LICEO SCIENTIFICO -” F.LUSSANA” - BERGAMO
PROGRAMMA DI MATEMATICA A.S. 2014/2015
CLASSE 2O
Testi in adozione:
Leonardo Sasso: “Matematica a colori - edizione blu”, Algebra vol.2, ed. Petrini
Ascari, Morzenti, Valsecchi: “La geometria del piano e le trasformazioni”, vol.1 e 2 ed. San Marco
Equazioni e disequazioni di primo grado
Equazioni di primo grado, problemi di primo grado (ripasso).
Equazioni letterali intere e fratte.
Disequazioni di primo grado.
Disequazioni
Le disuguaglianze numeriche e le disequazioni. I princìpi di equivalenza. Disequazioni sempre verificate e
disequazioni impossibili. I sistemi di disequazioni. Disequazioni fratte. Risoluzione grafica delle disequazioni.
Radicali
L’insieme numerico R.
Definizione e operazioni fra radicali, radicali simili, razionalizzazione del denominatore delle frazioni, potenze
ad esponente razionale, semplificare un radicale e trasportare un fattore fuori o dentro il segno di radice con
l’analisi delle situazioni critiche.
Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni a coefficienti irrazionali.
Funzioni
L’equazione della retta e della parabola. Interpretazione grafica di equazioni e disequazioni. Intersezioni delle
curve con gli assi cartesiani e intersezione fra curve in casi semplici.
Equazioni di secondo grado ad una incognita
Equazioni di secondo grado numeriche e letterali, intere e fratte: casi particolari, formula risolutiva intera e
ridotta, relazioni fra i coefficienti e le radici dell’equazione, scomposizione del trinomio di 2° grado, equazioni
parametriche.
Ulteriore analisi della funzione parabola (vertice, asse e zeri, segno). Problemi di secondo grado.
Equazioni di grado superiore al secondo
Equazioni binomie, trinomie e biquadratiche.
Equazioni risolubili con opportune sostituzioni o scomposizioni.
Sistemi di equazioni lineari
Sistemi di equazioni, loro grado, loro soluzione con il metodo di sostituzione e addizione. Sistemi determinati,
impossibili, indeterminati e loro interpretazione grafica.
Sistemi simmetrici di secondo grado e di grado superiore al secondo e loro interpretazione grafica.
Problemi risolubili mediante sistemi.
Le altre isometrie
Definizione di vettore e relative proprietà. Relazione di equivalenza. Traslazione, rotazione, simmetria
centrale, come composizioni di simmetrie assiali. Rette tagliate da una trasversale. Teoremi su angoli interni
ed esterni di triangoli e poligoni in generale. Proprietà dei lati di un triangolo in relazione agli angoli.
Congruenza di poligoni
I poligoni congruenti. Condizioni sufficienti per la congruenza. Criteri di congruenza per i triangoli. Criterio di
congruenza per i triangoli rettangoli. Criterio di congruenza per i poligoni.
I quadrilateri e il teorema di Talete
Trapezio, trapezio isoscele, trapezio rettangolo e scaleno e relative proprietà. Parallelogramma e proprietà. La
corrispondenza di Talete e teorema di Talete. L’ ortocentro e il baricentro di un triangolo. Rombo e proprietà.
Rettangolo e proprietà. Quadrato e proprietà.
1
La circonferenza e le sue proprietà
La circonferenza. Le isometrie che trasformano in sé una circonferenza. Circonferenza per n punti. Archi e
corde in una circonferenza. Posizioni reciproche di retta e circonferenza. Rette tangenti e relative proprietà.
Posizioni reciproche di due circonferenze. Angoli al centro e angoli alla circonferenza. Poligoni inscritti e
circoscritti ad una circonferenza.
Le grandezze e la loro misura
Le classi di grandezze geometriche. Le grandezze commensurabili e incommensurabili. La misura di una
grandezza. Le proporzioni tra grandezze. Il teorema di Talete e le sue applicazioni. Teorema della bisettrice.
Teoremi di Euclide e teorema di Pitagora in forma metrica. Relazioni sui triangoli rettangoli con angoli di 30°,
45°, 60°. Problemi di algebra applicati alla geometria.
