Soluzione

Compito 15/4/99
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Meccanica Applicata alle Macchine
compito del 15/4/99
A) Chi deve sostenere l'esame del I° modulo deve svolgere i punti 1 e 2.
B) Chi deve sostenere l'esame completo deve svolgere i punti 1, 3 e 4.
C) Chi deve sostenere l'esame del II° modulo deve svolgere i punti 3 e 4.
1. La figura rappresenta un crick per il sollevamento di vetture nel caso di sostituzione della ruota.
1 Indica la base di appoggio al terreno, da considerare solidale al terreno stesso (cioè 0, il telaio).
2 Rappresenta la base che si appoggia sotto la vettura, da considerare capace solo di moto di
traslazione verticale (cioè come se fosse vincolata ad una coppia prismatica a telaio).
Le aste 3, 4, 5, 6 hanno lunghezza eguale pari a 0.28 m e formano un quadrato nella
configurazione mostrata in figura.
7 e 8 rappresentano la vite e la madrevite.
La coordinata libera, q, è lo scorrimento della madrevite 8 per effetto della rotazione della vite 7
ed è inteso che sia misurata a partire dalla configurazione mostrata nella figura figura.
Utilizzando la numerazione proposta in figura (e considerando il corpo 2 come vincolato con una
coppia prismatica con 0 a scorrere in verticale):
a) Rappresentare con un grafo il meccanismo, individuare le catene cinematiche e le coppie. Dire
quanti gradi di libertà ha il meccanismo e quante catene cinematiche chiuse indipendenti si
possono individuare.
b) Scrivere le equazioni di chiusura scegliendo le catene cinematiche più convenienti (semplificare
le equazioni aiutandosi con considerazioni geometriche e considerando le simmetrie del
meccanismo).
c) Calcolare il rapporto di velocità fra lo scorrimento della madrevite (q) e lo spostamento verticale
della base 2 (y).
d) Calcolare la forza che la vite esercita sulla madrevite per contrastare una forza assegnata F =
4000N.
Soluzione.
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Per individuare le catene cinematiche è utile immaginare il meccanismo secondo una vista
esplosa, come sotto.Si evidenzia in questo modo che esistono diverse coppie rotoidali
sovrapposte: a,b; c,d; e,f; g,h. Inoltre ci sono due coppie prismatiche: i che consente al
corpo 8 di scorrere su 7 (in realtà sarebbe una coppia a vite, ma nello schema piano la
rotazione attorno all'asse della vite non si considera), l che è la coppia prismatica (fittizia)
che obbilga il corpo 2 a traslare in verticale.
Dallo schema esploso è facile ricavare il grafo mostrato sotto (basta rimpicciolire i corpi
fino a farli diventare punti).
Il grafo mostra che ci sono 8 corpi (1 e 0 coincidono) e 10 coppie di classe C2 (di
cui i e l prismatiche, le altre rotoidali). Ci sono 3 catene cinematiche indipendenti (
6 equazioni), 1 grado di libertà e 7 variabili: q,y,θ3,θ6,θ4,θ5,θ7.
Ovviamente il fatto che le aste 3,6,4,5 abbiano lunghezza eguale comporterà che il
quadrilatero relativo sarà un parallelogramma e che le diagonali saranno
rispettivamente verticali e orizzontali (ma questa intuizione dovrà essere
dimostrata con le equazioni di chiusura).
Conviene usare le seguenti catene cinematiche: 037860, 037425860, 037420. La
figura sottostante mostra i vettori necessari per i relativi poligoni (si sfrutta il fatto
che alcune coppie sono coincidenti).
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Le equazioni di chiusura sono dunque:
Z3+ Z7− Z6 = 0
Z3+ Z4− Z5− Z6 = 0
Z3+ Z4− Z0 = 0
per il parallelogramma si ha:
Z3 = l
cos θ 3
sin θ 3
Z6 = l
cos θ 6
sin θ 6
Z4 = l
cos θ 4
sin θ 4
Z5 = l
cos θ 5
sin θ 5
essendo l la lunghezza (eguale) delle quattrop aste (invece i 4 argomenti sono
variabili).
Per la vite si ha:
Z7 = l 2 − q
cos θ 7
sin θ 7
essendo l 2 la lunghezza iniziale della vite (che, come detto, è quella
corrispondente alla configurazione quadrata del parallelogramma in figura) e q la
corsa della madrevite (2 variabili qui).
Infine:
Z0 = y 0
1
essendo y la posizione verticale della base 2 (più precisamente della coppia
rotoidale) ed essendo la direzione di scorrimento verticale.
