Operatori frazionari:
teoria e applicazioni
A. Greco, A. Iannizzotto
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Gruppo di Analisi Matematica
Dipartimento di Matematica e Informatica
Moto browniano, salti e probabilità
Problemi evolutivi
Il problema ai valori iniziali
(
+(
) = 0 in R ⇥ (0, 1)
( , 0) = 0( )
in R
Nel moto browniano una particella si
sposta nello spazio R di una lunghezza
> 0 nel tempo ⌧ = 2 ( 2 (0, 1)):
a ogni passo la particella ’sceglie’ una
1
direzione v 2
(la sfera unitaria) con
densità di probabilità uniforme.
con dato iniziale
2
| 0( )|
(R ) soddisfacente
2
|
|
0
0+
ammette una e una sola soluzione
Figura 1: Moto browniano
| ( , )|
Complichiamo il modello introducendo i
salti: a ogni passo, sceglie anche la
lunghezza del prossimo movimento, un
multiplo , scegliendo il coefficiente
con probabilità
1
( )=
,
1+2
Figura 2: Un ’salto’
0
Tale soluzione è data da
( , )=
dove
è il nucleo
Z
( , )=
2
1
2⇡
Z
) (
, )
·⇠
|⇠|2
⇠
R
Inoltre, se 0 è convessa allora anche
(·, ) è convessa per ogni > 0 !
da cui
Figura 5: Una soluzione convessa
( , +⌧ )
( , )
⌧
=
|
Z
X
1|
( +
( , )
1
)1+2
(
1
2N
v, )
Problemi stazionari
Il laplaciano frazionario
Quando ⌧, ! 0, il modello da discreto diventa continuo e si ottiene
l’equazione del calore frazionaria:
( , )+(
( , ) = 0 in R ⇥ (0, 1)
)
dove il laplaciano frazionario è
(
)
( )=
,
P.V.
Z
( )
( )
+2
|
|
R
Questo è un operatore pseudo-di↵erenziale (non coinvolge derivate) e
lim (
!0
lim (
!1
)
)
( ) = ( ),
( )=
( ).
(
) rappresenta una di↵usione non-locale in quanto dipende anche dai
valori di ( ) per molto lontano da ...
Applicazioni
Dislocazione dei cristalli: in presenza
di un’alterazione , gli atomi del cristallo
si ’risistemano’ secondo una funzione di
dislocazione ( , ), che all’equilibrio
soddisfa
)1/2 ( , 0) +
dove
> 0)
= costante di normalizzazione.
dove
Se indichiamo con ( , ) la probabilità che sia in al tempo , allora
Z
X
( + v, )
1
( , + ⌧) =
,
1|
1+2
1
|
2N
(
> 0)
0,
( ( ) = ( ),
0(
R
0,
t.c.
| |
( )+
(
0
Figura 3: Gli atomi si riequilibrano
Equazione di Schrödinger frazionaria:
in Meccanica Quantistica, la posizione di
una particella è descritta da una
2
distribuzione di probabilità | | con
~
Figura 4: Incertezza quantistica
17-20 Ottobre 2016
dove
la difficoltà è rappresentata dal termine non-lineare ( ). In generale non
riusciamo a calcolare una soluzione esplicita, ma dalle proprietà di
otteniamo alcune informazioni su :
I se ( ) = ( ) per | | ! 1, allora esiste una soluzione
+2
I se | ( )| 1 + | | 2 , allora è Hölderiana
I se ( ) > 0 per ogni 2 R, allora ( ) > 0 in ⌦ (principio del massimo)
Anche questo problema ha
un’interpretazione probabilistica: se si
muove casualmente con salti (come sopra)
partendo da 2 ⌦, e prosegue finché non
arriva in 2 R \ ⌦ ottenendo una
ricompensa (pay-o↵) ( ), la ricompensa
media per i cammini che iniziano da
soddisfa
(
(
) = 0 in ⌦
= ( )
in R \ ⌦
Figura 6: Un cammino con salti
Bibliografia
( ( , 0)) = 0,
è un potenziale periodico.
Nel problema di Dirichlet frazionario su un dominio limitato ⌦ ⇢ R
(
(
) = ( ) in ⌦
=0
in R \ ⌦
2
=~ (
)
è un potenziale.
+
( , , ),
I C. Bucur, E. Valdinoci, Non-local di↵usion and applications, Springer, New
York (2016)
I L. Ca↵arelli, Non-local di↵usions, drifts and games, in Nonlinear partial
di↵erential equations, Springer, New York (2012)
I A. Greco, A. Iannizzotto, Sign-changing solutions of the fractional heat
equation: existence and convexity, preprint
I A. Greco, R. Servadei, Hopf’s lemma and constrained radial symmetry for the
fractional Laplacian, Math. Res. Lett. 23 (2016) 863–885
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versus 0-weighted
minimizers, Nonlinear Di↵er. Equ. Appl. 22 (2015) 477–497
Corso di Studi in Matematica
