La legge di Ampére - INFN
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La legge di Ampére Consideriamo un filo infinito percorso da corrente La corrente produce in A un campo magnetico ⊥ al filo e ad r i B O r A Ci chiediamo ora quanto valga la circuitazione di B Λ B = ∫ B •dl = ? Consideriamo la circonferenza di raggio r concentrica con il filo e ⊥ ad esso. B è sempre tangente alla circonferenza ⇒ B·dl = Bdl, inoltre sulla € circonferenza B è costante, quindi Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 1 La circuitazione di B non dipende dal raggio, ma solo dal fatto che la circonferenza racchiuda il filo percorso da corrente (concatenata). Consideriamo ora un percorso generico concatenato con la corrente L i dθ b r a dl B uθ Otteniamo dunque che la circuitazione di B in condizioni statiche vale sempre µ0i (legge di Ampére) con i = Σ correnti concatenate con L per campi statici Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 2 Le correnti concatenate vanno prese positive se le parti concatenate dei fili sono percorse dalla corrente concordemente al verso indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita puntano nello stesso verso in cui è orientata la linea L Ricordando che otteniamo S è una qualunque superficie delimitata dalla linea L Dato che la circuitazione di B è diversa da zero, B risulta essere non conservativo e non possiamo definire un’energia potenziale magnetica Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 3 Prendiamo ora un cilindro di lunghezza infinita percorso da corrente i Le linee di forza di B sono cerchi concentrici con il cilindro e ad esso ⊥, l’intensità di B dipende solo da r a r’ L’ Q r B’ L PB Se r > a tutta la corrente è racchiusa dalla linea L Otteniamo così che il cilindro si comporta come un filo infinito, ovvero come se la corrente fosse tutta concentrata sull’asse del cilindro. La situazione cambia quando ci spostiamo all’interno del cilindro, dobbiamo distinguere due casi Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 4 1. r < a e la corrente è superficiale B all’interno di un cilindro che porta solo corrente superficiale è nullo 2. r < a e la corrente è distribuita uniformemente su tutto il volume del cilindro B in un cilindro con corrente volumetrica è ∝ r Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 5 Campo magnetico di un avvolgimento toroidale Toroide con N spire equidistanti tutte percorse dalla stessa corrente i. Per simmetria abbiamo che le linee di forza di B sono cerchi concentrici al toro Consideriamo la linea chiusa di raggio r che concatena tutte le spire Se il toro ha sezione trasversa di raggio piccolo rispetto al raggio del toro, ogni linea chiusa interna al toro ha lo stesso raggio e B è uniforme all’interno del toro con n = N/L spire per unità di lunghezza Un percorso esterno al toro non concatena correnti quindi B = 0 Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 6 Campo magnetico sull’asse di un solenoide infinito con n spire/unità di lunghezza e poco spaziate tra di loro ⇒ B uniforme e confinato nel solenoide. Integro lungo il percorso abcd. I lati verticali bc e da non contribuiscono alla circuitazione in quanto B e dl sono ⊥ tra di loro. Il lato cd non contribuisce dato che non concatena correnti. Resta solo il lato ab Risultato già ricavato a partire dalla legge di Ampére-Laplace Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 7 In forma differenziale abbiamo Il flusso di B vale Abbiamo visto che linee di forza di B sono chiuse dato che non esiste il monopolo magnetico, di conseguenza il flusso di B attraverso una superficie chiusa è sempre nullo Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 8 Equazioni di Maxwell per i campi elettrici e magnetici statici Forma integrale Prof. F. Soramel Forma differenziale Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 9 La legge di Ampére in forma differenziale Sul piano (xy) consideriamo un percorso rettangolare PQRS di area molto piccola pari a dxdy. y S R B B’ dy jz j uy P dx Q x uz ux Lungo QR (orientato ║ ad y) dl = dy uy z Analogamente Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 10 Attraverso PQRS circola la corrente di legata a j dalla relazione Facciamo lo stesso procedimento sui piani (xz) e (yz), otteniamo Infine in tutto lo spazio abbiamo Correnti = sorgenti di campo magnetico Relazione locale tra B e j, ho B se so come la corrente è distribuita nello spazio Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 11
