Integrali per ing. - esercizi - 761.6 kB

R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI
Integrazione di funzioni elementari
 dx  x  c

 x dx 
Integrazione di funzioni composte
x 1
c
 1

  f ( x) 
1
1
a
2
2
 1
C
 1
f '( x)
dx  ln f ( x)  c
f ( x)
f '( x)
 1  f 2 ( x) dx  arctan( f ( x))  c
 x dx  ln x  c
 1 x
 f ( x) 
 f '( x)dx 

dx  arc tan x  c
1
1
x
dx  arc tan  c
2
x
a
a
x
x
 e dx  e  c
e
ax
 a dx  ln a  c
1
 1  x2 dx  arcsin x  c
1

 1  x2 dx  arccos x  c
∫
( )
( )
( )
( )
[ ( )]
√
( )
∫
 cos xdx  sin x  c
 sin xdx   cos x  c
 f '( x)dx  e f ( x )  c
( )
∫
x
f ( x)
( )
[ ( )]
√
 f '( x)  cos f ( x)dx  sin f ( x)  c
 f '( x) sin f ( x)dx   cos f ( x)  c
 tan xdx   ln cos x  c
∫
∫
( ) ( )
( )
∫
∫
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
∫
( )
( )
∫
( )
∫
∫
∫
∫
( )
( )
( )
GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI
Calcola i seguenti integrali.
1
x
2
  2x
3
 2 x 2  x  2  dx
3
 x 2  3x  3 dx
18
 3
4 


  1  x2 1  x2  dx
19
x
1
2
x3  1dx
R. Capone
3
4
5
6
7
8
9
10
Analisi Matematica
 1 1 1 
  x  x  x 2  dx
1 1
 1
  x  x  x 3 dx
20
x
21
7 x6  10 x 4  2 x3
 2x7  4x5  2x2  4 dx
x3  x 2  3x  2
dx

x2
2 x3  2 x 2  x  4
dx

x2
3x
 1  x 2 dx
x
  2 1  x2 dx
x2
 x3  1 2 dx
 
22
6 x2  12 x  6 x 4
 x3  3x2  x3  7 dx
sen x
e  cos xdx

x
x3
4
 1
2
25
e x  e x
 ex  e x dx
2e2 x  e x
 e2 x  e x dx
26
cos x
sen xdx

1
3 

4
1 
28

  3x  2  x  1  dx
29
 4x
12
 3e
x
 sen x  3 x dx
17
e

 cos x  3 x dx
16
24
  2 x  1  x  5  dx
x
15
x4  2dx
3
27
  2e
14
23
dx
11
13
Il Calcolo Integrale
4sen 3 x  cos x  sen  3x 
dx

sen x
4cos3 x  2sen x  cos  3x 
dx

cos x
 2
5 


2
  1  x 1  x2  dx
30
5x1
 1  52 x dx
33
3x 2
 1  32 x dx
34
2x 1
dx
2
1
x 2  3x  9
 x3  27 dx
x3
 1  x8 dx
x4
 1  x10 dx
31
32

