Trasparenze - Sezione di Fisica

Fisica III/Fisica Moderna
Docente: Paolo Giannozzi
Stanza L1-4-BE, Tel.: 0432-558216
e-mail: [email protected]
Ricevimento “ufficiale” Martedı̀ 16:30-18:30
Orario: Martedı̀ 14:30-16:15, Aula 46
Mercoledı̀ 10:30-12:15, Aula 46
Giovedı̀ 8:30-10:15, Aula 46 (solo per recuperi)
Pagina web del corso:
www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisMod/fismod.html
– Typeset by FoilTEX –
Introduzione al corso
Programma: Introduzione a
• Relatività ristretta, meccanica relativistica
• Meccanica Quantistica, equazione di Schroedinger
• Sistemi a molti elettroni, struttura della materia
Libri di Testo:
• Introduction to Electrodynamics, D. J. Griffiths, Prentice-Hall
• Introduction to Quantum Mechanics, D. J. Griffiths, Prentice-Hall
• Elementi di Struttura della Materia, L. Colombo, Hoepli
Richiamo 1: Equazioni di Maxwell
Forma integrale (a sinistra) e differenziale (a destra):
I
q
ρ
E · da =
∇·E=
0
0
I
B · da = 0
∇·B=0
I
∂B
dΦB
∇×E=−
E · dl = −
dt
∂t
I
dΦE
∂E
B · dl = µ0I + µ00
∇ × B = µ0j + µ00
dt
∂t
∂ ∂ ∂
ρ = densità di carica, j = densità di corrente, ∇ ≡
, ,
∂x ∂y ∂z
(1) Legge di Gauss, (2) Assenza cariche magnetiche,
(3) Legge di Faraday, (4) Legge di Ampère e Maxwell.
(1)
(2)
(3)
(4)
Onde Elettromagnetiche
Consideriamo il caso in cui non ci sono né cariche né
correnti. Le equazioni di Maxwell possono essere riscritte come:
2
1
∂
E
2
∇ E− 2 2 = 0
c ∂t
2
∂
B
1
2
∇ B− 2 2 = 0
c ∂t
1
c =
,
µ00
2
∇2 ≡ ∇ · ∇
Queste sono equazioni d’onda, la cui soluzione generale ha la forma
f (k · r − ωt), dove ω = kc. Tale forma è quella di un segnale che si
propaga con velocità c = 299792458 m/s ∼ 3 × 108 m/s in direzione k̂.
Caso “classico”: onda piana monocromatica
E(r, t) = < E0ei(k·r−ωt) , B(r, t) = < B0ei(k·r−ωt) ,
dove E0 · B0 = E0 · k = B0 · k = 0, e E0 = cB0, ω = kc.
Potenziale scalare e vettore
La (2) ci permette di scrivere B tramite il potenziale vettore A:
B=∇×A
(5)
Inseriamo la (5) nella (3), scambiamo l’ordine delle derivate, troviamo
∂A
∇× E+
∂t
∂A
= 0 =⇒ E = −∇φ +
∂t
(6)
dove φ è il potenziale elettrico (scalare) già nota dall’elettrostatica.
La (5) e la (6) ci permettono di esprimere i campi elettrico e magnetico,
e le equazioni di Maxwell, tramite due funzioni: un potenziale scalare φ
ed un potenziale vettore A.
La scelta dei potenziali però non è univoca.
Invarianza di gauge
Si verifica facilmente che i campi sono invarianti (cioè non cambiano)
in seguito ad una qualunque trasformazione dei potenziali che cambi
(φ, A) in (φ0, A0) del tipo seguente:
0
φ
A0
∂f
= φ−
∂t
= A + ∇f
per qualunque funzione f = f (x, y, z, t). Questa si chiama invarianza
di gauge (gauge=calibro in inglese).
L’invarianza di gauge ci permette di imporre la condizione di Lorenz sui
potenziali:
1 ∂φ
∇·A+ 2
=0
c ∂t
o anche altre condizioni, a seconda del problema che vogliamo risolvere.
