Introduzione alle Geometrie non Euclidee

Introduzione alle
Geometrie non Euclidee
Francesco Mazzocca
Piano
1 / 91
Lauree Scientiche
2016 - Caserta, 5 maggio 2016
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Argomenti della presentazione
1
L'importanza della Geometria nella cultura
classica e qualche informazione su Euclide.
2
Uno sguardo veloce agli Elementi .
3
Critica al
quinto postulato
ovvero la
storia di un
pregiudizio.
4
Il lavoro di Saccheri.
5
Le geometrie non euclidee: la
6
Le geometrie non euclidee:
alcuni modelli.
7
Le geometrie non euclidee:
modelli da superci.
nascita.
Letture consigliate
2 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
1
L'importanza della Geometria
nella cultura classica
e
qualche informazione su Euclide
indice
3 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Dante e la Geometria
Qual è 'l geomètra che tutto s'age
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder volea come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova;
Paradiso,
4 / 91
canto XXXIII vv.133 e segg.
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Dante e la Geometria
Paradiso
- canto XXXIII vv.133 e segg.
Siamo alla conclusione dell'ultimo canto della
Commedia: qui lo slancio creativo di Dante si tende
in un supremo sforzo di esprimere l'inesprimibile.
Dante tenta di spiegarsi la presenza contemporanea,
nel Verbo, della natura umana, di quella divina e di
quella dello spirito santo e paragona la dicoltà di
questo tentativo a quella del matematico che aronta
il problema della quadratura del cerchio.
5 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Dante e la Geometria
Paradiso
- canto XXXIII vv.133 e segg.
La quadratura del cerchio è uno dei tre problemi
principi lasciati insoluti dalla geometria greca (gli altri
sono la trisezione di un angolo e la duplicazione del
cubo).
Dante sembra propendere per la sua indecidibilità,
considerato che lo paragona a quello di comprendere
il mistero della Trinità. Ciò è comprensibile se si
pensa che la soluzione di questo problema si avrà solo
nel 1882 ad opera di Ferdinand von Lindemann
(1852-1939).
6 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Dante e la Filosoa antica
Inferno
- canto IV vv.130-144
Vidi il maestro di color che sanno,
Seder tra losoca famiglia.
Tutti l'ammiran, tutti onor gli fanno:
Quivi vid'io e Socrate e Platone,
Che innanzi agli altri più appresso gli stanno.
Democrito, che il mondo a caso pone,
Diogenès, Anassagora e Tale,
Empedoclès, Eraclito e Zenone:
E vidi il buon accoglitor del quale,
Dioscoride dico; e vidi Orfeo,
E Tullio, e Lino, e Seneca morale:
Euclide geomètra, e Tolomeo,
Ippocrate, Avicenna e Galïeno:
Averroìs, che 'l gran comento feo.
(
7 / 91
Limbo, dove si trovano i virtuosi non battezzati)
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
La Scuola di Atene
aresco di Raaello Sanzio (1509-1511 circa)
musei vaticani - stanza della segnatura
Un inestimabile momento artistico
dedicato al pensiero dell'uomo
8 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
La Scuola di Atene
.
9 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
La Scuola di Atene
.
10 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Particolare della Scuola di Atene
Gruppo a sinistra in basso, con Pitagora al centro
11 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Particolare della Scuola di Atene
Il gruppo dei geometri con Euclide al centro
12 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
EUCLIDE
Testimonianza di Proclo (neoplatonico - V secolo d.C.)
Visse ad Alessandria d'Egitto ai tempi di Tolomeo
primo e fu un neoplatonico.
Era più giovane dei discepoli di Platone e più
vecchio di Archimede.
Siccome Platone morì nel 347 a.C. e Archimede
visse tra il 287 e il 212, è molto probabile che
scrisse gli Elementi (in greco antico
Στ oιχι̃α) intorno al 300 a.C.
Fu detto στ ιξειωτ ης, che signica
Elementi .
