Polinomi 1 L`Anello dei Polinomi

Polinomi
Docente: Francesca Benanti
16 Febbraio 2007
1
L’Anello dei Polinomi
Lo studio dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo è
posto immediatamente dopo lo studio degli interi poichè la struttura algebrica
dell’insieme dei polinomi a coefficienti in un campo è simile alla struttura
algebrica dell’insieme degli interi, nel senso che gran parte delle definizioni
e proprietà che abbiamo visto nel caso degli interi si possono dare in modo
pressochè invariato nel caso dei polinomi.
L’educazione scolastica impone lo studio dei polinomi già a livello della scuola media inferiore. La moltiplicazione tra polinomi, la divisione tra due
polinomi, la fattorizzazione di un polinomio, la semplificazione di polinomi
costituiscono parte integrante dell’educazione matematica di uno studente.
Introduciamo, dunque, formalmente la nozione di polinomio in una indeterminata a coefficienti in un campo.
Definizione: Sia K un campo, si definisce polinomio
f (x) nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K una
espressione formale del tipo
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
dove ai ∈ K, ∀ i = 1, . . . n.
Gli elementi ai , ∀ i = 1, . . . n sono detti coefficienti del polinomio f (x).
Esempi:
1
• f (x) = −5 + x − 7x2 + 3x3 − 4x8 polinomio a coefficienti razionali;
√
• f (x) = −5 + 3x3 polinomio a coefficienti reali.
• f (x) = i + x2 polinomio a coefficienti complessi.
Definizione: Sia f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn un polinomio nell’indeterminata x a coefficienti nel campo K. Si definisce grado di f (x) l’intero
n, se an 6= 0, e si scrive
gr(f (x)) = n.
Il coefficiente an 6= 0 è detto coefficiente principale o direttivo di f (x).
Esempi:
• Sia f (x) = −5 + x − 7x2 + 3x3 − 4x8 , allora gr(f (x)) = 8;
√
• Sia f (x) = −5 + 3x3 , allora gr(f (x)) = 3;
• Sia f (x) = i + x2 , allora gr(f (x)) = 2;
• Sia f (x) = −45, allora gr(f (x)) = 0.
Osservazione: Si noti che il grado di un polinomio costante f (x) = a0 è
zero. Al polinomio nullo f (x) = 0K non si attribuisce in genere un grado.
Definizione: Un polinomio con un solo termine è detto monomio, con due
termini binomio, con tre termini trinomio, e cosı̀ via.
Esempi:
• f (x) = +2x,
f (x) = −2x8 ,
f (x) = −9
sono monomi;
• f (x) = +2x − x4 ,
f (x) = −2x8 + 1,
f (x) = −9 − x
sono binomi;
• f (x) = +2 − 3x2 − x4 ,
f (x) = −2x8 + 1 − 4x,
f (x) = −9 − x + x5
sono trinomi.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Definizione: Si indica con
K[x] = {f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn | ai ∈ K, n ∈ N}
l’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x a
coefficienti nel campo K.
Osservazione: Due polinomi di K[x]
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
e
g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
sono uguali se e solo se ai = bi , ∀i (in particolare se m > n, allora bn+1 = bn+2 = · · · = bm = 0).
Introduciamo adesso in K[x] due operazioni: l’Addizione e la Moltiplicazione.
Definizione: Dati due polinomi in K[x]
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
e
g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
Si definisce, (se n ≥ m),
f (x)+g(x) = (a0 +b0 )+(a1 +b1 )x+(a2 +b2 )x2 +· · ·+(an +bn )xn
Esempio:
f (x) = 2 − 3x2 − x4 ,
g(x) = 1 − x + x2 ,
Allora
f (x) + g(x) = (2 − 3x2 − x4 ) + (1 − x + x2 ) = 3 − x − 2x2 − x4
Osservazione: L’addizione tra polinomi gode delle seguenti proprietà:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• Associativa;
• 0K[x] = 0K è l’elemento neutro;
• Commutativa;
• Ogni polinomio f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ha il suo simmetrico che è dato dal polinomio
−f (x) = −a0 − a1 x − a2 x2 + · · · − an xn .
