La costruzione della carta di Smith

La carta di Smith
ARIVERONAEST
IZ3NPZ Ferdinando e
12/01/2010
La costruzione della carta di Smith
Una impedenza Z è formata da due parti: la parte resistiva (si chiama anche
parte reale) e la parte reattiva (la parte immaginaria). Queste due entità concorrono a formare, ambedue, l'impedenza, ma sono due entità diverse e come
tali non si possono sommare assieme ; però si può indicare che l'impedenza è
formata dalle due parti scrivendo
Z = R + jX
dove
R
è la resistenza (la parte
reale), mentreX è la reattanza (la parte immaginaria). Il termine
care che fra
R ed X
j
sta ad indi-
c'è uno sfasamento di 90°. In altre parole, l'impedenza deve
essere rappresentata su un piano con due assi, in questo modo (vedi gura).
In altre parole, si può pensare all'impedenza come ad un triandolo rettangolo, ed infatti se si vuole trovare il valore di
1
Z
(il modulo), si deve usare la
iz3npz
La carta di Smith
formula
Z=
p
R2 + X 2
A
ben
guardare
Ora, per costruire la carta di Smith, si immagini di prendere l'asse delle
X, l'asse immaginario, e piegarlo no ad incontrare, nel punto più lontano,
all'innito, l'asse delle R; e questo si faccia sia per la parte positiva che per la
parte negativa dell'asse, come illustrato in gura. Allora il cerchio più esterno
è l'asse immaginario, e quindi su questo la resistenza vale zero
è
la
stessa
formula
per
calcolare
l'ipotenusa
in
un
tri-
angolo
rettangolo
Ecco allora come nasce la
carta come la conosciamo; a questo punto è facile riconoscere che i cerchi rappresentano le resistenze e che gli archi sono le reattanze e che l'impedenza, come
nel caso degli assi cartesiani, si trova all'incrocio fra la resistenza e la reattanza.
Nella gura seguente, si può notare come la retta AA' sia a resistenza
costante (lo spostamento nel verso orizzontale è sempre lo stesso in qualsiasi
punto), e quindi, mappandola nella carta di Smith, diventa un cerchio. Lungo
questo cerchio la resistenza è costante, e cioè ogni punto del cerchio rappresenta
la stessa resistenza.
La retta BB' rappresenta una reattanza costante; come si vede, nella carta,
siccome deve raggiungere il punto innito a partire dal cerchio più esterno,
diventa un arco di cerchio, e lungo questo arco di cerchio la reattanza è costante.
ariveronaest
2
iz3npz
La carta di Smith
Uso della carta di Smith
Due sono le regole fondamentali nell'uso della carta di Smith:
1. ogni componente viene trattato come un componente ideale, cioè una pura
resistenza, una pura capacità o induttanza;
2. se si sommano componenti in serie, si considerano delle impedenze, mentre
se sono in parallelo si considerano delle ammettenze (l'inverso dell'impedenza).
L'ammettenza allora si scrive
Y =
con
G
la conduttanza e
B
1
= G ∓ jB
Z
la suscettanza.
Quando si parla di ammettenza,
bisogna considerare una rotazione di fase di 180° (π ), nel senso che la suscettanza
induttiva si indica con
−j ,
mentre la reattanza induttiva si indica con
+j .
Vediamo come muoverci sulla carta se si deve analizzare il seguente circuito
(i valori sono normalizzati a
50 Ω)
x=0.9 x=−1.4
z
x=1
00 0
11
1
b=−0.3
00
11
0
b=1.1 1
00 1
11
0
Dal circuito si vede che le reattanze in serie sono chiamate
r=1
x (e sono positive
b
se induttive, negative se capacitive), mentre in parallelo sono indicate con
(simbolo della suscettanza - positiva se capacitiva, negativa se induttiva).
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3
iz3npz
La carta di Smith
Il nostro scopo è di trovare l'impedenza
Z
all'ingresso del circuito.