13 / 91
Francesco Mazzocca
autore degli
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Un aneddoto raccontato da Proclo
dal Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide"
Il re dell'Egitto, Tolomeo primo, chiese ad Euclide di
suggerirgli qualche scorciatoia per imparare il
contenuto degli Elementi.
La famosa risposta fu: Sire
geometria.
non ci sono vie regie in
MORALE
Chi ha responsabilità di governo dovrebbe avere una
consapevolezza non superciale anche dei problemi e
dell'importanza della cultura scientica.
14 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Un altro aneddoto raccontato da Proclo
dal Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide
Uno studente, dopo aver frequentato alcune lezioni,
gli domandò a cosa servivano tutti quei teoremi che
doveva imparare.
Per tutta risposta, Euclide ordinò ad uno schiavo:
Dà qualche moneta a costui, perché ricavi qualcosa
dalla geometria e sia contento.
MORALE
Sebbene la geometria sia nata per risolvere problemi
concreti, essa è di fondamentale importanza nello
sviluppo del pensiero dell'uomo (cioè della losoa),
indipendentemente dalle sue applicazioni.
15 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
2
Uno sguardo veloce agli Elementi indice
16 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Pagina sul teorema di Pitagora da una traduzione in arabo anteriore all'anno 809 DC
17 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Edizione a cura di Enrico Betti e Francesco Brioschi (1880)
18 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Edizione a cura di Hieminiano Rondelli (1693)
19 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Edizione a cura di Federico Commandino (1619)
20 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Edizione a cura di Guido Grandi (1780)
21 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
nella traduzione di Niccolò Tartaglia (1565)
indice
22 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Gli Elementi costituiscono un'opera che, attraverso
costruzioni e dimostrazioni, tratta in maniera rigorosa
di quasi tutto il sapere geometrico dell'epoca.
Le costruzioni vengono fatte con l'uso della riga e
del compasso, gli unici strumenti ammessi dalla
metasica platonica.
I teoremi vengono dimostrati, attraverso il
metodo deduttivo, sulla base di denizioni,
postulati e assiomi inizialmente enunciati.
3
23 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Le denizioni descrivono gli oggetti geometrici di
base (come ad esempio punto, linea, supercie) che
vengono studiati nel trattato.
I postulati sono quelle aermazioni, di natura
geometrica, che non possono essere dimostrate ma
vengono considerate vere in quanto percepite come
tali dalla nostra mente.
Gli assiomi sono delle aermazioni di senso comune
che hanno un carattere generale e non di natura
geometrica, come i postulati.
3
24 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Gli Elementi cercano di descrivere con linguaggio
geometrico buona parte della matematica elementare
allora conosciuta.
L'aritmetica, per esempio, viene ricostruita con
linguaggio geometrico e per la prima volta vengono
dimostrati risultati fondamentali sui numeri primi
quali la decomposizione unica di un intero in fattori
primi e l'innità dell'insieme dei primi (teorema di
Euclide).
25 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Gli Elementi non trattano di rami più avanzati
della matematica quali, ad esempio, le coniche: la
loro conoscenza non era necessaria nella visione
tolemaica del cosmo.
Le coniche saranno magistralmente introdotte e
studiate da Apollonio (Perga, 262 a.C. - Murtina,
190 a.C.) come sezioni piane di un cono circolare
retto. La teoria di Apollonio si rivelò poi di
fondamentale importanza per la descrizione del
sistema coopernicano.
26 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
L'opera consiste di 13 libri:
i primi sei sono dedicati alla
geometria piana;
i quattro successivi riguardano la
numeri e rapporti tra grandezze;
teoria dei
gli ultimi tre trattano della geometria dello
spazio; in particolare nel tredicesimo libro sono
studiati i solidi platonici.
Molte edizioni antiche contengono altri due libri che
oggi vengono ritenuti apocri e rispettivamente
attribuiti a Ipsicle (II secolo a.C.) e Isidoro di Mileto
(IV secolo d.C.).