(K[x], +) è un gruppo abeliano
Definizione: Dati due polinomi in K[x]
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
e
g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm
Si definisce,
f (x) · g(x) =
= (a0 b0 )+(a1 b0 +a0 b1 )x+(a2 b0 +a1 b1 +a0 b2 )x2 +· · ·+(an bm )xn+m
Esempio:
f (x) = 2 − 3x2 − x4 , g(x) = 1 − x + x2 ,
Allora
f (x) · g(x) = (2 − 3x2 − x4 )(1 − x + x2 ) =
= 2 − 2x + (2 − 3)x2 + 3x3 + (3 − 1)x4 = 2 − 2x − 1x2 + 3x3 + 2x4
Osservazione: La moltiplicazione tra polinomi gode delle seguenti proprietà:
• Associativa;
• 1K[x] = 1K = 1K + 0K x + 0K x2 + · · ·
è l’elemento neutro;
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• Commutativa.
(K[x], ·) è un monoide commutativo
Osservazione: Se f (x), g(x) e h(x) sono polinomi di K[x], allora vale la
proprietà distributiva:
[f (x) + g(x)]h(x) = f (x)h(x) + g(x)h(x)
(K[x]; +, ·) è un anello commutativo con unità
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Divisibilità in K[x]
Teorema (Algoritmo della divisione per i polinomi)
Sia K un campo. Siano f (x), g(x) ∈ K[x] due polinomi, con
g(x) 6= 0. Allora esistono, e sono univocamente determinati, due
polinomi q(x) e r(x) in K[x] tali che
f (x) = g(x)q(x) + r(x)
con r(x) = 0 oppure gr(r(x)) < gr(g(x)).
q(x) è detto quoziente
r(x) è detto resto
Esempio: Consideriamo i due polinomi in Q[x]
f (x) = x6 + 4x5 − 12x + 1 e g(x) = x3 + 4x2 + 1.
Determiniamo q(x) e r(x)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Allora
q(x) = x3 − 1
r(x) = 4x2 − 12x + 2
Definizione: Si dice che un polinomio g(x) ∈ K[x] divide
un polinomio di f (x) ∈ K[x], e si scrive g(x)|f (x), se esiste
q(x) ∈ K[x] tale che
f (x) = g(x)q(x)
Esempio: Consideriamo i seguenti polinomi in Q[x]
f (x) = x4 − 2x2 + 1
g(x) = x − 1
Osserviamo che
x4 − 2x2 + 1 = (x − 1)(x3 + x2 − x − 1)
Dunque
g(x)|f (x)
Teorema di Ruffini Se f (x) ∈ K[x] e α ∈ K è tale
che f (α) = 0, allora (x − α)|f (x).
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
dimostrazione: Dividiamo f (x) per (x − α). Si ha
f (x) = (x − α)q(x) + r(x)
con gr(r(x)) < gr(x − α) = 1. Dunque
f (x) = (x − α)q(x) + r
con r ∈ K costante. Valutando in α, si ottiene
0 = f (α) = (α − α)q(α) + r
Dunque r = 0.
Regola di Ruffini:
Consideriamo f (x) = x3 + 3x2 − 6x − 8 ∈ Q[x]. Osserviamo che f (−1) = −1 + 3 + 6 − 8 = 0.
Allora per il teorema di Ruffini f (x) è divisibile per x + 1, ossia esiste
q(x) ∈ Q[x] tale che
f (x) = x3 + 3x2 − 6x − 8 = (x + 1)q(x).
Determiniamo q(x) mediante la nota regola di Ruffini
Allora
q(x) = x2 + 2x − 8
e
x3 + 3x2 − 6x − 8 = (x + 1)(x2 + 2x − 8).
