Amplificatori operazionali

Amplificatori operazionali
Parte 3
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 6-12-2012)
Integratore
● Dato che l’ingresso invertente è
virtualmente a massa si ha
iR (t ) 
vi (t )
R
● Inoltre
iC (t )  iR (t )
● Quindi, se per t  0 la tensione del condensatore è vC(0)  V0, si ricava
t
t
1
1
vo (t )  vC (t )  vC (0)   iC ( x) dx  V0 
vi ( x) dx
C0
RC 0
 L’uscita è –V0 più un termine proporzionale all’integrale dell’ingresso
● RC = costante di tempo dell’integratore
2
Integratore – Risposta in frequenza
● Si pone
Z1  R
Z2 
1
j C
● La funzione di trasferimento è
H ( j)  
Vo
Z
1
 2 
Vi
Z1
jRC
● Quindi si ha
H ( j) 
|H()| (dB)
1
RC
20 dB / decade
argH ( j)  90
● Il modulo della funzione di trasferimento vale 1 (guadagno = 0 dB)
per  1(RC)

0 dB
1
RC
3
Integratore – Risposta in frequenza
● Per  tendente a 0 il guadagno tende a infinito
 Il condensatore tende a comportarsi come un circuito aperto
 il comportamento dell’integratore tende a quello dell’amplificatore
operazionale non retroazionato
 L’integratore risulta particolarmente sensibile ai disturbi a bassa
frequenza
● Idealmente una componente continua del segnale di ingresso
produrrebbe una tensione di uscita infinita
 In pratica l’amplificatore operazionale viene portato in saturazione
● Lo stesso effetto può essere prodotto dalla tensione di offset e dalle
correnti di polarizzazione di ingresso
4
Limitazione del guadagno a bassa frequenza
● I problemi relativi al comportamento a bassa frequenza possono essere
ridotti collegando un resistore in parallelo al condensatore
● Il comportamento del circuito, però, si discosta da quello dell’integratore
ideale (in misura maggiore al diminuire di R2)
● In questo caso si ha
Z2 
1
1
 jC
R2

R2
1  jR2C
● Quindi la funzione di trasferimento è
H ( j)  
Z2
R2 / R1

Z1
1  jR2C
5
Limitazione del guadagno a bassa frequenza
● Con l’inserimento di R2 il polo della funzione di trasferimento si sposta
da s  0 a s  1/(R2C)
● In continua il guadagno è finito e vale R2R1
● Per  1(R2C) si ha
H ( j)  
R2 / R1
1

jR2C
jR1C
e quindi il comportamento del circuito è simile a quello di un integratore
ideale
6
Limitazione del guadagno a bassa frequenza
R 
20 log10  2 
 R1 
H (dB)
20 dB / decade

arg(H)
180
90

1
R2C
7
Derivatore
● La tensione del condensatore coincide con la tensione di ingresso
vC (t )  vi (t )
● Le corrente del condensatore può
circolare solo attraverso R
iR (t )  iC (t )  C
dvi
dt
● Quindi si ottiene
vo (t )   RC
dvi
dt
 L’uscita è proporzionale alla derivata dell’ingresso
● RC = costante di tempo del derivatore
8
Derivatore – Risposta in frequenza
|H()| (dB)
● Si pone
Z1 
1
j C
Z2  R
● La funzione di trasferimento è
H ( j)  
Z2
  jRC
Z1
|H()| (dB)
● Quindi si ha
20 dB / decade
H ( j)  RC
argH ( j)  90
● Il modulo della funzione di trasferimento vale 1 (guadagno = 0 dB)
per  1(RC)

0 dB
1
RC
9
Limitazione del guadagno ad alta frequenza
● Il derivatore risulta molto sensibile ai disturbi ad alta frequenza
 Rapide variazioni del segnale di ingresso (dovute per esempio a
rumore) possono produrre dei picchi di ampiezza elevata in uscita
 Inoltre i derivatori tendono ad avere problemi di stabilità
● Questi problemi possono essere ridotti collegando un resistore in serie
al condensatore
 Il comportamento del circuito, però, si discosta da quello del
derivatore ideale (in misura maggiore all’aumentare di R1)
● In questo caso si ha
Z 2  R1 
1
jC
H ( j)  
Z2
jR2C

