Soluzione - Mathesis di Pescara

Settima Edizione
“Giochi di Achille e la tartaruga”
15-DIC-2011 - Chieti
Il Responsabile coordinatore dei giochi:
Prof. Agostino Zappacosta – Chieti
tel. 0871 – 65843 (cell.: 340 47 47 952)
e-mail:[email protected]
Soluzioni Cat. M3 (Alunni di terza Media)
Quesito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Risposta
esatta
E
C
D
C
E
E
A
B
A
D
7
720
22
(*)
30
1256
Vale
punti
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
8
8
12
12
(*) Soluzione quesito 14: uno di questi 43 numeri: 104; 204; 304; 504; 604; 704; 804; 904; 215; 315; 415; 615; 715;
815; 915; 126; 326; 426; 526; 726; 826; 926; 137; 237; 437; 537; 637; 837;
937; 148; 248; 348; 548; 648; 748; 948; 159; 259; 359; 459; 659; 759; 859.
Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta
sbagliata vale 0 punti.
Quesito 1 (vale 4 punti)
[Dadi magici]
Quanto vale il prodotto dei numeri nascosti (che non si vedono), in questi tre dadi?
Nota: qualsiasi dado di forma cubica presenta sulle sue sei facce i numeri da 1 a 6.
A) 240;
B) 21600;
C) 12960;
D) 34560;
E) 3110400.
Soluzione Quesito 1: E) 3110400.
I numeri non visibili nel primo dado sono: 3, 5 e 6;
i numeri non visibili nel secondo dado sono: 2, 3, 4 e 6;
i numeri non visibili nel terzo dado sono: 2, 4, 5 e 6.
Il loro prodotto vale: 90x144x240 =3110400
Quesito 2 (vale 4 punti)
[Mattoni su 4 dita]
Questo atleta, oltre a sollevare il suo corpo, è capace di sollevare anche
5 mattoni. Si sa che mezzo mattone più due mattonelle pesano come un
mattone. Una mattonella pesa 850 grammi. Sapendo che il suo peso
corrisponde a 20 mattoni, qual è il peso (in kg) che l’atleta riesce a
sollevare stando in equilibrio su quattro dita?
A) 66.4; B) 76.4; C) 85; D) 86.6; E) nessuno dei precedenti.
Soluzione Quesito 2: C) 85.
Se mezzo mattone equivale a due mattonelle, un mattone
equivale a 4 mattonelle. Un mattone, perciò pesa 4x850 =
3400 g = 3.4 Kg. Il peso dell’atleta + 5 mattoni corrisponde
al peso di 25 mattoni (20+5).
Perciò l’atleta riesce a sollevare 85 kg (25x3.4).
Soluzioni_M3_VII-Ed._15-12-2011_Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga
[Il mago dei numeri – CH-ITALIA]Pag. 1
Quesito 3 (vale 4 punti)
[Quanti bastoncini?]
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Per costruire la prima figura abbiamo adoperato 5 bastoncini. Per la seconda figura abbiamo adoperato qualche
bastoncino in più. Per la terza figura, ancora altri bastoncini. Continuando a costruire figure nello stesso modo, quanti
bastoncini saranno necessari per la duecentesima figura?
A) 1002;
B) 1000;
C) 1001;
D) 801;
E) nessuno dei precedenti.
Soluzione Quesito 3: D) 801 bastoncini.
Passando dalla figura 1 alla 2 si devono aggiungere 4 bastoncini Per passare dalla figura 2 alla 3 se
ne devono aggiungere altri 4. Per passare dalla figura 3 alla 4 se ne devono aggiungere altri 4.
E così via. Quindi per passare dalla figura 1 alla figura 200, devo aggiungere per 199 volte 4
bastoncini e 199x4 = 796 bastoncini che bisogna aggiungere ai 5 iniziali. Quindi 5+796= 801.
Quesito 4 (vale 4 punti)
[Ma dov’è la verità?]
Qual è l’affermazione falsa?
A) la somma di cinque numeri dispari non è un numero pari;
B) la somma di cinque numeri pari non è un numero dispari;
C) la somma di quattro numeri dispari è un numero dispari;
D) la somma di cinque numeri pari è un numero pari;
E) la somma di sei numeri dispari è un numero pari.
Soluzione Quesito 4: C)
Risposta esatta:
A) è vera: la somma di cinque numeri dispari dà sempre un numero dispari (che non è pari).
B) è vera: la somma di cinque numeri pari dà sempre un numero pari (che non è dispari).
