5a Esercitazione: soluzioni
Monica Bonacina ([email protected])
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2010-2011
Premessa. Con riferimento agli esercizi sulla produzione è convenzione misurare
in ascissa il fattore lavoro (L) ed in ordinata il fattore capitale; inoltre è consuetudine
indicare con w il prezzo del fattore lavoro e con r il prezzo del fattore capitale.
Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora
necessario, di formule e grafici.
Def. 1. Ricavo Marginale.
E’ la variazione di ricavo totale dovuta alla vendita di una unità aggiuntiva di
bene finale.
Def. 2. Costo Marginale.
E’ la variazione di costo totale dovuta alla produzione di una unità addizionale di
bene finale.
Def. 3. Surplus del produttore.
Differenza tra il ricavo effettivamente ottenuto e quello minimo, coincidente con
il costo variabile, che il produttore richiederebbe per fornire il bene.
Def. 4. Surplus del consumatore.
Differenza tra quanto il consumatore è disposto a pagare per una data quantità di
un bene e quanto deve effettivamente pagare.
Def. 5. Concorrenza perfetta.
Struttura di mercato caratterizzata da 1) numerosi piccoli compratori; 2) numerosi
piccoli venditori; 3) omogeneità del prodotto venduto; 4) perfetta informazione; 5)
assenza di vincoli nel lungo periodo (mobilità perfetta dei fattori, assenza di barriere
all’entrata, etc).
Def. 6. Incidenza di fatto di un’imposta.
Variazione nella distribuzione del reddito conseguente all’introduzione di un’imposta.
1
Def. 7. Bene omogeneo.
Beni perfettamente sostituibili, caratterizzati da un saggio marginale di sostituzione costantemente pari ad uno. Sono considerati identici dai consumatori.
Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la
risposta.
Vero/Falso 1. Se la curva di domanda è perfettamente anelastica (e quella di
offerta è inclinata positivamente), l’onere di un’accisa sulla produzione ricade di fatto
sui consumatori.
Vero. Se la curva di domanda è verticale, l’introduzione di un’accisa sui produttori non modifica il prezzo percepito dalle imprese nè i volumi scambiati; il prezzo
pagato dai consumatori aumenta peròdell’importo dell’accisa.
Vero/Falso 2. In concorrenza perfetta, un equilibrio di breve periodo in cui le
imprese subiscono perdite economiche non è un equilibrio di lungo periodo.
Vero. Se il prezzo è inferiore al costo medio di prduzione le imprese cesseranno
l’attiuvità.
Vero/Falso 3. La curva di offerta individuale di un’impresa che non fa il prezzo,
coincide interamente con la curva dei costi marginali.
Falso. La curva di offerta individuale di un’impresa coincide con la curva dei
costi marginali solo per prezzi superiori al minimo dei costi medi.
Vero/Falso 4. Se la curva di offerta è perfettamente elastica (e quella di domanda
è inclinata negativamente), saranno i produttori a beneficiare di un sussidio sul consumo.
Falso. Se la curva di offerta è orizzontale, l’introduzione di un sussidio sul consumo non modifica il prezzo percepito dalle imprese; il prezzo pagato dai consumatori
si riduce dell’importo del sussidio ed i volumi scambiati aumentano.
Vero/Falso 5. Nel breve periodo se il costo marginale è inferiore al costo medio,
l’impresa dovrebbe smettere di produrre.
Falso. Nel breve periodo l’impresa ha convenienza a cessare l’attività se il prezzo
è inferiore al valore minimo del costo medio variabile.
Vero/Falso 6. Considerate un mercato perfettamente concorrenziale nel quale
ciascuna impresa, nell’equilibrio di breve periodo, ottiene profitti pari a 10. Tale
situazione non può essere anche un equilibrio di lungo periodo.
Vero. Stante l’ipotesi di libera entrata, in presenza di profitti positivi altre imprese avranno interesse ad entrare nel mercato.
Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi.
2
Esercizio 1. Il mercato delle calcolatrici opera in regime di concorrenza perfetta.
