La legge di gravitazione universale - Digilander

LA FORZA DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Le tre leggi di Keplero descrivono le proprietà cinematiche di un pianeta in orbita intorno al Sole: esse però
non danno alcuna informazione esplicita sulle proprietà dinamiche del moto, cioè sulla forza di gravità che
determina le orbite dei pianeti. E’ abbastanza evidente che la gravità diminuisce con la distanza fra i corpi: è
anche evidente che essa aumenta con l’aumentare della massa di questi. Ma qual è la formula esatta? Fu solo
grazie al genio di Newton che fu possibile ottenere la formula esatta della forza di gravità. I suoi risultati
vennero pubblicati nel 1685 nella comunicazione De motu e riconfermati nel 1687 nel suo capolavoro
scientifico Principia.
Newton riuscì a risolvere questo problema usando le tre leggi di Keplero. Egli dimostrò che la forza di
gravità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza; usando il III Principio della Dinamica
si può mostrare che essa è anche direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei corpi
interagenti.
Se con FP si indica la gravità che esiste fra la massa P (mP) e S (mS) poste alla distanza R posso scrivere:
FP  mPmS/R2  FP = GmPmS/R2
(1)
La costante di proporzionalità G si chiama costante di gravitazione universale; essa ha il valore
sperimentale G=6,6738410-11m3/(kgs2). In questi brevi appunti ripercorreremo le linee generali del
pensiero newtoniano che portarono a scrivere la formula della gravitazione universale.
LA GRAVITA’ DIMINUISCE CON IL QUADRATO DELLA DISTANZA
Adesso andiamo per gradi: sfruttando le tre Leggi di Keplero dimostreremo l’eq. (1).
I Legge di Keplero
L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Newton fu in gradi trovare la legge di gravitazione universale sfruttando appieno la I legge di Keplero. Non è
possibile seguire la dimostrazione di Newton nella sua generalità di orbita ellittica perché è alquanto
complessa: per comodità supporremo che l’orbita abbia la forma ellittica più semplice, cioè quella circolare.
II Legge di Keplero
Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree
uguali in tempi uguali
Nell’ipotesi di orbita circolare il raggio vettore è il raggio dell’orbita, che è
costante in quanto l’orbita è circolare. In questo caso, percorrere aree uguali in
tempi uguali significa nello stesso tempo t il pianeta spazza lo stesso settore
circolare (cioè il settore SoleAB = settore SoleBC): ma settori uguali di stesso
raggio R hanno anche archi uguali, cosicché nello stesso tempo t gli archi AB e
BC sono identici. Ne segue che, poiché V = arco/t, la velocità del pianeta fra
A e B (V1) è la stessa fra B e C (V2). Questo ragionamento può essere esteso
per qualsiasi altro arco e perciò concludo che il pianeta si muove lungo l’orbita
con velocità costante, cioè con moto uniforme (vedi figura 1).
Figura 1
Il fatto che l’orbita sia percorsa di moto uniforme ci dà un’essenziale indicazione sulla gravità. Infatti, Se un
corpo si muove di moto uniforme ciò significa che l’accelerazione tangente alla traiettoria (cioè l’accelerazione
parallela a//) è nulla. Ciò implica che tutta l’accelerazione gravitazionale è perpendicolare alla
traiettoria e dunque la gravità in un’orbita circolare è esclusivamente centripeta (aGRAVITA’ = a =
aC).
III Legge di Keplero
I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali ai cubi
dei loro semiassi maggiori
Prima di sfruttare la III Legge di Keplero, dobbiamo notare che, se il pianeta orbita intorno al Sole, la
gravità gli dà una accelerazione centripeta (a). La accelerazione centripeta ha la formula:
a = V2/R
(2)
La velocità V è uguale al rapporto fra la lunghezza del percorso ed il tempo impiegato: in particolare, dopo
un’intera orbita, il tragitto percorso è 2R ed il tempo impiegato è T. Perciò:
V= 2R/T => [sostituendo V nella (2)] 
a = 42R2/(T2·R) = 42R/T2
(3)
Troviamo adesso una relazione fra T e R usando la III legge di Keplero. Se con A indico il semiasse
maggiore dell’orbita e con T il periodo, la III Legge di Keplero porta a scrivere:
A3  T2
(4)
e dunque: A3 = KST2
(5)
KS è la costante di proporzionalità: essa dipende da quanto il Sole attira a sé il pianeta.
Avendo posto l’orbita circolare, il semiasse è uguale al raggio: A=R. Sostituendo nell’eq. (5):
R3 = KST2  T2 = R3/KS  [sostituendo T2 nell’ eq. (3)] 
a = 42R·KS/R3 = 42KS/R2
(6)
Adesso dobbiamo ricavare la forza di gravità agente su P (FP). Per farlo, basta applicare F=ma alla eq. (6):
FP = mPa = mP42KS/R2
(7)
L’equazione (7) mostra che la forza di gravità diminuisce con il quadrato della distanza.
LA FORZA DI GRAVITA’ DIPENDE DAL PRODOTTO DELLE MASSE
L’equazione (7) mostra che KS, cioè la costante della III Legge di Keplero, misura l’intensità con cui il Sole
attrae un pianeta: infatti, tanto più è grande KS tanto maggiore è FP a parità di altre condizioni. Ma per il III
Principio, se il Sole attrae il pianeta anche il pianeta attrae il Sole: dunque, deve esistere un’altra
costante che misura quanto il pianeta attira il Sole! Sia KP tale costante.
Adesso vediamo che rapporto c’è fra KS, KP e le masse del Sole (mS) e del pianeta (mP). Sia FS la forza con
cui il pianeta attrae il sole: per ottenerla, sostituisco nell’ eq. (7) KP a KS (il corpo attrattore è il pianeta) e mS a
mP (il corpo attratto è il Sole):
FS = mS42KP/R2
(8)
Per il III Principio, FS in modulo è uguale a FP. Perciò uguaglio l’eq. (7) alla eq. (8):
mP42KS/R2 = mS42KP/R2

mPKS=mSKP

KS/mS = KP/mP
(9)
L’equazione (9) ci dice che: qualunque sia il corpo attrattore (pianeta o Sole o quant’altro) il rapporto fra la
sua capacità di attrazione (K) e la sua massa è sempre costante. Per comodità, chiamo G/42 tale costante:
KP/mP = KS/mS = G/42  KP = mPG/42 ; KS = mSG/4
Sostituendo il valore di KP nella formula di FS o il valore di KS nella formula di FP otteniamo:
FP = FS = G·mP·mS/R2
C.V.D.