+2 소

EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
Q UALCHE PASSO INDIETRO ...
Indichiamo con Pn ( x ) un polinomio di grado n nella lettera x.
Le radici di Pn ( x ) sono i valori (all’interno di un insieme numerico da specificare, solitamente i numeri reali) che sostituiti alla lettera x nel polinomio rendono nullo il valore del polinomio stesso. Se R( Pn ( x )) è l’insieme delle radici del
polinomio Pn ( x ),
∀ x R ( x R ∈ R( Pn ( x )) ↔ Pn ( x R ) = 0)
n
La scrittura P ( x ) = 0 è un’equazione (per la precisione, un’equazione polinomiale, detta anche equazione algebrica).
Le soluzioni dell’equazione Pn ( x ) = 0 sono i valori (all’interno di un insieme
numerico da specificare, solitamente i numeri reali) che sostituiti alla lettera x
rendono vera l’uguaglianza espressa dall’equazione.
E’ evidente che l’insieme delle soluzioni dell’equazione coincide con l’insieme delle radici del polinomio.
... E UN PASSO AVANTI
Se delle equazioni algebriche di primo grado è sempre possibile trovare una
soluzione reale1, quelle di secondo grado, come si è visto, possono avere o due
soluzioni reali (eventualmente coincidenti, se ∆ = 0), oppure
√ non averne nessuna
(se ∆ < 0). Questo perché nella formula risolutiva compare ∆ che in campo reale
è definita solo se il radicando è non negativo.
E’ possibile però andare oltre il campo √
reale R.
2
Definendo l’unità immaginaria i = −1, una quantità evidentemente non
appartenente ai numeri reali, è possibile calcolare la radice quadrata di numeri
negativi.
√
√
√
Esempio. −16 = −1 · 16 = 4i.
Introducendo quindi numeri dotati di una parte reale e di una parte immaginaria, i numeri complessi (il cui insieme viene denotato dal simbolo C), tutte le
equazioni di secondo grado ammettono due soluzioni.
Esempio. L’equazione x2 − 2x + 2 = 0 in R non ammette soluzioni in quanto
∆ = (−2)2 − 4 · 1 · 2 = 4 − 8 = −4. In C, al contrario, la stessa equazione ha due
soluzioni:
√
+2 ± −4
+2 ± 2i
x1,2 =
=
= 1±i
2
2
Un numero complesso è composto da una parte reale (nell’esempio precedente,
la parte reale di entrambe le soluzioni x1,2 è 1) e da una parte immaginaria (nell’esempio precedente, +1 per la prima soluzione e -1 per la seconda soluzione: la
parte immaginaria è, cioè, il coefficiente dell’unità immaginaria i).
1Che questa poi sia accettabile o meno è da vedersi e dipende dal fatto che per ottenerla si sia dovuto
ricorrere a operazioni che pongano delle condizioni restrittive sui possibili valori dell’incognita.
2Attestata a partire dal XVI sec.; alcuni nomi per approfondire la storia dei numeri immaginari
e complessi: Niccolò Tartaglia, René Descartes, Abraham de Moivre, Leonhard Euler, Carl Friedrich
Gauss.
1
EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
2
I numeri reali possono essere visti come il sottinsieme dei numeri complessi con
parte immaginaria 0.
Due numeri complessi che differiscono solo per il segno della parte immaginaria si dicono numeri complessi coniugati. Il prodotto di un numero complesso per
il suo complesso coniugato dà sempre un numero reale, il quadrato del modulo
dei numeri complessi z e z.
Esempio. Dato il numero z = 4 − 3i, il suo complesso coniugato è z = 4 + 3i. Il
prodotto z · z = 42 + 32 = 25 = 52 dà il quadrato del modulo di ciascuno dei due
numeri, che corrisponde a |z| = |z| = 5.
Per la struttura della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, la
parte immaginaria può solo emergere dalla radice quadrata, che è preceduta da
un segno ±: le soluzioni non reali di un’equazione di secondo grado sono necessariamente una coppia di numeri complessi coniugati.
