Capacità ele+rica Condensatori Condensatori Il sistema più semplice per immagazzinare energia
elettrostatica è caricare un condensatore.
Generalmente il condensatore è costituito da due piani
metallici separati da un isolante.
La relazione che lega le grandezze coinvolte in un
condensatore è
q = CV à C = q/V
[1F = C/V]
1farad = coulomb/ volt
ovvero la carica q e il potenziale V sono proporzionali, e la
proporzionalità è la capacità C del condensatore.
Nella seconda parte della figure si mostra come si carica un
condensatore. Il processo di carica termina quando i morsetti
della batteria e i piani del condensatore sono uguali
Simbolo del condensatore
Calcolo della capacità ele+rica • Supponiamo di conoscere la carica q addensata sulle facce di un condensatore
• Calcoliamo il campo E tramite il teorema di Gauss
• Calcoliamo il potenziale utilizzando Vf –Vi = - ∫E . ds
• Quindi si calcola C dalla
C = q/V
+q
-q
Per il teorema di Gauss
! !
q = ε 0 ∫ E ⋅ dA = ε 0 EA
Per il calcolo del potenziale V f − Vi = −
C = ε0 A/d
La capacità dipende solo da fattori geometrici:
Dalla costante dielettrica ε0 = 8,85 pF/m
Dalla superficie A
Dalla distanza fra i piani d
∫
i
f
! !
E ⋅ ds
+
V = ∫ Eds
−
d
V = E ∫ ds = Ed
0
Vari 2pi di condensatori: cilindrico La figura mostra la sezione di un condensatore cilindrico
la cui lunghezza sia L>>b tale da trascurare gli “effetti ai
bordi”
Per il Teorema di Gauss q =ε0EA =ε0E(2πrL) ovvero
E=
q
2πε 0 Lr
Che sostituita nell’espressione che da il potenziale da:
+
V = ∫ Eds = −
−
q
a
2πε 0 L ∫b
dr
q
⎛ b ⎞
=
ln⎜ ⎟
r 2πε 0 L ⎝ a ⎠
q
L
C = = 2πε 0
V
ln(b / a)
ln b/a
1
b/a
Vari 2pi di condensatori: sferico Se volessimo calcolare la capacità di un condensatore
sferico (una sfera interna ad un guscio) la superficie di
Gauss sarebbe una sfera quindi q = ε0EA = ε0E (4πr2)
E=
+
q
_
4πε 0
V = ∫ Eds = −
ab
C = 4πε 0
b−a
∫
a
b
1
q
4πε 0 r 2
Campo identico a quello generato
da una carica puntiforme
dr
q ⎛ 1 1 ⎞
q b−a
=
⎜ − ⎟ =
2
r
4πε 0 ⎝ a b ⎠ 4πε 0 ab
Per calcolare la C di una sfera isolata si
faccia tendere b à ∞ e R si sostituisce ad a
C = 4πε0R
Capacità equivalen2 A seconda di come più condensatori vengono
collegati insieme si può ottenere una capacità
equivalente.
Più condensatori sono collegati in parallelo quando
ciascun condensatore è soggetto alla stessa
differenza di potenziale. La carica totale è la somma
delle cariche di ciascun condensatore
q
n
Cequ = = ∑1 Ci
V
Più condensatori sono collegati in serie
quando condividono la stessa carica. Il
potenziale applicato si suddivide a seconda
del valore della capacità di ciascun
condensatore. La capacità equivalente è dato
da:
1
n 1
= ∑1
Cequ
Ci
Energia di un condensatore _ Per caricare condensatore piano dovremo fornire delle
cariche ai due piatti.
Man mano che i piatti si caricano le nuove cariche
dovranno vincere sempre più forza repulsiva dovuta alla
presenza delle cariche precedenti.
+
Il Lavoro necessario a vincere la forza repulsiva è fornito dalla energia
chimica di una batteria e si immagazzinerà nel condensatore sotto forma di
energia potenziale elettrica U.