Si parte da destra e sulla carta si individua il punto A
1+j1.
Si deve aggiun-
gere un elemento in parallelo, e quindi bisogna passare alle ammettenze. Per
fare questo bisogna ruotare l'intero piano di 180° (in altre parole, si considerano invertiti i segni delle suscettanze, come già indicato nel circuito), ma, prima,
bisogna trasformare il punto A nel punto corrispondente alle ammettenze (punto
A'). Questo si ricava facilmente segnando il simmetrico del punto A rispetto al
punto
1 + j0.
Ora bisogna ruotare sul cerchio a conduttanza costante di 0.3 in
verso negativo (antiorario) per aggiungere l'elemento in parallelo, e si va a nire
sul punto B. Ora dobbiamo aggiungere un altro elemento in serie, e questo ci
obbliga a passare alle impedenze, ricavando il simmetrico del punto B (punto
B'). Aggiungo, ruotando in senso antiorario (perchè negativo) sul cerchio a resistenza costante, la distanza corrispondente a 1.4 no a raggiungere il punto C.
Ripasso, mediante trasformazione nel punto C', all'insieme delle ammettenze per
sommare l'elemento di suscettanza 1.1 . Questa somma comporta una rotazione
in verso orario, in quanto positiva, lungo il cerchio a conduttanza variabile; arrivo al punto D. Altra conversione nel campo delle impedenza (punto D') per
sommare l'induttanza in serie con una rotazione sul cerchio a R costante di 0.9
no ad arrivare al punto z di valore
il valore di
Z = 10 + j25.
z = 0.2 + j0.5,
graco;
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che, denormalizzata, ci da
Tutto questo percorso viene illustrato nel seguente
4
iz3npz
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La carta di Smith
5
iz3npz
La carta di Smith
La trasformazione di impedenza
mediante la carta di Smith
Quando si parla di trasformazione di impedenza bisogna sempre pensare che
questo altro non è che un cambiamento guidato della relazione fra tensione e
corrente in un determinato punto del circuito, in quanto l'impedenza è proprio
il rapporto fra tensione e corrente
V
I
Z=
Questo processo di trasformazione, realizzato tramite la carta di Smith, può
essere descritto come una serie di movimenti lungo cerchi o archi no ad arrivare al punto voluto (normalmente il punto
1 + j0
- punto che rappresenta
l'impedenza caratteristica normalizzata). Considerando componenti ideali senza
alcuna perdita (caso del tutto teorico), questa trasformazione di impedenza non
comporta alcuna perdita di energia se si realizza l'adattamento di impedenza
utilizzando solo induttanze e capacità .
Consideriamo allora una rete a L costituita da sole reattanze; tutti i movimenti sulla carta avvengono solamente su cerchi a resistenza o a conduttanza
(l'inverso della resistenza) costante; inoltre, il movimento nale, quello che realizza l'adattamento portando l'impedenza complessiva nel punto
forza avvenire sul cerchio con
r = 1 o con g = 1.
1 + j0, deve per
In base a quanto detto il primo
movimento, indotto dal componente più vicino al carico, deve portare ad incrociare uno dei due cerchi prima menzionati. É allora ovvio come la posizione
del punto che rappresenta sulla carta l'impedenza normalizzata da adattare sia
responsabile della scelta sia del tipo di collegamento (in serie o in parallelo al
carico) sia del tipo del primo componente (induttanza o capacità).
Esempio di adattamento.
Si supponga di avere una impedenza di
da adattare all'impedenza caratteristica
150+j0 Ω
Z0 = 50Ω
Si procede in questo modo:
ˆ
si calcola l'impedenza normalizzata
z = 3 + j0 e si posiziona il punto sulla
carta di Smith;
ˆ
si analizza se ci può essere un qualsiasi movimento su un cerchio a r
costante che ci faccia incrociare il cerchio con r=1;
ˆ
visto che questo non è possibile, si passa a considerare le ammettenze: si
traccia il cerchio tangente al punto
0 + i0
(punto più a sinistra) e pas-
sante per il punto A dell'impedenza. Considerando le ammettenze, questo
cerchio ha
ˆ
r = 0.33.
che è proprio l'inverso di 3;
questo cerchio incontra il cerchio di
r = 1
in due punti B e C; sul cer-
chio esterno si legge il valore della suscettanza corrispondente; per andare
da A a B bisogna sommare al carico, in parallelo (e quindi si parla di
1
ammettenze ) una
BL = 0.47 Ω−1 ;
l'opposto per andare da A a C.