27 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi: LIBRO I
• Contiene 23 denizioni,
e 48 proposizioni.
5
(+1) postulati, 5 assiomi
• Vengono trattati proprietà dei triangoli, costruzioni
semplici con riga e compasso, rette parallele,
parallelogrammi.
• Alla ne viene dimostrato il
28 / 91
Francesco Mazzocca
teorema di Pitagora.
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Elementi di Euclide
Presentiamo di seguito
delle denizioni,
degli assiomi
e i cinque postulati,
come appaiono nella traduzione degli
Elementi
di Niccolò Tartaglia (1565)
29 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Denizioni
DEFINIZIONE 1.
Il punto è quello che non ha
parte.
La linea è una lunghezza senza
larghezza: i termini della quale sono due punti.
DEFINIZIONE 2.
La linea retta è la brevissima
estensione da un punto ad un'altro, che riceve l'uno e
l'altro di quelli nelle sue estremità.
DEFINIZIONE 3.
La supercie è quella che ha
solamente lunghezza e larghezza: i termini della
quale sono linee.
DEFINIZIONE 4.
30 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Denizioni
La supercie piana è la
brevissima estensione da una linea ad un'altra, che
riceve nelle sue estremità l'una e l'altra di quelle.
DEFINIZIONE 5.
L'angolo piano è il toccamento
e la applicazione non diretta, di due linee insieme alla
espansione della quale è sopra la supercie.
DEFINIZIONE 6.
Ma quando due linee rette
contengono un angolo, quell'angolo è detto rettilineo.
DEFINIZIONE 7.
31 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Denizioni
Quando una linea retta starà
sopra una linea retta, e che i due angoli contenuti
dall'una e l'altra parte siano uguali: l'uno e l'altro di
quelli sarà retto.
DEFINIZIONE 8.
E la linea soprastante è detta
perpendicolare sopra a quella, dove sopra sta.
DEFINIZIONE 9.
DEFINIZIONE 10.
E l'angolo che è maggiore del
retto, si dice ottuso.
DEFINIZIONE 11.
E l'angolo che è minore del
retto, è detto acuto.
32 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Denizioni
Il cerchio è una gura piana
contenuta da una sola linea, la quale è chiamata
circonferenza, in mezzo della quale gura c'è un
punto, dal quale tutte le linee rette, che escono e
vanno alla circonferenza sono fra loro uguali: e quel
tale punto è detto centro del cerchio.
DEFINIZIONE 14.
33 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Denizioni
Delle gure di tre lati una è
detta triangolo equilatero, e questo è quello che è
contenuto sotto di tre lati uguali: l'altra è detta
triangolo isoscele, è quello che è contenuto solamente
sotto di due lati uguali: l'altra è detto triangolo
scaleno, e questo è quello che è contenuto sotto di
tre lati disuguali.
DEFINIZIONE 19.
34 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Denizioni
Ma delle gure di quattro lati
una è detta quadrato, il quale quadrato è di lati
uguali e di angoli retti; l'altra è detta tetragono
lungo, e questa è una gura rettangola ma non è
equilatera; l'altra è detta helmuaym, ovvero rombo, la
quale è equilatera ma non è rettangola; l'altra è detta
simile helmuaym, ovvero romboide, la quale ha i lati
opposti uguali e similmente gli angoli opposti uguali,
ma non è contenuta da lati uguali n´e da angoli
retti; e tutte le altre gure quadrilatere, eccetto
queste, sono chiamate helmuariphe, ovvero trapezi.
DEFINIZIONE 21.
35 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Denizioni
Le linee equidistanti, ovvero
parallele, sono quelle che sono collocate in una
medesima supercie e che protratte dall'una e l'altra
parte non concorrono, anche se fossero protratte
all'innito.
DEFINIZIONE 22.
36 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Gli Assiomi (o Comuni Sentenze)
Quelle cose che a una medesima cosa
sono uguali, fra loro sono uguali.
