R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI
Integrazione di funzioni elementari
dx x c
x dx
Integrazione di funzioni composte
x 1
c
1
f ( x)
1
1
a
2
2
1
C
1
f '( x)
dx ln f ( x) c
f ( x)
f '( x)
1 f 2 ( x) dx arctan( f ( x)) c
x dx ln x c
1 x
f ( x)
f '( x)dx
dx arc tan x c
1
1
x
dx arc tan c
2
x
a
a
x
x
e dx e c
e
ax
a dx ln a c
1
1 x2 dx arcsin x c
1
1 x2 dx arccos x c
∫
( )
( )
( )
( )
[ ( )]
√
( )
∫
cos xdx sin x c
sin xdx cos x c
f '( x)dx e f ( x ) c
( )
∫
x
f ( x)
( )
[ ( )]
√
f '( x) cos f ( x)dx sin f ( x) c
f '( x) sin f ( x)dx cos f ( x) c
tan xdx ln cos x c
∫
∫
( ) ( )
( )
∫
∫
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
∫
( )
( )
∫
( )
∫
∫
∫
∫
( )
( )
( )
GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI
Calcola i seguenti integrali.
1
x
2
2x
3
2 x 2 x 2 dx
3
x 2 3x 3 dx
18
3
4
1 x2 1 x2 dx
19
x
1
2
x3 1dx
R. Capone
3
4
5
6
7
8
9
10
Analisi Matematica
1 1 1
x x x 2 dx
1 1
1
x x x 3 dx
20
x
21
7 x6 10 x 4 2 x3
2x7 4x5 2x2 4 dx
x3 x 2 3x 2
dx
x2
2 x3 2 x 2 x 4
dx
x2
3x
1 x 2 dx
x
2 1 x2 dx
x2
x3 1 2 dx
22
6 x2 12 x 6 x 4
x3 3x2 x3 7 dx
sen x
e cos xdx
x
x3
4
1
2
25
e x e x
ex e x dx
2e2 x e x
e2 x e x dx
26
cos x
sen xdx
1
3
4
1
28
3x 2 x 1 dx
29
4x
12
3e
x
sen x 3 x dx
17
e
cos x 3 x dx
16
24
2 x 1 x 5 dx
x
15
x4 2dx
3
27
2e
14
23
dx
11
13
Il Calcolo Integrale
4sen 3 x cos x sen 3x
dx
sen x
4cos3 x 2sen x cos 3x
dx
cos x
2
5
2
1 x 1 x2 dx
30
5x1
1 52 x dx
33
3x 2
1 32 x dx
34
2x 1
dx
2
1
x 2 3x 9
x3 27 dx
x3
1 x8 dx
x4
1 x10 dx
31
32
1 ex
x e ln x e
x
2 cos x
Teorema di integrazione per parti
∫
( )
( )
nell’intervallo [a,b], si ha:
[ ( )
2
dx
1 2 x sen x ln 1 2 x sen x
L’INTEGRAZIONE PER PARTI
Se f e g sono due funzioni reali di classe
x 2
( )]
∫
( ) ( )
2
dx
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
Dimostrazione:
pressoché ovvia. Essendo per la regola di derivazione del prodotto di due funzioni:
(
)( )
( ) ( )
( ) ( )
si ha
∫ (
)( )
[ ( )
( )]
∫
da cui l’asserto.
3
( ) ( )
∫
( )
( )
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
Es.1
Si calcoli il seguente integrale
∫
La funzione integranda si presenta come il prodotto di due funzioni. L’integrale si risolve seguendo la
formula dell’integrazione per parti
∫ ( ) ( )
( )
( )
∫
( )
( )
Avendo indicato con ( ) una primitiva di ( ) e avendo scelto ( ) come fattore finito e ( ) come
fattore differenziale. Nel nostro caso:
∫
∫
Es.2
Si calcoli il seguente integrale
∫√
In questo esercizio, la scelta di
primitiva. Pertanto, si ha:
come fattore finito è obbligata perché non se ne conosce una
∫√
√
√
Es.3
Si calcoli il seguente integrale
∫
Anche in questo caso, la scelta di
come fattore finito è obbligata. Si ha:
∫
∫
(∫
∫
∫
(
)
)
NB: la scelta del fattore differenziale dipende sostanzialmente da due condizioni; deve essere una funzione
di cui si conosce con semplicità la primitiva; inoltre deve essere tale che il nuovo integrale che compare
dall’applicazione della formula di integrazione per parti sia di difficoltà pari o minore a quello di partenza.