1 Le ammettenze in parallelo si comportano come le resistenze in serie; si sommano direttamente
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6
iz3npz
La carta di Smith
Il fatto di aver scelto il cerchio delle ammettenze implica di dover usare il primo
elemento della rete ad L in parallelo al carico, e questo elemento sarà o una
induttanza, nel caso del punto B, o una capacità, se si sceglie il punto C. Ora,
per avere un perfetto adattamento, l'impedenza complessiva della rete deve
essere pari ad
1
e quindi bisogna annullare la parte reattiva dell'impedenza
trovata, aggiungendo in serie una reattanza opposta.
sul cerchio delle impedenze
r = 1
Gracamente si salta
e si trova, appunto, che aggiungendo una
reattanza opposta a quella rappresentata dal punto in cui ci si trova, si realizza
un perfetto adattamento
Ecco allora che se si considera il percorso A -B - punto centrale il circuito
11
00
00
11
00
11
00
11
diventa
Naturalmente questa è una soluzione per una singola frequenza in quanto i
componenti hanno l'esatta reattanza solo alla frequenza di lavoro
Si è visto che il valore della suscettanza
Calcolo dei componenti della rete
BL = 0.47 Ω−1 . Questa deve essere prima
2
−1
denormalizzata BL = 0.47 · 0.02 = 0.0094 Ω
e poi invertita, ottenendo un
valore di XL = 106.4 Ω
da collegare in parallelo è pari a
2 Se
l'impedenza caratteristica vale Z0 = 50 Ω il suo inverso Y0 =
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7
1
50
= 0.02
iz3npz
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La carta di Smith
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iz3npz
La carta di Smith
Ecco che scegliendo, ad esempio, una frequenza di 10 MHz, si ottiene una in-
X
2·π·f = 1.69 µH . Nel punto B la reattanza vale
che, normalizzata, diventa 1.4 · 50 = 70 Ω corrispondente ad una capacità
duttanza in parallelo di
L=
1.4 Ω
di 227 pF .
Si può usare anche la carta di Smith delle impedenze (senza fare ricorso alla
carta doppia), procedendo come illustrato in gura.
Il punto A rappresenta l'impedenza normalizzata da adattare; visto che non
si ha nessuna possibilità di lavorare con le impedenze, passo nel punto A' (ammettenza normalizzata da adattare). Mi sposto lungo un cerchio a conduttanza
costante no ad incrociare il cerchio di raggio 1 (conduttanza pari ad 1). Due
sono i punti possibili, o B o C, in dipendenza di quale vogliamo sia l'elemento in
parallelo al carico. Scelto ad esempio il punto B (e quindi si parla di suscettanza
positiva, e quindi di un condensatore in parallelo), passo a trasformare questa
ammettenza nella corrispondente impedenza, punto B'. Come deve essere, il
punto B' cade sul cerchio con
r = 1.
Il valore della sua parte immaginaria
(notare che ora è negativa - giustamente in quanto si tratta di un condensatore)
indica la reattanza del condensatore.
La somma di una reattanza uguale ed
opposta porta il punto B' nel punto di adattamento
1 + j0.
Notare che la ro-
tazione nale, dal punto B al punto d'adattamento, avviene in verso orario, verso
positivo, ad indicare appunto che si sta sommando una reattanza induttiva (il
secondo elemento della rete a L è cioè una induttanza).