C) è falsa: la somma di quattro numeri dispari dà sempre un numero pari (che non è dispari).
D) è vera: la somma di cinque numeri pari dà sempre un numero pari.
E) è vera in quanto la somma di sei numeri dispari dà sempre un numero pari.
Quesito 5 (vale 5 punti)
[Una sveglia ….. che dorme troppo!!!]
Una sveglia ha le lancette ferme. Quante volte nel corso del primo trimestre dell’anno 2011
ha segnato l’ora esatta?
A) Due volte;
B) 2011 volte;
C) 90 volte;
D) Mai;
E) Nessuna delle precedenti.
Soluzione Quesito 5: E) 180 volte.
Nel corso di un giorno (formato da 24 ore), l’orologio dà due volte l’ora esatta. Il primo trimestre
dell’anno 2011 è formato da 90 giorni (31 giorni di gennaio, 28 giorni di febbraio e 31 giorni di
marzo; 31+28+31= 90 giorni). Quella sveglia perciò, nel corso del primo trimestre, ha segnato per
180 volte l’ora esatta. (90x2)
Quesito 6 (vale 5 punti)
[Ma quanto costa ….. ricoprire un tavolo!!!!]
La figura a fianco mostra una delle sette banconote entrate in vigore dal 1°
gennaio 2002 in quelle nazioni europee che hanno aderito alla moneta comune.
Federico vuole ricoprire con banconote da 10.00 euro il piano rettangolare della
sua scrivania (dimensioni 120.6 cm x 63.5 cm).
Qual è il numero minimo di banconote da 10 € che gli permette di ricoprire tutto
127 mm x 67 mm
il piano (evitando sovrapposizioni o zone scoperte)?
A) 127;
B) 67;
C) 85.09;
D) 77;
E) Nessuna delle precedenti.
Soluzioni_M3_VII-Ed._15-12-2011_Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga
[Il mago dei numeri – CH-ITALIA]Pag. 2
mm 67x18 = mm 1206 = cm 120.6
Soluzione Quesito 6: E) 90 banconote.
Mettendo 18 banconote accostate in modo da far combaciare il lato più lungo ricopriamo una parte
di tavolino della lunghezza di 120.6 cm (67 mm x 18 = 1206 mm = 120.6 cm) e larghezza 127 mm.
Formando, in tutto, cinque di queste strisce, avremo ricoperto tutto il tavolino. Infatti 127 mm x 5 =
= 635 mm = 63.5 cm. In tutto abbiamo adoperato 90 banconote da 10.00 € (18x5).
mm 27x5 = mm635 = 63.5 cm
Quesito 7 (vale 5 punti)
[Chi è più giovane?]
Dei miei cinque compagni ho le seguenti informazioni:
1) Edoardo è nato nove mesi prima di Francesca e un anno e due mesi prima di Giovanni.
2) Francesca è nata tre mesi dopo di Ivana ma cinque mesi prima di Giovanni;
3) Ivana è nata undici mesi prima di Lucia;
4) Lucia è nata tre mesi dopo di Giovanni e otto mesi dopo di Francesca.
Sapendo che Francesca è nata nel mese di ottobre 1998, chi (dei cinque) è più giovane?
A) Lucia;
B) Francesca;
C) Ivana;
D) Edoardo;
E) Giovanni.
Soluzione Quesito 7: A) Lucia
Per semplicità con una M indichiamo un mese. Così la seguente scrittura:
Edoardo M M M M M M M M M Francesca sta a significare che Edoardo è nato nove mesi prima
di Francesca oppure (è la stessa cosa) che Francesca è nata nove mesi dopo Edoardo.
Adesso bisogna ricostruire tutte le informazioni:
1) Edoardo M M M M M M M M M Francesca M M M M M Giovanni;
2) Ivana M M M Francesca M M M M M; Giovanni
3) Ivana M M M M M M M M M M M Lucia;
4) Francesca M M M M M Giovanni M M M Lucia.
Ed ecco la ricostruzione:
1) Edoardo M M M M M M
M M M Francesca M M M M M Giovanni;
Soluzioni_M3_VII-Ed._15-12-2011_Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga
[Il mago dei numeri – CH-ITALIA]Pag. 3
2)
Ivana M M M Francesca M M M M M; Giovanni
3)
Ivana M M M
MMMMM
M M M Lucia;
4)
Francesca M M M M M Giovanni M M M Lucia.
Da questo schema si vede che Lucia è nata dopo gli altri; quindi è la più giovane.
