capitolo
settimana
I
1
Le fazioni e i numeri decimali
ripassiamo
Le frazioni
Le frazioni si indicano così:
a
b
numeratore
denominatore, con b ≠ 0
Per esempio:
5
8
Il denominatore indica in quante parti uguali è stato diviso l’intero,
il numeratore indica quante parti vengono prese in considerazione.
Tutti i numeri che si possono ottenere come rapporto di due numeri
interi sono detti razionali. L’insieme dei numeri razionali si indica
con il simbolo ℚ.
a, b ∊ ℕ, b ≠ 0,
a
b ∈ℚ
1
La frazione unitaria n
indica ciascuna delle n
parti in cui è stato diviso
l’intero. Per esempio:
1
7
5
• Se a < b, la frazione è propria ed è minore di 1. Per esempio: 6 ;
15
• se a > b, la frazione è impropria ed è maggiore di 1. Per esempio: 6 ;
6 12
• se a = b oppure a = n × b, la frazione è apparente ed è uguale a un intero. Per esempio: 6 , 6 .
Frazioni equivalenti
Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero (diverso da zero),
il valore della frazione non cambia. Le frazioni si dicono equivalenti.
Per esempio:
In questo caso il
simbolo = indica
3
18
3
18
3
3×6
18
equivalenza.
2 e 12 sono frazioni equivalenti, per cui 2 = 12 .
2 = 2 × 6 = 12
Numeri misti
Una frazione impropria si può scrivere sotto forma di numero misto. Per esempio:
7
4
7
4
3
3
4 = 4 + 4 =1+ 4
Semplificare le frazioni
Le frazioni in cui esiste un massimo comune divisore (M.C.D.) fra il numeratore e il denominatore si dicono semplificabili o riducibili ai minimi termini.
Per semplificare una frazione si applica la proprietà invariantiva delle divisioni; si dividono il numeratore e il denominatore per lo stesso numero.
2
settimana
I
capitolo
1
18
18 : 2
9
M.C.D. (18, 14) = 2
14
14 : 2 = 7
È sempre possibile semplificare una frazione quando il numeratore e il denominatore hanno un
divisore comune.
Per esempio:
Addizioni di frazioni
• Caso 1: frazioni con lo stesso denominatore
Si devono sommare i numeratori, tenendo invariato il denominatore comune.
3
1
2
3
1+2+3
6
3
=4 =2
4 + 4 + 4 =
4
2
• Caso 2: frazioni con denominatore diverso
Dobbiamo cercare le frazioni equivalenti a quelle date che abbiano lo stesso denominatore.
Per ridurre le frazioni allo stesso denominatore è necessario calcolare il minimo comune
multiplo (m.c.m.) dei denominatori e applicare la proprietà invariantiva al numeratore e al
denominatore.
2 3
3
4 + 7+ 8 =
m.c.m. (4, 7, 8) = 56
3
3 # 14
42
4 = 4 # 14 = 56
2
2#8
16
7 = 7 # 8 = 56
3
3#7
21
8 = 8 # 7 = 56
3
2
3
42
16
21
42 + 16 + 21
79
= 56
4 + 7 + 8 = 56 + 56 + 56 =
56
Sottrazioni di frazioni
Per le sottrazioni si procede come per le addizioni.
• Caso 1: frazioni con lo stesso denominatore
1
9 5
9–5
4
1
8–8 = 8 = 8 = 2
2
• Caso 2: frazioni con denominatore diverso
5
11 7
66 56
10
5
8 – 6 = 48 – 48 = 48 = 24
24
Moltiplicazioni di frazioni
Si moltiplicano i numeratori fra di loro e i denominatori fra di loro.
8 2
8#2
16
7 # 5 = 7 # 5 = 35
3
1 capitolo
settimana
I
È possibile semplificare il numeratore di una frazione con il denominatore di un’altra (semplificazione incrociata).
1
13
7
1 7
7
Semplificando il 13 con il 26 si ottiene 8 # 26 = 8 # 2 = 16
2
Divisioni di frazioni
Per dividere tra loro due o più frazioni, il dividendo va
moltiplicato per la frazione inversa del divisore.
4
8 2
8 5
20
7 ∶ 5 = 7 ×2 = 7
1
Ricorda: la
semplificazione
incrociata non
è possibile per
le addizioni e le
sottrazioni!