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iz3npz
ariveronaest
La carta di Smith
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iz3npz
La carta di Smith
Le linee come elementi circuitali
Molte volte c'è la necessità di sostituire elementi concentrati con spezzoni di linea
di determinata lunghezza e propriamente terminati. Questi calcoli si possono
facilmente fare con la carta di Smith. Ad esempio, uno spezzone di linea da 600
Ω,
3
16 · λ e terminato da un cortocircuito viene visto in questo modo:
si parte dal punto A 0 + j0 ( il punto del cortocircuito che rappresenta
lungo
il carico della linea) e si procede verso il generatore di una lunghezza pari a
3
16 · λ = 0.1875 · λ. Si arriva nel punto B; leggendo sul cerchio esterno la sua
reattanza si trova che vale j2.4; denormalizzandola sul valore di 600 Ω si ricava
una reattanza induttiva di
j2.4·600 = j1440.
Sempre la stessa linea, considerata
terminata a circuito aperto, ha un comportamento completamente diverso: si
parte infatti dal punto C (punto a
R = ∞);
proseguendo verso il generatore
della distanza corrispondente alla linea, si arriva al punto D, rappresentativo di
una reattanza capacitiva (ci troviamo nel semicerchio inferiore) pari a−j0.41,
quindi una reattanza capacitiva di
−j246.
Da notare che se si prolunga, nel
λ
, si ricade nel secondo caso, e questo
4
λ
dimostra la capacità di trasformazione di una linea lunga
4.
λ
Si può osservare, inoltre, che se la linea è esattamente uguale a
4 o a multipli
λ
di
4 , la linea si comporta come un circuito risonante; in particolare, se si cade
primo caso, la linea di trasmissione di
0 + j03 , la linea è un circuito risonante in serie4 , mentre se
con R = ∞ , la linea risulta un circuito risonante parallelo.
nel punto A
sul punto
Ecco sulla carta che cosa succede:
3 Questo
4 Infatti,
vuol dire che la linea deve essere lunga un numero pari di λ4
proprio un circuito risonante serie ha resistenza pari a zero
ariveronaest
11
si cade
iz3npz
ariveronaest
La carta di Smith
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iz3npz
La carta di Smith
Calcolo degli stub
Primo esempio
Lo stub è uno spezzone di linea, di una certa lunghezza, aperto o chiuso, inserito
in un certo punto della linea di trasmissione, che permette al trasmettitore di
vedere, no al punto di inserimento dello stub, la linea adattata.
Quindi, per calcolare lo stub, si deve
ˆ
calcolare il punto di inserimento dello stub a partire dal carico;
ˆ
individuare il tipo di terminazione;
ˆ
calcolare la lunghezza dello stub
Vediamo come si può procedere usando la carta di Smith per risolvere il seguente
problema: su una linea di impedenza caratteristica si misura, sul TX, un ROS
pari a 3.1:1, con il carico costituito da una antenna risonante. Si vuole adattare
l'impedenza
Soluzione
Per procedere nella soluzione conviene ricavare la resistenza del
carico, che, essendo un'antenna risonante, viene data dalla formula
Rant =
Z0
52
=
= 16.8 Ω
ROS
3.1
normalizzandola e riportandola sulla carta, si arriva al punto A
Visto che lo stub va inserito in parallelo, conviene passare subito alle ammettenze, per cui si trova, dopo aver normalizzato il tutto, una ammettenza
d'antenna pari a
Y = 3.1 + j0
S (punto B). Lo stub va connesso in un punto
della linea in cui la componente resistiva dell'impedenza sia pari alla impedenza
caratteristica. Allora dal punto B (ammettenza del carico) vado verso il generatore no ad incontrare il cerchio di raggio 1 (è il cerchio che indica l'impedenza
caratteristica normalizzata). Questo punto - punto C - si trova ad una distanza
l2
di 0.82
λ
verso il generatore a partire dal carico. La linea, in tal punto, ha
una ammettenza pari a
1 − j1.2. Per un completo adattamento, bisogna an−j1.2 Ω−1 aggiungendo j1.2 Ω−1 di suscettanza
nullare la componente reattiva
capacitiva.