1  ex
 x  e  ln  x  e 
x
2  cos x
Teorema di integrazione per parti
∫
( )
( )
nell’intervallo [a,b], si ha:
[ ( )
2
dx
 1  2 x  sen x  ln 1  2 x  sen x 
L’INTEGRAZIONE PER PARTI
Se f e g sono due funzioni reali di classe
x 2
( )]
∫
( ) ( )
2
dx
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
Dimostrazione:
pressoché ovvia. Essendo per la regola di derivazione del prodotto di due funzioni:
(
)( )
( ) ( )
( ) ( )
si ha
∫ (
)( )
[ ( )
( )]
∫
da cui l’asserto.
3
( ) ( )
∫
( )
( )
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
Es.1
Si calcoli il seguente integrale
∫
La funzione integranda si presenta come il prodotto di due funzioni. L’integrale si risolve seguendo la
formula dell’integrazione per parti
∫ ( ) ( )
( )
( )
∫
( )
( )
Avendo indicato con ( ) una primitiva di ( ) e avendo scelto ( ) come fattore finito e ( ) come
fattore differenziale. Nel nostro caso:
∫
∫
Es.2
Si calcoli il seguente integrale
∫√
In questo esercizio, la scelta di
primitiva. Pertanto, si ha:
come fattore finito è obbligata perché non se ne conosce una
∫√
√
√
Es.3
Si calcoli il seguente integrale
∫
Anche in questo caso, la scelta di
come fattore finito è obbligata. Si ha:
∫
∫
(∫
∫
∫
(
)
)
NB: la scelta del fattore differenziale dipende sostanzialmente da due condizioni; deve essere una funzione
di cui si conosce con semplicità la primitiva; inoltre deve essere tale che il nuovo integrale che compare
dall’applicazione della formula di integrazione per parti sia di difficoltà pari o minore a quello di partenza.
Alcuni artifici ed esempi
Es.4
Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
∫
|
∫
∫
∫
|
|
|
Es.5
Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
4
∫
R. Capone
Analisi Matematica
∫
∫
Il Calcolo Integrale
|
∫
∫
∫
∫
∫
(
|
(
|
)
|
|
|
)|
|
|
|
Es.6
Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
|
(
|
)
( )
Calcola i seguenti integrali.
1
2
3
4
5
6
7
8
 x  2 sin xdx
  x  3 cos xdx
 x l ogxdx
 x l ogxdx
e arctg  e  dx
16
 1 
x arctg  2 x  dx
x
2
 3 sin 2 x dx
21
2
23
18
∫
4
19
∫
20
∫
x
cos 2 3x dx
∫
24
10
∫
25
11
∫
26
13
14
∫
∫
∫
(
)
∫
∫
∫√
(
∫
∫√
28
∫
5
)
∫
27
29
(
∫
22
9
12
∫
3
2x
x
17
∫
∫
√
)
R. Capone
Analisi Matematica
15
Il Calcolo Integrale
30
∫
∫
(
)
L’INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Per calcolare l’integrale
N ( x)
 D( x) dx di una funzione in cui il grado del denominatore sia maggiore del
numeratore
si scompone D(x) nel prodotto di fattori irriducibili;
si riscrive la funzione integranda come somma di frazioni semplici aventi come denominatore i
fattori di D(x);
si applicano le regole di integrazione immediata
ax  b
 ax  b 
A
ax  b
n
ax2  bx  c;   0
1
x  x  1 x  2 
A
B
C
N


