GIMC’04
XV Congresso Italiano di Meccanica Computazionale
AIMETA Associazione Italiana di Meccanica Teorica e Applicata
SUL CALCOLO DELLE MASSE AGGIUNTE PER
L’INTERAZIONE DIGA-BACINO
A. GHISI, G. MAIER e U. PEREGO
Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Politecnico di Milano
Piazza Leonardo da Vinci 32, 20133, Milano
SOMMARIO
Si presenta uno studio degli effetti geometrici di una diga ad arco-gravità e della morfologia del
sito attorno ad essa sulla determinazione delle masse aggiunte in un problema di interazione digabacino. Fornendo un disaccoppiamento tra il dominio strutturale e quello fluido, l’approccio con le
masse aggiunte costituisce un’approssimazione utile qualora l’interesse dell’analisi sia rivolto alla diga,
in particolare se tale calcolo è preliminare ad analisi dinamiche non lineari. Una formulazione più
generale di quella di Westergaard [1] è stata indagata in questo studio: essa fornisce una matrice di
masse aggiunte per un dominio tridimensionale risolvendo un insieme di problemi a potenziale nel
dominio fluido. Questa formulazione è sensibile alla geometria sia della diga che del bacino. Le analisi
sono state eseguite prima per una diga idealizzata e successivamente per una diga reale a doppia
curvatura (la diga di Pian Telessio in Piemonte. La morfologia del sito è stata presa in considerazione
ed è stata comparata con un bacino ideale.
ABSTRACT
An investigation has been carried out on the geometry effects of an arch-gravity dam and the morphology of the site around it with respect to the added masses in a dam-basin interaction problem .
Since it provides decoupling between the structural and the fluid domain, the added mass approach
is a desirable and convenient approximation when focus of the analysis is on the dam, in view of a
nonlinear dynamic analysis. However, the traditional approach still frequently used in practical engineering (going back to Westergaard, [1]) is quite rough if the dam has a complex geometry. Therefore,
a generalized formulation [2] has been pursued in the past, which gives an added mass matrix for a
three-dimensional domain by solving a set of potential problems in the fluid region. This formulation,
examined in this study, is in some way sensitive to the geometry, both of the dam and of the lake. The
analyses were carried out both on an idealized and on an existing double curvature dam (the Pian
Telessio arch-gravity dam, in Piemonte, Italy). The topology of the site has been taken into account
and has been compared to an idealized basin.
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INTRODUZIONE
L’analisi dinamica di grandi dighe, in particolare in vista di una sollecitazioni sismiche, richiede la
definizione delle forze trasmesse in conseguenza del moto dall’acqua del bacino sul paramento di monte
della diga. La determinazione rigorosa di queste forze richiederebbe un’analisi completa ed accoppiata
del moto della diga e dell’acqua del bacino. La tecnica comunemente utilizzata per alleggerire l’onere
1
computazionale, quando l’interesse è focalizzato sulla risposta della sola diga, consiste nell’aggiungere
sul paramento di monte della diga una massa fittizia che rappresenti, seppure in modo approssimato,
l’effetto dell’interazione con l’acqua del bacino. L’approccio più semplice, risalente a Westergaard [1],
si rivela in realtà solo grossolanamente approssimato quando la diga ha una geometria complessa,
come nel caso delle dighe a doppia curvatura. Più recentemente [2] per la definizione delle masse
aggiunte è stata proposta una tecnica alternativa, che richiede la soluzione di una serie di problemi a
potenziale definiti sul volume del bacino. Anche in questo caso, seppure in modo meno sensibile del
precedente, l’approssimazione ottenuta risulta dipendere dalla geometria della diga e del bacino. Con
riferimento ad una diga ad arco-gravità di geometria idealizzata e ad una diga ad arco-gravità reale
(la diga di Pian Telessio in Piemonte), in questo lavoro viene analizzato comparativamente l’effetto
della geometria sulle masse aggiunte calcolate con le due metodologie sopra menzionate, con i limiti
in cui l’approccio disaccoppiato trova applicazione.
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DEFINIZIONE DEL PROBLEMA
Sia data una diga (dominio strutturale Ωd ) ed un bacino pieno di acqua sino alla quota di massimo
invaso (dominio fluido Ωw ) (Figura1). Sotto le ipotesi di fluido linearmente comprimibile e inviscido e
Figura 1: Sistema diga-bacino con le superfici su cui applicare le condizioni al contorno del problema.
2
di moto delle particelle fluide irrotazionale con velocità piccole”, l’equazione di Helmholtz ∇2 p = ∂∂t2p
governa la propagazione delle onde di pressione p nel fluido. Nell’ipotesi di incomprimibilità essa
diviene l’equazione di Laplace
∇2 p = 0
in Ωw
(1)
Le condizioni al contorno del problema consistono in una superficie libera S0 , un fondo rigido del
bacino Sb , una eventuale condizione di far-field Sf f ed una condizione all’interfaccia diga-bacino Su che
prevede che la superficie bagnata e le particelle di acqua abbiano la stessa componente di accelerazione
in direzione normale alla superficie della diga.
3
APPROCCIO ALLA WESTERGAARD
Tradizionalmente, nell’ingegneria delle dighe è pratica comune utilizzare una formula approssimata
risalente a Westergaard [1]. Tale formula è stata desunta nelle ipotesi di diga rigida, con paramento
di monte perfettamente verticale, con acqua comprimibile ed un terremoto con periodo di circa 1,3
secondi. Inoltre, si assumeva che il problema fosse rappresentabile esattamente con una geometria
bidimensionale, riferendosi ad una sezione verticale della diga di larghezza unitaria, quindi in linea
di principio valida per una diga a gravità. Sulla base di queste ipotesi, Westergaard rappresentava la
pressione idrodinamica sulla diga con l’espressione approssimata che segue
7p
..