U N TEOREMA IMPORTANTE
Il Teorema Fondamentale dell’Algebra3 afferma che ogni polinomio Pn (z) di
grado n > 0 a coefficienti complessi4 ammette in C esattamente n radici. Quindi,
un polinomio complesso di terzo grado avrà 3 radici complesse, uno di quinto
grado 5, e via dicendo.
Siccome i reali possono essere visti come un sottinsieme dei complessi, rientrano tra i polinomi oggetto del Teorema anche quelli con coefficienti reali a cui
siamo abituati. Ciò purtroppo non significa che le radici di quest’ultimo sottinsieme dei polinomi complessi siano reali: le radici sono genericamente complesse,
e come può capitare che alcune di esse siano reali (quelle che interessano a noi),
può anche accadere che siano tutte non reali5.
Tutto quanto appena detto per le radici di polinomi ovviamente vale per le
soluzioni delle equazioni ottenute eguagliando detti polinomi a zero.
Le radici non reali dei polinomi compaiono però a coppie (coniugate), come
già visto per le soluzioni delle equazioni di secondo grado. Quindi un’equazione
di grado dispari avrà sempre almeno una soluzione reale, e comunque un numero dispari di soluzioni reali, mentre le equazioni di grado pari avranno un numero pari (eventualmente zero) di soluzioni reali e, per differenza, un corrispettivo
numero pari di soluzioni non reali.
Nella tabella seguente si possono vedere i casi che si possono verificare:
3Si tratta di un teorema le cui conclusioni erano note e sfruttate già nel XVII sec., ma di cui una
dimostrazione rigorosa e corretta venne data solo nel 1799 da Carl Friedrich Gauss.
4Come per i numeri reali l’incognita viene per convenzione indicata con la lettera x, nel campo dei
numeri complessi si usa preferenzialmente la lettera z. L’estensione in campo complesso dei polinomi
passa anche per la possibilità che i coefficienti, cioè le parti numeriche che moltiplicano le incognite
alle loro varie potenze (es: 4z2 − (3i )z + 2 + 3i, in cui i coefficienti sono rispettivamente 4, −3i e 2 + 3i)
siano anch’essi complessi e non puramente reali.
5Si sta “sconfinando” nel mondo dell’algebra complessa, a cui nella scuola superiore non si è abituati; è quindi buona cosa riflettere sui termini usati. Qui la distinzione è fra reali e non reali, entrambi
sottinsiemi (complementari) dei numeri complessi. I primi, come si è detto, sono i numeri complessi
con parte immaginaria uguale a zero, mentre i secondi sono quelli in cui la parte immaginaria è diversa
da zero.
EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
3
grado eq. num. sol. (reali, non reali)
1
(1,0)
2
(2,0) (0,2)
3
(3,0) (1,2)
4
(4,0) (2,2) (0,4)
5
(5,0) (3,2) (1,4)
...
...
Nel risolvere in R equazioni di grado superiore al secondo, sarà importante
quindi, per prima cosa, sapere quante soluzioni si potranno ottenere: se n è il grado dell’equazione, le soluzioni reali saranno al massimo n, e precisamente n − m,
dove m è un numero pari (ovviamente m < n) e dipende dalla particolare equazione (e, risolvendo in C, è il numero di coppie coniugate di soluzioni complesse
non reali).
E QUAZIONI DI TERZO GRADO
Tutte le equazioni di terzo grado hanno almeno una soluzione reale, e possono
averne anche tre.
Polinomi facilmente riducibili. Nel caso sia possibile operare sul polinomio che
costituisce l’equazione un raccoglimento a fattor comune, un raccoglimento parziale, o comunque operare in modo tale da scomporlo in un prodotto di un fattore
di primo grado per uno di secondo grado,
P3 ( x ) = PA1 ( x ) · PB2 ( x )
si può, applicando il teorema di annullamento del prodotto, trovare immediatamente la prima soluzione reale ponendo PA1 ( x ) = 0, mentre le altre (eventuali) due si otterranno risolvendo in R, se possibile, l’equazione di secondo grado
PB2 ( x ) = 0.