Z1
1  jR1C
10
Limitazione del guadagno ad alta frequenza
● L’inserimento di R1 introduce nella funzione di trasferimento un polo per
s  1/(R1C)
● Ad alta frequenza, cioè per  maggiore della pulsazione di taglio
1/(R1C), il guadagno vale R2R1
● Per  1(R1C) si ha
H ( j)   jR2C
e quindi il comportamento del circuito è simile a quello di un derivatore
ideale
11
Limitazione del guadagno ad alta frequenza
R 
20 log10  2 
 R1 
H (dB)
20 dB / decade

arg(H)

 90
180
1
R1C
12
Risposta in frequenza
di un amplificatore operazionale
● La dipendenza del guadagno ad anello aperto di un amplificatore
operazionale dalla frequenza può essere rappresentata dalla relazione
A( j) 
A0

1 j
0
Modello a un polo
A0 = guadagno ad anello aperto in continua
0 = pulsazione dei taglio
f0  0(2) = frequenza di taglio
 Il guadagno diminuisce con pendenza -20 dB/decade (-6 dB/ottava) a
partire da una frequenza f0 relativamente bassa
 Valori tipici di f0 sono dell’ordine di 10 Hz
● Questo comportamento viene imposto inserendo nell’amplificatore
operazionale un condensatore di valore relativamente elevato
(compensazione in frequenza) e ha lo scopo di garantire che
l’amplificatore sia stabile quando viene collegato in retroazione
13
Risposta in frequenza
di un amplificatore operazionale
20 dB / decade
14
Risposta in frequenza
di un amplificatore operazionale
● In un amplificatore operazionale reale sono presenti numerosi effetti
reattivi parassiti
● La funzione di trasferimento ha un numero elevato di poli
● I poli dovuti agli effetti parassiti sono posti a frequenze molto maggiori di
f0 (in genere il secondo polo corrisponde ad una frequenza maggiore di
1 MHz)
● Per frequenze inferiori a quella a cui interviene il secondo polo, il
comportamento dinamico dell’amplificatore operazionale è determinato
dal primo polo (polo dominante)
15
Banda di guadagno unitario
● La frequenza fUG per cui il guadagno risulta uguale a 1 definisce la
banda di guadagno unitario dell’amplificatore operazionale
● Dato che fUG >> f0, si ha
A( j 2 f UG ) 
A0
 1  f UG  A0 f 0
f UG /f 0
● Inoltre, per fUG >> f0 il guadagno può essere espresso dalla relazione
approssimata
A( j 2 f) 
A0 f UG

f/f 0
f
● Nota: questi risultati valgono se alla frequenza fUG l’amplificatore
operazionale (come avviene normalmente) può essere rappresentato
mediante il modello a un polo (cioè se gli altri poli sono a frequenze
maggiori di fUG)
16
Prodotto guadagno – larghezza di banda
● Si considera il comportamento
dell’amplificatore operazionale
in presenza di retroazione negativa
● Si assume che la rete di retroazione
 sia resistiva
● Il guadagno ad anello chiuso è
Af ( j) 
A0 / 1  j / 0 
A0
Vo
A( j)




