E il seme cadde altrove
Massimo Ferri
Dip. di Matematica
Univ. di Bologna
E il seme cadde altrove
• Le idee
• Probabilità
– Giochi d’azzardo -Meccanica quantistica - Google Rank
• Geometria proiettiva
– Prospettiva - Goal fantasma - Robotica
• Seno e coseno
– Aryabhata - Fourier - jpg
• Conoscenza e applicazioni
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Le idee
Un'idea viene (se viene...) quando
ce n'è bisogno. E poco importa se
chi la concepisce è o si sente
matematico, fisico, ingegnere o
astronomo. O artista.
Ma poi magari il matematico si chiede: quest'idea
funziona in condizioni più generali? Allora (se ci
riesce...) produce un modello formale che forse
spartisce ben poco con la situazione originale.
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Le idee
Spesso il modello formale costruito dal matematico
resta solo un vestito elegante per l'idea iniziale.
Qualche volta (molte volte!) avviene un miracolo: il modello
formale viene riconosciuto come applicabile in ambiti
totalmente diversi.
La formalizzazione, la generalizzazione matematica ha
portato il seme di quell'idea in un campo lontano...
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E il seme cadde altrove
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Probabilità
La divisione della posta in caso
d'interruzione di un gioco d'azzardo
aveva già interessato Cardano,
Pacioli, Tartaglia.
Nel 1654 Pascal e Fermat mettono a
punto il primo vero studio sulla
probabilità discreta.
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Probabilità
Il primo vero trattato di probabilità
come branca della matematica è
dovuto a Jakob Bernoulli (1713).
Intanto la probabilità si è affrancata
dall'ambito discreto. Compare il
concetto di densità di probabilità.
(Problema dell'ago di Buffon, 1777)
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Probabilità
Con la meccanica quantistica la fisica
perde il suo fondamento
deterministico. Nell'equazione di
Schrödinger (1926) la funzione
incognita ψ è una funzione complessa
di ampiezza di probabilità che
permette interferenze e il cui modulo
costituisce una densità di probabilità.
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Probabilità
Ma anche nell'ambito discreto si
verificano progressi, per esempio
con le catene di Markov (1906),
sequenze di transizioni fra gli stati di
un sistema.
Le applicazioni sono innumerevoli:
dalla fisica alla chimica
all'intelligenza artificiale.
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Probabilità
Un'applicazione delle catene di Markov, insieme a un
teorema di teoria dei grafi, arricchisce due giovani di
genio: Larry Page e Sergey Brin.
Infatti il Google Rank (1996) mediante il quale Google
ordina le pagine pertinenti alla query indica la
probabilità di arrivare in una pagina attraverso un
"cammino casuale" saltando da link in link.
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Geometria proiettiva
Una prospettiva intuitiva era conosciuta già nell'antichità
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Geometria proiettiva
Ma fino al XIV secolo c‘è chi la sbaglia del tutto...
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Geometria proiettiva
... e probabilmente
Mantegna (14311506) la "sbaglia"
volutamente.
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Geometria proiettiva
Filippo Brunelleschi (1377-1446) inventa la prospettiva
geometrica lineare e Leon Battista Alberti (1404-1472) la
inserisce nel suo trattato "De pictura".
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Geometria proiettiva
Anche Piero della Francesca (1416-1492), pittore e
matematico, teorizza e usa la moderna prospettiva.
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Geometria proiettiva
Mentre Girard Desargues (1591-1661) formalizza il
concetto di spazio proiettivo, René Descartes (1596-1650)
inventa le coordinate.
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Geometria proiettiva
Tocca ad August
Ferdinand
Möbius (17901868) mettere
insieme le due
cose e inventare
le coordinate
omogenee.
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Geometria proiettiva
Affinità
Omografia
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Geometria proiettiva
Foto multiple -> foto panoramica
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Geometria proiettiva
Le traslazioni non vanno bene.
Occorre usare la geometria proiettiva!
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Geometria proiettiva
Un altro effetto per cui è necessaria la geometria proiettiva
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Geometria proiettiva
A. Zisserman (Oxford) applica la geometria proiettiva al
controllo dei "goal fantasma" e alle telecamere virtuali.
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Geometria proiettiva
Generica
affinità
Generica
omografia
Formule di passaggio
Affinità come
particolare
omografia
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Geometria proiettiva
Nella cinematica di un braccio robotico si deve ottenere
la posizione del punto finale (end effector) da una
composizione di trasformazioni.
