UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA
"TOR VERGATA"
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
A.A. 2013/2014
Tesi di Laurea triennale
Analisi del trasporto della radiazione per
l'ottimizzazione della sorgente THz a
SPARC-LAB
RELATORE
LAUREANDO
Dott. Alessandro Cianchi
Arcangeletti Chiara
A mio nonno, glio di un contadino...
...scarpe grosse e cervello no
2
Indice
Introduzione
1
1 La Radiazione THz
2
1.1
Proprietà e Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Sorgenti THz
3
1.2.1
1.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sorgenti basate su Acceleratori
SPARC-LAB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 La Radiazione di Transizione
2.1
2.2
7
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
Formula di Ginzburg-Frank
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.2
Metodo dei fotoni virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
La Radiazione di Transizione Coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.1
Utilizzo della CTR per determinare la forma del pacchetto . . . . . . .
10
2.2.2
Eetti di dirazione dovuti alle dimensioni nite della targhetta . . . .
11
3 Analisi del trasporto della radiazione
14
3.1
Descrizione dell'apparato sperimentale
3.2
Programma di simulazione: THz Transport
3.2.1
INDICE
La Radiazione di Transizione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
I
INDICE
3.3
Elaborazione dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3.1
Misure Sperimentali
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.3.2
Simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4 Conclusioni
30
Bibliograa
32
Ringraziamenti
34
INDICE
II
Introduzione
Nell'ultimo decennio si è sviluppato un forte interesse per la radiazione Terahertz (THz)
in quanto essa è un potente strumento per studiare il comportamento della materia a basse
energie e vede un ampia gamma di applicazioni, che vanno dalla scienza medica, alla ricerca
di base no al campo della sicurezza. Questo perché tale radiazione presenta caratteristiche
molto interessanti: è una radiazione non ionizzante, è in grado di penetrare alcuni materiali,
mentre viene assorbita dai liquidi polari e riessa dai metalli. Per tali ragioni si è cercato
di sviluppare sorgenti per questo intervallo dello spettro elettromagnetico e tra queste si
distinguono le sorgenti THz basate su un LINAC, che sono in grado di fornire impulsi, sia a
banda larga che stretta, estremamente intensi.
In questa tesi si è utilizzata la sorgente di Radiazione di Transizione Coerente nella regione
del THz alla facility SPARC-LAB (Sources for Plasma Accelerators and Radiation Compton
with Lasers And Beams) presso i Laboratori Nazionali di Frascati dell'INFN [1].
Questa
radiazione viene prodotta facendo impattare un fascio di elettroni, modulato in pacchetti
di brevissima durata temporale (inferiore al ps), su una targhetta posta a
direzione di incidenza del fascio.
45◦
rispetto alla
In seguito essa viene trasportata, tramite l'utilizzo di
elementi ottici, no ad un rivelatore.
Lo scopo di questa tesi è stato quello di analizzare la distribuzione spaziale della radiazione THz prodotta a SPARC-LAB e quindi di studiarne la propagazione lungo il cammino
ottico.
Sono stati quindi analizzati i dati sperimentali acquisiti ed è stato elaborato un
modello teorico capace di simulare la risposta del sistema, al ne di ottimizzare l'ottica
dell'esperimento.
Il seguente lavoro è suddiviso in tre capitoli.
Nel primo capitolo viene introdotta la
radiazione THz, con una descrizione delle sorgenti basate sugli acceleratori.
Il secondo
capitolo descrive la sica della Radiazione di Transizione prima in generale, poi entrando
nello specico di quella Coerente e commentando gli eetti delle dimensioni nite della
targhetta sullo spettro della radiazione. Nel terzo capitolo vi è una descrizione dell'apparato
sperimentale e del programma di simulazione utilizzato (THz Transport ), in seguito vengono
riportate le misure, ed inne viene illustrata l'analisi dati ed i risultati ottenuti.
Introduzione
1
Capitolo 1
La Radiazione THz
1.1
Proprietà e Applicazioni
La regione dello spettro elettromagnetico che va dai 100 GHz ai 10 THz, nota come THz
gap, è di grande interesse per molti esperimenti in dierenti aree di ricerca. Essa si colloca
tra le frequenze della luce all'infrarosso e quelle della regione delle microonde, perciò si trova
tra la fotonica e l'elettronica (Figura 1.1).
Figura 1.1: Spettro elettromagnetico in cui viene evidenziata la THz gap.
Essa è stata studiata molto poco no ad ora data la mancanza di sorgenti sucientemente intense e stabili per questo intervallo di lunghezze d'onda. Dato che questa banda si trova
a frequenze più basse di quelle dell'infrarosso, un fotone con un energia pari ad hν , dove
ν
appartiene alla banda del THz, ha un'energia minore di un raggio luminoso e non riesce a
provocare transizioni elettroniche nella materia, tuttavia è risonante con i modi rotazionali e
vibrazionali. Questo signica che la radiazione THz presenta una scarsa capacità di interazione con la materia, perciò i fotoni vengono assorbiti pochissimo e sono quindi in grado di
2
Cap. 1 La Radiazione THz
1.2 Sorgenti THz
attraversarla. Alcuni materiali (stoa, plastica, ceramica, laterizi) risultano infatti trasparenti a questa radiazione. Per quanto riguarda invece i tessuti biologici, dato che contengono
acqua, sono relativamente opachi alla radiazione THz, caratteristica sfruttabile per l'imaging
dei tessuti biologici, in quanto quelli malati, come i tumori, appariranno diversamente da
quelli sani. Perciò la radiazione THz consente prestazioni un tempo esclusive dei raggi X,
ma a dierenza di questi, essa non è ionizzante ed è quindi meno nociva per l'uomo [2]. Essa
è inoltre una valida alternativa all'imaging dentale.
La possibilità di realizzare sorgenti THz con frequenza di emissione tarata su righe di
assorbimento di speciche molecole permette l'analisi composizionale di composti, infatti
molte molecole e composti chimici interagiscono con la radiazione a queste lunghezze d'onda,
permettendo l'individuazione univoca degli stessi [3].
Un altro ambito applicativo è l'analisi strutturale nalizzata al controllo della qualità
dato che molti materiali plastici sono trasparenti alla radiazione THz e questo permette di
mettere in evidenza difetti o fratture interne di parti meccaniche senza l'utilizzo di raggi X.
I metalli riettono queste lunghezze d'onda:
questo è un punto di forza per tutte le
applicazioni che fanno riferimento al segmento della sicurezza, come ad esempio i body
scanner. Essi sono impiegati negli aeroporti, al posto dei tradizionali raggi X, e presentano
la caratteristica di spogliare letteralmente i passeggeri per vericare che cosa nascondono
sotto i vestiti [2].
Anche nell' astronomia questa radiazione ha sempre stimolato un ampio interesse dato
che circa il 98% dei fotoni emessi dal Big-Bang cade nella regione del THz [4] e gran parte
di questa energia è diusa dalla polvere interstellare, contenuta nelle galassie più antiche,
come la Via Lattea; quindi i rivelatori che lavorano nel THz possono essere utilizzati per
investigare l'origine dell'universo.
Un'altra importante applicazione della radiazione THz è nella sica dello stato solido,
poichè gran parte delle eccitazioni nella materia condensata, come i modi vibrazionali reticolari, le eccitazioni plasmoniche, le eccitazioni collettive di onde di spin o le gap energetiche
dei superconduttori, hanno energie di qualche meV ed è quindi possibile fare spettroscopia
tramite l'utilizzo di questa radiazione [2].
Inne sono stati messi a punto procedimenti d'avanguardia per la rivelazione non invasiva
di pitture usando frequenze tra 400 e 700 GHz, che hanno consentito di analizzare frammenti
pittorici parzialmente coperti con strati di gesso e di ottenerne un'immagine nitida e con
un'elevata risoluzione [5].