Quesito 8 (vale 5 punti)
[tu mi sposti, ma io non cambio!!!]
Prendiamo tutti i numeri interi di tre cifre (escludendo i numeri che finiscono per zero). Quanti sono i numeri che non
diminuiscono né aumentano di valore nello scambio tra la cifra che si trova al posto delle centinaia con quella che si
trova al posto delle unità?
A) 10;
B) 90;
C) 11;
D) 20;
E) nessuno dei precedenti.
Soluzione Quesito 8: B) 90.
Per ogni centinaia, per avere lo stesso numero dopo lo scambio, le cifre delle centinaia ed unità
devono essere identiche.
Nel numero di tre cifre 1*1, al posto dell’asterisco posso mettere le dieci cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Nel numero di tre cifre 2*2, al posto dell’asterisco posso mettere le dieci cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Ecc. ecc.
Nel numero di tre cifre 9*9, al posto dell’asterisco posso mettere le dieci cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
I numeri sono 9x10 = 90. Eccole:
da 101 a 199 sono 10: 101; 111; 121; 131; 141; 151; 161; 171; 181; 191;
da 201 a 299 sono 10: 202; 212; 222; 232; 242; 252; 262; 272; 282; 292;
da 301 a 399 sono 10: 303; 313; 323; 333; 343; 353; 363; 373; 383; 393;
da 401 a 499 sono 10: 404; 414; 424; 434; 444; 454; 464; 474; 484; 494;
da 501 a 599 sono 10: 505; 515; 525; 535; 545; 555; 565; 575; 585; 595;
da 601 a 699 sono 10: 606; 616; 626; 636; 646; 656; 666; 676; 686; 696;
da 701 a 799 sono 10: 707; 717; 727; 737; 747; 757; 767; 777; 787; 797;
da 801 a 899 sono 10: 808; 818; 828; 838; 848; 858; 868; 878; 888; 898;
da 901 a 999 sono 10: 909; 919; 929; 939; 949; 959; 969; 979; 989; 999.
Quesito 9 (vale 6 punti)
[Attenzione ….. a non far abbassare la media!!!!]
Roberta, nel corso dell’anno scorso, dopo sei compiti di matematica, aveva raggiunto una media aritmetica di 6.5 (sei e
mezzo). Negli ultimi due compiti i voti sono stati rispettivamente di 8.5 e 8.5 (otto e mezzo). Che media aritmetica ha
riportato a fine anno? Nota: se adoperate numeri decimali, prendete solo le prime due cifre.
A) 7;
B) 7.75;
C) 7.5;
D) 7.25;
E) nessuno dei precedenti.
Soluzione Quesito 9: A) 7.
Come si sa, la media aritmetica dei voti si trova eseguendo la divisione tra la somma dei voti e il
numero dei voti. Nell’effettuare la media precedente (pari a 6.5) questo risultato è venuto fuori dopo
aver diviso la somma dei sei voti per 6. La somma dei sei voti era quindi 39 (6.5x6).
A questo totale debbo aggiungere i due voti (8.5; 8.5)che insieme danno un totale di 17 (8.5x2).
Il totale degli otto voti è diventato così 56 (39+17). La nuova media: 56:8 = 7.
Soluzioni_M3_VII-Ed._15-12-2011_Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga
[Il mago dei numeri – CH-ITALIA]Pag. 4
Quesito 10 (vale 6 punti)
[Combinazioni orologio-calendario]
20
09
20
09
Ora
Minuti
Giorno
Mese
20
09
Anno
Questo orologio digitale oltre ad indicare le ore ed i minuti, indica la data (giorno, mese ed anno).
[Negli orologi digitali le ore vanno da 00 a 23, mentre i minuti vanno da 00 a 59]. Nell’esempio riportato sopra l’orologio
indica le ore 20:09 del 20 settembre del 2009. Partendo dalla sinistra notiamo che il numero 2009 si ripete per tre volte. Dal
2000 al 2100 quante volte si verifica questo fatto? Attenzione: sono in tutto 101 anni.
A) 100;
B) 101;
C) 102;
D) 12;
E) nessuno dei precedenti
Soluzione Quesito 10: D) 12 volte.
Per gli anni 20 00 e 21 00 non possiamo formare il mese 00 (che non esiste).
Dall’anno 2013 non abbiamo il 13° mese e quindi è impossibile formare il numero richiesto.
Restano solo 12 possibilità (dal 2001 al 2012) (vedi tabella).
Anno
2000
2001
2002
……
2011
2012
2012
Ora-minuti
20 – 00
20 – 01
20 – 02
…..
