Funzione trigonometrica
Le funzioni trigonometriche dell'angolo θ si possono costruire geometricamente in termini di un
cerchio unitario centrato in O.
I grafici delle funzioni trigonometriche coseno (verde), seno (blu), tangente (Rosso), cosecante
(Giallo), secante (Magenta), cotangente (Ciano).
In matematica, le funzioni trigonometriche o funzioni goniometriche o funzioni circolari sono
funzioni di un angolo; esse sono importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei
fenomeni periodici, oltre a un gran numero di altre applicazioni.
Sono spesso definite come rapporti fra i lati di un triangolo rettangolo contenenti l'angolo e,
equivalentemente, possono essere definite come le lunghezze di diversi segmenti costruiti dal
cerchio unitario
Nell'uso corrente, vi sono sei funzioni trigonometriche di base, che sono elencate sotto insieme alle
identità che le mettono in relazione. Specialmente per le ultime quattro, queste relazioni sono spesso
prese come definizioni di quelle funzioni, sebbene sia ugualmente possibile definirle
geometricamente o per altre vie, e solo in seguito derivare queste relazioni. Molte altre relazioni
notevoli fra queste funzioni sono elencate nella voce sulle identità trigonometriche.
Funzione
Abbreviazione
Seno
sin (o sen, nomenclatura italiana)
Coseno
cos
Tangente
tan (o tg)
Relazione
Cotangente cot (o ctg)
Secante
sec
Cosecante csc (o cosec)
La nozione secondo cui deve esserci una corrispondenza fra le lunghezze dei lati di un triangolo e
gli angoli del triangolo sorge non appena si intuisce che i triangoli simili mantengono gli stessi
rapporti fra i lati corrispondenti. In altri termini, per qualsiasi triangolo simile il rapporto fra
l'ipotenusa (per esempio) e un altro dei lati rimane lo stesso. Se l'ipotenusa è il doppio, anche i lati
sono lunghi il doppio. Le funzioni trigonometriche esprimono proprio questi rapporti.
Definizioni tramite triangoli rettangoli[
Un triangolo rettangolo include sempre un angolo di 90° (π/2 radianti), qui chiamato C. Gli angoli
A e B possono variare. Le funzioni trigonometriche specificano le relazioni esistenti fra le
lunghezze dei lati e gli angoli interni di un triangolo rettangolo.
Al fine di definire le funzioni trigonometriche di un angolo A, si consideri un arbitrario triangolo
rettangolo che contiene l'angolo A:
Usiamo i seguenti nomi per i lati del triangolo:
L'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto, o, equivalentemente, il lato più lungo di un
triangolo rettangolo, in questo caso i.
Il lato opposto è il lato opposto all'angolo che prendiamo in considerazione, in questo caso
a.
Il lato adiacente è il lato in contatto con l'angolo che prendiamo in considerazione e con
l'angolo retto. In questo caso il lato adiacente è b.
Tutti i triangoli vengono considerati appartenenti al piano euclideo in modo che la somma degli
angoli interni è π radianti (o 180°); di conseguenza, per un triangolo rettangolo, i due angoli non
retti sono compresi fra 0 e π/2 radianti. A rigore, le definizioni che seguono consentono di definire
le funzioni trigonometriche solo per gli angoli in questo intervallo. Si può tuttavia estendere le
definizioni all'insieme dei numeri reali utilizzando la circonferenza unitaria, o imponendo che tali
funzioni posseggano certe simmetrie o siano periodiche.
1) Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.
Nel nostro caso
È importante notare che questo rapporto non dipende dal particolare triangolo rettangolo scelto,
purché contenga l'angolo A, dal momento che tutti questi triangoli sono simili.
L'insieme degli zeri del seno è
2) Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza
dell'ipotenusa. Nel nostro caso
L'insieme degli zeri del coseno è
3) La tangente di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato
adiacente. Nel nostro caso
L'insieme degli zeri della tangente è
Esso coincide con l'insieme degli zeri del seno poiché
Le funzioni rimanenti sono definite convenientemente utilizzando le tre definizioni già fornite.
