Stage di Massa - Esercitazione Teoria dei Numeri

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Stage di Massa - Esercitazione Teoria dei
Numeri
Esercizi di Teoria dei Numeri
**Determinare tutte le soluzioni di interi relativi a,b: π‘Ž3 + 𝑏3 = 91
**Determinare tutte le coppie tali che A) 𝑛2 βˆ’ 2π‘š = 1 B) 𝑛2 βˆ’ 2π‘š = βˆ’1
**Determinare tutte le terne di interi x,y,z tali che 45π‘₯𝑦 2 = 8𝑧 3 , π‘₯𝑦𝑧 < 1000
*I numeri π‘Ž, 𝑏 sono interi positivi. Qual è il minimo valore positivo di π‘Ž + 𝑏 affinche 21π‘Žπ‘2 e 15π‘Žπ‘
siano entrambi quadrati perfetti?
5. ***Determinare tutti i valori di n,m e p tali che 𝑝 𝑛 + 144 = π‘š 2
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2
6. **Determinare tutte le coppie di interi positivi (n,m) tali che 𝑛 + π‘š βˆ’ π‘›π‘š = 5
7. **Trovare il più piccolo intero positive che si può scrivere come somma di 5,6,7 interi consecutivi
8. **Sia n un quadrato perfetto non multiplo di 3 la cui espressione decimale termina con 4. Calcolare
il resto di n modulo 15
9. *Determinare la congruenza di 32002 π‘šπ‘œπ‘‘ 7
10. **Dimostrare che l’equazione 3π‘₯ 2 βˆ’ 2𝑦 2 = 1998 non ha soluzioni intere
11. **Per ogni intero positivo 𝑛, sia 𝑑𝑛 il massimo comun divisore tra 100 + 𝑛2 e 100 + (𝑛 + 1)2
Determinare il massimo valore possibile per 𝑑𝑛 .
12. *Determinare tutti gli interi n per cui 𝑛2 βˆ’ 7𝑛 + 19 è divisibile per 𝑛 – 3
13. **Determinare per quali interi positivi n si ha che 𝑛2003 + 2003𝑛 è divisibile per 3. E per 9?
3
5
14. **Determinare tutte le coppie (m, n) di interi positivi tali che π‘š + 𝑛 = 1
15. **Determinare se esistono terne (π‘₯, 𝑦, 𝑧) di numeri interi tali che 𝑧 2 = (π‘₯ 2 βˆ’ 1)(𝑦 2 + 1) + 2007
16. **Determinare il più grande intero 𝑛 < 2008 per cui 17𝑛 βˆ’ 1 è multiplo di 360.
17. ***Determinare tutte le coppie (π‘Ž, 𝑏) di interi non negativi per cui 6π‘Ž + 2𝑏 + 2 risulta un
quadrato perfetto
*Facile
**Medio
***Difficile o non trattato a lezione
Stage di Massa - Esercitazione Teoria dei
Numeri
Soluzioni Esercizi di Teoria dei Numeri
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(6, βˆ’5) (βˆ’5,6) (3,4) (4,3). Scompongo e faccio gli 8 casi
A) (3,3) Scomposizione. B) (0,0) e (1,1). Modulo 4
(6,10,15) Ragionare sui fattori contenuti in π‘₯, 𝑦, 𝑧
56 Ragionare sui fattori contenuti in π‘Ž, 𝑏
(13,2,5) (20,8,2) (15,4,3) scomposizione
(3,10) (4,5) (10,3) (5,4) scomposizione
105 ragionare sui divisori del numero
4 Bezout
4 Fermat
Modulo 3.
Divisione fra polinomi e algoritmo di Euclide. 401 per n=200
-4, 2, 4, 10 Divisione fra polinomi
A)N non multiplo di 3, congruenze modulo 3+Fermat. B)Mai. Congruenze modulo 9+Fermat.
Divisione fra polinomi. (18,6) (8,8) (6,10) (4,20)
No. Modulo 8.
2004. Fermat
Congruenza modulo 4, allora o a=.. o b=… Nel primo caso b<3 perché sennò…Nel secondo caso
modulo 7. (0,0) (1,0) (1,3)
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