Equazioni di Maxwell per i potenziali
Usando la condizione di Lorenz e la seguente identità:
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A,
∇2 ≡ ∇ · ∇
si ottengono le equazioni di Maxwell per i potenziali:
1 ∂ 2φ
ρ
∇ φ− 2 2 = −
c ∂t
0
2
∂
A
1
2
∇ A − 2 2 = −µ0j
c ∂t
2
Queste equazioni hanno come soluzione i cosiddetti potenziali ritardati
(perchè nel punto (r, t) dipendono da cariche e correnti al punto (r0, t0),
dove t0 = t − |r − r0|/c). Dai potenziali ritardati si deduce il fenomeno
dell’irraggiamento (o radiazione) da cariche accelerate.
Richiamo 2: Relatività Galileiana
Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun
gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi
anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche
secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta
bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come
quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i
pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti
entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non
più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando
le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii
passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose,
benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosı̀,
fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e
non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li
nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure
sta ferma
Sistemi Inerziali e Legge di Trasformazione Galileiana
Relatività Galileiana: Le leggi della meccanica sono le stesse in tutti
i sistemi inerziali, ovvero per i quali vale la I legge di Newton. Tutti
i sistemi di riferimento che si spostano con velocità V costante (in
modulo e direzione!) rispetto ad un sistema inerziale sono inerziali.
Legge di trasformazione galileiana fra sistemi inerziali:
r0 = r − Vt
da cui
v0 = v − V
Si assume che il tempo sia lo stesso in tutti i sistemi di riferimento
inerziali: t0 = t. Per comodità scegliamo il moto lungo x:
x0 = x − V t,
y 0 = y,
vx0 = vx − V,
vy0 = vy ,
z0 = z
vz0 = vz .
Forze, accelerazioni, II e III legge di Newton rimangono invariate.
(7)
(8)
Tempo e Spazio assoluto secondo Newton
L’idea di Tempo assoluto, implicita nelle
trasformazioni di Galileo, è stata formalizzata da
Newton nei Principia Mathematica:
Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua
absque relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit, alioque
nomine dicitur Duratio
Il tempo assoluto vero e matematico, in sé e per sua natura, fluisce
uniformemente senza relazione a qualcosa di esterno, e con un altro
nome si chiama durata
Questa visione del tempo in Fisica ha resistito due secoli
Newton credeva anche allo Spazio assoluto:
Spatium absolutum natura sua absque relatione ad externum
quodvis semper manet similare & immobile
Lo spazio assoluto, per sua natura privo di relazione a qualcosa di
esterno, rimane sempre simile a se stesso ed immobile [...]
Tuttavia la meccanica newtoniana non ha bisogno di ipotizzare un
sistema di riferimento assoluto: bastano i sistemi di riferimento inerziali.
Ma cosa è un sistema inerziale, in pratica? Il problema non è banale!
Sistemi non inerziali
Se un sistema di riferimento si muove con velocità V = V(t) non
costante rispetto ad un sistema inerziale, si osservano forze apparenti
che agiscono sui corpi. Casi tipici:
• V costante in direzione (varia solo in modulo):
dV
F=m a−
dt
• V = Ω × r (moto rotazionale):
dΩ
F = m a − 2Ω × v − Ω × (Ω × r) −
×r
dt
I tre termini addizionali vanno rispettivamente sotto il nome di forza
di Coriolis, forza centrifuga, forza di Eulero
La Terra è un sistemi non inerziale!
L’effetto delle forze di Coriolis è
visibile a scala macroscopica sulla
circolazione dei venti...
....oppure tramite il Pendolo di Foucault.
Il tradizionale sistema di riferimento delle
stelle fisse (che proprio fisse non sono!) è
tuttavia con ottima approssimazione inerziale.
La sua versione moderna è data dall’
International Celestial Reference Frame,
http://rorf.usno.navy.mil/ICRF/.
Equazioni di Maxwell e Relatività Galileiana
Le equazioni di Maxwell dipendono da una velocità, c, quindi non sono
invarianti rispetto alle trasformazioni galileiane!
In generale: l’elettrodinamica è apparentemente asimmetrica rispetto al sistema di
riferimento. Le cariche in quiete non generano
campo magnetico, quelle in moto sı̀. Un
esempio:
• Anello conduttore che passa davanti ad un magnete: appare una
forza elettromotrice, generata da forze magnetiche (Lorentz)
• Magnete che passa davanti ad un anello conduttore: appare una forza
elettromotrice, generata da forze elettriche (Faraday)
Però la f.e.m. è la stessa nei due casi!
