Limite infinito
Si parla di limite infinito di una funzione nei casi in cui il valore di una funzione
cresce sempre di più, tendendo quindi a più infinito.
Esempio:
1
= +∞
lim
x → 3 ( x − 3)2
il limite per x che tende a 3
si legge
di
1
(x − 3)2
è uguale a + ∞
Il significato dell’affermazione è che quanto più il valore di x si approssima a 3,
tanto più il valore della funzione aumenta, tendendo quindi a + infinito.
Una serie di valori calcolati con Excel rende chiaro questo fatto:
x
2,9
2,99
2,999
2,9999
2,99999
2,999999
x → 3−
f (x ) =
1
(x − 3)
2
100
10000
1000000
100000000
10000000000
1E+12
1
(x − 3)
2
→ +∞
x
3,1
3,01
3,001
3,0001
3,00001
3,000001
x → 3+
f (x ) =
1
(x − 3)
2
100
10000
1000000
100000000
10000000000
1E+12
1
(x − 3)2
Vediamo che f(x) cresce sempre più per valori positivi sia
che ci si avvicini a 3 da sinistra
oppure da destra. Questo fatto
intuitivo verrà poi reso rigoroso attraverso la relativa definizione di limite riferita a una
funzione f(x) per x che tende
ad un generico valore x0
→ +∞
In figura è riportato il grafico
della funzione
f (x ) =
1
(x − 3)2
Si vede che in un intorno di 3
la funzione cresce a + infinito.
1
DEFINIZIONE DI LIMITE + INFINITO
Si dice che xlim
→ x0
f ( x ) = +∞
quando:
∀M > 0 ∃ I ( x0 ) : x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0
→
f (x ) > M
traduzione:
Per ogni M > 0 (grande a piacere) esiste un intorno I di x0 tale che “x appartenente a tale intorno e x diverso da x0” implica che f(x) sia maggiore di M
Per quanto grande si possa scegliere M noi potremo sempre trovare un intorno di x0 che ha
questa proprietà: se x appartiene a quell’intorno allora f(x) è maggiore di M, non importa
quanto grande M sia.
Se sceglieremo M più grande allora gli intorni di x0 diventeranno più piccoli, ma esisteranno
sempre e per i valori x in tali intorni i valori f(x) della funzione saranno maggiori di qualsiasi M.
Il grafico nella pagina successiva chiarisce meglio questa argomentazione.
2
y
f(x)
y = f(x)
M
x 0 − δ 1 x0
x x0 + δ 2
x
Nella figura è disegnato il grafico di una funzione per la quale
lim f ( x ) = +∞
x → x0
Il grafico si disegna coi seguenti criteri:
• Disegniamo, in rosso e un po’ a caso, una parte del grafico della funzione
• Dopo aver scelto M (grande a piacere) fissiamo sull’asse y il suo valore.
• Tracciamo una linea orizzontali fino a incontrare il grafico della funzione
• Dai punti di incontro tracciamo delle linee verticali fino a incontrare l’asse x
• I valori sull’asse x corrispondenti ci danno gli estremi
l’intorno I ( x 0 ) cercato (in figura è disegnato in blu).
x 0 − δ 1 e x 0 + δ 2 che definiscono
• Prendiamo una x qualsiasi in quell’intorno e vediamo dal grafico che il valore f(x) corrispondente è maggiore di M
•
Questo vale per ogni x appartenente all’intorno.
Se scegliessimo un altro M più grande potremmo ripetere lo stesso procedimento
grafico e troveremmo sull’asse x un intorno più piccolo, ma lo troveremmo sempre.
Abbiamo così rispettato il significato della definizione di limite e tale significato
comprende e completa in modo rigoroso la definizione “intuitiva” .
Armati della definizione rigorosa di limite proviamo ora a DIMOSTRARE che il limite
dell’esempio specifico fatto all’inizio ha proprio quel valore. Lo facciamo come esercizio nella
pagina successiva.
3
1
= +∞
x → 3 ( x − 3)2
lim
Dimostrare, usando la definizione di limite, che
∀M > 0 ∃ I ( x0 ) : x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0
→
f (x ) > M
• In questo caso partiremo dalla disequazione f ( x ) > M e la risolveremo cercando un intorno
di x0 in cui sia soddisfatta questa disequazione
Visto che x tende a 3 nel nostro caso cercheremo un intorno I(3)
• partiamo quindi da:
f (x ) > M
→
1
(x − 3)2
>M
→
1
(x − 3)2
>
M ( x − 3)
2
(x − 3)2
• Possiamo semplificare il denominatore, visto che è un quadrato e quindi positivo, mettendo
come condizione di esistenza x ≠ 3 e ottenendo:
2
1 > M ( x − 3) → 1 > Mx 2 − 6 Mx + 9 M → Mx 2 − 6 Mx + 9 M − 1 < 0
La disequazione è di 2° grado. Calcoliamo x1,2 usando la formula ridotta:
x1,2 =
+ 3M ± 9 M 2 − 9 M 2 + M + 3M ± M
M
=
= +3 ±
M
M
M
Col metodo grafico della parabola troviamo come soluzione:
3−
M
M
< x <3+
M
M
Questo ci fornisce l’intorno:
M
M
che è l’intorno di 3 che cercavamo.
I (3) = 3 −
,3+
M
M
Abbiamo quindi dimostrato che
∀M > 0 ∃ I (3) : x ∈ I (3) ∧ x ≠ 3 →
ovverossia che
1
>M
2
(x − 3)
1
= +∞
x → 3 ( x − 3)2
lim
Nella pagina a seguito diamo la definizione per il caso in cui il limite sia − ∞ . In tal caso la funzione decresce per valori sempre più grandi tendendo a − ∞ quando x tende a x0.
La definizione è molto simile a quella che abbiamo visto poco fa, basta sostituire alla condizione f ( x ) > M la condizione corrispondente f ( x ) < − M
4
DEFINIZIONE DI LIMITE - INFINITO
Si dice che xlim
→ x0
f ( x ) = −∞
quando:
∀M > 0 ∃ I ( x0 ) : x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0
→
f (x ) < − M
traduzione:
Per ogni M > 0 (grande a piacere) esiste un intorno I di x0 tale che “x appartenente a tale intorno e x diverso da x0” implica che f(x) sia minore di -M
Per quanto grande si possa scegliere M noi potremo sempre trovare un intorno di x0 che ha
questa proprietà: se x appartiene a quell’intorno allora f(x) è minore di -M, non importa quanto grande M sia.
Se sceglieremo M più grande allora gli intorni di x0 diventeranno più piccoli, ma esisteranno
sempre e per i valori x in tali intorni i valori f(x) della funzione saranno maggiori di qualsiasi M.
In figura è riportato il grafico
della funzione
f (x ) = −
1
(x − 3)2
Si vede che in un intorno di 3 la
funzione decresce a - infinito.
Nei relativi esercizi di dimostrazione partiremo dalla disequazione f ( x ) < − M e la risolveremo
cercando un intorno di x0 in cui sia soddisfatta questa disequazione.
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