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La carta di Smith
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iz3npz
La carta di Smith
Questo viene realizzato tramite lo stesso stub, calcolandone la lunghezza e
la terminazione. Il punto D sulla carta rappresenta appunto i
j1.2 Ω−1
di cui
si ha bisogno; e questa deve essere l'impedenza d'ingresso dello stub, per cui,
muovendosi nel verso del carico no ad incontrare il primo punto con resistenza
nulla (altrimenti si introducono ulteriori resistenze, mentre, con il lavoro predente del punto C, si era appunto riusciti ad avere una resistenza pari a quella
caratteristica), si arriva al punto
λ,
0 + j0.
mentre il punto, avendo ammettenza
La distanza percorsa l1 è pari a 0.139
0 + j0,
indica che lo stub deve essere
aperto.
Naturalmente, i calcoli fatti sono in base alla lunghezza d'onda
λ,
ma nella
5
realtà bisogna tenere conto non della lunghezza sica, ma di quella elettrica , e
quindi bisogna considerare anche il fattore velocità.
L'adattamente potrebbe anche essere fatto mediante elementi concentrati.
Infatti si è trovato che occorre inserire, nel punto a 0.82
suscettanza capacitiva di
capacitiva di 43.5
Ω.
risulta una capacità
j1.2 Ω−1 ,
λ
dal carico, una
che, denormalizzata, risulta una reattanza
Se, ad esempio, si lavora ad una frequenza di 14,2 MHz,
6 di 258 pF. Scegliendo un condensatore variabile di 359 pF
per le necessarie calibrazioni, si può realizzare l'adattamento voluto.
N.B. Non va mai dimenticato di eseguire il calcolo della tensione massima pre-
sente sul condensatore, calcolo che si può eseguire a partire dalla potenza
E=
p
2 · P · Z0
Secondo esempio
Linea con impedenza caratteristica di 50
Ω,
chiusa su un carico
ZL = 60 + j70.
Calcolare lo stub in modo da adattare il carico alla linea
60+j70
= 1.2+
50
j1.4. Visto che lo stub va messo in parallelo, conviene passare alle ammettenze.
Soluzione
Si inizia normalizzando l'impedenza del carico
zL =
Fatto questo, e si è nel punto B, bisogna trovare il punto di inserzione dello stub,
punto che deve avere la parte resistiva pari ad 1 (solo così si ha l'adattamento di
impedenza). Quindi, partendo da B, si ruota in verso orario (verso il generatore)
no ad incrociare il cerchio con r=1 - punto C. La distanza percorsa, in frazioni di
λ, verso il generatore, indica in che punto bisogna inserire lo stub.
Questo punto
C ha parte reale che vale 1 (e questo va bene), ma ha una parte immaginaria,
indicata sul cerchio esterno dal punto D. É questa parte immaginaria che bisogna
5 In un cavo, o in un qualsiasi mezzo diverso dall'aria, l'onda elettromagnetica viaggia più
piano (come se si dovesse avanzare in un mezzo vischioso). Il segnale, quindi, compie un
percorso sico più lento di quello elettrico: Tutto questo si traduce nel fatto che la lunghezza
d'onda in un mezzo è data da
c
λ=
f
·n
dove n è il fattore velocità (per cavi coassiali è 0.66)
6 La formula per ricavare la capacità è
C=
ariveronaest
Xc
2πf
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iz3npz
La carta di Smith
annullare con una suscettanza uguale e contraria - punto D'. La distanza di
D' dal punto estremo della carta più vicino a D' (o il punto
contrario, quello più a destra targato
∞ + j∞
0 + j0
o il suo
) viaggiando in direzione del
carico, indica la lunghezza dello stub, mentre la natura del punto indica il tipo
di terminazione dello stub (nel nostro caso il punto più vicino è
∞+j∞ e quindi
lo stub deve essere chiuso dal cortocircuito. Ricordiamoci che il tutto è stato
fatto mediante le ammettenze, e quindi una ammettenza innita comporta una
impedenza nulla.