Assioma 1.
E se a cose uguali sono aggiunte cose
uguali, tutte le somme saranno uguali.
..........
Assioma 5. E se a cose disuguali tu aggiungerai
cose uguali, i risultanti saranno disuguali.
..........
Assioma 8. Se alcuna cosa è posta sopra a un'altra
in modo che l'una non ecceda l'altra, quelle saranno
tra loro uguali.
Assioma 2.
Assioma 9.
37 / 91
Ogni tutto è maggiore della sua parte.
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
I Postulati
Osservazione di Tartaglia
Innanzi che procediamo più oltre, bisogna notare, che
i primi principi di ciascuna scienza non si conoscono
per dimostrazione: né alcuna scienza è tenuta a
provare i suoi primi principi, perché bisognerebbe
procedere all'innito, ma quei tali principi si
conoscono per intelletto, mediante il senso,...
38 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
I Postulati
Domandiamo che ci sia concesso che
da qualunque punto a qualunque punto si possa
condurre una linea retta. 1
Postulato 1.
Ancora domandiamo che ci sia
concesso che si possa prolungare una retta terminata
direttamente in continuo quanto ci pare.
Postulato 2.
1
39 / 91
Qui linea retta sta per segmento.
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
I Postulati
Ancora domandiamo che ci sia
concesso che sopra a qualunque centro si voglia
possiamo disegnare un cerchio di che grandezza ci
pare.
Postulato 3.
Similmente domandiamo che ci sia
concesso che tutti gli angoli retti siano fra loro uguali.
Postulato 4.
40 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
I Postulati
Domandiamo anche che ci sia
concesso che, se una linea retta cadrà sopra due linee
rette e che due angoli da una stessa parte siano
minori di due angoli retti, quelle due linee senza
dubbio, protratte in quella medesima parte, sia
necessario che si incontrino.
Postulato 5.
41 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
I Postulati
Similmente domandiamo che ci sia
concesso che due linee rette non racchiudano alcuna
supercie.
Postulato 6.
42 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
3.
Critica al
quinto postulato
ovvero
la
storia di un pregiudizio
indice
43 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Rivediamo i cinque postulati di Euclide
1
Per due punti passa una ed una sola retta.
2
Ogni retta può essere prolungata indenitamente.
3
4
5
44 / 91
Esiste uno ed un solo cerchio con centro e raggio
assegnati;
Tutti gli angoli retti sono uguali.
Se una retta forma con altre due da una stessa
parte angoli interni con somma minore di due
retti, allora quelle due rette si incontreranno nello
stesso semipiano.
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Osservazioni sul quinto postulato di Euclide
Per due punti passa una ed una sola retta.
Ogni retta può essere prolungata indenitamente.
Dato il centro e il raggio esiste uno ed un solo
cerchio;
Tutti gli angoli retti sono uguali.
I primi quattro postulati di Euclide sembrano
immediatamente evidenti.
45 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Osservazioni sul quinto postulato di Euclide
Se una retta forma con altre due da una stessa
parte angoli interni con somma minore di due
retti, allora quelle due rette si incontreranno nello
stesso semipiano.
Il quinto postulato di Euclide non solo non sembra
immediatamente evidente, ma ha anche una
formulazione più complicata degli altri.
46 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Osservazioni sul quinto postulato di Euclide
Lo stesso Euclide sembra sentirsi un pò a disagio con
il quinto postulato, tanto che dimostra le prime 28
proposizioni del I libro degli Elementi senza farne
alcun uso.
Proposizione 29 (dagli Elementi)
Una retta che cade su due rette parallele forma gli
angoli alterni interni uguali fra loro, angoli
corrispondenti uguali, angoli coniugati interni
supplementari.
47 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Osservazioni sul quinto postulato di Euclide
Per oltre duemila anni i matematici hanno provato a
dedurre il quinto postulato dai primi quattro, all'inizio
in modo diretto e poi con dimostrazioni per assurdo.
