Problemi per casa - Digilander

PROBLEMI DI ENERGETICA - Intro
Ecco a voi alcuni problemi di energetica da risolvere! Per semplicità, vi
do alcune formule che potrebbero esservi utili.
Il Lavoro fra due punti rappresenta l’energia trasferita dalla forza
elettrica (Fel) che si è spostata per un tratto S, inclinato rispetto a Fel
di un angolo : L=Felcos()S (per Forza e angolo  costanti)
Poiché Felcos() rappresenta la componente di Fel parallela a S,
posso scrivere il Lavoro come:
L=Fel//S
(1a)
Se teniamo conto che Fel = qE possiamo scrivere anche:
L=qE//S
(1b)
Il Lavoro è legato all’energia cinetica (K) dalla ben nota relazione (studiata e stra-studiata l’anno scorso):
L = K = Kf-Ki
(2)
L’energia potenziale elettrica di una carica subente q (Uq) rappresenta l’energia potenziale che q riceve
dalle altre cariche agenti all’intorno.
Per forze conservative, la variazione di en. cinetica è opposta a quella di potenziale (detto l’anno scorso e
ripetuto quest’anno):
K=-Uq  L = -Uq
(3)
Ne segue che una variazione di potenziale è sempre associata ad una variazione di en. cinetica e ad un lavoro
opposti!
Il potenziale (V) (chiamato anche tensione, forza elettromotrice, voltaggio o differenza di potenziale, d.d.p.)
rappresenta il termine agente di Uq: come ogni termine agente, esso si ottiene dividendo l’energia Uq per il
termine subente q:
V = Uq/q
(4)
Vediamo adesso come entra in gioco il termine V. Per capire come esso agisce, vediamo come esso è
associato al Lavoro. Partiamo dall’eq. (3): L = -Uq.
Dividiamo entrambi i membri per il termine subente q:
L/q = -Uq/q
(guarda l’eq. 17-2b sugli
appunti: in quel caso il lavoro è indicato con W e V con Vba). Analizziamo entrambi i membri
dell’uguaglianza:
membro a sinistra: Sappiamo già che L=qE//S  L/q = (qE//)S/q  (divido sopra e sotto per
“q”)  L/q = E//S
membro a destra: Sappiamo di già che Uq/q =V  Uq/q = V . Sostituendo:
E//S = -V
(5) (vedi eq. 17.4a negli appunti)
Il prodotto E//S matematicamente si chiama Lavoro di E, anche se non è fisicamente un Lavoro (non ti è
chiara questa cosa? Parlane con il Prof a lezione!)
L’eq. (5) si enuncia dicendo: “Il Lavoro di E rappresenta la variazione di potenziale V cambiata di
segno”.
“Prof che b…lle!!! Che è ‘sto zoo di formule!?” “Taci, mimmo: con qualche semplice esempio ti sarà tuto più
chiaro.
Problema 1 - Il segno delle grandezze fisiche!
Una particella di carica q=+310-6C è sottoposta ad un campo elettrico diretto
da sinistra a destra. q si sposta di un tratto S verso destra: essa accelera o
decelera? Come cambia il suo potenziale Uq? Come cambia V? Come cambia la
sua energia cinetica?
Prima di tutto, disegniamo la forza elettrica Fel. Fel = qE ; E e Fel sono
sempre paralleli (sono multipli uno dell’altro): poiché q>0 allora Fel è concorde
a E (vedi figura a sinistra, in alto).
Fel e S sono concordi, perciò Fel accelera q durante il suo movimento: q
guadagna velocità! Dunque, deve perdere energia potenziale. Per verificarlo,
calcoliamo il segno del Lavoro di Fel: esso è positivo poiché Fel e S sono concordi e dunque q guadagna
energia cinetica.
“Prof, ma è chiaro! Avevamo appena visto sopra che Fel spingeva q facendole aumentare velocità: è ovvio
che q guadagni energia cinetica!” “Bravo: stai capendo qual è il significato fisico del segno: Lavoro positivo
 spinta accelerante , Lavoro negativo  spinta decelerante.”
Vediamo cosa accade al potenziale V: il campo elettrico è concorde con S  E//S > 0  -V > 0 (vedi
eq. 5)  V<0.
Questo semplice esempio mostra che il potenziale decresce lungo il verso di E.
Questa proprietà è facilmente visualizzabile tenendo conto che E punta sempre dal “+” verso il “-“. Dire che
mi sposto lungo il verso di E vuol dire che mi sposto più lontano dalle cariche agenti “+” e mi avvicino a
quelle “-“: ma poiché il potenziale delle “+” è positivo e delle “-“ è negativo (cheee!!! non hai chiaro questo!?
Ma se abbiamo detto all’inizio dell’anno che V(R) = KQ/R !! E’ chiaro che se Q>0 allora V>0 , se Q<0 allora
V<0 !!!), ciò significa che mi sposto da potenziali più alti a potenziali più bassi e perciò V<0.
Adesso ripetiamo le stesse considerazioni nel caso di una particella negativa q’=-310-6C che si sposta sempre
verso destra. In questo caso Fel è parallela ma opposta ad E: Fel adesso punta verso sinistra perciò Fel
decelera q. Il segno del Lavoro è…….. (completa tu)
e perciò q guadagna/perde energia cinetica. Di
conseguenza, q guadagna/perde potenziale Uq.
E per quanto riguarda V? Il suo segno non dipende da q, perché V è un termine agente! Infatti, V dipende
da E: poiché E punta verso destra, V è sempre negativo.
Problema 2 - I valori delle grandezze.
Facciamo dei semplici calcoli per mettere in pratica tutto ciò che abbiamo detto: supponiamo che E=105N/C e
che lo spostamento sia S=0,2m.