1.2
Sorgenti THz
L'utilizzo della radiazione THz permette dunque la realizzazione di molte classi di esperimenti, ognuna delle quali sarà abilitata o ottimizzata utilizzando una sorgente con una
particolare serie di speciche. Ci sono esperimenti che richiedono un'alta potenza di picco,
mentre altri, per esempio quelli di spettroscopia ad alta risoluzione, richiedono sorgenti con
3
Cap. 1 La Radiazione THz
1.3 SPARC-LAB
ampiezza di solo poche centinaia di microwatts di potenza; altri ancora richiedono soprattutto
una larghezza di banda al di sotto dell'1%.
Nel prossimo paragrafo descriviamo nel dettaglio il tipo di sorgente di radiazione THz che
è stata utilizzata in questa tesi, ossia una sorgente basata su acceleratori [6], in particolare
su un LINAC.
1.2.1 Sorgenti basate su Acceleratori
La gura di merito che denisce la bontà di una sorgente è detta Brillanza [7]:
B=
F
4πσx σx0 σy σy0
(1.2.1)
Dove F rappresenta il usso, ossia il numero di fotoni, per intervallo di tempo e frequenza,
σx
e
σy
le dimensioni traverse della sorgente e
σ x0
e
σy 0
la divergenza angolare del fascio
di fotoni . Poichè la radiazione prodotta dagli acceleratori è pulsata, riproducendo nel tempo il prolo del pacchetto di particelle, è particolarmente adatta per esperimenti nei quali
è chiesta una elevata risoluzione temporale.
Per questi, è desiderabile un'alta potenza di
picco in impulsi più corti possibili, quindi alte correnti con durata dei pacchetti di particelle
molto breve. In genere questa richiesta è ben soddisfatta dagli acceleratori lineari. Guardando all'energia per impulso, la Radiazione di Transizione Coerente è l'opzione migliore per
queste sorgenti. Infatti per aumentare l'intensità nella regione del THz è fondamentale la
generazione di radiazione coerente, poiché in questo caso l'intensità cresce come il quadrato
delle particelle e non linearmente, ed anchè ciò avvenga è necessario avere pacchetti di
particelle più corti temporalmente delle lunghezze d'onda di interesse. Chiamando
dIsp
dωdΩ la
distribuzione dell'intensità di radiazione emessa dalle singole particelle in un angolo solido
dΩ
ed in un intervallo di frequenza
dω
e assumendo che la radiazione sia concentrata in
uno stretto cono diretto secondo la tangente alla traiettoria della particella nella direzione
g(z)
in avanti, l'emissione di radiazione prodotta da un pacchetto di prolo longitudinale
è
data da:
in cui N è il numero
dIsp
dI
=
[N + N (N − 1)F (ω)]
dωdΩ
dωdΩ
R
2
i( ω )z totale di particelle e F (ω) = dzg(z)e c
(1.2.2)
è il fattore di forma,
denito come la trasformata di Fourier del prolo longitudinale del pacchetto [8]. Il fattore
di forma esprime il grado di coerenza della radiazione ad una data lunghezza d'onda e agisce
come peso per il secondo termine nelle parentesi quadre della formula.
Infatti, il primo
rappresenta la produzione di radiazione incoerente ed è proporzionale al numero di particelle
nel pacchetto, mentre il secondo tiene conto della produzione coerente e va come
N 2.
4
Cap. 1 La Radiazione THz
1.3 SPARC-LAB
Figura 1.2: Schema della facility SPARC-LAB
1.3
SPARC-LAB
Nella parte sperimentale di questa tesi è stata utilizzata la sorgente THz prodotta attraverso fasci di elettroni relativistici, di durata temporale del sub-ps, caratteristici del fotoiniettore di alta brillanza di SPARC-LAB, presso i Laboratori Nazionali di Frascati [9].
Questo genera ed accelera fasci di elettroni di bassa emittanza e alta corrente di picco, ossia di breve durata temporale così da estendere lo spettro della radiazione prodotta nelle
frequenze del THz.
In un foto-iniettore, il fascio di elettroni è generato per eetto fotoelettrico, illuminando con un impulso laser di lunghezza d'onda opportuna un fotocatodo posto all'interno del
cannone a radio-frequenza (gun RF). A SPARC-LAB all'uscita del gun RF, il pacchetto di
elettroni così generato e accelerato no pochi MeV, viene iniettato nelle tre sezioni acceleranti, ad onda viaggiante, operanti in banda S come il foto-iniettore, ed accelerato no ad
un'energia massima di 150-180 MeV.
Per generare radiazione di alta intensità, in uno spettro di frequenze che si estende no
alla regione del THz, sono necessari pacchetti di elettroni di durata temporale al di sotto del
picosecondo, ed è quindi necessario comprimere longitudinalmente il fascio di elettroni. La
compressione longitudinale è ottenuta attraverso il metodo del velocity bunching [10].
A SPARC-LAB la radiazione viene generata mandando i pacchetti di elettroni su una
targhetta metallica inclinata a
45◦
rispetto alla linea del fascio. La radiazione di transizione,
generata nell'attraversamento della targhetta, emerge nella direzione a
90◦
rispetto alla pro-
pagazione del fascio e viene estratta tramite una nestra di qualità ottica. A seconda della
distribuzione di elettroni all'interno del pacchetto, la coerenza dell'emissione di radiazione
5
Cap. 1 La Radiazione THz
1.3 SPARC-LAB
si può ottenere a diverse lunghezze d'onda.
Come alternativa alla radiazione THz a banda larga, prodotta dal singolo pacchetto,
si può produrre una radiazione THz a banda stretta coerente mediante fasci di elettroni
longitudinalmente modulati. A tale scopo si utilizza un impulso a forma di dente di sega per
illuminare il catodo. Si ottiene così una distribuzione a pettine del fascio di elettroni. Questa
tecnica consente di generare impulsi nella banda THz a banda stretta e presenta notevoli
vantaggi in termini di potenza massima di picco. Infatti quando una struttura di elettroni
a pettine impatta su una targhetta metallica, si produce un impulso di radiazione tanto più
monocromatico quanto maggiore è il numero di pacchetti alla lunghezza d'onda uguale alla
spaziatura tra i micro-impulsi. Il principale vantaggio nell'utilizzo di questo tipo di struttura
è che la larghezza di banda è inversamente proporzionale al numero di impulsi, la lunghezza
d'onda alla separazione tra questi e l'intensità totale alla somma delle cariche presenti nei
singoli pacchetti. In questo modo cambiando le caratteristiche del treno di impulsi si riesce
a cambiare lo spettro e l'intensità della radiazione.
6
Capitolo 2
La Radiazione di Transizione
2.1
Introduzione
Se la particella si muove di moto uniforme e attraversa una discontinuità tra due mezzi
con dierenti proprietà ottiche, si produce Radiazione di Transizione (TR). In questo caso il
campo elettromagnetico che la particella trasporta viene modicato a causa della dierenza
di velocità di propagazione o delle proprietà di assorbimento del secondo mezzo. Infatti una
particella che si muove di moto rettilineo uniforme in un mezzo omogeneo non irraggia a
meno che essa non si muova con velocità superiori a quella della luce nel mezzo, in tal caso si
avrà Radiazione di Vavilov-Cerenkov [11]. Quindi, anchè essa irraggi, è necessario creare
un'eterogeneità nel mezzo ed il modo più semplice per realizzare tale condizione è porre un
interfaccia tra due mezzi omogenei.
La radiazione prodotta è dovuta quindi alla presenza di una disomogeneità nello spazio,
dove il campo della particella che viaggia induce, sulla supercie della targhetta metallica,
una corrente variabile nel tempo, e tale corrente genera la radiazione.
Ginzburg e Frank
analizzarono il processo della radiazione di transizione risolvendo le equazioni di Maxwell
assumendo che la discontinuità fosse un piano di dimensioni innite, innitamente sottile e
idealmente piatto, di un materiale perfettamente conducente e utilizzarono l'approssimazione
di campo lontano, che trascura le dierenze di fase sulla sorgente in quanto si suppone
l'osservatore a grande distanza da essa. In questo modo si giunse alla formula dello spettro
e della distribuzione spaziale dell'energia data da un singolo elettrone [12]:
d2 U
e2
β 2 sin2 θ
= 3
dωdΩ
4π ε0 c (1 − β 2 cos2 θ)2
Dove
β = v/c
e
θ
(2.1.1)
è tra la direzione di incidenza della particella e l'osservatore. Si vede
che l'intensità si annulla quando
θ = 0,
mentre è massima per
θ = 1/γ ,
come mostra anche
la Figura 2.2.