Il risultato è stato sempre la sostituzione di questo
postulato con altri ad esso equivalenti, ma più
intuitivi. Tra questi il più noto è il
Postulato delle parallele
Per un punto esterno ad una retta passa una ed una
sola parallela alla retta data.
48 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Osservazioni sul quinto postulato di Euclide
Dagli studi sul quinto postulato di Euclide sono nate
le Geometrie non euclidee (la cui invenzione è attribuita a
J.Bolyai e N.Lobacevsky) e la profonda revisione della
concezione della geometria.
• I principali contributi teorici sono dovuti a:
G.Saccheri (1667-1733), F.Gauss (1777-1855),
J.Bolyai (1802-1860), N.Lobacevsky (1792-1856).
• Il primo modello non euclideo si deve a E.Beltrami
(1835-1900). Importanti contributi per la costruzione
di modelli sono dovuti a: H.Poincaré (1854-1912),
F.Klein (1841-1925), G.F.B.Riemann (1826-1866).
49 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
4.
Il lavoro di Saccheri
Facesti come quei che va di notte,
che porta il lume dietro e sé non giova,
ma dopo sé fa le persone dotte...
Purgatorio XXII, 67-69
indice
50 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il libro di Saccheri:
Euclide liberato da ogni macchia
Col suo libro Saccheri
intese mostrare le assurde
conseguenze della non
accettazione del quinto
postulato. In eetti oggi
sappiamo che nessuna
delle conseguenze che
ottenne è assurda e tutte
insieme costituiscono una
piccola anticipazione della
geometria non-euclidea.
.
.
51 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di Saccheri
nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide:
studio del quadrilatero birettangolo isoscele
le perpendicolari e su di
esse si prendano due
segmenti AD, BC di
uguale misura.
La gura ABCD che così
si ottiene si chiama
quadrilatero birettangolo
Si innalzino dagli estremi isoscele (QBI) e si
di un dato segmenti A, B dimostra che i due angoli
in C e D risultano uguali.
52 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di Saccheri
nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide:
studio del quadrilatero birettangolo isoscele
acuti, per il quadrilatero
in questione, si parla di:
1
2
A seconda che gli angoli
C e D siano ottusi, retti o
53 / 91
Francesco Mazzocca
3
ipotesi dell'angolo
ottuso;
ipotesi dell'angolo
retto;
ipotesi dell'angolo
acuto.
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di Saccheri
nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide:
studio del quadrilatero birettangolo isoscele
aa
1
54 / 91
2
Se per un ssato QBI
vale una delle tre
precedenti ipotesi, la
stessa vale per
qualsiasi altro QBI.
Francesco Mazzocca
Le ipotesi dell'angolo
ottuso, dell'angolo
retto e dell'angolo
acuto equivalgono al
fatto che la somma
degli angoli interni di
un triangolo risulta
maggiore, uguale o
minore di un angolo
retto,
rispettivamente.
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di Saccheri
nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide:
studio del quadrilatero birettangolo isoscele
L'ipotesi dell'angolo retto equivale al
quinto postulato di Euclide.
55 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di Saccheri
nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide:
studio del quadrilatero birettangolo isoscele
A questo punto, se si vuole dimostrare che il quinto
postulato di Euclide è conseguenza dei primi quattro,
bisogna escludere la possibilità che si verichino
l'ipotesi dell'angolo acuto e quella dell'angolo ottuso,
cosa che Saccheri crede di aver fatto.
56 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di Saccheri
nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide
In eetti Saccheri
1
2
57 / 91
riesce ad escludere in maniera rigorosa la
possibilità che si verichi l'ipotesi dell'angolo
ottuso;
ritiene di aver escluso l'ipotesi dell'angolo acuto
provando che, se questa fosse valida,
esisterebbero due rette che si avvicinano
indenitamente senza incontrarsi (l'impossibilità
di questa eventualità è dovuta semplicemente ad
un pregiudizio ma non ad una prova rigorosa!).