Esempio. L’equazione
x3 − x2 + x − 1 = 0
con un raccoglimento parziale diviene
( x − 1) x 2 + 1 = 0
da cui le due equazioni x − 1 = 0 e x2 + 1 = 0. La prima ha ovviamente una
soluzione reale, x1 = 1, mentre la seconda equazione, di secondo grado, ha ∆ < 0
e non ha quindi soluzioni reali. L’equazione di terzo grado ha quindi una sola soluzione reale (mentre considerando le soluzioni in C, ne ha comunque tre,
di cui una puramente reale, e le altre due sono le soluzioni complesse coniugate
dell’equazione di secondo grado).
Equazioni reciproche. Sono equazioni della forma
ax3 + bx2 + bx + a = 0
oppure
ax3 + bx2 − bx − a = 0
Sono facilmente scomponibili ricordando il teorema di Ruffini ed osservando
che
• nelle equazioni del primo tipo le somme dei coefficienti di grado pari e
di grado dispari sono uguali e questo fa sì che il quadrinomio sia scomponibile come ( x + 1) ax2 + (b − a) x + a = 0, con radice x1 = −1 e le
eventuali altre date dall’equazione ax2 + (b − a) x + a;
EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
4
• nelle equazioni del secondo tipo la somma di tutti i coefficienti è uguale a
zero, e questo fa sì, analogamente al caso precedente,
che il quadrinomio
sia scomponibile come ( x − 1) ax2 + (b + a) x + a = 0, con radice x1 =
+1 e le eventuali altre date dall’equazione ax2 + (b + a) x + a = 0.
Esempio. L’equazione x3 − 6x2 + 6x − 1 = 0 è del secondo tipo. E’ quindi scomponibile (ad esempio usando la regola di Ruffini) come ( x − 1) x2 − 5x + 1 = 0,
da cui x1 = 1, mentre le altre due soluzioni possono essere trovate risolvendo
l’equazione di secondo grado x2 − 5x + 1 = 0.
Cubo di un binomio. Il caso più semplice è se il polinomio che costituisce l’equazione è il cubo di un binomio. In questo caso si avranno tre soluzioni reali
coincidenti.
Esempio. L’equazione
x3 − 6x2 + 12x − 8 = 0
si scompone in
( x − 2)3 = 0
che, per il teorema di annullamento del prodotto porta a tre soluzioni reali coincidenti: x1,2,3 = 2.
Somma o differenza di cubi. Altro caso semplice è se il polinomio è un prodotto
notevole riconducibile alla somma o differenza di cubi.
Esempio. L’equazione
8x3 − 27 = 0
si scompone come
(2x − 3) 4x2 + 6x + 9 = 0
dove il secondo fattore è il cosiddetto “falso quadrato”6.
A questo punto il teorema di annullamento del prodotto porta a due equazioni:
una di primo grado, 2x − 3 = 0, che ha come soluzione x1 = 32 , e una di secondo
grado 4x2 + 6x + 9 = 0, che non ha mai soluzioni reali. Il falso quadrato infatti ha
sempre ∆ < 0.
Questo giustifica il procedimento solitamente indicato nei testi per le equazioni
di terzo grado cosiddette “binomie”: portare a secondo membro il termine noto,
dividere per il coefficiente del termine di terzo grado, ed estrarre la radice cubica.
Esempio. Sempre considerando l’equazione dell’esempio precedente,
8x3 = 27
27
x3 =
8
r
27
3
3
x1 =
=
8
2
visto che comunque le altre due possibili soluzioni non esistono per quanto detto
sopra sul falso quadrato.
6Per operare questa scomposizione: una volta riconosciuto che il primo termine è il cubo di 2x, e il
secondo di −3, si scrive il primo fattore che è semplicemente la somma (2x − 3). Quindi si procede con
il “falso quadrato” di questo binomio: il quadrato del primo termine, +4x2 , il quadrato del secondo
termine, +9, e anziché il doppio prodotto del primo e del secondo termine (come richiesto dal quadrato
del binomio) si mette il prodotto semplice (non moltiplicato per due) e cambiato di segno: +6x. Questa
scelta garantisce sempre l’elisione dei termini di primo e secondo grado nel prodotto.
EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
5
Caso generale. Per un’equazione generica
x3 + bx2 + cx + d = 0
esiste7 una formula risolutiva generale, attribuita a Scipione del Ferro e a Girolamo
Cardano, matematici italiani del XVI sec..
Tale soluzione generale è piuttosto macchinosa e viene raramente presentata
nella scuola superiore.
Essa si sviluppa nei seguenti passaggi.
(1) Trasformazione x = u − 3b . Grazie a questa trasformazione, u è la nuova
incognita e l’equazione da risolvere è
3
1
2b
cb
u3 + c − b2 u +
−
+d = 0
3
27
3
ossia
u3 + pu + q = 0
3
cb
in cui p = c − 31 b2 e q = 2b
27 − 3 + d. Il vantaggio di questa equazione, in
cui manca il termine di secondo grado, si vedrà tra breve.
(2) Si considera il fatto che, se
q
q
√
√
3
3
u = m+ n+ m− n
allora
u3 = 3
e cioè
p
3
m2 − n
q
3
m+
√
n+
q
3
m−
√
n + 2m
p
3
u3 = 3 m2 − n u + 2m
che, considerandola come un’equazione, è proprio della forma
√della equa3
zione in u che è necessario risolvere, posto che p = − 3 m2 − n e
q = −2m.
q
(3) Invertendo queste due ultime relazioni, si ottiene che m = − 2 e n =
q2
4
+
p3
27 , che, sostituite nell’espressione di u vista sopra, danno la forma generale
della soluzione:
v
v
s
s
u
u
u
u
3
2
3
3
p
q
p3
q2
t q
t q
u= − +
+
+ − −
+
2
27
4
2
27
4
(4) Si operano le sostituzioni inverse su p e q e infine la trasformazione inversa
su u per ottenere la soluzione x1 .
(5) Dividendo per x − x1 sarà poi possibile ottenere il polinomio di secondo
grado di cui ancora trovare le radici, e verificare se queste ultime sono reali
oppure no.
Esempio. Sia data l’equazione
x3 − 2x2 − 2x − 3 = 0
La trasformazione da operare (punto 1) è: x = u + 23 , in seguito alla quale l’equazione diviene
10
133
u3 − u −
=0
3
27
7Il coefficiente a del termine di terzo grado è necessariamente diverso da zero (si tratterebbe, diver-
samente, di un’equazione di secondo grado); pertanto si può ottenere, dividendo tutta l’equazione per
a un’equazione equivalente in cui vi sono solo tre coefficienti generici anziché quattro.
EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
6
133
La soluzione di questa equazione, usando p = − 10
3 e q = − 27 è data dalla forma:
r
r
117
117
7
3 133
3 133
u = ... =
+
+
−
= ... =
54
54
54
54
3
Applicando ora la trasformazione inversa, si ottiene che
7 2
x1 = + = 3
3 3
da cui, per divisione polinomiale, l’equazione diviene
( x − 3) x 2 + x + 1 = 0
ed è infine possibile verificare che il secondo fattore, avendo ∆ < 0 non aggiunge
a x1 altre soluzioni reali per l’equazione.
E QUAZIONI DI QUARTO GRADO
Come si è visto sopra, le equazioni di quarto grado possono avere al massimo
quattro soluzioni reali, ma anche due o nessuna.
Equazioni biquadratiche. Le equazioni biquadratiche si distinguono perché in
esse sono presenti solo termine di grado pari:
ax4 + bx2 + c = 0
La soluzione passa per la sostituzione u = x2 , che riconduce l’equazione ad una
di secondo grado: au2 + bu + c = 0.
Se ∆ < 0, non si avranno soluzioni reali per u, e pertanto nemmeno per x.