Omotetia e similitudine
Definizione di omotetia e proprietà. Definizione di similitudine e proprietà. Criteri di similitudine. Applicazioni
della similitudine al triangolo rettangolo: teoremi di Euclide. Applicazione della similitudine alla
circonferenza. Sezione aurea.
Bergamo, 04.06.2015
Il docente
---------------------------------------
I rappresentanti degli studenti
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
LAVORO ESTIVO
Il lavoro proposto per il periodo estivo è da svolgere in modo completo secondo le indicazioni. Se qualche
esercizio creasse qualche problema, è importante riportare comunque il testo e lasciare lo spazio vuoto per
lo svolgimento segnalando in breve perché non si riesce a risolverlo. Riportare un eventuale svolgimento,
anche se errato. Rivedere, per ogni argomento, il lavoro svolto in classe e le spiegazioni del libro di testo.
Alunni con sospensione del giudizio
Si ricorda che gli studenti con sospensione del giudizio dovranno sostenere, prima dell’inizio del prossimo
anno scolastico, una prova d’esame (secondo il calendario che verrà comunicato sul sito) consistente in una
prova scritta e una orale, in cui verranno verificate sia le conoscenze che le abilità operative.
Le schede caricate in Dropbox nella cartella recupero estivo costituiscono il materiale che verrà
utilizzato nei corsi di recupero estivi. Tali schede vanno stampate e portate al corso di recupero.
Gli esercizi svolti al corso e i relativi compiti vanno poi consegnati in sede di esame a settembre. Questo vale
anche per chi non si avvalesse dei corsi.
Si consiglia la lettura di almeno uno dei due seguenti testi:
La serva padrona: fascino e potere della matematica di E. Boncinelli, U. Bottazzini
“I pantaloni di Pitagora – Dio, le donne e la matematica” di Margaret Wertheim
SISTEMI LINEARI
2x y 0
1)
x 2 y 2
2 3x 2 y 3
2)
3x 2 y 6
2 2
R :
;
3
3
9
R : 3;
2
2
3
SISTEMI DI SECONDO GRADO
ESERCIZIO10] Risolvi i seguenti sistemi nelle incognite x e y
1
x y 3
4
4
1)
R : ;1 ; - 1;
3
3
x 2 y 2 xy 13
9
x 2 y 2 20
2
R : 2;4 ; 4;2
xy 8
2
2
x y 39
3)
x y 3
4 y x 8 2
4)
xy x 2
R:
R : 2 3;3 3 ; 3 3;2 3
2 2;2 2 ;
2 1;1 2
ESERCIZIO10] Risolvi e interpreta graficamente i seguenti sistemi:
6 6 y 3x
x 2y 2
1)
y 5
4)
2
y x 2x 3
x 2 y 2 4
7)
x y 0
2y x 2
x 6 2y
2)
2x 2 y 2x 4
5)
2x y 6
xy 4
8)
x 2y 3
y x 2
3)
y x 2x 1
x 2 y
6)
2
x y 1
x 2 y 2 2
9)
xy 1 0
2
SOLUZIONI
1) sistema indeterminato
con soluzione tutte le
coppie 2k 2,k con kR
Graficamente sono rette
coincidenti:
2) (2;2)
Graficamente sono due rette incidenti
in A. La soluzione del sistema è
rappresentata dalle coordinate del
punto comune alle curve: A.
3) sistema impossibile
Graficamente sono una retta
e una parabola che non
hanno alcun punto in
comune.
4
4) (-2;5); (4;5)
Graficamente sono una
retta parallela all’asse x e
una parabola che hanno
due punti in comune. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B.
7) 2 ; 2 ; 2 ; 2
Graficamente sono una
circonferenza con centro
nell’origine degli assi e
raggio 2 e una retta. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B.
5) (1;4) (soluzione doppia)
Graficamente sono una retta e una
parabola che hanno un unico punto
d’intersezione. La soluzione del
sistema è rappresentata dalle
coordinate del punto comune alle
curve: A (con molteplicità doppia)
6)
2 1 2 1
; ;
;
2 2 2 2
Graficamente sono due
parabole che hanno due punti
di intersezione. La soluzione
del sistema è rappresentata
dalle coordinate dei punti
comuni alle curve: A e B.