Definizione: Un polinomio 0 6= f (x) ∈ K[x], con
gr(f (x)) > 0, si dice irriducibile su K se
f (x) = g(x)h(x) ⇒ gr(g(x)) = 0 o gr(h(x)) = 0
dove g(x), h(x) ∈ K[x].
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Se non è irriducibile , il polinomio si dice riducibile.
Esempi:
• f (x) = x2 − 2 è irriducibile su Q;
• f (x) = x2 − 2 è riducibile su R, infatti
x2 − 2 = (x −
e x−
√
2 ∈ R[x], x +
√
√
2)(x +
√
2)
2 ∈ R[x]
• f (x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) è irriducibile su R;
• f (x) = x4 + 3x2 + 2 è riducibile su Q, infatti
x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2)
Teorema di Fattorizzazione unica Ogni polinomio
f (x) ∈ K[x] di grado positivo si fattorizza in un prodotto di un numero finito di polinomi irriducibili. Tale
fattorizzazione è unica nel senso che, se
f (x) = p1 (x)p2 (x) · · · ps (x) = q1 (x)q2 (x) · · · qt (x),
con pi (x), qj (x) ∈ K[x], allora s = t e riordinando
opportunamente i fattori pi (x) = aqi (x), con a ∈ K ∗ .
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Scomposizione di un Polinomio
I metodi utilizzati nelle scuole medie per la fattorizzazione di polinomi a
coefficienti razionali in polinomi irriducibili su Q sono i seguenti:
• Raccoglimento a fattor comune
Esempi:
• 3x2 − 6x + 12xy = 3x(x − 2 + 4y);
• 15a3 b2 − 5a2 b + 20a2 b4 = 5a2 b(3b − 1 + 4b3 ).
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• Raccoglimento a fattor parziale
Esempi:
• 3x + 6y − 2x2 − 4xy = x(3 − 2x) + 2y(3 − 2x) =
= (3 − 2x)(x + 2y);
• ax − a + x − 1 = x(a + 1) − (a + 1) = (a + 1)(x − 1).
• Mediante Prodotti notevoli:
• a2 − b2 = (a + b)(a − b);
• a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 ;
• a2 + b2 − 2ab = (a − b)2 ;
• a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 ;
• a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 ;
• a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 = (a − b)3 .
• Somma o Differenza di Cubi:
• a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 );
• a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
• Trinomio di secondo grado:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
• Mediante la Regola di Ruffini
Esempio:
x3 + 3x2 − 6x − 8 = (x + 1)(x2 + 2x − 8).
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
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Prodotti Notevoli
Nella fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali in polinomi irriducibili
su Q è spesso utili ricorrere a dei particolari prodotti noti come Prodotti
Notevoli. Un Esempio
Quadrato di un Binomio
Indichiamo i generici termini con le lettere S e T .
(S + T )2 = S 2 + T 2 + 2ST
Verifica geometrica
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Esercizi
1. Determinare quoziente e resto delle seguenti divisioni tra i polinomi
f (x) e g(x) a coefficienti razionali:
• f (x) = 2x3 + 5x2 − 8x − 1, g(x) = x + 3;
• f (x) = 4x3 − 3x + 8, g(x) = x + 2;
• f (x) = 2x4 − 2x2 + 3x − 1, g(x) = x2 − x + 3.
2. Dati i due polinomi a coefficienti razionali
f (x) = −9x3 + x + 2
g(x) = 3x − 2
verificare se g(x) divide f (x).
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
3. Dati i due polinomi a coefficienti razionali
f (x) = −2x3 + 5x2 + 1
g(x) = x2 + 2
verificare se g(x) divide f (x).
4. Utilizzando il teorema di Ruffini verificare se g(x) = x + 2 divide f (x) = x3 − 2x2 + 4x − 5
e determinare il quoziente della divisione di f (x) per g(x).
Modulo Didattico: Complementi di Algebra