
f (x)dx + lim
b→+∞ 0
b
f (x)dx
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Integrali
Integrali impropri
II caso funzione illimitata, se c ∈ (a, b)
lim f (x) = ±∞
x→c
allora
c
Z
b
Z
f (x)dx = lim
Z
b
c
Z
f (x)dx
b→c −
a
a
Z
f (x)dx = lim+
a→c
b
Z
f (x)dx =
a
b
f (x)dx
a
c
Z
a
Z
= lim
β→c −
a
b
f (x)dx +
f (x)dx =
c
β
Z
f (x)dx + lim+
α→c
b
f (x)dx
α
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Integrali
Integrali impropri
Esercizi
Calcolare i seguenti integrali impropri
R +∞ 1
1
dx, intervallo illimitato, [Sol. 1]
1
x2
R +∞ 1
2
√ dx, intervallo illimitato [Sol. +∞]
1
x
R1 1
3
0 x 2 dx, funzione illimitata in 0 [Sol. −∞]
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