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Geometria proiettiva
Per esempio una rotazione seguita da una traslazione
avrà la forma:
ma nelle composizioni quella somma dà fastidio, perciò
anche se non ci sono questioni di punti impropri, di
prospettiva ecc. si preferisce passare a coordinate
omogenee, in modo che ogni composizione sia
semplicemente un prodotto di matrici. La stessa
trasformazione si rappresenta dunque così:
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Geometria proiettiva
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• Le idee
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– Prospettiva - Goal fantasma - Robotica
• Seno e coseno
– Aryabhata - Fourier - jpg
• Conoscenza e applicazioni
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Seno e coseno
499 dC: Āryabhaṭa (in
parte preceduto da
Ipparco di Nicea)
inventa il seno di un
angolo per i suoi
calcoli astronomici;
lavoro proseguito dai
matematici arabi.
Nel 1295 Ramon Llull ne descrive
l’uso per la navigazione.
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Seno e coseno
Leibniz studia la funzione
seno nel 1682, dimostrando
che non è algebrica.
E’ Roger Cotes il
primo, nel 1722, a
dimostrare che la
derivata del seno
è il coseno (e la
derivata seconda
è - seno).
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Seno e coseno
Eulero studia
approfonditamente le
funzioni trigonometriche e
nel 1748 le lega a quella
curiosità matematica che
sono i numeri complessi:
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)
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Seno e coseno
Jean-Baptiste
Fourier studia la
conduzione del
calore in una
sbarra, regolata da
una semplice
equazione
differenziale:
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Seno e coseno
Fourier affronta nel 1807 il problema mediante
"separazione delle variabili":
da cui
e la soluzione
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Seno e coseno
Ciò lo porta alla
costruzione della
serie di Fourier:
che si presta alla
soluzione di numerosi
altri problemi e che
permette la
rappresentazione in
termini di seno e coseno
di (quasi) ogni funzione
periodica!
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Seno e coseno
Le applicazioni della serie di Fourier sono ormai
molto lontane dal problema della diffusione del
calore; due esempi importanti sono:
• Analisi del segnale
– Riconoscimento di un'onda radar
– Analisi del parlato
• Compressione del segnale
– CD
– telefonia
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Seno e coseno
La serie di Fourier rende possibile oggi qualcosa
che ieri era solo fantascienza...
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Seno e coseno
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Seno e coseno
L'evoluzione della serie in campo complesso, passando
per la formula di Eulero, è la trasformata di Fourier
(1822):
fondamentale, per esempio, nell'elaborazione e
correzione di immagini.
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Seno e coseno
Due funzioni periodiche (in alto) e le loro trasformate di
Fourier
(http://www.cs.unm.edu/~brayer/vision/fourier.html)
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Seno e coseno
Due immagini reali (in alto) e le loro trasformate di
Fourier
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Seno e coseno
Eliminazione di frequenze indesiderate
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Seno e coseno
Restauro di
immagini sfocate
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Seno e coseno
Compressione di
immagini.
La compressione
di immagini
mediante
trasformata di
Fourier è alla base
del formato jpg
(1994), oggi
comunissimo.
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Seno e coseno
Agendo sulla trasformata di Fourier si può correggere
una foto mossa!
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• Le idee
• Probabilità
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• Seno e coseno
– Aryabhata - Fourier - jpg
• Conoscenza e applicazioni
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Conoscenza e applicazioni
Le ricadute concrete di conoscenze apparentemente fini a
se stesse sono innumerevoli:
• Struttura della molecola d'acqua -> Forno a microonde
• Stati energetici del nucleo -> Risonanza magnetica
• Linguistica -> Traduzione automatica
• Algebra modulare -> Crittografia a chiave pubblica
• Legge di Faraday-Neumann-Lenz -> Dinamo, motori
elettrici ("Why, sir, there is every probability that you
will soon be able to tax it")
• ...
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Conoscenza e applicazioni
Nel fastidioso dibattito fra chi sostiene il sapere e chi gli
contrappone il saper fare occorrerebbe riconoscere quanto
spesso sono stati intrecciati nella storia del progresso
tecnico e scientifico.
Spesso un problema concreto ha stimolato un'idea.
Poi ci si è affezionati all'idea e si è voluto "saperne di più".
Molte volte questo passaggio è stato di carattere
matematico.
Ma l'importante è lasciarci liberi:
• di trarre spunto da qualsiasi cosa per allargare e
approfondire le nostre conoscenze
• di applicare le nostre conoscenze per il benessere
comune.
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Conoscenza e applicazioni
Se osate parlare della vostra curiosità per la conoscenza
pura e semplice, troverete senz'altro chi vi rinfaccerà
obiettivi più urgenti.
Allora, per favore, ricordate al vostro interlocutore che
anche i nostri lontani progenitori, pur con tutti i loro
concretissimi problemi, guardavano con stupore le
stelle.
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GRAZIE PER L'ATTENZIONE !
[email protected]
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