L’ipotesi dell’Etere
Per spiegare come mai l’elettrodinamica e la relatività galileiana non
andavano d’accordo, si ipotizzò che la luce si propagasse (con velocità
c) in un mezzo chiamato etere che fungeva da riferimento assoluto.
Il moto della Terra rispetto all’etere avrebbe
dovuto avere un effetto (piccolo ma visibile)
sulla velocità della luce. Alla fine del 1800,
niente indicava che tale effetto esistesse.
Al contrario, misure sempre più accurate
(Michelson e Morley 1879) indicavano
come la velocità della luce fosse
costante e indipendente dalla velocità
dell’osservatore o della sorgente
Misura della velocità della Luce
Fin dai tempi di Galileo si è cercato di misurare la velocità della luce
con metodi astronomici o con meccanismi ingegnosi:
Bradley: aberrazione
della luce stellare
Fizeau: routa dentata
e specchi
Rœmer: eclissi delle
lune di Giove
Misura della velocità della Luce 2
Anno
1675
1729
1849
1862
1907
1926
1950
1958
1972
1983
Autori, Metodo
Rœmer e Huygens, lune di Giove
James Bradley, aberrazione della luce
Hippolyte Fizeau, ruota dentata
Léon Foucault, specchi ruotanti
Rosa e Dorsey, costanti EM
Albert Michelson, specchi ruotanti
Essen e Gordon-Smith, cavità risonante
K.D. Froome, interferometria radio
Evenson et al., interferometria laser
definizione del metro
c (Km/s)
220 000
301 000
315 000
298 000± 500
299 710±30
299 796± 4
299 792.5±3.0
299 792.50±0.10
299 792.4562±0.0011
299 792.458 (exact)
Principio di Relatività di Einstein
Per spiegare tale incongruenza, furono avanzate varie ipotesi (fra cui
la contrazione di Lorentz), nessuna delle quali convincente. Nel 1905
Einstein risolve l’incongruenza enunciando il Principio di Relatività:
• Le leggi della fisica sono valide in tutti i sistemi di riferimento inerziali
• La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di
riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità della sorgente
Tale principio ci obbliga ad abbandonare le trasformazioni galileiane (se
non come caso limite per V << c) e con esse l’idea (Newtoniana)
di tempo assoluto, a vantaggio delle trasformazioni di Lorentz e del
concetto di spazio-tempo.
Conseguenze del Principio di Relatività
Il Principio di Relatività di Einstein ha delle conseguenze piuttosto
sorprendenti, che possono essere dimostrate sulla base di semplici
esperimenti concettuali:
• Relatività della simultaneità: Due eventi simultanei in un sistema
inerziale non lo sono, in generale, in un altro
Nel sistema di riferimento dell’osservatore in moto, il raggio di luce
colpisce le due pareti simultaneamente; nel sistema dell’osservatore a
terra, ciò non avviene
Conseguenze del Principio di Relatività (2)
• Dilatazione del Tempo: Gli orologi in moto rallentano
Consideriamo un raggio di luce che colpisce il pavimento: questo avviene
0
dopo ∆t
p = h/c nel sistema di riferimento dell’osservatore in moto, in
∆t = h2 + (V ∆t)2/c nel sistema di riferimento dell’osservatore a
terra, da cui
p
0
∆t = 1 − V 2/c2∆t < ∆t
Dilatazione del tempo in azione
Muoni (µ+, µ−):
componenti dei raggi
cosmici, generati da particelle più pesanti
(mesoni) nell’alta atmosfera (∼ 15Km)
I muoni hanno un’energia tale per cui v ∼ c. La
vita media del muone è τ0 = 2.2µs. Distanza
percorsa a velocità c in tale tempo: s = cτ0 =
2.2 × 10−6s·3 × 108m/s = 660m. Eppure il
flusso dei muoni è facilmente misurabile a livello
del suolo. Com’e’ possibile?
La vita media del muone è quella nel sistema di riferimento solidale
con il muone.
In un sistema di riferimento solidale con la terra,
p
τ = τ0/ 1 − v 2/c2 >> τ0!
Conseguenze del Principio di Relatività (3)
• Contrazione delle Lunghezze: Gli oggetti in moto si accorciano
(solo nella direzione della velocità)
Un segnale luminoso viene riflesso dalla parete. Si trova
0
∆x = p
1
1−V
2/c2
dove si è introdotto il fattore γ ≡ p
∆x = γ∆x
1
1−V
2/c2
.