 ... 
2
3
n
ax  b  ax  b   ax  b 
 ax  b 
 x  1
A
B
C


2
x  1  x  1  x  13
3
2x 1
 x  1 x 2  2
Ax  B
ax  bx  c

2
∫
√
∫
∫
∫
∫
x2  1
∫
(
|
6
∫
)
)
|

√
(
∫
A
B
C


x x 1 x  2
(
)
∫
A
Bx  C
 2
x 1 x  2
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
Se il grado del Denominatore è minore o uguale al grado del Numeratore si procede alla divisione dei due
polinomi
N ( x)
R( x)
 D( x) dx   Q( x)dx   D( x) dx
dove R(x) e Q(x) sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione.
1
∫
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
3
∫
4
∫
5
∫
6
∫
31
(
32
33
8
∫
38
9
∫
39
40
∫
11
∫
41
12
∫
42
43
∫
14
∫
44
15
∫
45
∫
17
∫
18
19
20
21
22
∫
∫
∫
∫
∫
46
(
)
(
)
∫
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
47
∫
48
49
(
∫
36
37
16
∫
35
∫
13
∫
34
7
10
∫
)
50
(
)
(
)
(
)
51
52
7
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
R. Capone
Analisi Matematica
23
∫
24
∫
25
26
∫
∫
27
28
29
30
53
(
)
(
)
∫
54
55
(
)
(
∫
)
57
(
∫
)
58
(
∫
)
∫
59
∫
60
(
)
(
(
∫
(
)
∫
56
∫
∫
Il Calcolo Integrale
∫
(
)
)
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
)(
)
∫
(
L’INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
∫ (
( )
)
∫ (
∫ (
)
)
√
∫ (√ )
Integrali del tipo
∫ (
1
)
(
∫
8
)
(
)
R. Capone
Analisi Matematica
2
Il Calcolo Integrale
|
∫
3
|
∫
4
(
√
∫
5
(
√
(
)
)
|
∫
6
(
∫
7
∫
8
)(
|
)
|
(
)
√
(
|
√
)
)
(
∫
)
√
√
9
Integrali del tipo
∫ (
1
∫
2
∫
3
∫
4
∫
5
∫
6
8
12
∫
|
∫
|
∫
10
11
|
∫
7
9
)
(
∫
∫
∫
|
)
(
|
)
(
|
)
|
|
|
)
(
|
|
|
|
|
|
|
|
Integrali del tipo
∫
∫
∫
Per n=1 ricorriamo ad una sostituzione con formule parametriche. Per n=2 si ricorre ad artifici.
9
|
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
Es.7
Si risolva il seguente integrale
∫
∫
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Alcuni integrali di espressioni trigonometriche si risolvono con formule di ricorrenza
Es. 8
Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
∫
Vale la seguente formula di ricorrenza di cui si omette la dimostrazione
∫
∫
Analogamente per il secondo e il terzo:
10
R. Capone
Analisi Matematica
∫
Il Calcolo Integrale
∫
∫
∫
Integrali del tipo
∫
√
(
)
La sostituzione da effettuare è:
√
che fornisce:
(
(
)
)
Un caso particolare è dato quando la funzione integranda presenta due o più radici con indice diverso. Il
questo caso basta porre uguale a t la radice n-sima di un certo radicando, dove n rappresenta il m.c.m. degli
indici.
Es. 9
Si calcoli il seguente integrale
∫
√
√
Si adopera la sostituzione:
√
che fornisce:
∫
√
(
∫
√
E quindi:
∫
√
√
√
√
√
11
(
√ )
)
R. Capone
Analisi Matematica
1
∫
(
)
Il Calcolo Integrale
√
√
2
3
∫
4
5
√
∫
√ (
√
(
√
√
(
)√
∫
(
√
√ ( √
)
√
)√
(
(
√
√
10
∫
∫
12
∫
∫
√ )
√
∫
11
)
√
∫
9
)
√(
∫
8
13
)
√
√
6
7
√
√
∫
∫
)
√
(
√ )
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(
√
)
12
R. Capone
Analisi Matematica
14
Il Calcolo Integrale
√
∫
(
√(
15
∫
) (
√
)
)
√
√ (
)
√
Integrali del tipo
∫
( √
)
Caso
Un integrale del genere si risolve per sostituzione. La sostituzione fa effettuare è
√
√ (
)
(
(
)
)
In questo modo l’integranda si riduce a una funzione della variabile t:
√
√ (
)
√ (
)
A titolo di esempio:
∫
√
ammette come soluzione, facilmente verificabile tramite la sostituzione appena vista:
∫
16
17
18
19
20
√
∫
∫
∫
∫
√
|
√
√
√
√
∫√
13
√
|
R. Capone
Analisi Matematica
21
∫
22
√
∫
23
√
∫
24
√
∫
25
∫
26
∫
27
∫
28
∫
29
∫
30
Il Calcolo Integrale
∫
√
√
√
√
√
√
√
Caso
La sostituzione da effettuare in questo caso è la seguente:
√
dove
sono le soluzioni del polinomio sotto radice, che avrà un
.
Dalla sostituzione si ricava:
(
(
√
(√| |
)
)
√| |(
)
A titolo di esempio:
∫
√
√| |
√
Come si può facilmente verificare ammettendo la sostituzione appena vista.
31
32
33
∫
∫
∫
√
√
√
14
)
R. Capone
Analisi Matematica
34
∫
35
∫
36
∫
37
∫
38
∫
√
√
√
√
(
)
√
39
∫√
40
∫√
41
Il Calcolo Integrale
∫√
Altri esempi
Es. 10
Si calcoli il seguente integrale
∫
Possiamo procedere per sostituzione di variabile, ponendo
Si ottiene così:
∫
∫
NB. La sostituzione
∫
(
è possibile ogni volta che l’elemento ( )
)
è invariante rispetto a
Es. 11
Si calcoli il seguente integrale
∫
Tale integrale può essere considerato un particolare caso di integrali del tipo:
∫
15
∫(
)
R. Capone
Analisi Matematica
∫
Il Calcolo Integrale
∫
)
∫(
(
)
) (
∫(
)
Es. 12
Si calcoli il seguente integrale
∫
∫
∫
Integrando per parti, si ottiene:
∫
∫
∫
∫(
)
∫
Portando il valore dell’ultimo integrale a primo membro e sfruttando la proprietà di additività si ha:
∫
∫
Essendo poi:
∫
)
∫(
(
)
segue che
∫
Formula di Newton-Leibnitz o secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia f :[a, b]  R una funzione che ammette una primitiva F su [a,b]. Se f è integrabile si ha:
b
b
 f ( x)dx  G( x)
a
 G (b)  G (a)
a
Tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.
16
R. Capone
1
Analisi Matematica
 x
3
 x  2  dx
 x
3
 x  1 dx
2
1
2
2
1
3
4
Il Calcolo Integrale
17 
 4 
17 
 4 
15  3ln 4
2 x2  3
1 x dx
3
3 3x  2
1 x dx
4
 26  2ln 3