La funzione di costo totale della singola impresa è: T C(yi ) = 5yi3 − 10yi2 + 30yi , dove
yi indica la quantità prodotta dall’i-esima impresa. (1) Determinare e fornire una
rappresentazione grafica delle funzioni di costo medio e di costo marginale di ciascun
produttore. (2) Calcolare la quantità che la singola impresa produce in condizioni
di equilibrio di lungo periodo. (3) Supponendo che la funzione di domanda del
mercato sia: Y=100-P (dove P indica il prezzo e Y la quantità) calcolate la quantità
complessivamente prodotta ed il prezzo d’equilibrio di mercato
Soluzione. (1) I costi marginali (MC) ed i costi medi (AC) di ciascun produttore
sono
C
TC
2
2
M C = dT
dyi = 15yi − 20yi + 30 e AC = yi = 5yi − 10yi + 30
In ambedue i casi si tratta di parabole. Per la rappresentazione grafica è opportuno individuare il vertice delle due parabole (che rappresenta il minimo delle due funzioni).
Il minimo dei costi marginali è raggiunto in corrispondenza
dMC
dyi
= 0 → 30yi − 20 = 0 → yimin MC =
2
3
con
¡
¡ ¢2
¢2
M C(yimin MC ) = 15 yimin M C − 20yimin MC + 30 = 15 23 − 20 23 + 30 = 16
In maniera analoga il minimo dei costi medi è raggiunto in corrispondenza
dAC
dyi
= 0 → 10yi − 10 = 0 → yimin AC = 1
con
¡
¢2
2
AC(yimin AC ) = 5 yimin AC − 10yimin MC + 30 = 5 (1) − 10 + 30 = 25
Trattandosi di parabole esse saranno decrescenti per volumi di output inferiori al minimo, crescenti dal minimo in avanti (sappiamo anche che i costi marginali eguagliano
i costi medi in corrispondenza di yimin AC )
MC
AC
MC
AC
25
16
2/3
1
yi
(2) Dalla condizione di equilibrio di lungo periodo (p=MC=AC) si ottiene la
seguente quantità prodotta dalla singola impresa
M C = AC → yi∗ = 1
(3) Dalla condizione di equilibrio di lungo periodo (p=MC=AC) si ottiene il
seguente prezzo di equilibrio di mercato
p = M C → p∗ = 25
3
Sostituendo nella curva di domanda si ottengono quindi i volumi complessivamente
scambiati
Y = 100 − p∗ = 100 − 25 = 75
Esercizio 2. In un mercato concorrenziale ciascuna impresa produce con funzione
di produzione q = L0.5 K 0.5 ; nel breve periodo il capitale è fisso a pari a: K = 36.
Il prezzo a cui l’impresa vende il suo prodotto è: P = 32, mentre il costo unitario
del fattore lavoro è: w = 16 (quello del capitale è r=zero). (1) Calcolate la quantità
ottima di lavoro utilizzata dall’impresa e l’output q* che ne deriva. (2) L’impresa,
nel breve periodo, produce? e, se produce, realizza un profitto? Calcolatelo. (3)
Ricavate la funzione di offerta di breve periodo dell’impresa.
Soluzione. (1) La funzione di produzione nel breve periodo (quando il capitale è
fisso) è
q = L0.5 (36)0.5 = 6L0.5
da cui
¡ q ¢2
L=
6
I costi totali di produzione di breve periodo sono quindi
T C(q) = wL + rK = 16L = 16
¡ q ¢2
6
= 49 q 2
Dalla funzione di costo totale è possibile ricavare il costo marginale
M C(q) =
dT C
dq
= 89 q
Stante il prezzo di mercato e l’ipotesi di concorrenza perfetta abbiamo che il volume
ottimo di output è
P = M C → 32 = 89 q → q ∗ = 36
(2) Il costo medio di breve periodo è
AC =
TC
q
= 49 q
Dato che in corrispondenza del livello ottimo ( q ∗ = 36) il prezzo è superiore al costo
medio di produzione l’impresa deciderà di produrre. Il profitto realizzato è
π = P q ∗ − T C(q ∗ ) = 32 (36) − 49 (36)2 = 576
(3) La funzione di offerta dell’impresa nel breve periodo è
p = M C se M C ≥ ACmin
dove ACmin è il minimo del costo medio. Il valore minimo del costo medio è zero (e
si ottiene per un valore nullo di output). Quindi sostituendo abbiamo
p = 89 q se 89 q ≥ 0
ovvero
q = 98 p se q ≥ 0
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Esercizio 3. In Svezia le aziende produttrici di aringhe affumicate operano sostanzialmente in condizioni di concorrenza perfetta. Queste imprese, 11 in totale, hanno tutte
la stessa funzione di costo medio: costante e pari a 12. La funzione di domanda aggregata è la seguente:Qd = 50−P/2. (1) Illustrate brevemente le caratteristiche di un
mercato di concorrenza perfetta. (2) Determinate la quantità di aringhe affumicate
prodotta in equilibrio da ciascuna impresa
Soluzione. (1) Le condizioni che definiscono un mercato concorrenziale sono le
seguenti:
• In concorrenza perfetta il bene venduto da un’impresa è sostituto perfetto dei
beni venduti dalle altre imprese presenti sul mercato.