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La carta di Smith
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Altro esempio sull'uso della carta
di Smith
Z0 = 100 Ω, luinga 15 cm,
n pari a 0.5; è sottoposta ad un segnale RF di 400 MHz e
carico ZL = 100 + j100. Bisogna trovare l'impedenza d'ingresso.
Si abbia una linea con impedenza caratteristica
fattore di velocità
chiusa su un
Soluzione
Bisogna prima di tutto calcolare la lunghezza d'onda in quel tipo di linea
λ=
e cioè 37.5 cm.
frazioni di
λ
c·n
= 0.375
f
Ora bisogna calcolare la lunghezza elettrica della linea in
e quindi si trova
le =
lunghezza f isica
15
=
= 0.4
λ
37.5
Per procedere, si calcola l'impedenza normalizzata e la si riporta sulla carte
di Smith - punto A. Procedendo poi verso il generatore (ci si allontana dal carico)
di una lunghezza pari a le
7 si ricava, sempre rimanendo sul cerchio a coeciente
di riessione costante, l'impedenza d'ingresso rappresentata dal punto B.
7 Si deve sommare la misura in lunghezze d'onda individuata dal punto A con la lunghezza
della linea - 0.4 λ. La somma da il valore di 0.562 λ. Il punto più a sinistra è targato 0.5λ, e
quindi il punto B si trova a 0.562 − 0.5 = 0.062 λ dal punto 0 + j0
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Altre possibilità della carta di
Smith
Calcolo del massimo e del minimo di tensione lungo
la linea
Dalla teoria delle linee si sa che il massimo di tensione è dato da
VM AX = V + + V −
mentre
Vmin = V + − V −
intendendo con
V+
l'onda incidente e con
V−
l'onda riessa. Quindi si ha
un massimo di tensione quando l'onda diretta e riessa sono in fase; questo
signica che il coeciente di riessione deve essere reale e positivo; è logico
pensare allora che si ha un minimo quando le due tensioni sono in opposizione
di fase, e quindi il coeciente di riessione è reale e negativo. Tutto questo si
può visualizzare sulla carta di Smith.
Il cerchio centrato nel punto
1 + j0
e passante per l'impedenza normaliz-
zata è il cerchio a coeciente di riessione costante. Quando questo è reale (e
cioè incontra l'asse orizzontale) si hanno i due punti di massimo o di minimo
della tensione; chiaramente, per avere il valore eettivo della tensione bisogna
conoscere il valore o della tensione incidente o di quella riessa, e, con il coeciente di riessione (che è il rapporto fra il raggio del cerchio ed il raggio
massimo) si calcola l'altra tensione. I due punti segnati sulla carta ci dicono,
andando verso il generatore (verso orario), a quale distanza dal carico si trova
il massimo ed il minimo di tensione sulla linea.
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La carta di Smith
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La carta di Smith
Misura dell'impedenza dell'antenna.
Si vuole misurare l'impedenza dell'antenna avendo l'impedenza d'ingresso della
linea e la lunghezza della stessa linea.
Si procede nel solito modo, normalizzando l'impedenza e sia, per esempio
0.5−j0.3 mentre la linea è lunga 0.3 λ.
Si traccia il punto dell'impedenza normal-
izzata (punto A) ed il cerchio a coeciente di riessione costante. Così facendo,
si individua, sul cerchio esterno, il punto di partenza (punto B). Ruotando di
una quantità pari alla lunghezza della linea nel verso del carico (antiorario no
ad arrivare al punto C) si legge, sul cerchio tracciato, l'impedenza normalizzata
dell'antenna - punto Z.
Nel nostro caso l'impedenza normalizzata vale
dell'antenna in questione è pari a
Z = 45 + j60
ed il ROS, letto sulla carta, è di 2.4:1
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0.9+j1.24 e quindi l'impedenza
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