La radiazione di transizione si propaga in due direzioni principali lungo la traiettoria
della particella, quella in avanti (Forward Transition Radiation, FTR), e quella all'indietro
7
Cap. 2 La Radiazione di Transizione
2.1 Introduzione
(Backward Transition Radiation, BTR), all'interno di un cono il cui asse coincide con la
direzione di propagazione e con apertura angolare proporzionale ad
1/γ .
Figura 2.1: Distribuzione angolare dell'intensità della radiazione di transizione secondo la
formula di Ginzburg-Frank.
2.1.1 Formula di Ginzburg-Frank
La formula di Ginzburg-Frank della distribuzione angolare dell'intensità della radiazione
si ricava fondamentalmente risolvendo un problema di condizioni al contorno. Analizzando
il caso di una particella che attraversa un'interfaccia con velocità perpendicolare ad essa si
possono denire due campi elettrici, uno legato alla radiazione prodotta nel primo mezzo
per riessione (backward ), e l'altro alla radiazione nel secondo mezzo (forward ), i quali si
ricavano risolvendo le equazioni di Maxwell [13].
La soluzione generale è:
E1,2 tot = E1,2 +E1,2 ph , dove E1,2 è la soluzione particolare mentre
E1,2 ph è quella della equazione omogenea.
Si possono ora imporre le condizioni di continuità
al contorno, ossia la conservazione della componente tangenziale del campo elettrico e della
componente normale dell'induzione elettrica:
E1t + E1t ph = E2t + E2t ph
ε1 (E1n + E1n ph ) = ε2 (E2n + E2n ph )
(2.1.2)
Si può notare quindi che per garantire la conservazione della componente tangenziale
del campo elettrico, poichè quello trasportato dalla particella da solo non si conserva, è
necessario un ulteriore campo elettrico. Questo permette di comprendere la necessità della
produzione di radiazione di transizione tra due mezzi dierenti, anchè il campo elettrico
ad essa associato garantisca la validità delle precedenti condizioni.
E1,2 ph risolve l'equazione omogenea, vale ∇·E1,2 ph = 0 , si può imporre
ph
condizione: k·E1,2
= q·E1t,2t ph + kz E1n,2n ph = 0, dove k è il vettore che
Inoltre, dato che
un ulteriore
8
Cap. 2 La Radiazione di Transizione
2.1 Introduzione
identica la direzione di propagazione della radiazione e
dell'interfeccia (x,y).
E1
ph
e
E2
ph
q
è la sua proiezione nel piano
In questo modo si possono determinare in maniera univoca i campi
.
Denito il campo della radiazione si può calcolare il usso di energia, quindi il vettore
di Poynting e da esso ricavare l'espressione per la distribuzione angolare ed in frequenza
della radiazione.
Considerando una particella carica che viaggia nel vuoto e che incide
normalmente su una targhetta costituita di un materiale conduttore perfetto (ε2
→ ∞),
si
ottiene la formula 2.1.1 di Ginzburg-Frank.
Cariche Immagine
Un'altra interpretazione del processo della radiazione di transizione risolve il problema
delle condizioni al contorno introducendo il concetto di carica immagine. Se ho una particella
di carica
Ze
che si muove con velocità
v nel primo mezzo lungo la direzione di volo (asse z),
dato che per le condizioni al contorno, la componente tangenziale del campo elettrico deve
annullarsi sulla supercie del conduttore, bisogna introdurre una carica immagine -Ze, che si
muove sempre nella direzione z del moto ma con velocità
−v
all'interno del secondo mezzo.
Si è così ridotto il problema delle condizioni al contorno ad un problema con due cariche,
reale ed immagine [14]. Determinata la radiazione generata dalle due cariche che si muovono
l'una verso l'altra con velocità
v e −v, e che si arrestano improvvisamente al tempo t=0, si
può ricavare la distribuzione angolare dello spettro dell'energia emessa:
2
2 2
d2 U
Z 2 e2 β 2
1
1
β 2 sin2 θ
=Z e
=
[
n
·
v
]
−
ω − k·v ω + k·v dωdΩ
π2c
π 2 c (1 − β 2 cos2 θ)2
ω
poichè nel vuoto k =
c n ed n·v = vcosθ .
(2.1.3)
2.1.2 Metodo dei fotoni virtuali
Il meccanismo di emissione della radiazione può essere descritto con il metodo di WeizsackerWilliams o metodo dei fotoni virtuali [13]. Il punto cruciale in tale metodo sta nel sostituire
il campo della particella con il campo di un'onda piana. Consideriamo un elettrone che si
muove uniformemente con velocità
v lungo l'asse z,
chiamiamo con K' il sistema di riferi-
mento a riposo della particella e K il sistema solidale con l'osservatore che si trova nel punto
P ≡(0, ρ, 0)
dalla carica.
I campi elettrici e magnetici nel sistema K' risentono del boost
di Lorentz lungo l'asse z e vengono trasformati secondo le trasformazioni di Lorentz, come
anche le coordinate del punto P:
Ex 0 = γ(Ex + βBy )
Bx 0 = γ(Bx + βEy )
x0 = x = 0
Ey 0 = γ(Ey − βBx )
By 0 = γ(By − βEx )
y0 = y = ρ
Ez 0 = Ez
Bz 0 = Bz
z 0 = γ(z − vt) = −γvt
v t0 = γ t − 2 z = γt
c
(2.1.4)
9
Cap. 2 La Radiazione di Transizione
2.2 La Radiazione di Transizione Coerente
Da queste relazioni e da quelle inverse è possibile ricavare le espressioni delle componenti
non nulle dei campi.
Dato che in K' il campo magnetico e la componente x del campo
elettrico sono nulli, il campo elettrico in K presenterà due componenti,
Ep (Ez )
ed
En (Ey ),
rispettivamente parallela e normale alle direzione del moto. Dalle trasformazioni di Lorentz
Ey = γEy 0 ; Ez = Ez 0 , perciò l'intensità del campo nella direzione traversa
quella longitudinale di un fattore γ , il che conferma l'ipotesi di sostituire il
dei campi si ha che
è maggiore di
campo di una particella con quello di un'onda di luce in quanto il campo elettromagnetico di
un'onda di luce presenta solo componente traversa, mentre quello di una particella anche una
γ 1.
componente longitudinale che però si può trascurare per
Perciò, dalla trasformata
di Fourier del campo elettrico radiale otteniamo il contenuto armonico del campo elettrico
che varia nel tempo:
Z
e ρ ∞
e−iωt
ρω
eω
En (ω) = γ
dt
(2.1.5)
=
K1
3
2
4πε0 2π −∞ (ρ2 + γ 2 v 2 t2 ) 23
γv
(2π) 2 ε0 γv
ρω
Dove K1
è la funzione di Bessel modicata, il cui andamento è decrescente. Se
γv
assumiamo β ∼ 1, viene emessa radiazione se è soddisfatta la seguente condizione:
ρω
γλ
< 1 ⇐⇒ ρ ≤
γv
2π
Il campo è dunque connato in un disco di raggio
(2.1.6)
γλ.
Questo risultato porrà dei limiti
sull'applicazione della formula per una targhetta di dimensioni innite.
Se la targhetta
presenta dimensioni nite, una particella che passa ad una distanza vicina ai suoi bordi
produce Radiazione di Dirazione (DR) se la distanza
ρ≤
ρ
dalla targhetta è tale che:
γλ
2π
Essendo dunque l'estensione del campo di una particella dell'ordine di
(2.1.7)
γλ,
per elettroni
ad alte energie che emettono radiazione di lunghezze d'onda lunghe, tale valore potrebbe
superare le dimensioni della targhetta, e ciò comporterà un taglio alle basse frequenze nello
spettro di emissione misurato.
