Stage di Massa - Esercitazione Teoria dei Numeri

Stage di Massa - Esercitazione Teoria dei
Numeri
Esercizi di Teoria dei Numeri
**Determinare tutte le soluzioni di interi relativi a,b: 𝑎3 + 𝑏3 = 91
**Determinare tutte le coppie tali che A) 𝑛2 − 2𝑚 = 1 B) 𝑛2 − 2𝑚 = −1
**Determinare tutte le terne di interi x,y,z tali che 45𝑥𝑦 2 = 8𝑧 3 , 𝑥𝑦𝑧 < 1000
*I numeri 𝑎, 𝑏 sono interi positivi. Qual è il minimo valore positivo di 𝑎 + 𝑏 affinche 21𝑎𝑏2 e 15𝑎𝑏
siano entrambi quadrati perfetti?
5. ***Determinare tutti i valori di n,m e p tali che 𝑝 𝑛 + 144 = 𝑚 2
1.
2.
3.
4.
1
1
1
2
6. **Determinare tutte le coppie di interi positivi (n,m) tali che 𝑛 + 𝑚 − 𝑛𝑚 = 5
7. **Trovare il più piccolo intero positive che si può scrivere come somma di 5,6,7 interi consecutivi
8. **Sia n un quadrato perfetto non multiplo di 3 la cui espressione decimale termina con 4. Calcolare
il resto di n modulo 15
9. *Determinare la congruenza di 32002 𝑚𝑜𝑑 7
10. **Dimostrare che l’equazione 3𝑥 2 − 2𝑦 2 = 1998 non ha soluzioni intere
11. **Per ogni intero positivo 𝑛, sia 𝑑𝑛 il massimo comun divisore tra 100 + 𝑛2 e 100 + (𝑛 + 1)2
Determinare il massimo valore possibile per 𝑑𝑛 .
12. *Determinare tutti gli interi n per cui 𝑛2 − 7𝑛 + 19 è divisibile per 𝑛 – 3
13. **Determinare per quali interi positivi n si ha che 𝑛2003 + 2003𝑛 è divisibile per 3. E per 9?
3
5
14. **Determinare tutte le coppie (m, n) di interi positivi tali che 𝑚 + 𝑛 = 1
15. **Determinare se esistono terne (𝑥, 𝑦, 𝑧) di numeri interi tali che 𝑧 2 = (𝑥 2 − 1)(𝑦 2 + 1) + 2007
16. **Determinare il più grande intero 𝑛 < 2008 per cui 17𝑛 − 1 è multiplo di 360.
17. ***Determinare tutte le coppie (𝑎, 𝑏) di interi non negativi per cui 6𝑎 + 2𝑏 + 2 risulta un
quadrato perfetto
*Facile
**Medio
***Difficile o non trattato a lezione
Stage di Massa - Esercitazione Teoria dei
Numeri
Soluzioni Esercizi di Teoria dei Numeri
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
(6, −5) (−5,6) (3,4) (4,3). Scompongo e faccio gli 8 casi
A) (3,3) Scomposizione. B) (0,0) e (1,1). Modulo 4
(6,10,15) Ragionare sui fattori contenuti in 𝑥, 𝑦, 𝑧
56 Ragionare sui fattori contenuti in 𝑎, 𝑏
(13,2,5) (20,8,2) (15,4,3) scomposizione
(3,10) (4,5) (10,3) (5,4) scomposizione
105 ragionare sui divisori del numero
4 Bezout
4 Fermat
Modulo 3.
Divisione fra polinomi e algoritmo di Euclide. 401 per n=200
-4, 2, 4, 10 Divisione fra polinomi
A)N non multiplo di 3, congruenze modulo 3+Fermat. B)Mai. Congruenze modulo 9+Fermat.
Divisione fra polinomi. (18,6) (8,8) (6,10) (4,20)
No. Modulo 8.
2004. Fermat
Congruenza modulo 4, allora o a=.. o b=… Nel primo caso b<3 perché sennò…Nel secondo caso
modulo 7. (0,0) (1,0) (1,3)