• Ciascun venditore (ed allo stesso modo ciascun acquirente) assume come dato
il prezzo di mercato. Tale condizione risulta soddisfatta quando il numero dei
venditori e degli acquirenti è elevato.
• Le imprese ed i consumatori dispogono di informazione perfetta
• Non ci sono vincoli nel lungo periodo (mobilità perfetta dei fattori, assenza di
barriere all’entrata, etc).
(2) Un costo medio costante e pari a 12 implica un costo totale di produzione pe
ciascuna singola impresa
T C(qi ) =
AC
qi
→ T C(qi ) = 12qi
ed un costo marginale
MC =
dT C
dqi
= 12
Quindi il prezzo di equilibrio è
P ∗ = 12
Sostituendo nella curva di domanda si ottiene la domanda complessva di aringhe
Q∗ = 50 − P ∗ /2 = 50 − 6 = 44
Supponendo che sul mercato delle aringhe operino 11 imprese e stante la domanda
di mercato, ciascuna produrrà
∗
qi∗ = Q
11 = 4
Esercizio 4. Il mercato del miele opera in regime di concorrenza perfetta. Ciascun
produttore si caratterizza per una funzione di costo totale: T C(yi ) = 10yi2 + 10yi ,
dove yi indica la quantità prodotta dall’i-esima impresa. (1) Calcolate e fornite una
rappresentazione grafica di costi medi e marginali per la singola impresa. (2) Indicate
nel grafico precedente la curva di offerta della singola impresa. (3) Supponendo che
il prezzo di mercato sia p = 100, calcolate la quantità di miele prodotta da ciascuna
impresa ed il relativo profitto. (4) Supponete che lo Stato introduca una tassa del
10% sui profitti. Come variano prezzo e quantità di equilibrio di mercato? Come
varia il profitto dell’impresa?
Soluzione. (1) I costi marginali (MC) ed i costi medi (AC) di ciascun produttore
sono
C
TC
M C = dT
dyi = 20yi + 10 e AC = yi = 10yi + 10
5
In ambedue i casi si tratta di rette con intercetta verticale (0; 10). La pendenza dei
costi marginali (pendenza 20) è però maggiore di quella dei costi medi (pendenza 10).
Graficamente
MC
AC
MC
AC
20
10
10
yi
(2) La curva di offerta della singola impresa è
Curva di off.ta singola impresa
MC
AC
MC
AC
10
yi
(3) Se il prezzo di mercato è pari a 100, stante la curva di offerta rappresentata
sopra, ciascuna impresa sceglierà di produrre
P = M C → 100 = 20yi + 10 → yi∗ =
9
2
ottenendo un profitto pari a
π = P yi∗ − T C(yi∗ ) =
900
2
9
− 10 81
4 − 10 2 = 405. 25
4) Una tassa del 10% sui profitti non modifica le decisioni di produzione delle
imprese ma riduce i profiti delle singole imprese del 10%
Esercizio 5. Tutti i produttori di strumenti hanno la stessa funzione di costo di
lungo periodo: T C(yi ) = yi3 −2yi2 +4yi dove yi indica l’output dell’i-esimo produttore.