Sostituendo nella seconda equazione di chiusura (quella del parallelogramma
037425860) si ricava:
−l
cos θ 6
sin θ 6
−l
cos θ 5
sin θ 5
+l
cos θ 4
sin θ 4
+l
cos θ 3
sin θ 3
=0
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cos θ 4 − cos θ 6 + cos θ 3 − cos θ 5 = 0
sin θ 4 − sin θ 6 + sin θ 3 − sin θ 5 = 0
e si può facilmente verificare che
θ6 = θ4
θ3 = θ5
è una soluzione (ma non l'unica, infatti il quadrilatero si potrebbe assemblare anche
in un altro modo).
Espandendo le altre due equazioni di chiusura, e sfruttando i risultati sopra, si
ricava:
− q + 2 l cos θ 7 − l cos θ 4 + l cos θ 3 = 0
− q + 2 l sin θ 7 − l sin θ 4 + l sin θ 3 = 0
l cos θ 4 + l cos θ 3 = 0
l sin θ 4 + l sin θ 3 − y = 0
La terza equazione mostra che:
θ3 = π − θ4
in accordo con le considerazioni intuitive esposte sopra.
A questo punto le prime due equazioni forniscono:
l cos − θ 4 + π + − q + 2 l cos θ 7 − l cos θ 4 = 0
l sin − θ 4 + π + − q + 2 l sin θ 7 − l sin θ 4 = 0
che risolte danno:
− q + 2 l cos θ 7 − 2 l cos θ 4 = 0
− q + 2 l sin θ 7 = 0
θ7 = 0
cos θ 4 =
1−
2
q+ 2l
l
noto θ4 la quarta equazione fornisce y:
y = 2 l sin θ 4
Per calcolare il rapporto di velocità si possono derivare le 4 equazioni di chiusura
sopra riportat (oppure soltanto la prima e la quarta utilizzando i risultati ricavati
esplicitamente per θ7 e θ3 dalla terza e seconda).
Derivando tutte e quattro le equazioni si ottiene:
− − q + 2 l sin θ 7 ∂ θ 7 + l sin θ 4 ∂ θ 4 − l sin θ 3 ∂ θ 3 = cos θ 7 ∂ q
∂t
∂t
∂t
∂t
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− q + 2 l cos θ 7 ∂ θ 7 − l cos θ 4 ∂ θ 4 + l cos θ 3 ∂ θ 3 = sin θ 7 ∂ q
∂t
∂t
∂t
∂t
− l sin θ 4 ∂ θ 4 − l sin θ 3 ∂ θ 3 = 0
∂t
∂t
l cos θ 4 ∂ θ 4 + l cos θ 3 ∂ θ 3 − ∂ y = 0
∂t
∂t
∂t
a questo punto, per evitare l'inversione di una matrice jacobiana 4x4 conviene
proprio utilizzare i risultati precedenti:
θ7 = 0
θ3 = π − θ4
Le equazioni si semplificano:
2 l sin θ 4 ∂ θ 4 = ∂ q
∂t
∂t
0=0
0=0
2 l cos θ 4 ∂ θ 4 − ∂ y = 0
∂t
∂t
dalla prima equazione si ha:
∂ θ =1
∂ q
1
∂ t 4 2 l sin θ 4 ∂ t
che sostituito nella quarta da:
∂ y = cos θ 4 ∂ q
∂t
sin θ 4 ∂ t
da cui il rapporto di velocità:
τ =
cos θ 4
sin θ 4
Per calcolare la forza esercitata dalla vite si applica il teorema dei lavori virtuali (
indicando con Q la forza):
Q δq − F δy = 0
δy
Q=
F
δq
Q = τF
e si vede che il rapporto di velocità (e quindi la forza Q) diminuisce quando le aste
si muovono verso la direzione verticale.
2. Procedura per l'analisi di posizione del quadrilatero RRRR.
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3. La figura sottostante rappresenta una lavatrice, composta di un telaio di massa m, del cestello di
massa m' e di una massa m'' che rappresenta la biancheria. Il telaio ha dimensioni 0.8 m x 1.2 m (
rispettivamente larghezza e altezza). il cestello ha diametro 0.6 m. I baricentri di telaio e cestello
coincidono con il centro C del telaio stesso, che è anche l'asse di rotazione del cestello. L'asse del
cestello si considera vincolato rigidamente al telaio (cioè non è sospeso elasticamente). La biancheria
si assume che sia disposta eccentricamente, nel punto P, ad una distanza r = 0.2 m dall'asse del
cestello C. Il cestello ruota a velocità angolare costante ω. Il telaio della lavatrice è sospeso
elasticamente sulle molle di rigidezza k.