9) 1;1; 1;1 (con
molteplicità doppia)
Graficamente sono una iperbole e una Graficamente sono una
retta che non hanno alcun punto in
circonferenza con centro
comune.
nell’origine degli assi e
8) Nessuna soluzione reale
raggio 2 e una iperbole. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B (con
molteplicità doppia).
PROBLEMI
1) Un rettangolo ABCD ha i due lati consecutivi AB, BC, di lunghezza 2a ed a rispettivamente. Determina
su CD un punto E in modo che, indicato con M il punto medio di AB, risulti verificata la relazione
2
2
2
AE BE EM
23 2
a
4
2) Calcola le basi e l’altezza di un trapezio rettangolo ABCD sapendo che il lato obliquo BC è lungo 2a,
che l’angolo formato dalla base maggiore AB con il lato obliquo è di 60 ° e che la somma dei quadrati delle
sue diagonali AC e BD è 11a2, verificando che il triangolo ABC è equilatero.
5
3) Sulla diagonale AC di un quadrato ABCD di lato a determina un punto E in modo che, indicate con M ed
N rispettivamente le sue proiezioni ortogonali sui lati AB e BC, sia 13/16a 2 la somma dell’area del
rettangolo BMEN e quella di un quadrato costruito sul segmento DE.
4) Nel triangolo isoscele ABC di base BC di lunghezza 2a gli angoli adiacenti alla base misurano 30°.
Determina sul lato AC un punto D in modo che sia verificata la relazione
2
2
80 2
BD CD
a
27
5) I lati di un rettangolo ABCD sono AB di lunghezza 2a e BC di lunghezza a. Considerati i punti A’, B’, C’,
D’ posti rispettivamente sul prolungamento di DA oltre A, sul prolungamento di AB oltre B, sul
prolungamento di BC oltre C e sul prolungamento di CD oltre D in modo che i segmenti AA’, BB’, CC’ e
DD’ abbiano tutti la stessa lunghezza, determina tale lunghezza in modo che sia 18a 2 la somma dei
quadrati dei lati del quadrilatero convesso A’B’C’D’.
6) Sul lato AD di lunghezza a di un rettangolo ABCD e sui prolungamenti, oltre B e oltre C, del lato opposto
BC sono dati, rispettivamente, i quattro punti D’, A’, B’, C’ con A’ interno al segmento AD’, i quali, con i
vertici del rettangolo, formano segmenti legati dalla relazione
BB' CC' AA'
DD'
4
3
2
Sapendo inoltre che AB e CD hanno entrambi lunghezza 2a, determina i punti A’, B’, C’, D’ in modo che la
somma dei quadrati dei lati del trapezio convesso A’B’C’D’ sia 16a 2.
7) Un parallelogramma ABCD ha i lati AB e CD di lunghezza 4a ed i lati BC e AD di lunghezza 2a e
l’angolo BCD di ampiezza 60°. Considerati, sui lati AB e CD rispettivamente, i punti E ed F tali che sia AE
doppio di DF, determina detti punti in modo che si abbia
2
2
DE BF
64 2
a
5
8) Le diagonali AC e BD di un rombo ABCD sono rispettivamente lunghe 4a e 2a. Considera sulla prima i
punti A’ e C’ in modo che AA’CC’2a e, sui prolungamenti della seconda, considera i punti B’, oltre B e
D’, oltre D, con BB’DD’2AA’. Determina i punti A’, B’, C’, D’ in modo che l’area del rombo avente tali
punti per vertici misuri 6a2.
9) Su una circonferenza di diametro AB di lunghezza 2r determina un punto C in modo che, detta D la sua
2
2
2
proiezione ortogonale sulla tangente in B alla semicirconferenza sia: 2AC + 2CD +BD = 7r 2 .