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di Saccheri
L'opera di Saccheri, nonostante l'errore conclusivo, è
di fondamentale importanza: nell'ipotesi dell'angolo
acuto, Saccheri, senza rendersi conto di cosa stesse
facendo, stabilisce una lunga serie di teoremi validi
nelle geometrie che oggi diciamo non euclidee.
Possiamo pertanto ritenere Saccheri un inconsapevole
anticipatore delle geometrie non euclidee. Con i suoi
risultati ha spinto e aiutato altri a scoprire ciò che lui
stesso, per puro pregiudizio, credeva non potesse
esistere: le geometrie iperboliche e le geometrie
ellittiche!
58 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
5.
Le geometrie non euclidee:
la nascita
.
F.Gauss
J.Bolyai
N.Lobacevsky
indice
59 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di F.Gauss
Il primo a capire a fondo le problematiche legate al
problema del parallelismo è stato Gauss, che iniziò a
lavorare sul quinto postulato nel 1792 e nello stesso
anno scrisse:
sui principi della geometria abbiamo fatto ottimi
progressi.
Nel 1813, invece, aermò:
Nella teoria delle parallele oggi non siamo più avanti
di quanto fosse Euclide. Questa è la vergogna della
matematica, che presto o tardi dovrà prendere forma
molto diversa.
60 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di F.Gauss
Nel 1817 Gauss si convinse che il quinto postulato
era indipendente dagli altri quattro e scrisse un
articolo sulle conseguenze geometriche derivanti
dall'ammissione della non unicità della parallela per
un punto ad una retta data (geometria iperbolica).
Il contenuto di questo articolo contrastava tanto con
la mentalità corrente che Gauss non lo pubblicò
subito e lo tenne addirittura segreto per diversi anni.
Si tenga presente che a quel tempo dominava il
pensiero di E.Kant per il quale:
la geometria euclidea è necessità imprescindibile del
pensiero.
61 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il lavoro di J.Bolyai e N.Lobacevsky
• Le geometrie non euclidee furono denitivamente
introdotte da J.Bolyai (1820-23) e N.Lobacevsky
(1826), in modo indipendente l'uno dall'altro.
• Bolyai e Lobacevsky furono i primi ad avere avuto il
coraggio di aermare pubblicamente che le geometrie
non euclidee erano possibili. Essi abolirono
denitivamente il dogma della verità assoluta della
geometria euclidea.
• È da notare che Bolyai e Lobacevsky, pur
aermandone la possibilità, non furono capaci di
fornire alcun modello di geometria non euclidea.
62 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Geometrie non euclidee
ovvero, geometrie in cui non vale il quinto postulato di Euclide
Parlando in modo informale e con riferimento alla
gura:
• nella geometria iperbolica le rette divergono e,
quindi, per un punto passano almeno due rette
parallele ad una ssata retta non contenente il punto;
• nella geometria ellittica le rette convergono e
quindi non esistono rette parallele, cioè due rette
hanno sempre qualche punto in comune.
63 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Geometrie non euclidee
ovvero, geometrie in cui non vale il quinto postulato di Euclide
Geometria iperbolica (ipotesi dell'angolo acuto)
Valgono i primi quattro postulati di Euclide e il
seguente:
• per un punto non appartenente ad una retta passa
più di una parallela ad una retta data.
In questo tipo di geometria
la somma degli angoli
interni di un triangolo è minore di 180 gradi.
64 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Geometrie non euclidee
ovvero, geometrie in cui non vale il quinto postulato di Euclide
Geometria ellittica (ipotesi dell'angolo ottuso)
Non valgono tutti i primi quattro postulati di Euclide
e non esistono rette parallele, cioè
• due rette distinte hanno sempre almeno un punto
in comune.
In questo tipo di geometria
la somma degli angoli
interni di un triangolo è maggiore di 180 gradi.
65 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
6.
Le geometrie non euclidee:
alcuni modelli
.