Vi 1  A( j) 1  A0 / 1  j / 0  1  j / 0  A0
A0 f

1 j
dove
A0 f 

0 (1  A0)
A0
1  A0

A0 f
1 j

0 f
0 f  0 (1  A0)
17
Prodotto guadagno – larghezza di banda
● Complessivamente si ottiene
 una riduzione del guadagno in continua di un fattore pari al tasso di
retroazione
A0 f 
A0
1  A0
 un aumento della frequenza di taglio (cioè un aumento della
larghezza di banda) dello stesso fattore
0 f  0 (1  A0)
● Il prodotto guadagno – larghezza di banda (GBW) non cambia
GBW  A0 f 0  A0 f f 0 f
● Inoltre (se alla frequenza di guadagno unitario vale il modello a un polo)
si ha anche
GBW  f UG
18
Prodotto guadagno – larghezza di banda
Guadagno (dB)
20 log10 ( Ao )
20 log10 1  Ao
20 dB / decade
A
Af
20 log10 ( A0 f )
f0
f0f
log10 1  Ao
f
19
Amplificatore invertente e non invertente
● Sia nella configurazione invertente sia in quella non invertente risulta

R1
R1  R2
● Per A  1 il guadagno in continua ad anello chiuso è
A0 f 
1
R
 1 2

R1
(A0f coincide con il guadagno dell’amplificatore solo nella configurazione
non invertente)
● Quindi in entrambi i casi la larghezza di banda fb dell’amplificatore è
data dalla relazione
f b  f0f 
GBW
GBW
 GBW   
R
A0 f
1 2
R1
20
Esempio
A0  105 GBW  1 MHz
Amplificatore non invertente

AV
fb
Amplificatore invertente

AV
fb
1
1
1 MHz
1
0.5
500 kHz
10
0.1
100 kHz
10
0.0909
90.9 kHz
100
0.01
10 kHz
100
0.0099
9.9 kHz
1000
0.001
1 kHz
1000 0.000999
999 Hz
21
Slew-rate
● In un amplificatore operazionale reale la velocità di variazione della
tensione di uscita non può superare un valore limite detto slew-rate
(velocità di risposta)
 dv 
SR  max o 
 dt 
● I valori tipici sono dell’ordine dei V/s
● Questa limitazione è dovuta a fenomeni non lineari (saturazione dello
stadio di ingresso dell’amplificatore operazionale) e non è in relazione
con la larghezza di banda finita dell’amplificatore operazionale
22
Esempio
● Si considera un inseguitore di tensione ( = 1)
● La funzione di trasferimento è
Vo
1

Vi 1  j 
UG
● Si assume che l’ingresso sia un gradino
di ampiezza V
vi (t )  V u(t )
23
Esempio
● La funzione di trasferimento dell’inseguitore coincide con quella di un
circuito RC con costante di tempo  RC = 1/UG
1
1
j C
Vo 
Vi 
Vi
1
1  jRC
R
j C
● Quindi anche la risposta ad un ingresso a gradino deve coincidere
quella di un circuito RC elementare
v0 (t )  V e  t /   V  V (1  e  UG t )
24
Esempio
● Il valore massimo della derivata della tensione di uscita si ha per t  0
ed è UGV
● Per valori di V tali che UGV  SR la tensione di uscita tende con legge
esponenziale a V
● Valori più elevati di V comporterebbero valori della derivata di vo
maggiori di SR
 Nel tratto iniziale la tensione di uscita aumenta con la massima velocità
possibile, quindi cresce linearmente con pendenza SR
25
Esempio
Pendenza = SR
Andamento
ideale
V
26
Larghezza di banda a piena potenza
● Per una tensione sinusoidale v(t) = VMcos(t) il valore massimo della
derivata è
 dv 
max   VM
 dt 
● Si considera una tensione di uscita sinusoidale con ampiezza pari al
valore della tensione di saturazione Vsat
● Il valore massimo della frequenza per cui l’uscita non è distorta, fM,
deve soddisfare la condizione
2 f M Vsat  SR  f M 
SR
2Vsat
● La frequenza fM definisce la larghezza di banda a piena potenza
● Per valori maggiori di frequenza, l’ampiezza massima VoM per cui
l’uscita risulta indistorta è minore
2 f VoM  2 f M Vsat  SR  VoM  Vsat
fM
f
27
Esempio
Andamento ideale
Andamento
in presenza
di limitazione
di slew-rate
28