10) Sui lati CD, BC, AD di un rettangolo ABCD considera, rispettivamente, i punti L, M, N con BM e DN
aventi entrambi lunghezza uguale al doppio della lunghezza di CL. Determina i suddetti punti quando la
lunghezza di CD è a e quella di BC è 2°, mentre la somma dei quadrati dei lati del triangolo LMN è
38 2
a
9
11) Determina le diagonali 2x e 2y di un rombo avente il lato di 52 (cm) e l’area di 48(cm 2). Calcola poi la
misura del perimetro di un rombo simile ad esso avente l’area di 108 (cm 2).
12) Nel triangolo isoscele ABC la base AB misura 4(cm) e la bisettrice dell’angolo di vertice A interseca BC
nel punto D che dista 3(cm) da B. Determina il perimetro del triangolo ABC. Se per D tracci la retta
parallela ad AB che interseca AC in E, qual è il rapporto tra le aree dei triangoli ABC e DCE (senza
calcolarle)?
13) Determina le misure x,y,z dei lati di un triangolo rettangolo sapendo che 2p=40(cm) e A=60(cm 2).
Calcola poi le misure dei raggi della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta e il perimetro
di un triangolo simile a quello dato e la cui area misura 48(cm 2).
6
Problemi di massimo e di minimo
14. Al quadrato ABCD di lato 2 cm vengono tolti i due triangoli rettangoli
isosceli FGD come in figura. Indica con x la misura del lato DF e
rispondi ai seguenti quesiti:
a. Determina l’area A(x) della regione colorata e tracciane il grafico
mettendo in evidenza l’arco che si riferisce al problema;
b. Calcola il valore massimo e il valore minimo dell’area, indicando
anche per quali valori di x si ottengono;
c.
Calcola per quali valori di x risulta 2 A x
12
5
15. Nel triangolo ABC è costante e uguale a 6 la somma della base AB e dell’altezza CH a essa relativa.
Poni AB x e costruisci la funzione A(x) area del triangolo ABC e rispondi:
a. Traccia il grafico di A(x) e metti in evidenza il tratto che si riferisce al problema;
b. Determina il valore massimo e il valore minimo dell’area, indicando anche per quali valori di x si
ottengono;
c.
Calcola per quali valori di x risulta
5
A( x ) 4
2
16. Detto C un punto del segmento AB di lunghezza 3 cm e indicato con x la misura di AC, scrivi la
2
funzione f x AC AB CB e rispondi alle seguenti domande:
a. Traccia il grafico di f(x) e metti in evidenza il tratto che si riferisce al problema;
b. Determina il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x), indicando anche per quali valori
di x si ottengono;
c.
2
Calcola per quali valori di x risulta AC AB CB
Osservazione: il segmento AC che gode di questa proprietà si chiama sezione aurea di AB
2
d. Determina per quali valori di x risulta AC AB CB
Risultati
a
a
a
3
5) AA '
8) AA ' AA ' a
1) DE DE a
2
2
2
2
a
9) CD r
2) DC a
6) DD'
5
a
2
a
3
10) CL CL a
2
8
3) AM AM a
3
3
7) DF a DF a
4
4
5
5
2 3
4) DC
a
9
11) 8 2cm; 6 2cm; 30 2cm
2
A ABC 12
16
A DCE 9
9
13) x 8cm; y 15cm; z 17cm;
12) 2p ABC 28cm;
r 3cm; R
17
cm; 2p 16 5cm
2
14.a. Ax x2 2x 2 Con 0 x 2
b. AMAX 3 Per x=1; Amin 2 per x=0 o x=2
c. 0 x
5 15 5 15
x2
5
5
7
15.a. A x
b. A MAX
1 2
x 3x Con 0 x 6
2
9
Per x=3; Amin 0 per x=0 o x=6
2
c. 1 x 2 4 x 5
16.a. f x x 2 3x 9 Con 0 x 3
b. fMAX 9 Per x=3; fmin 9 per x=0
c. x 3
…d. 3
1 5
2
1 5
x3
2
TEOREMI
1] Due circonferenze di centri O e O' sono tangenti esternamente in A e sia BC una tangente comune e D
il suo punto dì intersezione con la tangente comune in A. Dimostra che:
a) D è il punto medio del segmento BC
b) i triangoli ABC e ODO' sono rettangoli
c) il quadrilatero OBCO' è un trapezio rettangolo
d) il segmento BC è medio proporzionale tra i diametri delle due circonferenze.