2.2
La Radiazione di Transizione Coerente
La radiazione di transizione prodotta dagli elettroni che appartengono ad una distribuzione di cariche di un pacchetto più corto della lunghezza d'onda misurata mostra caratteristiche di coerenza che derivano dal fatto che la separazione in fase delle sorgenti è trascurabile
rispetto al periodo dell'onda.
2.2.1 Utilizzo della CTR per determinare la forma del pacchetto
Si può calcolare la radiazione di transizione coerente scrivendo lo spettro di energia di
radiazione dovuto agli eetti di coerenza dati dalla presenza di più particelle in questo modo:
10
Cap. 2 La Radiazione di Transizione
dove
R
F (ω) = 2.2 La Radiazione di Transizione Coerente
d2 U
d2 U Itot (ω) =
' N (N − 1)F (ω)
dωdΩ
dωdΩ sp
2
ω
drS(r)ei( c )n·r è il fattore di forma del pacchetto, S(r)
di distribuzione normalizzata delle particelle all'interno del pacchetto,
θ ∼ 0,
nkr cosicchè:
è la funzione
n è il versore lungo
r il vettore posizione dell'elettrone rispetto
la direzione di osservazione della radiazione ed
al centro del pacchetto.
(2.2.1)
A piccoli angoli di osservazione, dove avviene la misura, si ha
R
2
ω
F (ω) = dzS(z)ei( c )z dove,
S(z) =
R
r) è la funzione di
⊥ dxdyS(
distribuzione longitudinale, e l'integrazione viene fatta su tutte le fette perpendicolari a z.
In un tipico esperimento che utilizza un interferometro per misurare lo spettro in frequenza della radiazione si può ricavare il fattore di forma longitudinale e quindi avere informazioni sulla funzione di distribuzione longitudinale del pacchetto, che può essere ricavata
dalla trasformata inversa di Fourier del fattore di forma:
S(z) =
1
πc
Z
∞
dω
0
ωz p
F (ω) cos
c
Resta solo il termine del coseno in quanto
S(z)
(2.2.2)
è reale. Perciò in questo modo non si
possono avere informazioni su eventuali asimmetrie del pacchetto proprio perché il coseno è
una funzione pari [15].
2.2.2 Eetti di dirazione dovuti alle dimensioni nite della targhetta
Le dimensioni della targhetta usata per produrre radiazione possono essere un fattore
che denisce lo spettro e le caratteristiche angolari della radiazione emessa [16]. L'eetto
sullo spettro dovuto ad esse si ha quando il parametro
trasversali della targhetta.
Per CTR a
λ ≈ 1 mm
γλ
è maggiore delle dimensioni
esso si verica anche a
γ
di poche
decine. Lo spettro TR dovuto ad una targhetta nita è una funzione complessa dell'energia
del fascio, dell'estensione della targhetta, della frequenza, dell'angolo di emissione, ed è
quindi comunque molto diversa dallo spettro piatto dato dalla formula di Ginzburg-Frank.
Infatti, in tal caso, nello spettro vengono soppresse le basse frequenze e questo taglio dello
spettro porta un incertezza considerevole sulla determinazione della lunghezza e della forma
del pacchetto. Si può analizzare il problema supponendo che le dimensioni della targhetta
inuiscano solo sulla radiazione emessa ed applicando la teoria della dirazione di Kircho,
che descrive la propagazione del campo generato da una carica sul conne tra una zona
di vuoto ed un materiale perfettamente conduttore. Considerando una targhetta circolare
si può ricavare un espressione per la sorgente analizzando le componenti del campo TR
prodotto da una particella di carica q che colpisce con velocità v il centro della targhetta,
ad un punto arbitrario
P (x, y)
nel piano del rivelatore nell'approssimazione di Fresnel. Un
modo per poterlo calcolare è posizionare un diaframma ad una distanza a dalla targhetta e
poi porre un rivelatore ad una distanza b dal diaframma, e si ottiene la formula 2.2.3:
11
Cap. 2 La Radiazione di Transizione
2.2 La Radiazione di Transizione Coerente
Z
Z
κ2 J1 (κρs )
kρ
2q k cos χ
dρs ρs dκ 2
Ex,y (P, ω) = −
J1
ρs
v am sin χ
κ + α2
am
Dove
χ
è la coordinata polare del punto P sul piano del rivelatore,
ρs
(2.2.3)
è la coordinata
κ quella della radiazione che si sta propagando dopo la targhetta,
ω
α = vγ
. L'integrale in κ fornisce la formula che identica la sorgente
radiale della sorgente,
mentre
m = 1+
b
a e
del campo:
Z
k
dκ
0
Dove
K1
κ2 J1 (κρs )
J0 (kρs )
' αK1 (αρs ) −
κ2 + α2
ρs
(2.2.4)
è la funzione di Bessel di prima specie modicata. L'analisi della formula rivela
che il secondo termine sulla destra ha maggior peso nella regione
il comportamento irregolare del primo termine per
ρ → 0,
ρs ≤ λ, dove esso compensa
mentre oltre questa regione esso
fornisce solo una modulazione decrescente del primo termine.
Inne integrando su
ρs ,
il
campo prodotto risulta essere:
2q k cos χ
Ex,y (P, ω) = −
Φ(r, α, k, δ)
v am sin χ
(2.2.5)
con
Φ(r, α, k, δ) =
δ
αr
− 2
[δK1 (αr)J0 (δr) + αJ1 (δr)K0 (αr)] +
2
α + δ2
Z+ δ
α2
r
−
(2.2.6)
dρs J0 (kρs )J1 (δρs )
0
e
δ=
kρ
am
(2.2.7)
Lo spettro di potenza dierenziale è dato da:
Sω,P (ρ) =
q2
k2
Φ2 (r, α, k, δ)
π 2 c β 2 a2 m2
(2.2.8)
Lo spettro totale registrato dal rivelatore si trova integrando sull'apertura del rivelatore:
Z
Sω,P = 2π
d
dρρSω,P (ρ)
(2.2.9)
0
Se si va ad analizzare lo spettro a dierenti energie del fascio, si vede una distorsione
dello spettro che cresce ad alte energie. Questo si può spiegare con il fatto che il campo della
particella, che scala come
γλ nella direzione trasversa, crescendo con l'aumentare dell'energia,
diventa più largo delle dimensione della targhetta, in modo che la sua porzione più esterna,
che contiene le componenti a basse frequenze, contribuisca sempre di meno alla TR. Dalla
12
Cap. 2 La Radiazione di Transizione
condizione:
γλ ≥ r
(ω ≤ cγ/r)
2.2 La Radiazione di Transizione Coerente
che fornisce la regione dello spettro inuenzata da tale
eetto, segue che questo dominio si espande verso le alte frequenze linearmente con
Figura 2.2:
Spettro
Sω
γ.
della TR per una targhetta di raggio 20 mm, normalizzato sul
corrispondente spettro dato nel caso di schermo innito
Sω inf
per dierenti valori di energia
del fascio.
13
Capitolo 3
Analisi del trasporto della radiazione
3.1
Descrizione dell'apparato sperimentale
Figura 3.1: Schema delle sorgenti THz a SPARC-LAB.
La stazione THz dove sono state eettuate le misure per questa tesi è posizionata alla
ne del LINAC di SPARC. La radiazione viene generata facendo impattare i pacchetti di
elettroni, accelerati a velocità relativistiche dal foto iniettore, su una targhetta di silicio,
ricoperta con uno strato di alluminio spesso 40 nm di dimensioni 30 mm x 30 mm, che è
posta all'interno di una camera mantenuta in vuoto. Essa è orientata rispetto alla direzione
di propagazione degli elettroni con un angolo pari a
45◦ .
In questo modo, la radiazione THz
generata all'indietro è diretta ortogonalmente rispetto alla direzione incidente del fascio di
elettroni.
Ricordiamo che le dimensioni nite della targhetta e la geometria della camera
introducono un taglio a bassa frequenza nello spettro della radiazione THz prodotta.
