teorema

LA CIRCONFERENZA
Si definisce circonferenza l'insieme dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto
centro
DEFINIZIONE
Si definisce asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento, passante per il suo
punto medio.
TEOREMA
Il luogo dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento è l'asse del segmento.
TEOREMA
Il luogo dei punti equidistanti dai lati di un angolo è la bisettrice dell'angolo.
Si chiama raggio della circonferenza ogni segmento che ha come estremi il centro ed un
qualsiasi della circonferenza stessa. Ogni segmento che ha per estremi due punti della
circonferenza si chiama corda. Ogni corda passante per il centro della circonferenza è
detta diametro. I punti interni ad una circonferenza sono i punti che hanno distanza dal
centro minore del raggio. I punti esterni ad una circonferenza hanno distanza dal centro
maggiore del raggio.
DEFINIZIONE
Un arco è la parte di circonferenza compresa fra due suoi punti. I due punti della
circonferenza che delimitano l'arco sono gli estremi dell'arco. Una semicirconferenza è
un arco i cui estremi sono distinti e appartengono ad un diametro. La porzione di piano
compresa tra una semicirconferenza ed un diametro si chiama semicerchio. Gli estremi
di una corda suddividono la circonferenza in due archi; diremo che la corda sottende i
due archi oppure che ogni arco è sotteso dalla corda.
I TEOREMI SULLE CORDE
TEOREMA
In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda che non passa
per il centro.
TEOREMA
Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare ad una corda, allora la corda,
l'angolo al centro e l'arco corrispondenti risultano divisi a metà.
TEOREMA
Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per il centro nel
suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda.
TEOREMA COROLLARIO
In una circonferenza, l'asse di una corda passa per il centro della circonferenza.
TEOREMA
Una retta e una circonferenza che si intersecano nono possono avere più di due punti in
comune.
TEOREMA
In una circonferenza, corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro.
TEOREMA
Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, non hanno la stessa distanza dal
centro: la corda maggiore ha distanza minore.
LE POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA CIRCONFERENZA
DEFINIZIONE
Una retta si dice esterna ad una circonferenza quando non ha punti in comune con la
circonferenza.
DEFINIZIONE
Una retta si dice tangente ad una circonferenza quando ha un solo punto in comune con
la circonferenza. Il punto in comune tra retta e circonferenza è detto punto di tangenza
o punto di contatto.
DEFINIZIONE
Una retta si dice secante ad una circonferenza quando ha due punti in comune con la
circonferenza.
TEOREMA
Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è:



maggiore del raggio, allora la retta è esterna;
uguale al raggio, allora la retta è tangente;
minore del raggio, allora la retta è secante.
TEOREMA COROLLARIO
Se una retta è tangente a una circonferenza, allora è perpendicolare al raggio che ha un
estremo nel punto di tangenza.
LE POSIZIONI DI UNA CIRCONFERENZA RISPETTO AD UN'ALTRA
CIRCONFERENZA
DEFINIZIONE
Due circonferenze sono secanti quando hanno due punti in comune.
DEFINIZIONE
Due circonferenze sono tangenti quando hanno un solo punto in comune.
DEFINIZIONE
Due circonferenze sono esterne quando tutti i punti di una circonferenza sono esterni
all'altra e viceversa.
DEFINIZIONE
Due circonferenze sono una interna all'altra se, avendo raggi diversi, tutti i punti della
circonferenza di raggio minore sono interni all'altra circonferenza.
Due circonferenze, una interna all'altra, che hanno lo stesso centro vengono dette
concentriche.
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinché due circonferenze siano:





una interna all'altra è che la distanza dei centri sia minore della differenza dei
raggi;
secanti è che la distanza dei centri sia minore della somma dei raggi e maggiore
della loro differenza;
tangenti internamente è che la distanza dei centri sia uguale alla differenza tra i
raggi;
tangenti esternamente è che la distanza dei centri sia uguale alla somma dei
raggi;
esterne è che la distanza dei centri sia maggiore della somma dei raggi.
GLI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E I CORRISPONDENTI ANGOLI AL
CENTRO
DEFINIZIONE
Un angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha il vertice sulla circonferenza e
i due lati secanti la circonferenza stessa, oppure un lato secante ed uno tangente.
TEOREMA
Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
TEOREMA COROLLARIO
Nella stessa circonferenza, due o più angoli alla circonferenza che insistono su uno
stesso arco, o su archi congruenti, sono congruenti.
TEOREMA COROLLARIO
Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza, è retto.
LE TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA DA UN PUNTO ESTERNO
TEOREMA
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due rette tangenti a essa,
allora i segmenti di tangente, avendo ciascuno un estremo nel punto dato e l'altro in un
punto di contatto, sono congruenti.
TEOREMA COROLLARIO
Se un segmento ha per estremi il centro di una circonferenza e un punto esterno ad essa,
allora il segmento appartiene:
1. alla bisettrice dell'angolo formato dalle due tangenti condotte dal punto esterno
alla circonferenza;
2. alla bisettrice dell'angolo formato dai raggi aventi un estremo nei punti di
contatto;
3. all'asse della corda che unisce i due punti di contatto.
DEFINIZIONE
Un cerchio è una figura piana formata dai punti di una circonferenza e da quelli interni
alla circonferenza. Se congiungiamo due punti qualunque di un cerchio, il segmento
ricade completamente all'interno del cerchio. Pertanto il cerchio è una figura convessa.
DEFINIZIONE
Un settore circolare è la parte di cerchio compressa fra un arco e i raggi che hanno un
estremo negli estremi dell'arco. Possiamo definire il settore circolare anche come
intersezione di un cerchio e di un suo angolo al centro. La parte di cerchio compresa tra
un arco e la corda che lo sottende viene chiamata segmento circolare a una base. Un
segmento circolare a due basi è la parte di cerchio compresa tra due corde parallele e i
due archi che hanno per estremi quelli delle due corde. Esso è l'intersezione fra un
cerchio e una striscia.
CORONA CIRCOLARE
È la parte di cerchio compresa fra due circonferenze che hanno lo stesso centro.