Stage di Massa - Esercitazione Teoria dei Numeri Esercizi di Teoria dei Numeri **Determinare tutte le soluzioni di interi relativi a,b: π3 + π3 = 91 **Determinare tutte le coppie tali che A) π2 β 2π = 1 B) π2 β 2π = β1 **Determinare tutte le terne di interi x,y,z tali che 45π₯π¦ 2 = 8π§ 3 , π₯π¦π§ < 1000 *I numeri π, π sono interi positivi. Qual è il minimo valore positivo di π + π affinche 21ππ2 e 15ππ siano entrambi quadrati perfetti? 5. ***Determinare tutti i valori di n,m e p tali che π π + 144 = π 2 1. 2. 3. 4. 1 1 1 2 6. **Determinare tutte le coppie di interi positivi (n,m) tali che π + π β ππ = 5 7. **Trovare il più piccolo intero positive che si può scrivere come somma di 5,6,7 interi consecutivi 8. **Sia n un quadrato perfetto non multiplo di 3 la cui espressione decimale termina con 4. Calcolare il resto di n modulo 15 9. *Determinare la congruenza di 32002 πππ 7 10. **Dimostrare che lβequazione 3π₯ 2 β 2π¦ 2 = 1998 non ha soluzioni intere 11. **Per ogni intero positivo π, sia ππ il massimo comun divisore tra 100 + π2 e 100 + (π + 1)2 Determinare il massimo valore possibile per ππ . 12. *Determinare tutti gli interi n per cui π2 β 7π + 19 è divisibile per π β 3 13. **Determinare per quali interi positivi n si ha che π2003 + 2003π è divisibile per 3. E per 9? 3 5 14. **Determinare tutte le coppie (m, n) di interi positivi tali che π + π = 1 15. **Determinare se esistono terne (π₯, π¦, π§) di numeri interi tali che π§ 2 = (π₯ 2 β 1)(π¦ 2 + 1) + 2007 16. **Determinare il più grande intero π < 2008 per cui 17π β 1 è multiplo di 360. 17. ***Determinare tutte le coppie (π, π) di interi non negativi per cui 6π + 2π + 2 risulta un quadrato perfetto *Facile **Medio ***Difficile o non trattato a lezione Stage di Massa - Esercitazione Teoria dei Numeri Soluzioni Esercizi di Teoria dei Numeri 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. (6, β5) (β5,6) (3,4) (4,3). Scompongo e faccio gli 8 casi A) (3,3) Scomposizione. B) (0,0) e (1,1). Modulo 4 (6,10,15) Ragionare sui fattori contenuti in π₯, π¦, π§ 56 Ragionare sui fattori contenuti in π, π (13,2,5) (20,8,2) (15,4,3) scomposizione (3,10) (4,5) (10,3) (5,4) scomposizione 105 ragionare sui divisori del numero 4 Bezout 4 Fermat Modulo 3. Divisione fra polinomi e algoritmo di Euclide. 401 per n=200 -4, 2, 4, 10 Divisione fra polinomi A)N non multiplo di 3, congruenze modulo 3+Fermat. B)Mai. Congruenze modulo 9+Fermat. Divisione fra polinomi. (18,6) (8,8) (6,10) (4,20) No. Modulo 8. 2004. Fermat Congruenza modulo 4, allora o a=.. o b=β¦ Nel primo caso b<3 perché sennòβ¦Nel secondo caso modulo 7. (0,0) (1,0) (1,3)