Alcuni artifici ed esempi
Es.4
Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
∫
|
∫
∫
∫
|
|
|
Es.5
Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
4
∫
R. Capone
Analisi Matematica
∫
∫
Il Calcolo Integrale
|
∫
∫
∫
∫
∫
(
|
(
|
)
|
|
|
)|
|
|
|
Es.6
Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
|
(
|
)
( )
Calcola i seguenti integrali.
1
2
3
4
5
6
7
8
x 2 sin xdx
x 3 cos xdx
x l ogxdx
x l ogxdx
e arctg e dx
16
1
x arctg 2 x dx
x
2
3 sin 2 x dx
21
2
23
18
∫
4
19
∫
20
∫
x
cos 2 3x dx
∫
24
10
∫
25
11
∫
26
13
14
∫
∫
∫
(
)
∫
∫
∫√
(
∫
∫√
28
∫
5
)
∫
27
29
(
∫
22
9
12
∫
3
2x
x
17
∫
∫
√
)
R. Capone
Analisi Matematica
15
Il Calcolo Integrale
30
∫
∫
(
)
L’INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Per calcolare l’integrale
N ( x)
D( x) dx di una funzione in cui il grado del denominatore sia maggiore del
numeratore
si scompone D(x) nel prodotto di fattori irriducibili;
si riscrive la funzione integranda come somma di frazioni semplici aventi come denominatore i
fattori di D(x);
si applicano le regole di integrazione immediata
ax b
ax b
A
ax b
n
ax2 bx c; 0
1
x x 1 x 2
A
B
C
N
...
2
3
n
ax b ax b ax b
ax b
x 1
A
B
C
2
x 1 x 1 x 13
3
2x 1
x 1 x 2 2
Ax B
ax bx c
2
∫
√
∫
∫
∫
∫
x2 1
∫
(
|
6
∫
)
)
|
√
(
∫
A
B
C
x x 1 x 2
(
)
∫
A
Bx C
2
x 1 x 2
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
Se il grado del Denominatore è minore o uguale al grado del Numeratore si procede alla divisione dei due
polinomi
N ( x)
R( x)
D( x) dx Q( x)dx D( x) dx
dove R(x) e Q(x) sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione.
1
∫
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
3
∫
4
∫
5
∫
6
∫
31
(
32
33
8
∫
38
9
∫
39
40
∫
11
∫
41
12
∫
42
43
∫
14
∫
44
15
∫
45
∫
17
∫
18
19
20
21
22
∫
∫
∫
∫
∫
46
(
)
(
)
∫
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
47
∫
48
49
(
∫
36
37
16
∫
35
∫
13
∫
34
7
10
∫
)
50
(
)
(
)
(
)
51
52
7
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
R. Capone
Analisi Matematica
23
∫
24
∫
25
26
∫
∫
27
28
29
30
53
(
)
(
)
∫
54
55
(
)
(
∫
)
57
(
∫
)
58
(
∫
)
∫
59
∫
60
(
)
(
(
∫
(
)
∫
56
∫
∫
Il Calcolo Integrale
∫
(
)
)
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
)(
)
∫
(
L’INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
∫ (
( )
)
∫ (
∫ (
)
)
√
∫ (√ )
Integrali del tipo
∫ (
1
)
(
∫
8
)
(
)
R. Capone
Analisi Matematica
2
Il Calcolo Integrale
|
∫
3
|
∫
4
(
√
∫
5
(
√
(
)
)
|
∫
6
(
∫
7
∫
8
)(
|
)
|
(
)
√
(
|
√
)
)
(
∫
)
√
√
9
Integrali del tipo
∫ (
1
∫
2
∫
3
∫
4
∫
5
∫
6
8
12
∫
|
∫
|
∫
10
11
|
∫
7
9
)
(
∫
∫
∫
|
)
(
|
)
(
|
)
|
|
|
)
(
|
|
|
|
|
|
|
|
Integrali del tipo
∫
∫
∫
Per n=1 ricorriamo ad una sostituzione con formule parametriche. Per n=2 si ricorre ad artifici.