1
4+7 =
8
9
2
una
La frazione inversa di
,
che
ne
frazione è la frazio
stessa,
ne
zio
fra
alla
ta
moltiplica
dà come risultato 1.
ne in
In altre parole, è la frazio tore
na
mi
no
de
e
ore
rat
me
cui nu
sono scambiati.
3
7 è la frazione inversa di 7
3
Potenze di frazioni
• Caso 1: per elevare una frazione compresa in una parentesi a una potenza n, occorre
elevare sia il numeratore sia il denominatore all’esponente n.
S
5 X2 S 52 X 25
4 = 42 = 16
• Caso 2: nelle frazioni in cui solo il numeratore è elevato a una potenza n, occorre elevare
solo il numeratore all’esponente n.
72
49
3 = 3
• Caso 3: nelle frazioni in cui solo il denominatore è
elevato a una potenza n, occorre elevare solo il denominatore
all’esponente n.
1
9
1
9
62 = 36 = 4
4
ile
Ricorda: è sempre possib
ne
zio
fra
a
un
e
semplificar
il
quando il numeratore e
un
o
nn
ha
e
denominator
M.C.D.
divisore comune che è
natore.
mi
no
de
tra numeratore e
7
56 = 56∶ 8 =
5
40∶ 8
40
8
=
)
40
,
M.C.D. (56
Espressioni con le frazioni
Per risolvere un’espressione:
• esegui prima le potenze, se presenti;
• esegui poi le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui si trovano;
• esegui infine addizioni e sottrazioni nell’ordine in cui si trovano.
Se ci sono parentesi:
• esegui prima tutti i calcoli dentro le parentesi tonde ( );
• esegui poi tutti i calcoli dentro le parentesi quadre [ ];
• esegui infine tutti i calcoli dentro le parentesi graffe { }.
4
settimana
I
tempo:
esercitiamoci
capitolo
1
2h
1 Osserva la figura e rispondi indicando la frazione ridotta ai minimi termini.
Quale frazione delle figure è
a. rossa ………
b. sole giallo ………
c. gialla ………
d. cuore ………
e. azzurra ………
stella ………
g. cuore rosso ………
h. verde ………
f.
2 Disegna un modello per le seguenti frazioni.
3
2
1
1
c. 7
d. 2
e.
5
Ci sono frazioni equivalenti? ………
Se sì, quali? ……………………………………………………………………
a. 6
b.
6
3
f.
8
4
3 Confronta le frazioni, inserendo i simboli >, < o =.
3
6
a. 5 … 5
b.
c.
d.
e.
1
5
1
3
1
4
3
5
…
…
…
…
3
5
3
3
1
5
3
6
8 … 4
4
2
9 … 9
g. 8
3
12 … 12
h. 13
25
5 … 10
i. 4
8
15 … 16
j.
8
8
f.
Se due frazioni hanno
e,
lo stesso denominator
con
ne
zio
fra
è maggiore la
il numeratore maggiore.
Se due frazioni hanno
,
lo stesso numeratore
con
ne
zio
fra
la
e
ior
gg
è ma
re.
no
mi
e
il denominator
5
1 capitolo
I
settimana
esercizi invalsi
Quale numero puoi inserire nel quadratino per rendere
vera la seguente disuguaglianza?
2 <
<3
5
10 5
Se due frazioni hanno
natore
numeratore e denomi
rle
nta
diversi, per confro
ni
occorre trovare le frazio
sso
ste
lo
con
nti
ale
equiv
denominatore.
(INVALSI a.s. 2011/2012)
Quale fra le seguenti disuguaglianze è quella corretta?
A
3 <3 < 3
10 5 20
B
4 < 3 < 11
10 5 20
5 < 3 < 13
10 5 20
C
D
7 < 3 < 13
10 5 20
(INVALSI a.s. 2010/2011)
4 Quale numero manca?
2
6
a. 3 =
b. 8 =
15
5
c.
d.
6
7 = 21
7
42
9 =
e.
f.
6
5 = 35
9
4 = 36
13
5 = 25
6
3
h. 15 =
g.
i.
8
16
3 =
j.
9
4 = 16
5 Riduci le seguenti frazioni ai minimi termini.
12
a. 16 =……
18
b. 45 =……
56
70 =……
27
d. 9 =……
c.
e.
f.
36
15 =……
16
4 =……
63
7 =……
9
h. 15 =……
g.
i.
j.