Successivamente, la radiazione THz generata attraversa una nestra di cristallo di quarzo,
tagliato lungo il suo asse z e posta a 72 mm dalla targhetta, che lascia passare circa l'80%
della radiazione.
14
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.1 Descrizione dell'apparato sperimentale
Figura 3.2: Foto dell'apparato sperimentale adottato per caratterizzare la radiazione THz
prodotta a SPARC-LAB: (1)secondo parabolico, (2) rivelatore con ltro montato (3) (a
sinistra ). Rappresentazione schematica dello stesso apparato (a destra ).
◦
In seguito la radiazione viene raccolta da un primo specchio parabolico fuori asse (90 ),
posto a 75 mm dalla nestra e con una focale di 152 mm, che la collima su uno specchio
piano posto a
45◦
rispetto al piano del banco ottico di dimensioni 5 cm x 5 cm, distante
100 mm dal parabolico. Il fascio di radiazione THz collimato percorre altri 100 mm dove
incontra un secondo specchio parabolico, sempre fuori asse come il primo e con una focale
di 100 mm, che lo focalizza su un rivelatore piroelettrico (posto infatti a 100 mm dall'ultimo
specchio parabolico), sensibile a frequenze comprese nell'intervallo tra 0.1 e 30 THz, grazie al
quale è possibile misurare l'intensità della radiazione incidente (vedi Figura 3.2). Nel punto
di ingresso della radiazione sul rivelatore è montato un ltro passa-banda centrato attorno
alla frequenza nominale di 1 THz, così da selezionare la porzione dello spettro THz che si
intende misurare. Il rivelatore è posizionato in modo tale che la radiazione THz, convogliata
dallo specchio parabolico, risulti focalizzata sul sensore piroelettrico. Il segnale in uscita dal
rivelatore è proporzionale al valore dell'intensità della radiazione integrata sull'intervallo di
frequenze acquisito.
Figura 3.3: Funzione di trasferimento del ltro ad 1 THz.
15
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.2 Programma di simulazione: THz Transport
Il rivelatore piroelettrico utilizzato è una Pyrocam
T M III e si basa su un cristallo di
LiTaO3 e rientra nella categoria dei rivelatori termici. Al di sotto della temperatura di Curie
i materiali ferromagnetici mostrano un'ampia polarizzazione elettrica spontanea. Se la temperatura viene alterata da una radiazione incidente, la polarizzazione cambia e, posizionando
degli elettrodi nei due lati opposti di un sottile dielettrico, formando un condensatore, la
variazione di polarizzazione può essere osservata come un segnale elettrico. La Pyrocam
TM
III fornisce una matrice bidimensionale costituita da 124 x 124 pixels, ognuno di dimensioni
100
µm
3.2
x 100
µm,
da convertire in un'immagine nale di dimensioni 12.4 mm x 12.4 mm.
Programma di simulazione: THz Transport
THz Transport è un codice sviluppato in ambiente Mathematica da Bernhard Schmidt
presso i laboratori di DESY ad Amburgo.
Lo scopo di THz Transport è quello di propa-
gare radiazione elettromagnetica delle lunghezze d'onda del THz attraverso una sequenza
di elementi ottici piani. La sua applicazione principale è la generazione ed il trasporto di
CTR prodotta da schermi metallici.
Si rivela perciò un utile strumento per ottimizzare
i parametri di ogni componente ottico così da massimizzare la trasmittanza (rapporto tra
intensità incidente ed intensità trasmessa) alla posizione nale nell'intervallo spettrale del
THz. La trasmittanza di un sistema THz Transport cambia con la frequenza, infatti nella
propagazione della radiazione il codice tiene conto delle dimensioni nite dei vari elementi
ottici, come anche delle dimensioni nite della targhetta, che limitano la trasmittanza alle
basse frequenze.
Il concetto fondamentale su cui si basa questo codice per generare e propagare la radiazione è la formulazione di Kirchho della teoria della dirazione scalare.
Se Q indica un
punto nel piano sorgente e P un punto del piano di destinazione (immagine), la componente
di Fourier con frequenza
ω
del campo elettrico è data da:
ik
Ẽ(P, ω) = −
2π
dove
η
e
ξ
ZZ
dηdξ
source
1 ikR
e Ẽ(Q, ω)
R
(3.2.1)
sono le coordinate della sorgente e R la lunghezza del vettore tra il punto
sorgente Q e il punto immagine P. Questa formulazione si basa su due approssimazioni: la
prima prevede che
kR =
2πR
λ
1, ossia che la distanza tra la sorgente e il piano immagine sia
sucientemente grande rispetto alla lunghezza d'onda, la seconda espande la distanza R no
al secondo ordine intorno D, che identica la distanza tra la sorgente e il piano dell'immagine
lungo l'asse ottico (approssimazione di Fresnel). Perciò, nchè osserviamo la radiazione a
grandi distanze dalla sorgente, l'approssimazione di Fraunhofer funziona più che bene, ma
quando la distanza diminuisce bisogna tener conto delle formule di dirazione di Fresnel.
Questo ntanto che le dimensioni trasversali di sorgente e immagine sono piccole rispetto
alla loro distanza e nché tutte le distanze (longitudinale e trasversale) sono grandi rispetto
alla lunghezza d'onda. Ma quando ci troviamo a distanze più corte, dobbiamo analizzare il
problema come l'espansione di onde piane. Il campo di radiazione che arriva è spazialmente
16
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.2 Programma di simulazione: THz Transport
descritto da una trasformata di Fourier 2D, cioè si passa dallo spazio delle congurazioni
{x, y}
allo spazio dei vettori d'onda
{kx , ky }
. Ognuno di questi componenti di Fourier rap-
presenta un'onda piana che viaggia nella direzione
{kx , ky , kz }
con
kz =
q
k 2 − kx 2 − ky 2 .
Dal momento che le diverse componenti viaggiano in direzioni diverse, questo tipo di espansione è talvolta detta
angolare. La propagazione del campo viene ora eseguita nello spazio
di Fourier moltiplicandolo
√con il corretto propagatore o termine di fase che viene semplicemente dato da
eikz z = ei
k2 −kx 2 −ky 2 z . Applicando ora la trasformata di Fourier inversa si
riscrive il campo risultante nello spazio delle congurazioni. E 'una buona approssimazione
se il raggio di curvatura delle superci d'onda è molto più grande della distanza tra sorgente
e osservatore.
3.2.1 La Radiazione di Transizione
Consideriamo un fascio di elettroni di 100 MeV
0.1 mm, che incide su una targhetta quadrata
45◦ rispetto alla direzione incidente del fascio,
(γ ≈ 195.6),
uniforme, di raggio
rb =
(3x3) cm. Se la targhetta viene ruotata di
la FTR e la BTR si propagano come nella
Figura 3.4.
Figura 3.4: Propagazione della radiazione di transizione in caso di targhetta orientata a
Fissata la frequenza di 1 THz
(λ = 300 µm),
45◦ .
osserviamo lo spettro della radiazione che
si ha ad una distanza d=10 cm nel caso in cui il fascio incida normalmente sulla targhetta
come riportato in Figura 3.5.
Osservando invece lo spettro della FTR prodotta nel caso in cui il fascio impatta sulla
targhetta con un angolazione di
45◦
(Figura 3.6), si può notare un'asimmetria nei picchi
di intensità. Questo perché nel caso di incidenza obliqua, la distribuzione angolare ha una
dipendenza dalla coordinata azimutale, ossia dalla coordinata nel piano xy ortogonale all'asse
del fascio, e quindi ha una asimmetria in tal direzione. Poiché il fascio ha un'incidenza obliqua
sulla targhetta nel piano xz, questa asimmetria si ha solo lungo l'asse x, e non lungo l'asse
y.
17
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.2 Programma di simulazione: THz Transport
Figura 3.5: Distribuzione della intensità in funzione dell'angolo normalizzato in unità di
lungo l'asse x ad una distanza di 10 cm dalla targhetta di dimensioni (3x3) cm posta a
γθ,
90◦
rispetto al fascio incidente.