..
p=
h(h − z) ρw ug = b(z) ug
(2)
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dove z è l’affondamento rispetto al pelo libero, h l’altezza della diga rispetto al fondo (assunto per..
fettamente orizzontale), ug l’accelerazione orizzontale (uniforme) del terreno alla base della diga. La
2
Figura 2: Influenza dell’estensione del bacino (a sinistra) e della curvatura della diga nel piano orizzontale (a
destra) sull’andamento della massa aggiunta alla diga
relazione di Westergaard sostanzialmente interpreta l’interazione diga-bacino con un ammontare equivalente di acqua b(z) (la ”massa aggiunta”, anche se Westergaard non utilizzò mai questa locuzione)
che produrrà la stessa pressione per un valore unitario di accelerazione sul contorno.
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APPROCCIO DISACCOPPIATO CON PROBLEMA A POTENZIALE
Assumendo l’esistenza di una funzione potenziale di velocità del fluido φ, cioè tale che v = ∇φ, dalle
equazioni di equilibrio dinamico di un volume infinitesimo di fluido e dall’equazione di stato segue che
la pressione può essere espressa (trascurando termini di velocità di ordine superiore al primo) come
p∼
= −ρw ∂φ
∂t , essendo ρw la densità dell’acqua e t il tempo. Pertanto, l’eq. (1) può essere riscritta in
termini della funzione potenziale come
∇2 φ = 0
in Ωw
(3)
Le condizioni al contorno del problema nel dominio fluido possono essere espresse nella loro forma più
semplice come
∂φ
∂φ
φ = 0 su ΩS0
= 0 su ΩSb
= u̇n su ΩSu
(4)
∂n
∂n
corrispondenti nell’ordine alla superficie libera, al fondo rigido dell’invaso, all’interfaccia diga-bacino.
Tale tipo di problema a potenziale può essere convenientemente affrontato per via numerica utilizzando il metodo degli elementi di contorno del dominio. In tal caso, per problemi di grandi dimensioni,
può essere utile ricorrere a elementi di contorno con formulazioni simmetriche alla Galerkin (SGBEM, vedi [3]) che per problemi di grandi dimensione risultano più convenienti da un punto di vista
computazionale.
I risultati di N problemi a potenziale (N è il numero di nodi sul paramento di monte, cui di volta
in volta è assegnato il gradiente unitario di potenziale) sono raggruppati in una matrice potenziale
Φ. Essa è utilizzata per ottenere una matrice di massa aggiunta, esprimibile come (si veda [2]per i
dettagli)
Z
c N w N Tw Φ cT dS
ma =
(5)
Su
con c matrice dei coseni direttori delle normali alla superficie bagnata, N W vettore delle funzioni di
forma. La matrice ma di massa aggiunta contiene termini inerziali che indicano, per ciascun grado di
libertà dei nodi del paramento bagnato, l’effetto idrodinamico in quella specifica direzione.
3
Figura 3: Il modello tridimensionale del bacino della diga di Pian Telessio in Piemonte (a sinistra) e l’andamento
(a destra) della massa aggiunta in funzione dell’affondamento rispetto al pelo libero per tre sezioni della diga,
nei casi di invaso ideale (linea tratteggiata) e invaso reale (linea continua)
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ESEMPI COMPARATIVI
Per cogliere gli effetti dell’estensione in lunghezza del bacino e di progressiva variazione della geometria
sono stati effettuati calcoli di confronto con riferimento ad un bacino ideale di forma a parallelepipedo.
Sono state assunte tre differenti altezze (10, 20, 40 m) con una larghezza dell’invaso di 50 m ed
estensione variabile in lunghezza. In Figura 2 sono rappresentati i valori di massa aggiunta adimensionalizzata in funzione della profondità rispetto al pelo libero in corrispondenza della sezione mediana
della diga alta 40 m. Risultati simili sono stati ricavati per le altre altezze. Si conclude che i risultati
ottenutisi con la metodologia a potenziale non variano per estensioni del bacino superiori a 2,5 h, con
h altezza della diga. In Figura 2 si mostra anche l’andamento della massa aggiunta all’aumentare della
curvatura della diga nel piano orizzontale. Sono state inoltre eseguite analisi su di un invaso reale,
quello relativo alla diga di Pian Telessio, in Piemonte. Si sono eseguiti calcoli per confronto tra un
invaso ideale”, ottenuto con la semplice proiezione in direzione monte-valle del paramento bagnato
della diga e un invaso reale”, ottenuto seguendo la topologia dell’invaso. In Figura 3 sono mostrati
i dettagli del modello tridimensionale con le superfici su cui sono definite le condizioni al contorno. I
risultati in Figura 3 si riferiscono a tre sezioni lungo lo sviluppo della diga. Esse mostrano che là dove
la geometria del bacino in prossimità della diga risulta più discostarsi dalla forma ”ideale”, maggiore
è la differenza tra le masse aggiunte nei due casi.
Riferimenti bibliografici
[1] H. M. Westergaard. Water pressure on dams during earthquakes. Transaction of ASCE, (98), 1933.
[2] M. Fanelli. Arch dams. Models and methods of analysis. A short course for CISM, 1995.
[3] Bonnet M., Maier G., and Polizzotto C. Symmetric Galerkin boundary element methods. Appl Mech Rev,
(11):669–704, 1998.
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