PRIMO PROCEDIMENTO
DIAGONALE DI CANTOR
prof Luca Goldoni
Liceo scientifico A.F. Formiggini Sassuolo
c
Introduzione
Quando ci si occupa di insiemi infiniti occorre una estrema cautela
nell’affermare qualsiasi cosa,perchè molto spesso la nostra intuizione, che si
è formata sulla base delle esperienze della vita reale, e quindi è abituata ad
un mondo finito, ci trae in inganno. In questa breve dispensa dimostreremo
che:
TEOREMA DI CANTOR
Esiste una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri naturali N e
l’insieme dei numeri razionali positivi Q+ .A prima vista questo risultato
può sembrare molto strano in quanto, come è noto, N è un insieme discreto,
mentre Q+ è un insieme denso.Questo, da un punto di vista intuitivo
farebbe pensare ad una impossibilità di costruire una corrispondenza
biunivoca.Invece non è cosı̀.
DIMOSTRAZIONE
Immaginiamo di disporre tutte le frazioni con denominatore 0 e numeratore
uguale a 1, 2,3,... su di una riga orizzontale; poi di disporre tutte le frazioni
con numeratore 1 e denominatore 1,2,3... su una riga orizzontale parallela
alla precedente;poi di disporre tutte lefrazioni con numeratore 2 e
denominatore 1,2,3... su una teraz riga orizzontale; ecc ecc. Si otterrà una
tabella doppiamente infinita come quella illustrata:
1
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
...
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
...
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
...
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
...
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
...
..
.
...
Non c’è dubbio che questa tabella contenga la frazione ridotta ai minimi
termini rappresentante un qualunque numero razionale.Per la verità essa
contiene anche tutte le frazioni ad essa equivalenti.Quindi se riusciremo a
costruire una corrispondenza biunivoca tra N e questa tabella, sarà anche
possibile costruire una corrispondenza biunivoca tra N e il sottinsieme di
essa costuituito dalle sole frazioni ridotte ai minimi termini.Per costruire la
corrispondenza procediamo come segue:
Partiamo dalla frazione 0/1 e ci muoviamo con un percorso a zig-zag come
illustrato nella tabella riportata.Alla frazione 0/1 faremo corrispondere il
numero naturale 0, alla frazione 0/2 il numero naturale 1, ecc ecc.(in altre
parole numeriamo i passi del percorso).
0
1
→
.
0
2
1
1
1
2
2
1
2
2
↓ %
.
%
.
%
0
3
0
5
...
1
4
1
5
...
2
3
2
4
2
5
...
1
3
→
.
%
0
4
%
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
...
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
...
↓ %
..
.
...
Cosı̀ facendo abbiamo senza dubbio realizzato una corrispondenza
biunivoca del tipo richiesto.
Per evidenti motivi, a questo schema si dà il nome di procedimento
diagonale.La genialità della trovata è dovuta a G. Cantor matematico di
origine russa della seconda metà del 19◦ secolo.L’aggettivo primo è dovuto
al fatto che esiste anche un secondo procedimento diagonale, sempre dovuto
a Cantor che serve per altri scopi.
2