20 – 11
20 – 12
20 – 13
Giorno-mese
20 – ??
20 – 01
20 – 02
……
20 – 11
20 – 12
20 – 13
Anno
20 – 00
20 – 01
20 – 02
…..
20 – 11
20 – 12
20 – 13
Osservazioni
Impossibile
Possibile
Possibile
Possibile
Possibile
Possibile
Impossibile
…..
2099
2100
………
20 – 99
21 – 00
…………
20 – 99
21 – 00
……..
20 – 99
21 – 00
Impossibile
Impossibile
Impossibile
Quesito 11 (vale 6 punti)
[Attenzione a non rompere le damigiane!!!]
Una damigiana di vino quando è piena per un terzo della sua capienza pesa 27 kg. Se invece è piena per cinque sesti
pesa 57 kg. Quanto pesa (in kg) la damigiana vuota? Nota Bene: 1 litro di vino pesa 1 chilo.
Soluzione Quesito 11: kg 7.
Se dalla damigiana piena per cinque sesti togliamo un terzo, la quantità tolta è pari a kg (57-27) =
30 kg. Ma 5/6 – 1/3 = 3/6 = ½. Se la metà è 30 Kg, il vino contenuto dalla damigiana piena sarà kg
(30x2) = 60 kg. Un terzo di 60 è uguale a 20 kg di vino. La damigiana vuota peserà: (27-20) = 7 kg.
Quesito 12 (vale 6 punti)
[Quante disposizioni diverse?]
Nella griglia formata da 18 caselle bisogna mettere questi tre simboli:
♦, ♥, ♣, in modo che:
1) non ci sia più di un simbolo nella stessa colonna;
2) ci sia almeno un simbolo per ogni riga;
3) siano presenti tutti e solo i tre simboli.
In quanti modi diversi posso disporre i tre simboli?
Soluzioni_M3_VII-Ed._15-12-2011_Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga
[Il mago dei numeri – CH-ITALIA]Pag. 5
Soluzione Quesito 12: 720 combinazioni diverse.
♦ in una delle sei caselle del prima riga; il secondo simbolo ♥ si può inserire
in ciascuna delle cinque caselle restanti della seconda riga e il terzo simbolo ♣ in una delle quattro
Inserendo il simbolo
caselle a disposizione nella terza riga. In tutto 6x5x4 = 120 combinazioni. Tenendo conto che i tre
simboli possono presentare un ordine diverso in 6 modi diversi:
♦, ♥, ♣; ♦, ♣, ♥; ♣, ♦, ♥; , ♣, ♥, ♦;
♥, ♣, ♦. Avremo in tutto 120x6 = 720 combinazioni diverse.
♥, ♦, ♣;
Quesito 13 (vale 8 punti)
[Calcoli amari!!!]
La cima più alta della Maiella si chiama Monte Amaro. La sua altezza raggiunge i 2793 m rispetto
al livello del mare. Immaginate di avere un foglio di carta grandissimo di forma rettangolare che
piegate ripetutamente in due parti in modo tale che la sua superficie di dimezza ad ogni piegatura
mentre lo spessore della carta raddoppia. Se lo spessore della carta è di 1 mm, e , ammesso che si
possano eseguire tutte le piegature che vogliamo, quante piegature devo fare per avere un blocco di
carta ripiegata il cui spessore superi di poco l’altezza del Monte Amaro?
Soluzione Quesito 13: 22piegature sono sufficienti.
Ad ogni piegatura i numero dei fogli sovrapposti raddoppia. Dopo 22 piegature lo spessore dei fogli
sovrapposti raggiunge 2x2x2x2…..x2 mm = 222 mm = 4194304 mm che corrispondono a 4194 m
che supera abbondantemente i 2793 m del Monte Amaro.
Quesito 14 (vale 8 punti)
Se in un numero di tre cifre diverse scambio tra di loro due cifre a piacere il numero che ottengo aumenta di 36: qual è
questo numero? Tra i tanti numeri possibili, indicatene uno solo.
Soluzione Quesito 14: uno dei 43 numeri indicati e non sottolineati (vedi tabella).
Affinché il numero ottenuto superi di 36 quello da cui sono partito, lo scambio può avvenire solo tra
la cifra delle unità e quella delle decine. La cifra delle unità deve superare di 4 quella delle decine:
abbiamo solo sei casi: 04; 15; 26; 37, 48 e 59).