Figura 3.6: Distribuzione della intensità in funzione dell'angolo normalizzato in unità di
lungo l'asse x ad una distanza di 10 cm dalla targhetta di dimensioni (3x3) cm posta a
γθ,
45◦
rispetto al fascio incidente.
18
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.2 Programma di simulazione: THz Transport
Formula di Ginzburg-Frank
Finora abbiamo mostrato come si comporta la radiazione quando ci troviamo a distanze
piccole in confronto alle dimensioni della targhetta. La formula di Ginzburg-Frank è valida
nel limite in cui la dimensione della targhetta sia molto maggiore della dimensione del campo
della particella
r γλ ed in cui valga la relazione γ 2 λ R, dove R è la distanza del punto di
osservazione dalla targhetta. Sulla base di quest'ultima relazione possiamo stimare il limite
tra l'approssimazione di campo vicino e quella di campo lontano.
Facendo un confronto
tra lo spettro dell'intensità della radiazione prodotta da una targhetta di dimensioni nite
nel caso di campo vicino, con la distribuzione angolare dell'intensità TR data dalla formula
di Ginzburg-Frank, si vede che quest'ultima non è una buona approssimazione, in quanto
a piccole distanza il fatto che la targhetta abbia dimensioni nite inuisce sull'intensità
producendo anche un allargamento dei picchi. Nell'approssimazione di campo lontano invece
lo spettro dell'intensità dato da una targhetta nita ha un andamento molto più simile a
quello dato dalla formula di Ginzburg-Frank, come mostra la Figura 3.7.
Figura 3.7: Confronto tra la formula di Ginzburg-Frank e lo spettro della radiazione dato
da un fascio che incide normalmente su una targhetta di dimensioni nite (3x3) cm ad una
distanza di 10 cm (a sinistra ) e ad una distanza di 2 m (a destra ).
Eetti dovuti alla targhetta nita
Poichè il campo della particella, che è la sorgente di quello di radiazione, ha una dimensione traversa dell'ordine di
γλ,
se la coordinata r identica le dimensioni della targhetta,
avremo che l'estensione della targhetta inuenzerà lo spettro se essa è minore o dell'ordine
di questa lunghezza caratteristica. Se
r γλ,
allora gli eetti della targhetta sullo spettro
possono considerarsi quasi trascurabili. Infatti si può osservare che se si va a frequenze più
alte (ottiche), quindi lunghezze d'onda minori, mantenendo sse le dimensioni della targhetta, l'asimmetria tra i picchi di intensità nel caso della targhetta a
45◦
non è più presente.
Eetto analogo si ha se variamo l'energia del fascio, infatti anche a valori di
γ
molto bassi
non si ha più asimmetria. Osserviamo quindi il confronto tra i due spettri prima nel caso
che la frequenza sia pari a 100 THz e poi nel caso che l'energia del fascio sia di 1MeV come
riportato nella Figura 3.8.
19
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.3 Elaborazione dati
Figura 3.8: Confronto tra gli spettri della radiazione prodotta da una targhetta (3x3) cm
orientata a
45◦
e a
90◦
nel caso che la frequenza sia 100 THz (a sinistra ) e nel caso che
l'energia del fascio sia di 1 MeV (a destra ).
3.3
Elaborazione dati
L'ottica di trasporto descritta nel paragrafo 3.1 è stata realizzata al ne di studiare la propagazione della radiazione lungo tale cammino ottico, per questo si è misurata la radiazione
che emerge dal secondo paraboloide a varie distanze da quest'ultimo per capire l'evoluzione
della radiazione. In particolare in questa tesi è stata fatta l'analisi dati e la simulazione per
le misure prese nella posizione che corrisponde al fuoco del secondo paraboloide. Infatti gli
specchi sono stati posizionati in maniera tale che la targhetta si trovasse nel fuoco del primo
paraboloide (di focale 152 mm), mentre il rivelatore si trovasse nel fuoco del secondo (di focale 100 mm). In questo modo, il sistema ottico realizzato è in grado di fornirci l'immagine
della sorgente del campo di radiazione, come mostra la Figura 3.9.
Figura 3.9: Schema del trasporto della radiazione attraverso il sistema ottico utilizzato, in
cui sono specicate le distanze tra i diversi elementi.
Nei seguenti paragra è descritta l'analisi delle misure e la simulazione realizzata anchè
si possa fare un confronto tra i dati sperimentali ed un modello teorico del sistema.
20
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.3 Elaborazione dati
3.3.1 Misure Sperimentali
Inizialmente è stato caratterizzato il fascio, denendo l'energia a cui si è lavorato,114
MeV, la carica del pacchetto di 410 pC e la dimensione trasversale del pacchetto, circa
200 µm,
assumendo la distribuzione di carica gaussiana. In seguito sono state eettuate 20
misurazioni con il rivelatore posizionato nel fuoco del secondo paraboloide. L'elaborazione
dei dati è stata svolta con l'ausilio del software MATLAB, un programma di elaborazione
numerica.
Il rivelatore fornisce una matrice bidimensionale 124x124, dove ogni elemento
di matrice ha dimensioni 100
µm
x 100
µm
e corrisponde ad un pixel.
Per migliorare il
rapporto segnale rumore è stata fatta una media tra le varie misure e si è scelta una regione
di interesse dell'ordine di 101x101 pixels (Figura 3.10).
Per quanto riguarda gli errori, per le coordiante spaziali è stata stimata un'incertezza pari
alla metà della dimensione del pixel, ossia
∆x = 50 µm.
Per l'intensità invece, considerando
il fatto che l'intensità misurata corrisponde ad un conteggio di fotoni della radiazione, il
numero di fotoni raccolti dal rivelatore segue la statistica di Poisson, perciò si è valutato
un errore pari alla radice quadra del numero di conteggi, quindi al valore dell'intensità
corrispondente ad ogni punto. Quello che si osserva è l'immagine del campo della sorgente.
Da questa è stato possibile estrarre il prolo lungo la diagonale della distribuzione, quindi
a
45◦ ,
riportato in Figura 3.11.
È importante estrarre il prolo sulla diagonale perchè la
◦
distribuzione è ruotata di 45 dal sitema ottico e su questa linea sono presenti i massimi di
intensità del segnale.
Figura 3.10: Distribuzione dell'intensità della radiazione misurata sperimentalmente utilizzando un ltro ad 1THz e posizionando il rivelatore nel fuoco del secondo paraboloide. Sugli
assi sono rappresentati i pixels di dimensioni 100
µm
x 100
µm
e la scala dell'intensità è in
unità arbitrarie.
21
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.3 Elaborazione dati
Figura 3.11: Prolo estratto lungo la diagonale della distribuzione d'intensità della radiazione
misurata sperimentalmente.
3.3.2 Simulazione
Utilizzando il programma THz Transport, note le informazioni sul fascio, si è potuta
simulare l'ottica di trasporto.
Esso è in grado di ricostruire il trasporto della radiazione
per una sola frequenza alla volta. Per tale motivo è stato realizzato un ciclo per generare
la radiazione alle dierenti lunghezze d'onda, ed altri cicli per simulare il trasporto, in
particolare uno per ogni componente ottico del sistema.
In questo modo si sono ricavate
le matrici delle distribuzioni d'intensità a dierenti frequenze. In seguito è stata fatta una
media pesata delle varie distribuzioni usando come peso per ogni frequenza la corrispondente
trasmittanza del ltro. In questo modo si è potuta elaborare una simulazione che tenesse
conto del fatto che la radiazione osservata non è monocromatica, considerando così anche
la presenza del ltro. Elaborata l'immagine nale, come per i dati sperimentali, ne è stato
estratto il prolo a
45◦ ,
per ottenere un prolo consistente con quello ricavato dalle misure.
Osservando la Figura 3.12 della distribuzione simulata, si può notare che essa appare
estremamente più uniforme rispetto a quella misurata sperimentalmente.
La discrepanza
si nota anche facendo il confronto tra i due proli (Figura 3.13), da questo infatti si vede
che il prolo teorico presenta due picchi praticamente simmetrici a dierenza del prolo
sperimentale, dove essi sono fortemente asimmetrici.