6 Calcola e, quando possibile, riduci le frazioni ai minimi termini.
1
4
…… + ……
= ……
6
6
7
3
…… + ……
= ……
b. 5 + 5 =
5
5
3
12
+
…… ……
= ……
c. 9 + 9 =
9
9
a. 6 + 6 =
6
d.
e.
f.
8
36 =……
48
28 =……
13
5
…… + ……
= ……
12 + 12 =
12
12
3
5
…… + ……
= ……
2+2 =
2
2
7
5
…… + ……
= ……
15 + 15 =
15
15
settimana
I
capitolo
1
7 Calcola e, quando possibile, riduci le frazioni ai minimi termini.
1
3
4
4
3
5
2
4
a. 5 + 7 = ……
e.
b. 5 + 7 = ……
f.
c. 8 + 6 = ……
g.
d. 5 + 9 = ……
h.
6
2
6
5
7
3
2
9
6
+ 7 = ……
12
+ 8 = ……
5
+ 8 = ……
13
+ 12 = ……
8 Calcola e, quando possibile, riduci le frazioni ai minimi termini.
– ……
=
8
…… – ……
12 5
=
b. 7 – 7 =
7
…… – ……
14 5
=
c. 3 – 3 =
3
9
4
a. 8 – 8 =
……
……
8
……
7
……
3
…… – ……
……
19 5
= 2
2 –2 =
2
…… – ……
……
28 4
= 10
e. 10 – 10 =
10
…… – ……
……
9 5
= 6
f.
6–6 =
6
d.
9 Calcola e, quando possibile, riduci le frazioni ai minimi termini.
12
8
8 – 7 = ……
15
5
b. 7 – 8 = ……
19
7
c. 6 – 9 = ……
9
5
d. 4 – 8 = ……
a.
1 – 1 = ……
2
13
5
f.
8 – 7 = ……
7 2 ……
g.
2 – =
15
3
h.
3 – 8 = ……
e.
7
1 capitolo
settimana
I
10 Calcola e, quando possibile, riduci le frazioni ai minimi termini.
9
16
a. 8 × 12 = ……
12
16
8 × 15 = ……
17
15
c. 5 × 34 = ……
24
6
d. 12 × 8 = ……
b.
e.
f.
g.
h.
64
9
27
18
40
18
13
5
5
× 8 = ……
15
× 36 = ……
15
× 25 = ……
15
× 39 = ……
11 Calcola e, quando possibile, riduci le frazioni ai minimi termini.
13
26
a. 6 ∶ 18 = ……
1
5
9
27
b. 2 ∶ 4 = ……
c. 2 ∶ 18 = ……
35
5
d. 8 ∶ 16 = ……
e.
f.
g.
h.
9 18
12 ∶ 8 = ……
25 5
24 ∶ 8 = ……
9 15
35 ∶ 28 = ……
42 21
13 ∶ 26 = ……
12 Calcola e, quando possibile, riduci le frazioni ai minimi termini.
2
a. 6 = ……
9
92
b. 3 = ……
4
12
=……
c.
33
2 3
d. S X = ……
4
24
= ……
82
2
22
f. S 5 X = ……
9
= ……
g.
82
24
=……
h.
23
e.
esercizio invalsi
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).
V
a.
b.
c.
F
3 è il triplo di 2
2
3 è la metà di 3
2
3 è il doppio di 3
2
4
(INVALSI a.s. 2012/2013)
8
settimana
I
capitolo
1
13 Inserisci i numeratori e i denominatori mancanti.
2
a. 4 +
7 15
3
4× =4
9 4
3
=2
f. 8 ×
27 15
9
= 25
g. 25 :
12 4
9
=4
h. 8 :
6 =1
e.
3
7
5 + 5 =5
12
5=7
c. 4 –
4
b.
d. 8 –
7
2
7 =7
14 I calcoli sono stati svolti correttamente? Correggi gli eventuali errori.
5
5
15
81
6 + 2 × 8 – 27 × 35 =
5
5 9
= 6+4 – 7 =
67
70 + 105 – 108
=
= 84
84
F" 32 × S 1 – 25 X% – 35 + 2 – 53 I – 38 =
3
5+2
3
5
3
= F" 2 × S 5 X% – 5 + 2 – 3 I – 8 =
3
10
3
5
3
= F" 2 × S 5 X% – 5 + 2 – 3 I – 8 =
3 + 10
3
5
3
= F" 2 × 5 % – 5 + 2 – 3 I – 8 =
13
3
5
3
= F" 10 % – 5 + 2 – 3 I – 8 =
39 – 18 + 60 – 50
=F
I – 38 =
30
31
3
= 30 – 8 =
79
158
79
248 – 90
= 240 = 240 = 120
120
9
1 capitolo
settimana
I
15 Calcola.
a.