A ciascuna di queste coppie possiamo mettere la terza cifra (delle centinaia) a piacere (da 1 a 9)
Perciò i numeri di tre cifre con questa proprietà saranno 54 (9x6 = 54). Se invece voglio che le cifre
del numero siano tutte diverse, come in questo caso, allora, saranno di meno. 54 – (1+2x5) 54-11 =
43. Dall’elenco della tabella bisogna eliminare quei numeri che presentano due cifre uguali (sono
quelli sottolineati ed evidenziati in grigio).
*04
*15
*26
*37
*48
*59
1 04 - 1 40;
1 15 - 1 51;
1 26 - 1 62;
1 37 - 1 73;
1 48 - 1 84;
1 59 - 1 95;
2 04 – 2 40
2 15 – 2 51
2 26 – 2 62
2 37 – 2 73
2 48 – 2 84
2 59 – 2 95
3 04 – 3 40
3 15 – 3 51
3 26 – 3 62
3 37 – 3 73
3 48 – 3 84
3 59 – 3 95
4 04 – 4 40
4 15 – 4 51
4 26 – 4 62
4 37 – 4 73
4 48 – 4 84
4 59 – 4 95
5 04 – 5 40
5 15 – 5 51
5 26 – 5 62
5 37 – 5 73
5 48 – 5 84
5 59 – 5 95
6 04 – 6 40
6 15 – 6 51
6 26 – 6 62
6 37 – 6 73
6 48 – 6 84
6 59 – 6 95
7 04 – 7 40
7 15 – 7 51
7 26 – 7 62
7 37 – 7 73
7 48 – 7 84
7 59 – 7 95
8 04 – 8 40
8 15 – 8 51
8 26 – 8 62
8 37 – 8 73
8 48 – 8 84
8 59 – 8 95
9 04 – 9 40
9 15 – 9 51
9 26 – 9 62
9 37 – 9 73
9 48 – 9 84
9 59 – 9 95
Soluzioni_M3_VII-Ed._15-12-2011_Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga
[Il mago dei numeri – CH-ITALIA]Pag. 6
Quesito 15 (vale 12 punti)
[Mastro Geppetto alle prese con i tagli]
Il falegname “Peppino” soprannominato
“Mastro Geppetto” ha un foglio di
compensato molto grande. Ha bisogno di
un pezzo come il
rettangolo indicato in grigio. Ha due
possibilità:
1) prima effettua il taglio lungo la linea AB e poi lungo la linea C-E;
2) prima effettua il taglio lungo la linea CD e poi lungo la linea A-E.
Una casella misura 10 cm di lato.
Quanti cm di taglio farà in meno se sceglie
la soluzione 2 invece che la soluzione 1?
C
E
A
B
D
Soluzione Quesito 15: 30 cm.
Dai trattini indicati in figura si calcola facilmente le dimensioni del foglio di compensato molto
grande: lunghezza cm (14x10) = cm 140; larghezza: cm (7x10) = cm70.
Prima alternativa: il taglio A-B è lungo 140 cm; il taglio C-E è lungo 50 cm. La lunghezza dei due
tagli è uguale a cm (140+50) = cm 190.
Seconda alternativa: il taglio C-D è lungo 70 cm; il taglio A-E è lungo 90 cm. La lunghezza dei due
tagli è uguale a cm (70+90) = cm 160.
La differenza è pari a cm (190-160) = cm 30.
Quesito 16 (vale 12 punti)
Immaginate di stendere una corda al livello del mare lungo la linea dell’equatore, lungo 40000 km. Se volessi stendere
una corda un po’ più lunga a 200 m di altezza da terra (sempre tutto attorno all’equatore), di quanto dovrebbe essere più
lunga, rispetto alla prima, questa seconda corda? (esprimere la misura in metri).
[Nota Bene: il raggio di una circonferenza si trova dividendo la lunghezza della circonferenza per 6.28.]
Soluzione Quesito 16: 1256 m.
Se consideriamo l’equatore lungo 40000 km, il raggio (equatoriale) sarà:
km (40000:6.28) = km 6369,42675; aumentando di 200 m il raggio diventa pari a km 6369.62675
che moltiplicato per 6.28 dà: km 40001.256. Quindi la lunghezza della corda aumenta di 1.256 km
= 1256 m.
Più brevemente: dato che raggio (r) e circonferenza (C = 2π r) sono direttamente proporzionali,
anche gli aumenti risultano tali. Basta moltiplicare m 200 x 6.28 = m 1256.
Soluzioni_M3_VII-Ed._15-12-2011_Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga
[Il mago dei numeri – CH-ITALIA]Pag. 7