4) La cosecante csc(A) è l'inverso moltiplicativo di sin(A), ossia il rapporto fra la lunghezza
dell'ipotenusa e quella del lato opposto:
5) La secante sec(A) è l'inverso moltiplicativo di cos(A), ossia il rapporto fra la lunghezza
dell'ipotenusa e quella del lato adiacente:
6) La cotangente cot(A) è l'inverso moltiplicativo di tan(A), ossia il rapporto fra la lunghezza del
lato adiacente e quella del lato opposto:
Definizioni nella circonferenza goniometrica
La circonferenza goniometrica e alcuni angoli notevoli
È possibile definire le sei funzioni trigonometriche a partire dalla circonferenza unitaria o
circonferenza goniometrica, centrata nell'origine e con il raggio pari ad 1. La definizione attraverso
la circonferenza goniometrica non aiuta nel calcolo pratico dei valori delle funzioni; infatti essa si
basa sui triangoli rettangoli per molti angoli. Essa consente, tuttavia, la definizione delle funzioni
trigonometriche per tutti gli argomenti reali, positivi e negativi, non solo quelli limitati all'intervallo
fra 0 e π/2. Essa consente inoltre di visualizzare graficamente in una sola figura tutte le funzioni
trigonometriche. L'equazione della circonferenza goniometrica è:
Nell'immagine sono indicati alcuni angoli comuni, misurati in radianti. Le misure in verso
antiorario sono angoli positivi, quelli in verso orario sono negativi. Consideriamo l'intersezione con
la circonferenza goniometrica di una retta che forma un angolo θ con la metà positiva dell'asse x.
L'ascissa x e l'ordinata y di questo punto sono uguali rispettivamente a cos θ e sin θ. Il triangolo nel
disegno dimostra l'equivalenza con la definizione precedente: il raggio della circonferenza è
l'ipotenusa del triangolo ed ha una lunghezza pari ad 1, pertanto sin θ = y/1 e cos θ = x/1. Si può
pensare alla circonferenza goniometrica come ad un modo per considerare un numero infinito di
triangoli rettangoli in cui varia la lunghezza dei cateti, mentre l'ipotenusa si mantiene uguale ad 1.
I grafici delle funzioni f(x) = sin(x) e f(x) = cos(x) sul piano cartesiano.
L'animazione relativa alla funzione sin(x) mostra la correlazione fra il cerchio e il seno.
Per angoli maggiori di 2π o minori di −2π, si può semplicemente immaginare di compiere più giri
intorno al cerchio. In questo modo, il seno ed il coseno diventano funzioni periodiche di periodo 2π.
per ogni angolo θ e ogni intero k.
Il più piccolo periodo positivo di una funzione periodica è detto periodo primitivo della funzione. Il
periodo primitivo del seno, del coseno, della secante e della cosecante è l'intera circonferenza, ossia
2π radianti o 360 gradi; il periodo primitivo della tangente e della cotangente è solo metà
circonferenza, ossia π radianti o 180 gradi. Sopra sono state definite sulla circonferenza unitaria
soltanto le funzioni seno e coseno, ma le altre quattro funzioni trigonometriche possono essere
definite da:
Il grafico della funzione f(x) = tan(x) sul piano cartesiano.
L'immagine sulla destra mostra il grafico sul piano cartesiano della funzione f(θ) = tan(θ),
considerevolmente diverso da quelli visti prima per il seno e il coseno. I punti di intersezione con
l'asse x coincidono corrispondenti di sin(θ), mentre la funzione non è definita in corrispondenza
delle intersezioni della funzione cos(θ) con l'asse x. I valori della funzione cambiano lentamente in
prossimità di angoli pari a kπ, mentre cambiano rapidamente per gli angoli in prossimità di (k/2) π.
Il grafico della tangente ha anche un asintoto verticale per θ = kπ/2: infatti la funzione tende ad
infinito se l'angolo θ tende ad k/π da sinistra e meno infinito se θ tende ad k/π da destra.
Tutte le funzioni trigonometriche possono essere costruite geometricamente a partire dalla
circonferenza goniometrica.
In alternativa, è possibile definire tutte le funzioni trigonometriche di base a partire dalla
circonferenza goniometrica (mostrata a destra); tali definizioni venivano usate storicamente. In
particolare, data una corda AB della circonferenza, dove θ è la metà dell'angolo sotteso, sin(θ) è AC
(metà della lunghezza della corda), una definizione introdotta in India (vedi sopra). cos(θ) è la
distanza orizzontale OC, e versin(θ) = 1 − cos(θ) è CD. tan(θ) è la lunghezza del segmento AE sulla
retta tangente per A, da cui il nome tangente. cot(θ) è un altro segmento tangente, AF. sec(θ) = OE e
csc(θ) = OF sono segmenti di rette secanti (che intersecano la circonferenza in due punti), e si
possono visualizzare come le proiezioni di OA agli assi orizzontale e verticale, rispettivamente. DE
è chiamata exsec(θ) = sec(θ) − 1 (la porzione della secante fuori dal cerchio). Da queste costruzioni,
è facile vedere che le funzioni secante e tangente divergono se θ tende a π/2 (90 gradi) e che la
cosecante e la cotangente divergono se θ tende a zero. (È possibile effettuare molte costruzioni
simili, e le identità trigonometriche di base si possono dimostrare graficamente.)