5
 sen x  cos x  dx
1  2 


6

1  2 


7

8
4
0

2

4
2
0
(cos x  sen x)dx
xe
1
0
2 x3
dx
9
2 x 3  3 x 2  10 x  9
dx
 1
x2
10

3

1
2
0

1
2
0
11
12
13
1
6
3
4

2
14
15
16
 e4  1
 2 


 e  1
 3 
 28

 3  ln 3
5
 213
 2  3ln 2 
2
xe x dx


4
0
x3  2 x 2  2 x  2
dx
x 1
2x
dx
1 x
8  5 2 


 3 
8  3 6 


 3 
 2 


 8 
 2 


 8 
  2
1 

8 

 2

 2  1

 8

2x
dx
1 x
sen x
dx
1  2 cos 2 x
cos x
dx
1  2sen 2 x

  x  1 sen x dx
4
0

  x  1 cos xdx
4
0
IL CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE
Disegna le superfici delimitate dall’asse x e dal grafico delle funzioni seguenti, definite negli intervalli
indicati, poi calcolane l’area.
17
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
1
y  e x  1 ,  0; 2 .
2
y  e x  2 ,  0;1 .
3
y   x2  2 x ,  1; 2 .
4
y   x2  2 x ,  2;1 .
5
y  x3  6 x2  11x  6 , 1;3
6
y  x3  3x2  2 x ,  0; 2 .
7
Determina l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta di equazione
8
e2  1
e  1
8 
 3 
8 
 3 
1
 2 
1
 2 
2x  2 y  9  0 e
2
 63

 3ln 4 
dall’iperbole di equazione y  .

x
8

Determina l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta di equazione 2 x  2 y  9  0 e
2
 63

 3ln 4 
dall’iperbole di equazione y   .

x
8

Esercizi di riepilogo sugli integrali
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3x  2
dx
 6x 1
2
 x2  8x  18 dx
1
 4 x 2  4 x  3 dx
 9x
2
x4
dx
 2x  3
x2
 x 2  2 x  5 dx
x2
 x 2  2 x  5 dx
2x 1
 x3  1 dx
x 3
 1  x3 dx
5x4  2 x2  4 x
 3x5  2x3  6x2  3 dx
x3  2 x
 x4  4 x2  1 dx
3x  1
 x  2 dx
x
2
18
R. Capone
Analisi Matematica
2x 1
12
 2 x  1 dx
2x 1
dx
 2 x  24
x7
 x 2  2 x  8 dx
x 1
 x2  8x  16 dx
13
x
14
15
16
∫
18
∫√
20
∫
∫
∫
|
∫
|
∫
26
28
)
√
23
27
(
√
∫
21
25
√
∫
19
24
2
∫
17
22
Il Calcolo Integrale
∫
|
|
∫
√
∫
√
29
30
31
32
33
34
∫
|
∫
∫
(
)
(
)
∫
∫
√
√
∫
19
|
R. Capone
Analisi Matematica
35
∫
36
∫
39
)
√
(
√
√
)
√
(
)
∫
41
∫
42
(
∫
43
∫
44
∫
46
(
|
)
|
|
√
∫
47
|
√
|
√
)
√
|
√
∫
45
∫
48
(
∫
49
)
∫
50
∫
51
(
∫
∫
53
56
√ (
∫√
40
55
)
∫
38
54
√ (
√
∫√
37
52
Il Calcolo Integrale
∫
∫
∫
∫
(
(
)
(
)
(
)
) (
)
20
)