Qual è il Lavoro eseguito su q? [ L = FelS = qES = 310-6C105N/C0,2m=+0,06J ]

Quanta en. Potenziale perde q? [ Uq=-L = -0,06J ]

Quanta en. cinetica guadagna q? [ K = L =-U = 0,06J ]

Di quanto varia il potenziale V durante lo spostamento? [ V=ES = 105N/C0,2m=2104Nm/C
= 2104J/C ]

Cosa cambia se al posto di q consideri q’ ? [ Tutti i valori calcolati sopra… ]
Problema 3 – Voltaggio
In una certa regione di spazio è stata misurato che il valore di V varia
da 100J/C1 (A) a 500J/C1 (B) in una lunghezza di S=2mm. Qual è il
valore di E// lì presente? Da che parte punta E//?
Risp: E//=2105 N/C = 2105 V/m (?!? Il campo elettrico si
misura in Volt/metri? Quando mai! Fatti spiegare l’inghippo
dal Prof). E punta da B verso A poiché E punta sempre dal
potenziale più alto (cariche positive) a quello più basso
(cariche negative).
Se una carica q=20C transita da A a B, quanta energia viene guadagnata/persa?
Risp: Calcoliamo Uq = qV ; V = VB – VA = +400Volt  Uq = 8000J. Di conseguenza, le cariche
hanno perso 8000J di energia cinetica (ed infatti le cariche positive sono passate dal potenziale minore
(-) a quello superiore (+); sono perciò passate dal (-) al (+) e di conseguenza sono state rallentate).
Cosa cambiava se la carica trasferita da A a B fosse stata q’=-20C?
Risp: Uq = -8000J  K=+8000J (ed infatti anche in questo caso le cariche negative sono passate dal (-)
al (+) ma è evidente che in questo passaggio sono state accelerate. Non hai capito questo concetto?
Fattelo spiegare dal Prof!).
Problema 4 – guarda lo schema delle curve equipotenziali a fianco.
Considera di avere la particella
q=+310-6C. Essa si sposta fra i diversi punti segnati. Trova il valore Uq e V durante questi passaggi:
ab (V=-11,7 Volt , Uq=35,110-6 J , L=-35,110-6 J , K=-35,110-6 J)
ad ……
; ed ……
; eb=……
Con un righello misurate la distanza fra i punti x-y e x1-y1 (usa la scala in basso al disegno); dopodiché
misura il valore medio di E// fra i due punti misurati (perché valore medio? Se non l’hai capito, fattelo spiegare
dal Prof!). Disegna E con il suo verso giusto.
Adesso ripeti tutti i soliti calcoli usando la particella q’=-310-6C (“Cheee!?! Devo ripartire da capo!?! Non mi
passa più!” “Ma no, mimmo! Basterà semplicemente che tu….”)
1
J/C è l’unità di misura del Volt.
Problema 4 – Prof’s Trap
Osserva di nuovo la figura delle linee equipotenziali della pagina precedente: considera adesso che la particella
q parta da b e si diriga verso d, passando tangente ad a (linea rossa): quanta energia cinetica guadagna?
(“Che pizza! Abbiamo già fatto questo tipo di problema:
V = -2,1V – 2,7V = -4,8V ; Uq = qV = 310-6C(-4,8V) = -14,410-6J  K=14,410-6J “).
“La risposta sembra giusta ma… c’è un trabocchetto. Ti do due situazioni di partenza: nella prima q parte con
un’energia meccanica (l’energia meccanica è indicata con E, da non confondere con il campo elettrico E!! )
E1=Ui1+Ki1 = 810-5J, nel secondo caso con un’energia meccanica E2=Ui2+Ki2 = 210-5J. Ti dico subito che
nel primo caso il calcolo che hai fatto in precedenza è giusto, nel secondo caso no. Perché?”
Problema 5 – la pila
Finalmente! Dopo tutta una serie di problemi astratti qualcosa di concreto! Ecco a voi
una pila come milioni di altre pile che ci sono al mondo. Nota il valore
stampato: 1,5VOLT. Significa che nel polo positivo (oro) sono
accumulate cariche “+” mentre nel polo negativo (nero) sono
presenti cariche “-“, cosicché fra i due poli vi è una differenza di
potenziale di 1,5Volt (per assicurarti che fra due poli opposti vi è
sempre una differenza di potenziale, guarda il disegno on-line
“Dipolo”: osserva che la regione intorno al “-“ ha potenziale negativo,
quella intorno al “+” potenziale positivo, cosicché fra il “+” ed il “-“ vi
è sempre una differenza di potenziale V).
Se colleghi una lampadina alla pila questa si accende! Come mai?
Semplice: quando unisco il polo “+” con quello “-“ con un conduttore,
le cariche “+” sono spinte via dal polo positivo ed attratte da quello negativo, cosicché scorrono dal “+” al “-“
(in realtà, le cariche che scorrono nel filo sono gli elettroni e perciò sono cariche negative che scorrono dal “-“
al “+”: però supponiamo, come si fa convenzionalmente, che le cariche che passano per il conduttore siano
positive). Passando dal “+” al “-“ le cariche positive perdono potenziale Vperdono energia Uq guadagnano
energia cinetica K che viene poi trasferita alla lampadina. In conclusione: la pila trasferisce la sua energia alla
lampadina grazie alle cariche che sono in movimento fra i due poli.
Adesso che ti ho descritto il meccanismo, esegui un semplice calcolo: quanta energia guadagna la lampadina
se la pila fa transitare una carica Q0=5000C? [E=6000J] Di conseguenza, quanta energia perde la pila? [E=-
6000J] Se per far transitare la carica Q0=5000C ha impiegato 100s, qual è la potenza della pila (e di
conseguenza della lampadine)? [Non sai cos’è la Potenzaaaa!!! Male! La Potenza (P) è il rapporto fra l’energia
trasmessa (E) ed il tempo di trasmissione (t); essa si misura in Joule/secondo = Watt). [P=60 W] Se la pila
possiede un’energia potenziale di 8107J, quanto tempo impiega a scaricarsi? [t=13.333 s]