Teorema di Gauss

Teorema di Gauss
Definizione: Flusso di un vettore attraverso una superficie
Sia S una superficie piana posta in una regione in cui è definito un campo vettoriale ~v
uniforme. Allora se n̂ è un versore normale alla superficie si definisce flusso di ~v attraverso
S la quantità
ΦS (~v ) = ~v · n̂ S
Se ~v non è uniforme o la superficie S non è piana occorre dividere S in elementini di superficie dS che possano essere considerati piani ed attraverso cui ~v possa essere considerato
uniforme. I vari contributi vanno poi sommati e lo strumento matematico che consente di
sommare quantità infinitesime è l’integrale, in questo caso esteso ad una superficie:
Z
ΦS (~v ) = ~v · n̂ dS
S
Teorema di Gauss: Il flusso del vettore campo elettrico attraverso una superficie
chiusa è pari alla somma algebrica delle cariche interne alla superficie diviso 0 . In
simboli:
P
Z
Qint.
def.
~ =
~ · n̂ dS =
ΦS E
E
0
S
Dimostrazione
Consideriamo una carica, per comodità positiva, interna ad una superficie chiusa S.
Consideriamo un punto P su S ed un elementino di superficie dS che include P.
Attraverso dS il contributo al flusso è
~ · n̂ dS = E cos θ dS = E ds
dΦ = E
dove con ds è stata indicata la proiezione
di dS lungo la direzione perpendicolare a
QP.
Essendo E il campo generato da una ca1 Q
rica puntiforme positiva, ovvero E = 4π
2
0 r
si ha
1 Q
dΦ =
ds
4π0 r2
Poichè, per definizione,
ds
r2
= dω si ottiene
dΦ =
Figura 1: Carica interna alla superficie
1
Q dω
4π0
L’espressione che si è ottenuta non dipende dalla distanza OP e quindi quando si vanno a
sommare i vari contributi dΦ si sommano gli angoli solidi infinitesimi dω. Essendo l’angolo
sferico pari a 4 π si ha
1
Q
Φ=
Q 4π =
4π0
0
Consideriamo ora una carica esterna alla superficie S. Fissata una posizione nello
spazio, si hanno due contributi al flusso (ve~ ed E
~ 0 . Il calcolo
di fig.2), quelli dovuti ad E
procede come nella situazione precedente,
~ 0 ed
con l’unica differenza che l’angolo fra E
0
0
n̂ è ottuso e quindi cos θ è negativo.
dΦ + dΦ0 = E cos θ dS + E 0 cos θ0 dS 0 =
1
1
Q dω − 4π
Q dω = 0
E ds − E 0 ds0 = 4π
0
0
Se anziché una sola carica si hanno n cariche, in base al principio di sovrapposizione degli effetti, solo le cariche interne
danno contributo al flusso e precisamente
si ottiene
PQ
int.
~ =
ΦS E
0
Figura 2: Carica esterna alla superficie
C.V.D.