Soluzioni prova scritta - Area scientifica - 20 luglio 2015

Soluzioni prova scritta - Area scientifica - 20 luglio 2015
Esercizio 1. Si consideri il polinomio P (x) = (x + 1)5 + x.
i) Determinare il quoziente della divisione di P (x) per x2 + x + 1.
ii) Dimostrare che per ogni intero positivo n, il numero intero P (n) è
divisibile per almeno due numeri primi distinti.
Soluzione.
i) Il quoziente è q(x) = x3 + 4x2 + 5x + 1.
ii) Dato che P (n) = (n2 + n + 1)(n3 + 4n2 + 5n + 1), basta escludere il caso in cui
ci sia un primo p tale che
ps = n3 + 4n2 + 5n + 1 > n2 + n + 1 = pt > 1
con s > t > 0. Ma dividendo x3 + 4x2 + 5x + 1 per x2 + x + 1 si ottiene che
x3 + 4x2 + 5x + 1 = (x + 3)(x2 + x + 1) + (x − 2).
Quindi pt divide n − 2 e dunque, per n > 2, pt = n2 + n + 1 ≤ n − 2, da cui n2 ≤ −3,
assurdo. Infine P (1) = 33 = 3 · 11 e P (2) = 245 = 5 · 72 .
Esercizio 2. Nella seguente figura, ABCD e AF CE sono due rettangoli uguali di
lati 13 e 22.
Quanto vale l’area del quadrilatero AGCH?
Soluzione.
Sia x la lunghezza di BG = GF allora per il teorema di Pitagora,
F G2 + F C 2 = x2 + 132 = (22 − x)2 = GC 2
da cui x = 315/44. Quindi l’area del parallelogramma AGCH è AB · GC = 13(22 −
x) = 8489/44.
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Esercizio 3. Sia ABC un triangolo e siano M un punto sul lato AB e N un punto
sul lato AC tali che le aree dei triangoli BP M , CP N e BP C siano rispettivamente
9, 8 e 24.
Quanto vale l’area del quadrilatero AM P N ?
Soluzione. Sia x l’area del triangolo AM P e sia y l’area del triangolo AN P allora
valgono le proporzioni
y
(y + 8)
x
(9 + x)
= ,
=
24
8
24
9
e risolvendo si ottiene che x = 33/7 e y = 32/7. Quindi l’area richiesta è x+y = 65/7.
Esercizio 4. Determinare il più piccolo numero reale m tale che la seguente disuguaglianza valga per tutti i numeri reali x, y, z tali che x + y + z = 0,
|5x + 11y + 17z| ≤ m(|x| + |y| + |z|).
Soluzione. Si ha y = −x − z e quindi
|5x + 11y + 17z| = |6y + 12z| ≤ 6|y + z| + 6|z| ≤ 6(| − x| + |z|) ≤ 6(|x| + |y| + |z|)
da cui m ≤ 6. Se z = −x e y = 0 allora x + y + z = 0 e
12|z| = |5(−z) + 11(0) + 17z| ≤ m(| − z| + |0| + |z|) = 2m|z|,
da cui m ≥ 6. Quindi il numero richiesto è m = 6.
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Esercizio 5.
Un proiettile P, soggetto alla forza peso (e, per semplicità, non
alla resistenza dell’aria), è lanciato dal punto (x = 0, y = h) rispetto a un sistema
di coordinate cartesiane x, y (x orizzontale, y verticale diretto verso l’alto) con
velocità iniziale avente norma v0 e formante un angolo ϕ con l’asse x. Gli assi x, y
sono solidali a un riferimento inerziale (ignorare quindi la rotazione terrestre).
Tenendo v0 costante, determinare l’angolo ϕ per cui la gittata (ascissa del punto
di intersezione della traiettoria con l’asse x) è massima.
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Esercizio 6. Nell’uomo il gruppo sanguigno AB0 è controllato dal gene I, con tre
possibili alleli, I A e I B , codominanti, ed “i”. Il gene L controlla invece il gruppo
MN, con due alleli LM e LN codominanti. Il gene D controlla l’ Rh: D determina
Rh+ ed è dominante sull’allele “d”. I tre geni sono indipendenti.
1) Quali gameti vengono prodotti dalla meiosi di individui con i seguenti genotipi
ed in quale proporzione?
A) I B I B Dd LN LN
B) I B i Dd LM LN
C) I A i Dd LM LM
D) I A I B dd LM LN
2) considerando il gruppo sanguigno di ipotetici figli legittimi della coppia (B)-(C):
A) potranno essere di gruppo 0 Rh+ MM ed, in caso affermativo, con che
proporzione?
B) Potranno essere di gruppo B Rh− MN ed, in caso affermativo, con che
proporzione?
Indicate le ipotesi biologico-statistiche che avete assunto e motivate le vostre risposte.
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