H.Poincaré
F.Klein
G.F.B.Riemann
indice
66 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano iperbolico (modello di Poincaré)
Punti e Rette iperbolici
i punti della parte interna Ω di
una circonferenza ω del piano euclideo (cerchio
aperto).
PUNTI IPERBOLICI:
RETTE IPERBOLICHE:
• i diametri di Ω
(rette di primo tipo);
• gli archi di circonferenza ortogonali a ω con
gli estremi su ω
(rette del secondo tipo).
67 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano iperbolico (modello di Poincaré)
Distanza iperbolica
DISTANZA IPERBOLICA
d(A, B)
TRA DUE PUNTI A,B:
AU/AV d(A, B) = log
BU/BV 68 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano iperbolico (modello di Poincaré)
Angoli iperbolici
• L'angolo tra due rette di primo tipo è l'angolo euclideo tra i
due corrispondenti diametri.
• L'angolo tra due rette di secondo tipo è l'angolo euclideo tra
le rette tangenti ai corrispondenti due archi di circonferenza
nel loro punto di intersezione.
• L'angolo tra una retta di primo e una di secondo tipo è
l'angolo euclideo tra il diametro corrispondente alla retta e la
retta tangente al corrispondente due arco di circonferenza nel
loro punto di intersezione.
69 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano iperbolico (modello di Poincaré)
È possibile vericare i postulati che deniscono il piano iperbolico
1
2
3
4
5
70 / 91
Per due punti passa una ed una sola retta.
Ogni retta può essere prolungata indenitamente.
Esiste un unico cerchio con centro e raggio
assegnati;
Tutti gli angoli retti sono uguali.
Per un punto passano un numero innito di rette
parallele ad una ssata retta non contenente il
punto.
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Pavimentazioni del piano euclideo
con mattonelle triangolari ed esagonali
71 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Pavimentazione del piano iperbolico (modello di Poincaré)
con mattonelle triangolari
Nel piano euclideo i triangoli iperbolici in gura sono
di grandezze diverse. Nel modello iperbolico di
Poincaré, invece, questi triangoli sono tutti
congruenti, cioè di eguale grandezza.
72 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Pavimentazione del piano iperbolico (modello di Poincaré)
con mattonelle esagonali
Nel piano euclideo gli esagoni iperbolici in gura sono
di diverse grandezze. Nel modello iperbolico di
Poincaré, invece, questi esagoni sono tutti
congruenti, cioè di eguale grandezza.
73 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano iperbolico (modello di Poincaré)
Geometria e arte di M.C.Escher
Ispirandosi alle pavimentazioni regolari del modello di
Poincaré e con la consulenza di H.Coxeter, il graco
olandese M.C.Escher realizzò le quattro famose
serigrae della serie limite del cerchio.
.
74 / 91
I
II
Francesco Mazzocca
III
IV
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano iperbolico (modello di Klein)
• I punti sono quelli di un ssato cerchio aperto.
• Le rette sono le corde
del cerchio ssato.
• La distanza d(A,
B) fra due punti A e B è denita
AP/AQ da d(A, B) = log BP/BQ .
• L'angolo tra due rette si denisce come l'angolo tra
le rette del piano di Poincaré ad esse associate in
modo opportuno; purtroppo in modo non conforme
alla geometria euclidea.
75 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
7.
Le geometrie non euclidee:
modelli da superci
.
Eugenio Beltrami
indice
76 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Iperboloide a due falde di equazione z 2 = 1 + x 2 + y 2
.
← z=
p
1+x +y
2
2
p
← z =− 1+x +y
2
77 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
2
Il modello di piano iperbolico
su una falda dell'iperboloide iperbolico
78 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il modello di piano iperbolico
su una falda dell'iperboloide iperbolico
PUNTI IPERBOLICI:
i punti della falda.
RETTE IPERBOLICHE:
le curve intersezione dei
piani per l'origine con la
falda.