Un'altra osservazione che si può fare su questo confronto riguarda il fatto che la radiazione
misurata non vada a zero al centro. La radiazione deve essere nulla al centro in quanto il
sistema sta emettendo in maniera coerente, perciò le componenti del campo delle particelle
del fascio si annullano nell'origine.
Quindi, il fatto che nelle misure sperimentali ciò non
accada può esser spiegato considerando che l'intensità della radiazione ha sì una dipendenza
dalla produzione di radiazione coerente che va come
N 2,
ma ha una dipendenza anche da
22
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.3 Elaborazione dati
quella incoerente, lineare in N, quindi il fatto che le particelle non presentino una dierenza
di fase può far sì che la radiazione non sia nulla nell'origine.
L'obbiettivo quindi ora è cercare di capire cos'è che causa l'asimmetria dei picchi e cercare
di riprodurla tramite la simulazione.
Figura 3.12:
Confronto tra la distribuzione dell'intensità della radiazione sperimentale e
quella simulata con THz Transport utilizzando un ltro ad 1THz ed osservando la radiazione
nel fuoco del secondo paraboloide. Sugli assi sono rappresentati i pixels di dimensioni 100
µm
x 100
µm
e la scala dell'intensità è in unità arbitrarie.
Figura 3.13: Confronto tra il prolo sperimentale ed il prolo estratto lungo la diagonale
della distribuzione d'intensità della radiazione simulata.
Molto probabilmente l'asimmetria potrebbe esser causata da un mancato allineamento
dei vari elementi.
Infatti se la radiazione impatta sugli specchi parabolici con una certa
angolazione rispetto al loro asse, o in una posizione leggermente decentrata, questo può dar
vita a delle aberrazioni, distorcendo così l'immagine.
Per avvalorare questa ipotesi sono
state apportate delle modiche alla simulazione anchè si riuscisse a riprodurre il prolo
23
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
sperimentale.
3.3 Elaborazione dati
Il sistema è costituito da due specchi parabolici, perciò è possibile che la
distorsione dell'immagine sia causata dal disallineamento di uno o di entrambi gli specchi.
Si è provato in un primo momento a lavorare sul primo specchio, ma è risultato dalla
simulazione che anche un piccolissimo disassamento (meno di 0.5 mm) restituiva un'immagine completamente distorta, in nessun modo corrispondente ai dati sperimentali. In questo
modo si può aermare con suciente certezza che il primo paraboloide non può essere disallineato. Questa constatazione è ragionevole in quanto allineare il primo parabolico con la
nestra della camera da vuoto e la targhetta è molto più semplice date le inferiori distanze
che lo separano dalla sorgente, mentre allineare gli altri due specchi risulta più complicato.
Per tale ragione si è deciso di operare solo sul secondo specchio parabolico. Innanzitutto
bisogna dire che il programma di simulazione consente di spostare il centro dello specchio
lungo il piano perpendicolare al suo asse (shift ) rispetto al punto di incidenza, e di ruotare
lo specchio attorno al proprio asse verticale e attorno a quello orizzontale (tilt ), non intorno
a quello di incidenza. Perciò per prima cosa sono state eettuate diverse prove per capire in
che modo l'immagine veniva distorta al variare dei dierenti parametri. Quindi sono stati
prima variati tutti singolarmente in tutte le direzioni possibili (sia lungo valori positivi che
negativi), poi sono stati variati a coppie per vedere l'eetto combinato. In questo modo si è
potuto evidenziare che uno spostamento del centro dello specchio lungo la direzione negativa
in x e positiva in y, in particolare
(−5 mm; 5 mm),
produce un'asimmetria dell'intensità
della radiazione lungo la direzione della diagonale (Figura 3.14a); mentre con una rotazione oraria attorno all'asse verticale insieme ad una antioraria attorno a quello orizzontale,
(−0.1 rad; 0.1 rad),
l'eetto che si ottiene è una separazione dell'intensità in due lobi, ma
estende notevolmente le dimensioni dell'immagine, eetto che lo shift non produce. Perciò
si sono ridotti i valori degli angoli anchè si riducessero anche le dimensioni dell'immagine.
Scegliendo come valori per il tilt
(−0.05 rad; 0.05 rad),
oltre ad un ridimensionamento si
ha che i lobi più intensi in cui si separa la radiazione si trovano proprio lungo la diagonale
(Figura 3.14b).
Figura 3.14: Distribuzione dell'intensità della radiazione simulata, variando alcuni parametri
del secondo paraboloide: shift :(−5
mm; 5 mm) (a),tilt :(−0.05 rad; 0.05 rad) (b). Sugli assi
sono rappresentati i pixels di dimensioni 100 µm x 100 µm e la scala dell'intensità è in unità
arbitrarie.
24
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.3 Elaborazione dati
A questo punto si sono combinati insieme gli eetti, sia di shift che di tilt per osservare in
che modo l'immagine venisse modicata. Sono stati trattati diversi casi variando i parametri
no ad ottenere una buona corrispondenza tra la simulazione ed i dati sperimentali, e sono
mostrati in Figura 3.15, insieme al confronto tra i diversi proli ed il prolo sperimentale.
Il primo caso (shift =(−5
mm; 5 mm);tilt =(−0.05 rad; 0.05 rad))
non mostra una buona
correlazione con i dati sperimentali, in quanto presenta un'asimmetria troppo pronunciata e
le dimensioni sono maggiori.
Figura 3.15:
Distribuzione dell'intensità della radiazione simulata, combinando insieme
mm; 5 mm),
tilt :(−0.05 rad; 0.05 rad); (2) shift :(−2 mm; 2 mm), tilt :(−0.05 rad; 0.05 rad); (3)
shift :(−2 mm; 2 mm), tilt :(−0.02 rad; 0.02 rad). Sugli assi sono rappresentati i pixels
di dimensioni 100 µm x 100 µm e la scala dell'intensità è in unità arbitrarie.
dierenti valori dei paramentri del secondo paraboloide:
(1) shift :(−5
Nel secondo caso si è ridotto il valore dello shift per cercare di diminuire l'asimmetria,
scegliendo come valori
(−2 mm; 2 mm).
Si nota un miglioramento rispetto a prima, infatti
l'asimmetria è diminuita, ma ancora non è perfettamente riprodotta ed inoltre il picco più
debole presenta ancora una discrepanza con il dato sperimentale per quanto riguarda la larghezza e la posizione. Nel terzo caso si è ridotto anche il valore del tilt a
(−0.02 rad; 0.02 rad)
ottenendo così un miglior accordo con le misure sperimentali per quanto riguarda l'ampiezza
dei picchi, ma senza riprodurne ancora bene l'asimmetria. Un' ultima operazione di rinitura
ha permesso di riprodurre anche l'asimmetria dei picchi, si è infatti variato leggermente lo
shift :
(−2 mm; 1.5 mm).
25
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.3 Elaborazione dati
Figura 3.16: Confronto tra i dierenti proli estratti lungo la diagonale della distribuzione
d'intensità della radiazione simulata, combinando insieme dierenti valori dei paramentri del
secondo paraboloide.
Figura
3.17:
rimentale
e
de:shift =(−2
pixels di
Confronto
quella
tra
simulata
la
distribuzione
variando
i
dell'intensità
paramentri
del
della
radiazione
secondo
spe-
paraboloi-
mm; 1.5 mm);tilt =(−0.02 rad; 0.02 rad) . Sugli assi sono rappresentati
dimensioni 100 µm x 100 µm e la scala dell'intensità è in unità arbitrarie.
i
26
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.3 Elaborazione dati
Figura 3.18: Confronto tra il prolo sperimentale ed il prolo estratto lungo la diagonale
della distribuzione d'intensità della radiazione simulata variando i paramentri del secondo
paraboloide:shift =(−2
mm; 1.5 mm);tilt =(−0.02 rad; 0.02 rad)
.
In Figura 3.17 è mostrata l'immagine nale ottenuta dalla simulazione con il secondo
paraboloide disallineato e relativo prolo, sempre preso lungo la diagonale(Figura 3.18).