La domanda di mercato è data da Y=100-10p. Ipotizzate libertà di entrata nel
mercato. (1) Determinate le funzioni di costo medio di lungo periodo e di costo
marginale per la singola impresa. (2) Determinate il prezzo di equilibrio di lungo
periodo. (3) Determinate la quantità di equilibrio di lungo periodo ed il numero di
produttori attivi sul mercato degli strumenti (nel lungo periodo).
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Soluzione. (1) I costi marginali (MC) ed i costi medi (AC) di ciascun produttore
sono
C
TC
2
2
M C = dT
dyi = 3yi − 4yi + 4 e AC = yi = yi − 2yi + 4
In ambedue i casi si tratta di parabole.
(2) In equilibrio di lungo periodo
p = M C = AC
quindi il volume di output prodotto dalle singole imprese è
M C = AC → 3yi2 − 4yi + 4 = yi2 − 2yi + 4 → 2yi (1 − yi ) = 0 → yi∗ = 1
ed il prezzo a cui l’output è venduto è
p = M C(yi∗ ) → p∗ = 3(yi )∗ − 4yi∗ + 4 = 3
(3) In corrispondenza di un prezzo pari a 3, dalla funzione di domanda si ottiene
un volume complessivo di venditre pari a
Y = 100 − 10p∗ → Y ∗ = 100 − 30 = 70
Nel lungo periodo saranno quindi attivi 70 produttori sul mercato.
Esercizio 6. La domanda di camere d’albergo (Y) nell’isola di Mallorca è data dalla
seguente funzione Y d = 10 − p (dove p indica il prezzo di una camera d’albergo).
L’offerta di camere d’albergo è invece data dalla funzione Y s = p. (1) Determinate
analiticamente il prezzo e la quantità di equilibrio in questo mercato e fornitene una
rappresentazione grafica. (2) Il primo ministro di Mallorca decide di introdurre una
tassa di t = 2 su ogni camera d’albergo (l’incidenza di diritto della tassa ricade
sull’offerta). Determinate la nuova quantità di equilibrio. Dopo l’introduzione della
tassa, quanto dovranno pagare i consumatori per una camera d’albergo? E quale sarà
il prezzo percepito dai produttori per ogni camera d’albergo venduta? (3) Indicate
in un opportuno grafico la perdita netta generata dalla tassa.
Soluzione. L’equilibrio di mercato è
Y d = Y s → 10 − p = p → p∗ = 5 e Y ∗ = 5
Graficamente rappresentiamo le curve di domanda e di offerta inverse ovvero
pd = 10 − Y
e ps = Y
p
10
Offerta di mercato
5
Equilibrio di mercato
Domanda di mercato
5
10
7
Y
(2) La tassa sulla produzione comporta uno spostamento verso l’alto della curva
di offerta inversa di mercato. La nuova curva di offerta inversa è
ps0 = Y + t = Y + 2
quindi i volumi ora scambiati sono
pd = ps0 → Y ∗∗ = 4
il prezzo pagato dai consumatori è diverso da quello percepito dai produttori; in particolare i consumatori pagano (sostituendo nella curva di domanda
pd∗∗ = 10 − Y ∗∗ = 6 > p∗ = 5
I produttori ricevono pd∗∗ , versano la tassa ed ottengono quindi un prezzo al netto
della tassa pari a
ps∗∗ = pd∗∗ − t = 6 − 2 = 4 < p∗ = 5
p
Prezzo
pagato dai
consumatori
Offerta di mercato con la tassa
10
Offerta di mercato
6
5
4
Vecchio equilibrio di mercato
Prezzo percepito dai produttori
2
Domanda di mercato
4
5
10
Y
(3) La variazione di benessere derivante dal’implementazione della tassa è rappresentata nella seguente tabella (per le aree indicate fate riferimento al grafico sottostante)
Con tassa
Senza tassa
Variazione
SC
A
A+C+E
-C-E
π
B
B+D+F
-D-F
Gettito
C+D
+C+D
Benessere Totale
A+B+C+D
A+B+C+D+E+F
-E-F
p
Offerta di mercato
10
E
A
6
5
4
C
2
B
F
D
4
5
10
Y
Quindi la perdita di benessere dovuta all’implementazione della tassa è pari alla
somma dei triangoli E ed F.
8