9
|
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
Es.7
Si risolva il seguente integrale
∫
∫
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Alcuni integrali di espressioni trigonometriche si risolvono con formule di ricorrenza
Es. 8
Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
∫
Vale la seguente formula di ricorrenza di cui si omette la dimostrazione
∫
∫
Analogamente per il secondo e il terzo:
10
R. Capone
Analisi Matematica
∫
Il Calcolo Integrale
∫
∫
∫
Integrali del tipo
∫
√
(
)
La sostituzione da effettuare è:
√
che fornisce:
(
(
)
)
Un caso particolare è dato quando la funzione integranda presenta due o più radici con indice diverso. Il
questo caso basta porre uguale a t la radice n-sima di un certo radicando, dove n rappresenta il m.c.m. degli
indici.
Es. 9
Si calcoli il seguente integrale
∫
√
√
Si adopera la sostituzione:
√
che fornisce:
∫
√
(
∫
√
E quindi:
∫
√
√
√
√
√
11
(
√ )
)
R. Capone
Analisi Matematica
1
∫
(
)
Il Calcolo Integrale
√
√
2
3
∫
4
5
√
∫
√ (
√
(
√
√
(
)√
∫
(
√
√ ( √
)
√
)√
(
(
√
√
10
∫
∫
12
∫
∫
√ )
√
∫
11
)
√
∫
9
)
√(
∫
8
13
)
√
√
6
7
√
√
∫
∫
)
√
(
√ )
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(
√
)
12
R. Capone
Analisi Matematica
14
Il Calcolo Integrale
√
∫
(
√(
15
∫
) (
√
)
)
√
√ (
)
√
Integrali del tipo
∫
( √
)
Caso
Un integrale del genere si risolve per sostituzione. La sostituzione fa effettuare è
√
√ (
)
(
(
)
)
In questo modo l’integranda si riduce a una funzione della variabile t:
√
√ (
)
√ (
)
A titolo di esempio:
∫
√
ammette come soluzione, facilmente verificabile tramite la sostituzione appena vista:
∫
16
17
18
19
20
√
∫
∫
∫
∫
√
|
√
√
√
√
∫√
13
√
|
R. Capone
Analisi Matematica
21
∫
22
√
∫
23
√
∫
24
√
∫
25
∫
26
∫
27
∫
28
∫
29
∫
30
Il Calcolo Integrale
∫
√
√
√
√
√
√
√
Caso
La sostituzione da effettuare in questo caso è la seguente:
√
dove
sono le soluzioni del polinomio sotto radice, che avrà un
.
Dalla sostituzione si ricava:
(
(
√
(√| |
)
)
√| |(
)
A titolo di esempio:
∫
√
√| |
√
Come si può facilmente verificare ammettendo la sostituzione appena vista.
31
32
33
∫
∫
∫
√
√
√
14
)
R. Capone
Analisi Matematica
34
∫
35
∫
36
∫
37
∫
38
∫
√
√
√
√
(
)
√
39
∫√
40
∫√
41
Il Calcolo Integrale
∫√
Altri esempi
Es. 10
Si calcoli il seguente integrale
∫
Possiamo procedere per sostituzione di variabile, ponendo
Si ottiene così:
∫
∫
NB. La sostituzione
∫
(
è possibile ogni volta che l’elemento ( )
)
è invariante rispetto a
Es. 11
Si calcoli il seguente integrale
∫
Tale integrale può essere considerato un particolare caso di integrali del tipo:
∫
15
∫(
)
R. Capone
Analisi Matematica
∫
Il Calcolo Integrale
∫
)
∫(
(
)
) (
∫(
)
Es. 12
Si calcoli il seguente integrale
∫
∫
∫
Integrando per parti, si ottiene:
∫
∫
∫
∫(
)
∫
Portando il valore dell’ultimo integrale a primo membro e sfruttando la proprietà di additività si ha:
∫
∫
Essendo poi:
∫
)
∫(
(
)
segue che
∫
Formula di Newton-Leibnitz o secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia f :[a, b] R una funzione che ammette una primitiva F su [a,b]. Se f è integrabile si ha:
b
b
f ( x)dx G( x)
a
G (b) G (a)
a
Tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.