Dati (in unità SI):
m = 20
m' = 2
m'' = 5
r = 0.2
Nell'ipotesi di trascurare i moti laterali e di inclinazione del telaio della lavatrice (cioé considerando
il telaio come capace solo di traslazione verticale) si determini:
a) Le equazioni del moto con approccio lagrangiano.
b) La posizione y0 di equilibrio di C in funzione della rigidezza k. (le molle hanno lunghezza libera
pari a l0) e le equazioni delle piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio.
c) La forza trasmessa al suolo nel caso di molle di rigidezza infinita, per velocità di rotazione ω =
800 giri / min (centrifuga) e ω = 350 giri / min (centrifuga a velocità ridotta).
d) La forza trasmessa al suolo nel caso di molle di rigidezza k = 18.000N / m (per ciascuna molla)
nel caso delle due velocità sopra citate.
e) Il coefficiente di smorzamento necessario a ridurrela forza trasmessa a meno di 2000 N, nel caso
di molle della rigidezza sopra indicata e velocità di centrifuga ridotta. Calcolare il valore della forza
trasmessa in questo caso alla velocità di centrifuga massima.
Soluzione.
Equazioni del moto con approccio lagrangiano:
Posizione del baricentro C di telaio e cestello (detta y la lunghezza attuale delle
molle):
yC = y + 0.6
xC = 0
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Posizione del baricentro P della biancheria:
yP = yC + r sin ω t
xP = xC + r cos ω t
Energia cinetica (si trascura quella di rotazionedel cestello perché costante):
T=
1
2
m + m'
∂ yC
∂t
2
+ ∂ xC
∂t
2
+ 12 m''
∂ yP
∂t
2
+ ∂ xP
∂t
2
T = 12 m'' 2 ω r y' cos ω t + y' 2 + ω 2 r 2 + 12 m + m' y' 2
avendo indicato con y' la velocità:
∂ y = y'
∂t
Energia potenziale delle 2 molle:
V' = 2 12 k y − l 0
2
Energia potenziale gravitazionale:
V'' = m + m' g yC + m'' g yP
V'' = m + m' g y + 0.6 + g m'' r sin ω t + y + 0.6
Energia potenziale totale:
V = V' + V''
V = m + m' g y + 0.6 + k y − l 0 2 + g m'' r sin ω t + y + 0.6
Posizione di equilibrio:
∂ V =0
∂y
y 0 = l 0 − 12
m + m' + m'' g
k
Equazioni del moto:
L = T−V
∂ ∂ L − ∂ L =0
∂ t ∂ y'
∂y
m + m' + m'' ∂ ∂ y + 2 k y = ω 2 m'' r sin ω t + 2 k l 0 − g m − g m' − g m''
∂t ∂t
Sostituendo y con una coordinata q misurata dalla posizione di equilibrio:
q = y − y0
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m + m' + m'' ∂ ∂ q + 2 k q = ω 2 m'' r sin ω t
∂t ∂t
l'equazione si semplifica e diventa quella di un sistema con forzante armonica,
dove il modulo della forza è:
F = ω 2 m'' r
Nel caso di molle di rigidezza infinita questa è la forza trasmessa al terreno (infatti
la trasmissibilità vale 1):
ω = 350
2π
60
F = 1343.4
ω = 800
2π
60
F = 7018.4
notare che i valori sono elevati.
Nel caso la lavatrice sia sospesa elasticamente la trasmissibilità vale:
T=
1
ω
1−
ωn
2
essendo (vedere l'equazione):
k = 18000
2k
m + m' + m''
ω n = 36.515
ωn =
Le forze trasmesse diventano:
ω = 350
2π
60
FT = FT
F T = 1343.4 132.94
F T = 1.7859×105
ω = 800
2π
60
FT = FT
F T = 7018.4 0.23453
F T = 1646
notare che la forza trasmessa alla velocità di 350 giri / minuto cresce per effetto
della risonanza, per ovviare a questa condizione si può aggiungere uno smorzatore
in parallelo alle molle. Indicata con c la costante di smorzamento l'espressione
della trasmissibilità diventa:
1+ 2ζ
T=
1−
ω
ωn
2 2
ω
ωn
2
+ 2ζ
ω
ωn
2
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affinché la forza trasmessa sia inferiore a 2000 N occorre che la trasmissibilità sia
al massimo:
ω = 350
2π
60
2000
T = 1343.4
T = 1.4888
sostituendo nell'espressione di T e risolvendo in ζ si ha:
ωζ
2
ωn
ωζ
2
ωn
2
2
+ 1 = 1.4888
ωζ
2
ωn
ωζ
+ 1 = 2.2165 2
ωn
2
che significa:
c = ζ 2 2 k m + m' + m''
c = 890.47
con
c = 890.47
ζ = 0.4516
le forze trasmesse diventano:
ω = 800
2π
60
FT = FT
F T = 3406.4
4. Descrivere il metodo QFD.
ω
+ −
ωn
ω
+ −
ωn
ζ = 0.4516
ω = 350
2π
60
FT = FT
F T = 2000
2
+1
2
2
+1
2
2