In un certo istante sia q’ la carica accumulata dal condensatore ed il suo
potenziale sarà V’ = q’/C. L’incremento di una successiva quantità di carica
dq’ richiederà un lavoro elementare dw = V’dq’ = (1/C)q’dq’
1 q
q2 1
w = ∫ dw = ∫ q' dq' =
= CV 2
C 0
2C 2
Questo lavoro viene immagazzinato come energia potenziale U = ½ CV2
Densità di energia Supponendo un condensatore piano senza effetti ai bordi, avremo un
campo elettrico uniforme in tutti i punti fra interni al condensatore.
Potremo allora definire una densità di energia u come il rapporto fra
l’energia potenziale U ed il volume fra le armature del condensatore.
U
CV 2
V2
u=
=
= (ε 0 A d )
Ad 2 Ad
2 Ad
2
u=
1 ⎛ V ⎞
1
ε 0 ⎜ ⎟ = ε 0 E 2
2 ⎝ d ⎠
2
In qualunque punto dello spazio dove ci sia un campo elettrico E la
sua densità di energia è data da
u = ½ ε0E2
Diele+rici (1) A seconda di quale isolante è interposto fra le armature la capacità di un
condensatore cambia valore.
La presenza di un dielettrico comporta l’esistenza di una tensione massima
sopportabile. Quando si supera quel valore, la tensione disruptiva, si avrà una
scarica elettrica che buca il dielettrico.
Sappiamo che C = ε0A/d . Faraday dimostrò
che c’è una sensibile differenza fra la capacità
di un condensatore in vuoto e dello stesso
condensatore con un dielettrico C = εrC0
In presenza di un dielettrico la costante ε0 va
sostituita con il prodotto ε0εr .
La presenza di un dielettrico aumenta la
quantità di carica di un fattore εr
Se si ha un condensatore senza dielettrico e
successivamente si inserisce un dielettrico εr
allora il potenziale si riduce di εr
Diele+rici (2) Se in una regione c’è un dielettrico di costante dielettrica
εr, allora dove compare ε0 deve diventare ε0εr
E=
1
q
4πε r ε 0 r 2
E=
σ
(campo in un condensatore piano)
ε rε 0
(campo di una carica puntiforme)
Si vede che per cariche fisse la presenza di un
dielettrico indebolisce il campo elettrico
Se la tensione applicata ai capi del condensatore rimane
la stessa, il dielettrico ha l’effetto di aumentare la carica
delle piastre.
Un condensatore carico collegato ad un elettrometro
mostra che il dielettrico fa diminuire il potenziale tra i piatti
Effe@ molecolari nei diele+rici • Dielettrici con dipolo permanente: in questo caso le molecole
polari tendono ad allinearsi con il campo, ma l’agitazione
termica inibisce questo processo ed il campo che si oppone è
minore del campo del condensatore. Se si aumenta il campo
l’allineamento aumenta.
• Se il dielettrico è inizialmente neutro la presenza del campo
sposta il baricentro delle cariche positive da quello delle
cariche negative. Si crea un campo elettrico opposto a quello
delle piastre è la somma vettoriale è il campo risultante.
• Entrambi i dielettrici considerati riducono il campo e
aumentano la capacità poichè la carica rimane costante
Teorema di gauss nei diele+rici Se il condensatore non ha dielettrico il teorema di Gauss ci
dice che il campo elettrico è dato da:
! !
ε 0 ∫ E ⋅ dA = ε 0 E0 A = q
E0 = q/ε0A
Inserendo il dielettrico ed utilizzando la stessa superficie
Gaussiana avremo che la carica racchiusa è data da q – q’ e
quindi:
! !
ε 0 ∫ E ⋅ dA = ε 0 E0 A = q − q'
E0 = q-q’/ε0A
E=
Il dielettrico agisce inibendo il campo è quindi
E=
q − q'
ε0 A
E0
εr
q − q' =
=
q
εr
q
ε rε 0 A
Teorema di Gauss (generale) Il teorema di Gauss si può scrivere in modo più generale secondo la formula
! !
ε 0 ∫ ε r E ⋅ dA = q
(*)
In questo modo il flusso è il flusso di un campo corretto da εr e viene chiamato
spostamento dielettrico D così che il teorema di Gauss si scriverà
! !
∫ D ⋅ dA = q
La carica che compare nella formula è solo la carica libera perchè della
carica indotta si è tenuto conto nell’uso della costante dielettrica relativa
L’equazione (*) differisce dall’equazione classica solo per la presenza della
costante dielettrica relativa εr