16
R. Capone
1
Analisi Matematica
x
3
x 2 dx
x
3
x 1 dx
2
1
2
2
1
3
4
Il Calcolo Integrale
17
4
17
4
15 3ln 4
2 x2 3
1 x dx
3
3 3x 2
1 x dx
4
26 2ln 3
5
sen x cos x dx
1 2
6
1 2
7
8
4
0
2
4
2
0
(cos x sen x)dx
xe
1
0
2 x3
dx
9
2 x 3 3 x 2 10 x 9
dx
1
x2
10
3
1
2
0
1
2
0
11
12
13
1
6
3
4
2
14
15
16
e4 1
2
e 1
3
28
3 ln 3
5
213
2 3ln 2
2
xe x dx
4
0
x3 2 x 2 2 x 2
dx
x 1
2x
dx
1 x
8 5 2
3
8 3 6
3
2
8
2
8
2
1
8
2
2 1
8
2x
dx
1 x
sen x
dx
1 2 cos 2 x
cos x
dx
1 2sen 2 x
x 1 sen x dx
4
0
x 1 cos xdx
4
0
IL CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE
Disegna le superfici delimitate dall’asse x e dal grafico delle funzioni seguenti, definite negli intervalli
indicati, poi calcolane l’area.
17
R. Capone
Analisi Matematica
Il Calcolo Integrale
1
y e x 1 , 0; 2 .
2
y e x 2 , 0;1 .
3
y x2 2 x , 1; 2 .
4
y x2 2 x , 2;1 .
5
y x3 6 x2 11x 6 , 1;3
6
y x3 3x2 2 x , 0; 2 .
7
Determina l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta di equazione
8
e2 1
e 1
8
3
8
3
1
2
1
2
2x 2 y 9 0 e
2
63
3ln 4
dall’iperbole di equazione y .
x
8
Determina l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta di equazione 2 x 2 y 9 0 e
2
63
3ln 4
dall’iperbole di equazione y .
x
8
Esercizi di riepilogo sugli integrali
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3x 2
dx
6x 1
2
x2 8x 18 dx
1
4 x 2 4 x 3 dx
9x
2
x4
dx
2x 3
x2
x 2 2 x 5 dx
x2
x 2 2 x 5 dx
2x 1
x3 1 dx
x 3
1 x3 dx
5x4 2 x2 4 x
3x5 2x3 6x2 3 dx
x3 2 x
x4 4 x2 1 dx
3x 1
x 2 dx
x
2
18
R. Capone
Analisi Matematica
2x 1
12
2 x 1 dx
2x 1
dx
2 x 24
x7
x 2 2 x 8 dx
x 1
x2 8x 16 dx
13
x
14
15
16
∫
18
∫√
20
∫
∫
∫
|
∫
|
∫
26
28
)
√
23
27
(
√
∫
21
25
√
∫
19
24
2
∫
17
22
Il Calcolo Integrale
∫
|
|
∫
√
∫
√
29
30
31
32
33
34
∫
|
∫
∫
(
)
(
)
∫
∫
√
√
∫
19
|
R. Capone
Analisi Matematica
35
∫
36
∫
39
)
√
(
√
√
)
√
(
)
∫
41
∫
42
(
∫
43
∫
44
∫
46
(
|
)
|
|
√
∫
47
|
√
|
√
)
√
|
√
∫
45
∫
48
(
∫
49
)
∫
50
∫
51
(
∫
∫
53
56
√ (
∫√
40
55
)
∫
38
54
√ (
√
∫√
37
52
Il Calcolo Integrale
∫
∫
∫
∫
(
(
)
(
)
(
)
) (
)
20
)