2] Si considerino due circonferenze secanti in A e B. Si conduca per A una secante che incontri le
circonferenze in M e N e per B un'altra secante che incontra le circonferenze rispettivamente in M' e N'.
Dimostra che MM'//NN'.
3] Detto P il punto medio dell'arco AB di una circonferenza di centro O, siano PC e PD due corde che
intersecano la corda AB rispettivamente in Q ed R. Dimostra che il quadrilatero CQRD è inscrittibile in
una circonferenza.
4] Sia I un punto della circonferenza circoscritta al triangolo ABC, appartenente all'arco AC. Se L è un
punto dell'arco AB tale che l'angolo LAB sia uguale all'angolo CAI ed M un punto dell'arco BC tale che
l'angolo MCB sia uguale all'angolo ICA, dimostrare che le rette AL e CM sono parallele.
5] Un triangolo ABC ottusangolo in B è inscritto in una circonferenza. Sia P il punto diametralmente
opposto a B e sia Q il punto in cui la perpendicolare in B ad AB interseca il segmento PC ed L il punto
8
in cui la stessa perpendicolare interseca la circonferenza. Dimostra che il quadrilatero BAPL è un
rettangolo e che i triangoli ABC e BPQ sono simili.
6] Un quadrato ha un lato sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo e due vertici sui cateti. Dimostra che il
lato del quadrato è medio proporzionale tra i due segmenti dell'ipotenusa che esso separa.
6] Dato il triangolo ABC isoscele sulla base AB si tracci la semicirconferenza di centro O, punto medio di
AB, e tangente ai lati AC e BC; siano P e Q i due punti di tangenza. Si tracci poi la corda MN del
triangolo, tangente alla semicirconferenza, e sia T il punto di tangenza. Dimostra che AOM, OMN, BNO
sono tra loro simili.
7] Se da un punto dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare ad essa, il
segmento di questa perpendicolare compreso fra l'ipotenusa e la circonferenza circoscritta al triangolo
è medio proporzionale fra i segmenti in cui il punto divide l'ipotenusa.
8] Se un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza, il diametro di questa è medio proporzionale
fra le basi del trapezio stesso.
9] Il triangolo equilatero ABC è inscritto in una circonferenza. Preso un punto D dell'arco BC (che non
contiene A) si chiamino E ed F rispettivamente i punti d'intersezione delle rette AB, CD e AC, BD.
Dimostra che BCE e BCF sono simili.
10] Sono date due circonferenze secanti nei punti A e B. Per il punto A si conducano le tangenti alle due
circonferenze e siano M ed N i punti in cui ciascuna tangente incontra l'altra circonferenza. Dimostra
che la corda AB è media proporzionale fra le corde BM e BN.
11] Sia G il baricentro del triangolo ABC; disegna la retta per G parallela al lato AB e siano P e Q le sue
intersezioni con i lati AC e BC. Dimostra che la retta PQ divide AC e BC in due parti una doppia
dell’altra e che G è punto medio del segmento PQ. Stabilisci:
a) Qual è il rapporto di similitudine dei triangoli ABC e PQC;
b) Qual è il rapporto tra le aree dei suddetti triangoli;
c) Qual è il rapporto tra l’area del trapezio ABQP e quella del triangolo ABC.
12] Nel triangolo ABC rettangolo in A sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa e siano M e N i punti simmetrici
di H rispetto ai cateti AB e AC. Dimostra che:
a) MH HN
b) A è il punto medio di MN
c) La circonferenza circoscritta ad AMBH è tangente in A ad AC
d) La circonferenza circoscritta ad ABC è tangente in A ad MN
e) La circonferenza di diametro MN è tangente in H a BC
f) Le circonferenze di centri B e C e raggi BM e CN sono tangenti a MN e tangenti tra loro
g) ABM e ANC sono simili
Sapendo che AB 3 BH e BC 45(cm) calcola perimetro e area del trapezio BMNC e individua i centri
2
e i rapporti delle due omotetie che trasformano BM in CN.
9