Se ∆ ≥ 0, invece, si avranno due soluzioni reali per u, ma l’esistenza delle
soluzioni reali per x dipenderà dal segno di u1,2 : ad ogni valore non negativo
corrispondono due soluzioni reali per x.
Esempio. L’equazione x4 − 3x2 − 4 = 0 è biquadratica. Si riconduce all’equazione
u2 − 3u − 4 = 0, che ha come soluzioni u1 = 4 e u2 = −1. Per ottenere le soluzioni
in x, occorre operare la sostituzione inversa: x2 = 4, da cui x1,2 = ±2, e x2 = −1,
che invece non ha soluzioni reali. L’equazione ha quindi solo due soluzioni reali.
Quarta potenza del binomio. Ricordando che
( x − a)4 = x4 + 4ax3 + 6a2 x2 + 4a3 x + a4
riconoscendo questa forma nel polinomio che definisce l’equazione è possibile risolvere immediatamente l’equazione stessa ottenendo una soluzione quadrupla:
x1,2,3,4 = a.
Equazioni reciproche di prima specie. Sono del tipo
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0
Evidentemente 0 non può essere una soluzione8. E’ possibile quindi dividere
l’equazione per x2 per ottenere una forma di più facile soluzione:
ax2 + bx + c +
Indicando ora l’incognita y = x +
y2 − 2 = x 2 +
1
.
x2
a
b
+ 2 =0
x
x
1
1
, si nota che y2 = x2 + 2 + 2, e quindi
x
x
8Affinché 0 possa essere una soluzione, il termine noto dovrebbe essere uguale a zero; ma siccome
il termine noto ha lo stesso valore del coefficiente di grado massimo, a = 0 significa che l’equazione
non è più di quarto grado, ma di terzo e per di più con la possibilità di raccogliere la x.
EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
7
L’equazione allora diventa:
1
1
2
a x + 2 +b x+
+c = 0
x
x
cioè
ay2 + by + c − 2a = 0
Risolvendo quest’ultima, si ottengono le soluzioni y1,2 , da cui è possibile trovare
le soluzioni x1,2,3,4 operando la sostituzione inversa
1
x
che risulta in due equazioni di secondo grado da ciascuna delle quali è possibile
ricavare due soluzioni.
y1,2 = x +
Esempio. L’equazione
12x4 + 4x3 − 41x2 + 4x + 12 = 0
si trasforma in
12 y2 − 2 + 4y − 41 = 0
ossia
12y2 + 4y − 65 = 0
13
5
1
13
che ha soluzioni y1 =
e y2 = − . Ponendo poi x +
=
si ricava l’e6
2
x
6
2
3
2
quazione 6x − 13x + 6 = 0, che ha soluzioni x1 = 3 e x2 = 2 . Ponendo invece
1
5
x + = − si arriva all’equazione 2x2 + 5x + 2 = 0, con soluzioni x3 = − 12 e
x
2
x4 = −2.
Equazioni reciproche di seconda specie. Sono della forma
ax4 + bx3 − bx − a = 0
Per le considerazioni fatte per le equazioni reciproche di terzo grado, si può
vedere immediatamente che il polinomio che definisce l’equazione è divisibile sia
per x + 1 che per x − 1. La scomposizione risulta dunque
( x + 1) ( x − 1) ax2 + bx + a = 0
da cui le soluzioni x1,2 = ±1 a cui possono aggiungersi quelle dell’equazione
ax2 + bx + a = 0.
Esempio. L’equazione
15x4 + 34x3 − 34x − 15 = 0
si può scomporre come
( x + 1) ( x − 1) 15x2 + 34x + 15 = 0
3
5
da cui le soluzioni x1,2 = ±1 e x3 = − , x4 = − .
5
3
Caso generale. Esiste una formula generale che permette di risolvere le equazioni
di quarto grado. La si deve a Lodovico Ferrari e Girolamo Cardano, matematici
del XVI secolo.
La formula è assai complessa e di scarsa utilità pratica e didattica e viene pertanto omessa qui come nella quasi totalità dei testi scolastici.
Per chi volesse approfondirla, vi sono diverse fonti anche su internet che la
riportano e la commentano.
EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
8
E QUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL QUARTO
Equazioni binomie. Un’equazione del tipo
xn = a
viene trattata in modo diverso a seconda del grado dell’equazione.
• Se√n è pari e a ≥ 0, si trovano almeno due soluzioni reali
√ nei valori x1,2
√=
± n a. Dividendo poi il polinomio x n − a per ( x − n a) e per ( x + n a)
si otterrà un polinomio di grado n − 2, di cui si troveranno le eventuali
radici reali. Un’equazione di questo genere, tuttavia, può sempre essere
scomposta come differenza di quadrati, ottenendo, per annullamento del
prodotto, due equazioni di grado n2 .
• Se n è pari e a < 0, non ci saranno soluzioni reali.
√
• Se n è dispari, si trova almeno una soluzione
reale nel valore x1 = n a.
√
Dividendo poi il polinomio x n − a per ( x − n a) si otterrà un polinomio di
grado n − 1, di cui si troveranno le eventuali radici reali.
Una tecnica risolutiva, tuttavia, è quella di ricondurre l’equazione binomia a una
forma del tipo
y n = +1
o del tipo
y n = −1
tramite la sostituzione x =
p
n
| a|y, da cui x n = | a| yn .
√
Esempio. L’equazione x5 = 32 ha come soluzione immediata x1 = 5 32 = 2.
Ponendo però x = 2y, l’equazione diventa y5 = 1, con soluzione banale y1 = 1
(corrispondente alla soluzione x1 = 2). Scomponendo ora y5 − 1 = 0 come
( y − 1) y4 + y3 + y2 + y + 1 = 0
la ricerca delle soluzioni relativamente al fattore di quarto grado conduce a un’equazione reciproca di prima specie, di cui sopra. Data la sostituzione t = x + 1x ,
√
le soluzioni sono t2,3 = −1±2 5 , che però non portano a soluzioni reali per la y, e
quindi nemmeno per la x.
L’equazione x6 − 1 = 0 può essere scomposta come
x3 + 1 x3 − 1 = 0
e quindi come
( x + 1) x 2 − x + 1 ( x − 1) x 2 + x − 1 = 0
dove le soluzioni evidenti sono x1,2 = ±1, mentre i trinomi di secondo grado,
“falsi quadrati”, non aggiungono ulteriori soluzioni reali.
Equazioni trinomie. Sono equazioni del tipo
ax2m + bx m + c = 0
con m ∈ N e m > 1. Nel caso m = 2 si hanno le equazioni biquadratiche già
viste tra quelle di quarto grado. In ogni caso la risoluzione passa attraverso la
sostituzione y = x m , la risoluzione dell’equazione di secondo grado in y e infine
la risoluzione dell’equazione binomia x m = y1,2 , che rappresenta la sostituzione
inversa.
EQUAZIONI ALGEBRICHE DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
9
Esempio. L’equazione x6 − 7x3 − 8 = 0, tramite la sostituzione y = x3 diviene
y2 − 7y − 8 = 0
che ammette le soluzioni y1 = +8 e y2 = −1. Le sostituzioni inverse portano alle
equazioni binomie
x 3 = +8
la cui unica soluzione reale è x1 = +2, e
x 3 = −1
che ha come unica soluzione reale x2 = −1.
Caso generale. Il teorema di Abel-Ruffini9dimostra che non esiste una relazione
generale, in termini di operazioni elementari e radicali, che permetta di esprimere
le soluzioni delle equazioni algebriche di grado superiore al quarto.
Questo non significa che tali equazioni non possano essere risolte, ovviamente,
ma solo che non esiste una formula generale che permetta di trovarle (qualora tali
soluzioni esistano) in qualunque caso, come invece avviene per le equazioni di
secondo, terzo e quarto grado.
9Così denominato perché la dimostrazione che Paolo Ruffini ne diede nel 1799 passò inosservata,
mentre il matematico norvegese Niels Abel ne diede una diversa dimostrazione che ebbe maggior
risonanza nel 1824.