1
1
F" 14 + S 3 – 23 X% – 30
24 + 1 – 2 I – 4 =
b.
3
5
=
F"S 25 × 96 + 69 × 32 X × 18
% + S 2 – 12 X × 43 I × 18
c.
2
2
2
1 2 3 3
+ S1 – 4 X : S 2 X =
F 72 – " 19 + S1 – 13 X – S 49 X : S 23 X % I × 19
esercizio invalsi
Qual è il risultato della seguente
espressione?
1
2 +1 +1
1
1– 2
C
1
7
4
2
D
4
A
B
(INVALSI a.s. 2009/2010)
10
5
1
16 Date le due frazioni 9 e 3 scrivi e calcola
l’espressione
a. della loro somma;
b. della loro differenza;
c. del loro prodotto;
d. del loro quoziente.
Quale operazione ha dato il risultato maggiore?
settimana
Aree di poligoni semplici
I
capitolo
1
ripassiamo
Osserviamo alcuni poligoni semplici e il calcolo delle loro aree.
Quadrato
A = l × l = l2
Rettangolo
l=2 A
A=b×h
b= A
h
h= A
b
l
h
l
b
Parallelogramma
A=b×h
b= A
h
h= A
b
d1
d2
Rombo
A = d 1 × d2
2
d1 = A × 2
d2
d2 = A × 2
d1
h
b
Triangolo
A= b×h
2
A
×
2
b=
h
A
h= ×2
b
h
b
11
1 capitolo
settimana
I
tempo:
esercitiamoci
17 Completa le tabelle.
b
h
10 cm
14 cm
17 m
23 mm
13 mm
0,6 km
0,8 km
Area
68 m2
4 dm
13,2 dm2
b
h
Area
0,8 cm
1,3 cm
8 mm
24 mm
267,3 cm2
11 cm
10 dm
14 dm
13 m
19,5 m2
d1
d2
Area
47 mm
23 mm
15 m
245 cm2
14 cm
3,4 cm
2,7 cm
17 hm
39 hm
b
h
12,3 km
13,2 km
36 m
42 mm
13 mm
9,6 cm
14,3 cm
l
337,5 m2
Area
2304 m2
14 dm
338,8 dm2
perimetro
Area
100 m2
8m
144 m2
0,4 cm
24 mm
12
1 h 30 min
settimana
I
capitolo
1
18 Le superfici verticali di questa scatola vanno foderate con del materiale antiurto. Calcola
la superficie da ricoprire.
38 cm
52
38 c
m
cm
19 Osserva la figura e calcola l’area della parte colorata.
area = 225 cm2
h = 8 cm
20 Calcola per ciascuna figura le grandezze richieste, quando possibile.
a. A
ABCD
= 7,2 cm2
BC
‾ = 1,6 cm
AB
‾=?
2pABCD = ?
b. A
ABCD
D
C
A
B
= 5976 cm2
BC
‾ = 83 cm
BI
‾=?
AB
‾=?
C
H
B
D
I
A
13
1 capitolo
I
settimana
c. FG = 21 cm
HM = 10 cm
AEFGH = ?
G
H
E
F
M
N
21 Anita ha deciso di ridipingere la sua stanza. Ha disegnato una pianta della sua camera e
ha annotato le misure delle finestre e della porta. Qual è la superficie in metri quadri che
dovrà ridipingere?
5m
2m
3m
2m
1m
3m
14
Altezza stanza: 3 m
Finestra 1: 1 m × 1,5 m
Porta-finestra 80 cm x 2,10 m
Finestra 2: 1,5 m × 1,5 m
Porta: 80 cm × 2,10 m
settimana
Le trasformazioni
della materia
ripassiamo
ed esercitiamoci
I
tempo:
capitolo
1
1h
Le reazioni chimiche
Le trasformazioni fisiche sono quelle in cui non avviene un cambiamento nella composizione
della materia.
Le trasformazioni chimiche sono quelle in cui avviene un cambiamento nella composizione
della materia.
Nelle reazioni chimiche le sostanze di partenza, i reagenti, si trasformano in sostanze diverse, i
prodotti.