In conclusione è stato possibile riprodurre il prolo sperimentale a patto di modicare
l'allineamento del secondo paraboloide.
Per vericare che i parametri utilizzati per disallineare il secondo paraboloide abbiano
una certa validità, è stato fatto un controllo incrociato confrontando delle altre misure sperimentali prese utilizzando un ltro 3 THz con il rivelatore posizionato a 97 mm dal secondo
paraboloide (quindi non nel fuoco, come nel caso precedente), in quanto in questa posizione, con questo ltro, l'immagine presentava una risoluzione migliore così da poter fare un
confronto ottimale. Anche in questo caso sono state eettuate 20 misurazioni di cui si è poi
fatta la media ed è stata ricostruita e centrata l'immagine (Figura 3.19). Ne è stato inne
estratto il prolo lungo la diagonale (Figura 3.20).
È stata quindi fatta una seconda simulazione a 3 THz impostando sul secondo paraboloide
i parametri trovati in precedenza e dal confronto, mostrato in Figura 3.22, si vede che il prolo
della simulazione, estratto sempre lungo la diagonale, riproduce abbastanza bene il prolo
sperimentale.
Questo controllo avvalora l'ipotesi che l'asimmetria presente nei dati sperimentali sia
causata da un mancato allineamento del secondo paraboloide.
27
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
3.3 Elaborazione dati
Figura 3.19: Distribuzione dell'intensità della radiazione misurata sperimentalmente utilizzando un ltro a 3 THz e posizionando il rivelatore a 97 mm dal secondo paraboloide. Sugli
assi sono rappresentati i pixels di dimensioni 100
µm
x 100
µm
e la scala dell'intensità è in
unità arbitrarie.
Figura 3.20: Prolo estratto lungo la diagonale della distribuzione d'intensità della radiazione
misurata sperimentalmente utilizzando un ltro a 3 THz e posizionando il rivelatore a 97
mm dal secondo paraboloide.
28
Cap. 3 Analisi del trasporto della radiazione
Figura 3.21:
3.3 Elaborazione dati
Confronto tra la distribuzione dell'intensità della radiazione sperimentale e
quella simulata a 3 THz ed a 97 mm dal secondo paraboloide, variando i paramentri del
secondo paraboloide:shift =(−2
mm; 1.5 mm);tilt =(−0.02 rad; 0.02 rad) . Sugli assi sono
µm x 100 µm e la scala dell'intensità è in unità
rappresentati i pixels di dimensioni 100
arbitrarie.
Figura 3.22:
Confronto tra il prolo sperimentale ed il prolo estratto lungo la dia-
gonale della distribuzione d'intensità della radiazione simulata a 3 THz e posizionando il rivelatore a 97mm dal secondo paraboloide,
paraboloide:shift =(−2
variando i paramentri del secondo
mm; 1.5 mm);tilt =(−0.02 rad; 0.02 rad)
.
29
Capitolo 4
Conclusioni
La radiazione THz presenta numerose caratteristiche che l'hanno resa di grande interesse
in dierenti aree di ricerca.
Lo sviluppo tecnologico in questo contesto ha permesso di
superare i problemi che ne rendevano dicile la produzione, ampliandone così il campo di
applicazione.
Per tale motivo, alla facility SPARC-LAB è stata sviluppata una sorgente THz basata
su un LINAC, che produce radiazione THz di alta intensità ed ampiezza di banda regolabile,
tramite Radiazione di Transizione Coerente, facendo impattare un fascio di elettroni su di
una targhetta metallica posta a
45◦
rispetto alla direzione di volo.
In questo lavoro di tesi è stata studiata la propagazione della radiazione lungo il cammino
ottico realizzato per il trasporto della stessa. L'ottica di raccolta prevede un primo specchio
parabolico che raccoglie la radiazione emessa dalla targhetta, seguito da uno specchio piano
che la trasporta, e termina con un secondo parabolico che la collima nel rivelatore, su cui
è possibile montare dei ltri passa banda a dierenti frequenze. Tale sistema è in grado di
fornire l'immagine del campo della sorgente.
Sono state quindi analizzati i dati delle misure della distribuzione spaziale d'intensità
alla ne del sistema, e si è cercato di elaborare un modello teorico che fosse in grado di
simularne la risposta. Dato che il programma di simulazione utilizzato è in grado ricostruire
il trasporto della radiazione per una sola frequenza alla volta, per tener conto della presenza
di un ltro, e quindi della non monocromaticità della radiazione, è stato necessario produrre
diversi cicli per varie frequenze, i cui risultati nali sono stati poi pesati sulla trasmittanza
del ltro.
Si è realizzata una prima simulazione con tutti gli elementi ottici allineati, con ltro ad 1
THz e si è osservata una discrepanza con i dati sperimentali. Per tale motivo si è ipotizzata la
possibilità che gli elementi non fossero perfettamente allineati. Sono state quindi sviluppate
ulteriori simulazioni in cui sono stati volta per volta decentrati e ruotati i vari elementi,
prima singolarmente per capire gli eetti di ogni movimento sull'immagine nale, e poi sono
stati combinati per cercare di riprodurre l'immagine misurata sperimentalmente. Alla ne si
è giunti alla conclusione che il primo parabolico non è disallineato, mentre il secondo presenta
un decentramento rispetto all'asse d'incidenza del campo di
(−2 mm; 1.5 mm)
ed una lieve
30
Cap. 4 Conclusioni
angolazione rispetto al tale direzione di
(−0.02 rad; 0.02 rad).
Per vericare la validità di tale assunzione è stato eettuato un controllo incrociato con
delle altre misure prese a 3 THz ed è stata realizzata una simulazione a tale frequenza in
cui il secondo parabolico presentava i parametri di disallineamento ricavati precedentemente.
Anche in questo caso si è osservato un ottimo accordo tra i dati sperimentali e la simulazione,
sostenendo l'ipotesi che sia presente un disallineamento del secondo paraboloide.
31
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[19] A. Rovere, Spettroscopia Terahertz non lineare su isolanti topologici, Master thesis
33
Ringraziamenti
Desidero ringraziare tutte le persone che hanno collaborato alla stesura di questa tesi, chi
mi ha supportato, e soprattutto sopportato, in questi mesi molto intensi e chi mi è stato
accanto in questi tre anni.
Vorrei quindi innanzitutto ringraziare il Dottor Alessandro Cianchi per avermi assistito
in questo lavoro di tesi, per le tante approfondite spiegazioni sull'argomento, per i suoi
consigli sul presente e sul futuro, per la sua professionalità e la sua meticolosità che mi ha
incentivata a dare sempre di più, e per avermi dato la possibilità di collaborare con un gruppo
di ricerca di alto livello, tra i cui membri tengo a ringraziare la Dottoressa Enrica Chiadroni
e Flavio per la loro disponibilità nel fornirmi informazioni e chiarimenti, fondamentali per
lo svolgimento di questa tesi.
Un grazie speciale alla mia mamma, che mi ha sempre sostenuto nelle mie scelte, sia
professionali che di vita, per essere sempre orgogliosa di me e per volermi bene come solo
una mamma può fare.
Un grazie di cuore al mio danzato, per la sua presenza costante, anche nei momenti di
sconforto, per il suo sostegno e per avermi permesso di raggiungere questo traguardo con
serenità ed amore.
Un grazie a tutta la mia famiglia, in particolare a mio nonno Mimmo, a cui è dedicata
questa tesi, che mi ha sempre spronata a studiare poichè lui non aveva avuto le mie stesse
possibilità, ma al quale non sono mai mancati intelligenza e sapere, e che sarà sempre
orgoglioso di me.
Un grazie a tutti i miei amici, ai miei colleghi che hanno arontato questo cammino
insieme a me, alle persone fantastiche che ho conosciuto in questi anni, a quelle che già
conoscevo e che ancora sono qui con me, ma anche a quelle persone perse di vista e a chi è
stato solo di passaggio, perchè ogni persona incontrata mi ha insegnato qualcosa di nuovo,
direttamente o indirettamente, che mi ha permesso di giungere a questo traguardo.
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