DISTANZA TRA DUE
PUNTI E ANGOLI:
si deniscono in modo
naturale e conforme alla
geometria euclidea.
79 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Modelli di piani iperbolici
OSSERVAZIONE
utilizzata per il modello
di piano iperbolico e con
γ il cerchio del piano xy
di centro l'origine e
raggio 1.
Se proiettiamo dal punto
V su γ i punti e le rette
iperboliche di Γ otteniamo il modello di piano
Denotiamo con Γ la falda iperbolico di Poincaré sul
dell'iperboloide iperbolico cerchio γ.
80 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Modelli di piani iperbolici
OSSERVAZIONE
Anche il modello di Klein può ottenersi
mediante opportuna proiezione dei punti
e delle rette iperboliche di Γ.
81 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Modelli di piani iperbolici
OSSERVAZIONE
Anche il modello di Klein può ottenersi
mediante opportuna proiezione dei punti
e delle rette iperboliche di Γ.
82 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano ellittico (modello di Riemann)
Punti e Rette ellittiche
i punti di una supercie sferica S.
RETTE ELLITTICHE: le circonferenze massime su S
(intersezione di S con i piani per il suo centro).
PUNTI ELLITTICI:
83 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano ellittico (modello di Riemann)
Punti e Rette ellittiche
è
l'angolo euclideo tra le circonferenze corrispondenti.
L'ANGOLO TRA DUE RETTE ELLITTICHE
LA DISTANZA ELLITTICA TRA DUE PUNTI A e B
è la misura euclidea di un arco di circonferenza
massima di estremi A e B.
84 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il piano ellittico (modello di Riemann)
Alcune proprietà
• Per due punti distinti passa un'unica retta se, e
solo se, i punti non sono diametralmente opposti
(altrimenti ne passano innite).
• Le rette hanno misura iperbolica nita.
• Non esistono rette parallele.
• La somma degli angoli interni di un triangolo è
sempre maggiore di 180 gradi.
.
Nella gura a sinistra abbiamo
un triangolo ellittico con ciascuno
dei tre angoli di 90 gradi.
.
85 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Ora, col senno di poi,
torniamo alle tre immagini iniziali
Oggi per geometria piana si intende una geometria i
cui punti sono quelli di una supercie Σ (con alcune
regolarità) e le cui rette sono sono le geodetiche di
Σ, cioè le curve di minima distanza.
Le geometrie che si ottengono in questo modo sono
di tipo ellittico, euclideo o iperbolico a seconda che la
curvatura k di Σ è risp. positiva, nulla o negativa.
86 / 91
k>0
k=0
Francesco Mazzocca
k<0
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il primo modello di piano iperbolico
è stato introdotto mediante le pseudosfere
.
Pseudosfera
Questa supercie si ottiene facendo ruotare una
curva trattrice intorno al proprio asintoto.
Trattrice
87 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Il primo modello di piano iperbolico:
la pseudosfera
[Giornale di matematiche, 1868]
88 / 91
Francesco Mazzocca
.
Questo modello è stato
proposto da E.Beltrami in
un fondamentale saggio
e, in suo onore, è
chiamato pseudosfera di
Beltrami.
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
In conclusione
Ai nostri giorni appare naturale l'esistenza
dei tre tipi diversi di geometria bidimensionale:
piano
ellittico
piano
euclideo
piano
iperbolico
... e nisce così questo aascinante
itinerario del pensiero dell'uomo!
indice
89 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
Letture consigliate
1
2
Carl B. Boyer,
Mondadori.
Storia della matematica,
Appunti sulle geometrie non euclidee.
POLYMATH.
http://areeweb.polito.it/didattica/
polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/
Apr_02/APPUNTI.HTM
3
Non-Euclidean geometry,
MacTutor History of
Mathematics archive,
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html
indice
90 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee
GRAZIE
per la cortese attenzione
frontespizio
91 / 91
Francesco Mazzocca
Introduzione alle Geometrie non Euclidee