Esistono diversi indizi che ci indicano che siamo in presenza di una reazione chimica:
• la formazione di bolle di gas;
• la variazione di colore;
• la precipitazione di un composto solido.
Prova a sciogliere una pasticca effervescente in un bicchiere d’acqua: che cosa osservi?
……………………………………………………………………………………
Prova a mischiare un cucchiaino di bicarbonato di sodio in un
bicchiere di succo di arancia o di limonata: che cosa osservi?
……………………………………………………………………………………
Secondo te è avvenuta una reazione chimica? Perché?
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Prova mettere alcune gocce di limone o di aceto in una tazza di tè: che cosa osservi?
………………………………………………………………………………………………………………………………
Prova ora a sciogliere un cucchiaino di bicarbonato di sodio nella stessa tazza di tè: che cosa osservi?
………………………………………………………………………………………………………………………………
Secondo te è avvenuta una reazione chimica? Perché?
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
Osserva le immagini: che cosa osservi?
……………………………………………………
……………………………………………………
soluzione 1
soluzione 2
……………………………………………………
……………………………………………………
Secondo te è avvenuta una reazione chimica? Perché?
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
15
1 capitolo
I
settimana
Atomi e molecole
La materia è costituita da unità fondamentali, dette atomi.
Gli atomi sono formati da un nucleo (dove si trovano protoni e neutroni) intorno al quale ruotano gli elettroni.
I protoni hanno carica positiva.
I neutroni non possiedono alcuna carica.
Gli elettroni hanno carica negativa.
Il numero dei protoni è uguale al numero degli elettroni e viene detto
numero atomico.
Tutti gli atomi di un elemento hanno lo stesso numero atomico; per esempio,
tutti gli atomi di carbonio hanno numero atomico uguale a 6; questo significa che hanno 6 protoni e 6 elettroni.
–
+
elettrone
protone
–
neutrone
–
–
6+
–
–
–
atomo di carbonio
1 Completa la tabella come nell’esempio.
elemento
protoni
elettroni
numero atomico
idrogeno
1
1
1
magnesio
12
calcio
azoto
20
7
ossigeno
8
ferro
26
Il numero di massa è la somma del numero di protoni e di neutroni.
Gli atomi che hanno lo stesso numero atomico, ma diverso numero di massa, sono detti isotopi.
2 Completa la tabella come nell’esempio.
elemento
protoni
ossigeno
8
neutroni
elettroni
8
ossigeno
carbonio
6
6
6
7
6
6
6
6
L’ossigeno ha numero atomico: ……………
Gli isotopi dell’ossigeno hanno numero di massa: …………… e …………… .
Il carbonio ha numero atomico: ……………
Gli isotopi del carbonio hanno numero di massa: 12, …………… e …………… .
16
numero di massa
18
8
carbonio
carbonio
numero atomico
16
12
13
14
settimana
I
capitolo
1
La tavola periodica degli elementi
Nella tavola periodica gli elementi sono disposti secondo un ordine che dipende dalle loro caratteristiche.
Gli elementi chimici sono ordinati in base al numero atomico crescente.
Consulta una tavola periodica e rispondi alle domande.Ti consigliamo di consultare la Tavola4kids (scaricabile anche come app) all’indirizzo:
http://online.scuola.zanichelli.it/tavola_periodica_kids/
La tavola è interattiva: ogni elemento è accompagnato
da tutti i suoi dati e da una scheda che ne evidenzia
la presenza e l’utilizzo in Biologia, Scienze della Terra,
Astronomia, Storia.
numero
atomico
Puoi vedere e
interagire con
la temperatura
e gli stati
corrispondenti di
ogni elemento.
Puoi vedere e
interagire con 3
tavole tematiche.
Puoi vedere e interagire
con le classi.
Puoi esercitarti
con due giochi
per allenarti a
riconoscere gli
elementi e le loro
proprietà.
Quale elemento ha numero atomico 25? ………………………………
Quale elemento ha come simbolo Mo? ………………………………
Qual è il simbolo dello zolfo? ………………………………
Quale elemento ha numero atomico 36? ………………………………
Qual è il simbolo del rame? ………………………………
Quale elemento ha numero atomico 20? ………………………………
Quale elemento ha come simbolo Se? ………………………………
Qual è il simbolo del cromo? ………………………………
Quale elemento ha come simbolo Mg? ………………………………
Quali sono i gas nobili? (Classe: Gas nobili) …………………………………………………………………
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